专题02 整式与因式分解（含答案）分层基础练 2026年九年级中考数学一轮复习

2026年中考数学 专题02 整式与因式分解 班级：　　　姓名：　　 　学号： 一、选择题 1．(2025白云区模拟)若与是同类项，则的值为( ) A. B. 1 C. 2 D. 5 2．(2025陕西)计算：的结果为( ) A. B. C. D. 3．(2025安顺模拟)下列能用平方差公式因式分解的是( ) A. B. C. D. 4．(2025山西)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 5．（2025·云南·模拟预测）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 7．（2025·云南红河·模拟预测）下列说法中，正确的是（    ） A．单项式的系数为 B．单项式的次数为 C．多项式的常数项是 D．多项式是三次三项式 8．（2025·河南新乡·三模）若为任意整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 9．（2025·云南·模拟预测）根据规律，x的值为（ ） A．135 B．153 C．169 D．170 10．（24-25八年级下·四川泸州·开学考试）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（16-17八年级上·山东威海·期中）如果二次三项式可分解为， 那么的值为（   ） A． B． C．1 D．2 12．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 13．若的值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 14．（2025·四川德阳·模拟预测）若自然数使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称为“连加进位数”例如：不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从，，，，这个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 15．(2025乌当区模拟改编)合并同类项的结果等于　　　　. 16．（原创）因式分解的结果是　　　　　. 17．(2025甘肃省卷)因式分解：　　　　　　. 18．(2025山西改编)某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元.该农户通过网上售出个布老虎，则他的利润增加了　　 　　元(用含的代数式表示). 19．(2025威海)若，则　　　　. 20．(2025成都)多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是　　　　　　(填一个即可). 21．(2025汇川区模拟)数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具，比如在学习化学式时，甲烷化学式为，乙烷化学式为，丙烷化学式为，按此规律，当碳原子的数目为为正整数时，氢原子的数目是　　　　. 三、解答题 22．(2025河南)化简： 23．(新考法 选择条件开放) （原创） 在，，中选两个整式求和，并求出当时的值. 24．（2025·河北·一模）如图，大正方形A的边长为a，小正方形B的边长为b，两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为m． (1)用含b，m的代数式表示正方形B中空白部分的面积：______． (2)若，，设正方形A中空白部分的面积为，正方形B中空白部分的面积为，求的值． 25．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）对于一个正整数，若能写成：（为正整数），且（其中为自然数），则称为“幸运整数”．例如：当时，，则，所以12是“幸运数”． (1)求三位数中最大的“幸运整数”； (2)如果两个“幸运整数”的差是72，求这两个“幸运整数”． 26．（21-22八年级上·广东东莞·期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　 　； （2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值； ②计算：． 27．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 28．（2025·河北邯郸·三模）探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为_____； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积； 拓展：已知，求的最小值． 29．（2025·湖南株洲·一模）定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（   ） A．81是最小的雷公数 B．当是正整数时，一定是雷公数 C．若是雷公数，则 D．除100外，三位数中，不存在其他的雷公数 30．（2025·湖北·模拟预测）定义：若满足能被和的最大公因数的平方整除，即为整数，则称为傅里叶数组，其中表示和的最大公因数． 例如：在中，则，所以为傅里叶数组． 已知是1到15（包含1、15）之间的整数，且． 则在所有满足条件的数对中，傅里叶数组的个数为（   ） A．73 B．75 C．82 D．95 31．（2025·安徽·模拟预测）分解因式：_____． 32．(新考法 数学文化)(2025浙江)【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： 【应用体验】 已知，则的值为　　　　. 33．（2025·重庆·模拟预测）如果一个四位正整数各数位数字均不为0，满足，且，，则称这样的四位数M为“拆解数”．记，如，因为，所以3265是“拆解数”，．若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1，则“拆解数”M的最大值为________．若(x、y、m、n为整数，且，，，) 是“拆解数”，且为整数，则满足条件的P的最小值为________． 34．阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 参考答案 一、选择题 1. C 2. D　【解析】2a2∙ab=2a2＋1b=2a3b. 3. D 4. B　【解析】逐项分析如下： 选项 逐项分析 正误 A 2a与3b不是同类项，无法合并 ✕ B m2∙m4=m2＋4=m6 √ C (a－b)2=a2－2ab＋b2≠a2－b2 ✕ D (2m2)3=23(m2)3=8m6≠6m6 ✕ 5．D 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 6．B 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 7．D 【详解】解：、单项式的系数为，该选项说法错误，不符合题意； 、单项式的次数为，该选项说法错误，不符合题意； 、多项式的常数项是，该选项说法错误，不符合题意； 、∵多项式中 有三项，且最高次项 的次数为， ∴该多项式是三次三项式，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 8．B 【详解】解： ∴的值总能被4整除． 故选：B． 9．D 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， …… ∴，，， ∴，． 故选：D． 10．A 【详解】解：， ∵，， ∴原式， 故选：． 11．B 【详解】解：， ∵二次三项式可分解为， ∴， ∴，， 解得：， ∴ 故选： B． 12．B 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 13．D 【详解】解：原式根号下面部分为， ， ， ， ， ∴， ， ， ，，， ，当且仅当或时，取到等号， 根据二次根式的性质只能等于0， ， 当时，； 当时，； 原式， 故选：D． 14．A 【详解】解：设的个位数字为，十位数字为， 个位无进位需（此时个位和分别为）， ∵个位无进位时十位数字均为b， ∴个位无进位时十位数字的和为， ∴十位无进位需，即， ∴ n不是进位数当且仅当且， ∴非进位数有：时，；时，；时，；时，，共12个， ∴从0到99中进位数有个， ∴概率为， 故选：A． 二、填空题 15. ab 16. 2b(a－4) 17. (x－3)2 18. 60a　【解析】(80－20)a=60a(元). 19. －3　【解析】∵2x－3y=2，∴3y－2x=－2，∴6y－4x＋1=2＋1=2×(－2)＋1=－3. 20. 4x(答案不唯一)　【解析】∵4x2＋4x＋1=(2x＋1)2，∴加上的单项式可以是4x. 21. 2n＋2 22. 解：(x＋1)2－x(x＋2) =x2＋2x＋1－x2－2x =1. 23. 解：选择①和②求和， (a＋2)2＋(1＋a)(1－a)=a2＋4a＋4＋1－a2 =4a＋5， 当a=1时，原式=4×1＋5=9. 选择①和③求和， (a＋2)2－2a(a－1)=a2＋4a＋4－2a2＋2a =－a2＋6a＋4， 当a=1时，原式=－12＋6×1＋4=9. 选择②和③求和， (1＋a)(1－a)－2a(a－1)=1－a2－2a2＋2a =－3a2＋2a＋1， 当a=1时，原式=－3×12＋2×1＋1=0. (任选一种作答即可) 24．(1) (2)． 【详解】（1）解：正方形B中空白部分的面积为：； 故答案为：； （2）解：正方形B中空白部分的面积为：； 正方形A中空白部分的面积为：； ∴ ， ∵，， ∴． 25．(1)903； (2)84和12． 【详解】（1）解：， ． 为自然数， 当时，， 当时，， 三位数中最大的“幸运整数”是903； （2）解：由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数）， 则时得到两个“幸运整数”为：， 由题意：． ， ， ． 为自然数， ∴或， 解方程组得：或（舍去）， ． ． 这两个“幸运整数”分别为84和12． 26．（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）①7；②． 【详解】解：（1）图1阴影部分的面积为a2-b2，图2阴影部分的面积为（a+b）（a-b），二者相等，从而能验证的等式为：a2-b2=（a+b）（a-b）， 故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）； （2）①∵a-b=3，a2-b2=21，a2-b2=（a+b）（a-b）， ∴21=（a+b）×3， ∴a+b=7； ② = = = =． 27．(1)①；②4 (2)抽到的是卡片 【详解】（1）解：①； ②当时，； （2）由（1）知，若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非负数； 若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非正数， 抽到的是卡片． 28．尝试：，应用：12，扩展：2 【详解】解：尝试：， 故答案为：； 应用：设， 由题意，得． 又， ， ． 阴影部分的面积为． 拓展：， 的最小值为2． 29．C 【详解】解：A. ，所以81是雷公数，且16，25,36,49,64都不是雷公数，所以81是最小的雷公数，该选项正确，故不符合题意； B. ，可以看作和两部分，当是正整数时，两部分都是正整数， ∴一定是雷公数，该选项正确，故不符合题意； C.当时，，， ∴该选项错误，故符合题意； D.通过计算剩余三位数121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676, 729,784,841,900,961，都不是雷公数，该选项正确，故不符合题意； 故选：C． 30．C 【详解】解：当时，的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为14个； 当时，若b为偶数，则的最大公因数即为2，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有或或，共3个； 当，若b为奇数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为7个； 当时，若b为3的倍数，则的最大公因数即为3，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有或，共2个； 当时，若b不为3的倍数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为8个； 当时，若b为4的倍数，则的最大公因数即为4，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有，共1个； 当时，若b为偶数，且b不是4的倍数，则的最大公因数即为2，则此时要满足能被整除时，此时没有符合题意的； 当时，若b为奇数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为6个； 当时，若b为5的倍数，则的最大公因数即为5，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则此时傅里叶数组的个数为1个； 当时，若b不为5的倍数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为8个； 当时，若b为6的倍数，则的最大公因数即为6，则此时要满足能被整除时，才符合题意，此时没有符合题意的； 当时，若b为奇数且b不能被3整除，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为3个； 当时，若b为奇数且b能被3整除，则的最大公因数即为3，则此时一定能被整除，此时没有符合题意的； 当时，若b为偶数，且b不能被6整除，则的最大公因数即为2，则此时一定能被整除，则或，共2个； 同理当时，此时傅里叶数组的个数为7个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为1个； 当时，此时傅里叶数组的个数为2个； 当时，此时傅里叶数组的个数为1个； 综上所述，一共有个， 故选：C． 31． 【详解】解： ． 故答案为：． 32. 8　【解析】∵(x＋2)4=x4＋mx3＋24x2＋32x＋16，∴mx3=4x3×2，∴m=8. 33． 【详解】解：∵若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1， ， ， ，， 即，， ∵， ∴，即， 要使“拆解数”M最大，则取， ， “拆解数”M的最大值为； ∵， ∴千位数字,百位数字,十位数字,个位数字， 要求P的最小值，， 可假设取最小值为，即， ∴，， ∴， ， ， ， ∴， ， ， 为整数 为的倍数， 要求P的最小值，， 尽可能小， ①当时，为的倍数，， ， 只能等于3，， ∵为拆解数， ∴， 可得， 可得， ， 该方程无实数根， 不成立； ②当时，为的倍数， ， 只能取， 此时，， ∵为拆解数， ∴， 可得， 可得， ， 解得， 则或， 综上所述，当时，可取最小值为， 故答案为：；． 34．(1)7 (2) (3)或 【详解】（1）解：7是风月同天数，2不是风月同天数，理由如下： 设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则，即7是风月同天数； 设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， ∴，， 解得，， 因为a，b的值不是正整数，所以2不是“风月同天数”； （2）解：∵ ， ∵M是“风月同天数”， ∴， 解得：． （3）解：根据题意得：或， 当时，设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则； 当时，设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，这种情况不存在； 当，， 解得，， a，b是正整数，符合题意，故； 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，故这种情况不存在； 综上所述：N的所有平方差分解为：或． 2026中考数学1 1 学科网（北京）股份有限公司 $