精品解析：湖南益阳市南县方谷高级中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

高二数学试卷 2026.3 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求. 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，由题意得，可得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为，， 由直线的一个方向向量为，得， 则. 故选：C． 2. 已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据的坐标分别求出与的坐标表示，由与互相垂直，得与的数量积为零即可求解． 【详解】， ， 由与互相垂直， 有， 解得或． 故选：C． 3. 已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，由，解得，可得，求出渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到． 【详解】由题意可得，，焦点为， 则，解得，又， 则双曲线的渐近线方程为， 则焦点到渐近线的距离为． 故选：B． 4. 正四面体各棱长均为，E，F，G分别是的中点，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】用表示出，再求数量积． 【详解】因为E，F，G分别是的中点，四面体是正四面体，且棱长， 所以 . 故选：D． 5. 点在椭圆上，，点到直线的距离为，则（ ） A. 与无关 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设点，， 因为动点在椭圆上，则， 因为点到直线的距离为，所以， 又， 所以 ． 故选：C． 6. 过三点，，的圆交轴于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆的方程为，代入点的坐标，求出，，，则圆的方程可得，令，即可得出结果． 【详解】设圆的方程为， 则  ，，， ∴， 令，可得，  ，  ． 故选：D． 7. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可分析出数列是首项为2，公差为3的等差数列，利用等差数列的前项和公式化简，结合对勾函数的单调性可知最小值． 【详解】解：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为2，公差为3的等差数列， 所以， 所以， 由对勾函数的性质可得： 函数在上单调递减，在上单调递增，又为正整数， 所以最小值为， 故选：B 8. 已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 以为直径的圆与轴相切 C. 的最小值为 D. 的面积最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线方程，结合准线定义即可判断A；当直线斜率不存在时，计算可得此时以为直径的圆不与轴相切，即可判断B；对于CD：分直线斜率存在以及不存在两种情况分别讨论，即可求解． 【详解】对于A：由抛物线的方程可知其焦点为，故准线的方程为：，故A错误. 对于B：当直线的斜率不存在时，即直线方程：，易得， 则以为直径的圆半径为，此时不与轴相切，故B错误. 对于C：当直线的斜率不存在时，易得，，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由，得， 得，，， ， 易知直线的方程为，由，得， ，， 综上所得，的最小值为，故C正确． 对于D：当直线的斜率不存在时，易得，， 所以； 当直线的斜率存在时，， 故当时，取得最小值，且此时最小值为，故D错误． 故选：C． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关直线与圆的结论正确的是（ ） A. 方程表示的直线必过点 B. 过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 C. 圆和圆的公共弦所在的直线方程为 D. 若圆上恰有个点到直线的距离等于，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于，将直线方程化为即可判断；对于B，当截距为时即可判断；对于C，由圆的方程可得圆与圆相交，再将两圆的方程作差即可判断；对于D，由题意可得圆心到直线的距离等于，根据点到直线的距离公式即可判断． 【详解】对于，方程可化为， 直线过定点，故A正确； 对于B，当截距为时，直线方程为，故B错误； 对于C，圆的一般方程化为标准方程得，圆心为， 半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以圆与圆相交． 圆的标准方程化为一般方程得， 与圆的一般方程作差，可得，即， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，故C正确； 对于D，若圆上恰有个点到直线的距离等于， 则圆心到直线的距离等于， 即，解得，故D正确． 故选：ACD 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为 B. 的前项和为 C. 的前项积为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，根据等比数列的基本量关系，结合等比数列的定义判断即可；对B，由A可得，再根据等差数列求和公式求解即可；对C，根据求解即可；对D，代入求解即可. 【详解】对A，设等比数列的公比为，则，得， 所以，所以， 所以， 所以数列的公比为，故A正确 对B，因为，所以的前项和为 ，故B正确； 对C，的前项积为，故C错误 对D，因为， 所以的前项和为，故D错误． 故选：AB 11. 已知双曲线，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 存在点，使得四边形为正方形 C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由双曲线的离心率公式可判断；当为双曲线右顶点时，四边形为正方形，从而可判断B；设 ，则，根据点到直线的距离公式可得，从而可判断C；利用基本不等式求出的最小值，从而可判断D． 【详解】A选项，由题意得，故，故，A错误； B选项，由双曲线的方程可得渐近线方程为，两渐近线夹角为直角， 由对称性可知，若四边形为正方形，则到两条渐近线的距离相等， 所以当为双曲线右顶点时，四边形为正方形，故B正确； C选项，设，则 ， 因为渐近线方程为 ， 所以， 所以， 则四边形的面积为，故C正确； D选项，由C选项及基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 四边形的周长为，故D错误． 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的准线与圆相切，请写出一个抛物线的标准方程为__________． 【答案】（任意一个均可以） 【解析】 【分析】解题时写出切线方程，再求出抛物线方程即可． 【详解】与圆相切且与坐标轴平行或垂直的直线有， 对应的抛物线方程有： 故答案为：（任意一个均可以） 13. 已知是圆上任意一点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，变形可得，利用的几何意义转化为直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 是圆上任意一点，圆心，半径为， 则，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知数列的通项公式，记为在区间内项的个数，则__________；使得不等式成立的的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 12 【解析】 【分析】根据题意可得，对分奇偶数讨论计算的值；由题设得不等式，再按为奇数和偶数，求出的最小值． 【详解】依题意，令，得， 当为奇数时，可以被整除，于是， 当为偶数时，不能被整除，则， 所以； 当为奇数时，为偶数，， 即，而，则，即，又为奇数，则的最小值为， 当为偶数时，为奇数，， 而，则，即，因此的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：由条件建立不等式，再按是奇数、偶数分类求解是解决本题的关键. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，中恰有两个点在抛物线上． （1）求的标准方程 （2）若点，在上，且，证明：直线过定点． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标可得抛物线也关于轴对称，将点代入抛物线方程即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得，即可求定点坐标． 【小问1详解】 因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称， 所以点，在上， 将点代入抛物线得，，即， 所以抛物线的方程为：； 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为， 由消得：， 由韦达定理得， 所以直线，显然恒过定点． 16. 已知点，，动点满足． （1）求动点的轨迹方程 （2）一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设点，由得方程，化简整理即可 （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率存在讨论即可求解． 【小问1详解】 设，由得， 化简得，动点的轨迹方程为：； 【小问2详解】 光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点， 故入射光线的斜率不为0，故反射光线的斜率不为0， 当入射光线的斜率不存在时，此时反射光线方程为， 此时直线与无交点，不合要求，舍去， 当入射光线的斜率存在时，点关于轴的对称点 由题意知反射光线所在的直线经过点，其斜率也一定存在， 设其方程为，即为， 设圆心到反射直线的距离设为，则， 所以，解得舍去或． 所以反射光线所在直线的方程为． 17. 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，E是的中点. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 平面，平面，， ，，， ，， 又，平面，平面， 平面，平面平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，然后结合勾股定理利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量，利用平面与平面夹角的向量公式列式求得，再利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，取中点， 、、分别为轴、轴、轴正向，建立空间直角坐标系， 则，，.设， 则，，，， 取，则，为平面的法向量. 设为平面的法向量，则， 即，取，，，则. 依题意，，则. 于是，. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在通信技术中由和组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个序列的长度如是一个长度为的序列长为的序列中任何两个不相邻的序列个数设为，长度为的序列为：，，都满足数列，长度为且满足数列的序列为：，，，． （1）求， （2）求数列中，，的递推关系 （3）记是数列的前项和，证明：为定值． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知得到，然后分类讨论最后一个数求解即可； （2）考虑长度为的序列最后一个数，观察即可求得递推关系； （3）根据前两问求得，证明数列是常数列即可． 【小问1详解】 由题意知，长为3的序列中任何两个不相邻的序列为：，所以. 设长为的序列中任何两个不相邻的序列有个，考虑最后一个数： 若最后一位是，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有个； 若最后一位是，则倒数第二位是，只要前位任何两个不相邻即可，满足要求的序列有个， 所以； 【小问2详解】 考虑长度为的序列最后一个数： 若最后一位是，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有个； 若最后一位是，则倒数第二位是，只要前位任何两个不相邻即可，则满足要求的序列有个， 所以； 【小问3详解】 由（2）知，，所以， 所以， 所以数列是常数列， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和. 19. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． （1）求的标准方程； （2）设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆和双曲线定义得到方程组，求得，进而可得，可求椭圆的方程； （2）设，，，由椭圆定义得到，设直线，，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，结合基本不等式求出的最大值． 【小问1详解】 双曲线方程为， 由椭圆和双曲线定义可得，， 又，故，， 又因为，所以， 则椭圆的标准方程为 【小问2详解】 设，，，显然，，，， 由椭圆定义知：，的周长均为， 所以，同理， 所以， 设直线，， 将直线方程代入椭圆的方程得：， 所以，即，同理， 所以，当且仅当，时等号成立． 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 2026.3 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求. 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 3. 已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 正四面体各棱长均为，E，F，G分别是的中点，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 点在椭圆上，，点到直线的距离为，则（ ） A. 与无关 B. C. D. 6. 过三点，，的圆交轴于，两点，则（ ） A. B. C. D. 7. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 以为直径的圆与轴相切 C. 的最小值为 D. 的面积最小值为 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9. 下列有关直线与圆的结论正确的是（ ） A. 方程表示的直线必过点 B. 过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 C. 圆和圆的公共弦所在的直线方程为 D. 若圆上恰有个点到直线的距离等于，则 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为 B. 的前项和为 C. 的前项积为 D. 11. 已知双曲线，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 存在点，使得四边形为正方形 C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的准线与圆相切，请写出一个抛物线的标准方程为__________． 13. 已知是圆上任意一点，则的取值范围为__________． 14. 已知数列的通项公式，记为在区间内项的个数，则__________；使得不等式成立的的最小值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，中恰有两个点在抛物线上． （1）求的标准方程 （2）若点，在上，且，证明：直线过定点． 16. 已知点，，动点满足． （1）求动点的轨迹方程 （2）一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，E是的中点. （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 在通信技术中由和组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个序列的长度如是一个长度为的序列长为的序列中任何两个不相邻的序列个数设为，长度为的序列为：，，都满足数列，长度为且满足数列的序列为：，，，． （1）求， （2）求数列中，，的递推关系 （3）记是数列的前项和，证明：为定值． 19. 已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． （1）求的标准方程； （2）设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $