圆锥曲线：面积最值、距离最值问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

圆锥曲线：面积最值问题、距离最值问题专项训练 圆锥曲线：面积最值问题、距离最值问题专项训练 考点目录 面积最值问题 距离最值问题 考点一 面积最值问题 例1．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知椭圆的标准方程为分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一动点，且在轴上方，延长分别交椭圆于点． (1)证明：的周长大于8； (2)若，求直线的方程； (3)求面积的最大值． 例2．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知椭圆的离心率为，且C经过点．C的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，． (1)求C的方程． (2)过点的直线与C交于P，Q两点，点M满足，设M的轨迹为W． （ⅰ）证明：W是椭圆； （ⅱ）设直线与W的另一个交点为N，过点作的平行线，与W交于R，S两点，求以M，N，R，S为顶点的四边形的面积最大值． 例3．（25-26高三上·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，已知两点分别在x轴，y轴上运动，，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)设是上一动点，过作两条直线，分别交于两点. （i）若的横坐标为1，的重心恰为原点，求直线的方程； （ii）若，的斜率互为相反数，求面积的最大值. 例4．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知，分别是椭圆的左、右焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上与，不重合的一点，且的周长为6． (1)求椭圆的标准方程． (2)设直线交直线于点，直线交椭圆于点． （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值． 变式1．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知等轴双曲线的左、右顶点分别为，且.不在x轴上的点关于原点O对称，且点都在双曲线C上，过点分别作以线段为直径的圆的一条切线，这两条切线相交于点P. (1)求双曲线C的标准方程； (2)求点P的横坐标； (3)求的面积的最小值. 变式2．（25-26高三上·四川成都·期末）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹 (1)求轨迹的方程； (2)点为坐标原点，过的直线交的右支于两点，过点作直线的垂线，垂足为. ①已知，当最小时，求直线的方程； ②求面积的最小值. 变式3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为150°，且经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设为坐标原点，动点满足过能作出的两条互相垂直的切线，记切点分别为点，. （ⅰ）求动点的轨迹方程； （ⅱ）若记的面积为，的面积为，求的最大值. 变式4．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知双曲线：的离心率为，且过点．抛物线C：的焦点与双曲线的右焦点重合． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线l：与抛物线C交于A，B两点，与双曲线的左、右两支分别交于C，D两点． （ⅰ）探究是否存在实数m，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由； （ⅱ）求的最小值． 考点二 距离最值问题 例1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，焦距为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点． （ⅰ）若中点为，点是椭圆上的动点，且满足：，证明的面积为定值； （ⅱ）若点为的外心，且在直线上，求点到直线的距离的最大值． 例2．（25-26高三上·河南信阳·期末）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，，F为其左、右焦点，且短轴长为，若点为椭圆C在第一象限的点，满足直线、的斜率之积为. (1)求椭圆C的方程. (2)若点关于原点的对称点为Q. （i）设点Q到直线的距离分别为，求的取值范围； （ii）设椭圆在处的切线为，射线交于点.求证：. 例3．（25-26高三上·天津南开·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在椭圆C上，且直线的斜率与直线的斜率之积为． (1)求椭圆C的方程； (2)M为C的上顶点，直线l交C于E，Q（异于A，B）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求M到l的距离的最大值． 变式1．（25-26高三上·河南商丘·月考）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 变式2．（25-26高三上·广东广州·月考）已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于两点． (1)若直线垂直于轴，求； (2)当时，在轴上方，求、的坐标； (3)设为线段的中点，求点到直线的距离的最小值． 变式3．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线经过点，且右顶点为.过点作直线与交于、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的方程； (2)若的方程为，求的面积； (3)设点、到的距离分别为、，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：面积最值问题、距离最值问题专项训练 圆锥曲线：面积最值问题、距离最值问题专项训练 考点目录 面积最值问题 距离最值问题 考点一 面积最值问题 例1.(2526高二下浙江开学考试)已知椭圆的标准方程为+二-，万，万分别为椭圆的左、右焦点，点A为 43 椭圆上一动点，且在x轴上方，延长AF,AF分别交椭圆于点B,C. (I)证明：ABC的周长大于8； (2)若3AF=5AF,,求直线BC的方程； (3)求ABC面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 ②y= 3x-6 5 ③)4v5 25 【详解】(1)连接BE, 注意到F,C+BC>BF,, 故ABC的周长为AB+AF+EC+BC>AB+AF+BF=4a=8. (2)设A(,),B(x,),C(x2,2), 由AF+AF=2a=4,且连接BE,注意到F,C+BC>BF, 故ABC的周长为AB+AF+FC+BC>AB+AF+BF=4a=8. 34=列，故= 叉4=3++=2+：即6=山 圆锥曲线：面积最值问题、距离最值问题专项训练 故直线B的方程为：x=+y-1, 4 即x=3-1, E+ =1 联立43，得28y2-24y-27=0, 4 139 3（9 面c引 因此kc= 2143 10 故线8C的方程为：号高，即y=言号 (3)因为点A在x轴上方，所以直线AB,AC斜率不为0， 设直线AB:x=my-1,直线AC:x=y+1, Ax,o,B(x,y),C(x3,2),%>0, 联立 6m -12可得3m+4y2-6my-9=0,则+3m+4 6x+1 注意到m=+ Yo 6(x+1) 3% ，故片= 3。+120-3(x。+1)2+4y -y%= 2x+5’ +4 (%) 联 3x+4y=12,可得3m2+4+6mw-9=0.则%+%=3n+4' 6n x=y+1 注意到n=。 3y0 % 1，故42。-5 14B=6-y,1C=-业， 5所F%=,因为的分，时元 所以 S4C=ABAC_。-H-2 S.ARE AFAF yo 则Sx=-川-=人-++16+9， yo %16y6+27 16（,2+9 设f八w=16+27c0,51e0.. 圆锥曲线：面积最值问题、距离最值问题专项训练 16166-63y+243 则f'()= 0. (27+16 则单调递增，故f,sf)=645。 25 则4BC面积的最大值为45 25 网2.(2526上交激毫州明末)卫知圆C+a>6>0)的岛心率为，且C经过点2，，C的左 右焦点分别为F,E,左、右顶点分别为A,4. (1)求C的方程. (2)过点F的直线与C交于P,Q两点，点M满足PM=FQ,设M的轨迹为W. （i)证明：W是椭圆； (i)设直线AM与W的另一个交点为N,过点A作AM的平行线，与W交于R,S两点，求以M,N,R,S为 顶项点的四边形的面积最大值， 【答案】①二+上=1 1612 (2)(i)证明见解析；(iⅱ)4√5 【详解】(1)设C的半焦距为c(c>0). 22b2+c2=a2,b三)口.○ 49 将点2)代入C的方程，得+京1.② 联立①②，解得a=4,b=25,C的方程为+广-1. 1612 (2)(1)设O为坐标原点.当直线PQ与x轴重合时，M(2,0). 当直线PQ不与x轴重合时，设直线PQ的方程为x=my-2, 与C联立，得3m2+4y2-12my-36=0,易知△>0， -36 股P,,则+%牙 由F(-2,0),得F2=PM=(x2+2,y2), ..OM=OP+PM=(+y),M (+x2+2,+y2). 又x++2=my+为}-2=6m=8,M 6m2-812m】 3m2+4 3m2+4’3m2+4 圆锥曲线：面积最值问题、距离最值问题专项训练 则=36m-96m2+64 (3m2+4)2 ，14m2 (3m2+42, 、+=1 ·43 又气M20也满足上式，：形的方程为千+上1，即形为椭圆 3 (i)设M(x,y),N(x4,y4),直线AM的方程为x=y-4, 与W联立，得(312+4)y2-24y+36=0, 由△=(-241)2-4×36312+4)=14412-576>0，得2>4， 36 圆y+号3+4易知S=S.M.M0AD 2 由椭圆的对称性可知，所求的面积S=45ow=4×少，O4=8-小， 2 又y-y4=Vy+y4'-4yy4= 12V2-4 312+4 12V-412元_12 设2P4>0,则3P+43n2+163621 22/32162 当且仅当好-台用广等时，取等号。 ∴S=8y-y≤45，即所求的四边形的面积最大值为45. D M 例3.(25-26高三上江苏南通月考)在平面直角坐标系x0y中，已知P,Q两点分别在x轴，y轴上运动，P=3, 点M满足QM=2MP，记M的轨迹为E. (I)求E的方程； (2)设A是E上一动点，过A作两条直线，马分别交E于B,C两点 (1)若A的横坐标为1，ABC的重心恰为原点O,求直线BC的方程； (i)若4，Z的斜率互为相反数，求ABC面积的最大值 【答案】+y= 圆锥曲线：面积最值问题、距离最值问题专项训练 80y得9，-g+9a盟 2 【详解】(1)设P(a,0),Q(0,b),因为PQ=3,所以a2+b=9 设动点M(x,y),则gM=(x,y-b),MP=(a-x,-y, x=2a-2x, 因为QM=2MP,所以 y-b=-2y, 3 所以a=。x,b=3y 所以动点M的轨迹E的方程为二+y'=1 2)①因为4左值线号+P=1山 当=1时=9所以9)马) 设B(x,y,C(x 因为ABC的重心为原点O, x+3+1=0 3 所以 月+y2+ 5，即+6=山，方+⅓：5 2 3 2-0 三+ 因为 + 两式相减得-玉++-马川y+,=0. 4 4 所以当业=-5 X1-x2 6 即直线BC的斜率为K:-5 6 因为BC的中点为 13 2’4 所以直线BC的方程为=-5x-3, -x- 6 3 同理， 当4 2 时， 直线BC的方程为y=++V3】 3 (ii)考虑曲线对称性，不妨设Am,n),0≤m≤2,0≤n≤l, 设直线AB:y=k(x-m)+n,则AC:y=-kx-m+n.如下图： 圆锥曲线：面积最值问题、距离最值问题专项训练 立44”，整理得，+4F+8涨(n-mx+4m-nP-4=0 联立 厨以m+无8m-8n且k-A>0,k≠0 4n 所以AB=+k2k,-m=V+k×2m+8 1+4k2 同理，AC=+×2m-8 1+4k2 设直线AB的倾斜角为，则AC的倾斜角为π-a, 当k>0,则sin∠B4C=sin(π-2a=sim2a-2tana=2k 1+tan2a1+k2, 当k<0,则sin∠BAC=sin(2a-π=-sin2a=- 2tana 2k 1+tan2a 1+k2, 所以ABC的面积为 5-aGmc-,2,4 m2-16k2n2 （1+4k2 (1+427 因为m+n=1, 4 市以54n0+-+ (1+4k2月 因为-1≤n2(1+4k2)-1≤4k2, 0当421，≥时.3 64kK2 1+422, 设f()= 64kK2 +4秋，其为偶函数。 当≥时，例= 64 16+8， 令y=1,质y-个+j-+-到 6 圆锥曲线：面积最值问题、距离最值问题专项训练 所以y=16f+8+1 在 22 单调递减，在 2,0 单调递增， 64xV3.3 所以S≤ 643 1*42 2435 16 2 当且仅当n=1,即A(0,)处，此时k≠-m 4n 回当0<4状2<1，不妨设0<太<莎~s64 16 ò1+4216k2+8张+ k 设p=16-+8+则p16-+02- k2 所以p(k在0, 6 单调递减，在 ,1 单调递增， 6 64x3 6 3v3 所以S≤ 2 ,当且仅当n=0,即A(2,0)处，此时k≠-m 4n 1+4, 12 综上， 4BC的面积最大值为3V3 例4.(2526高三上河北沧州月考)已知F,乃分别是椭圆C:号+号=口>月)的左、右焦点，A,B分别是 a+3 椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上与A,B不重合的一点，且△PFF,的周长为6. (1)求椭圆C的标准方程. (2)设直线PB交直线x=4于点T,直线AT交椭圆C于点Q. (i)证明：直线PQ过定点； (i)求△APQ面积的最大值. 回)证明见解析：D号 b2=a2-c2=3 【详解】(1)由题意得 2a+2c=6，所以a=2,c=1, 故治陋C的标准方程为号+号 =1. (2)(1)证明：由题意A-2,0),B(2,0),设P(x,y),Q(x2,y2),T(4,yo, 设直线PQ的方程为x=my+t, 圆锥曲线：面积最值问题、距离最值问题专项训练 x=y+1, 得3m2+4y2+6m0y+32-12=0, △=(6mt)2-43m2+43r2-12）=483m2-t2+4>0, 6mt y+3= 3m2+4 所以 t2-12 y= m2+4 81 则x+x2=m(y,+y2+2t= 3m2+4 (m+m:+小=m%y+m+为+f_3r-12m6m学 +2=42-12m2 3m2+43m2+43m2+4 2k0=在2治，直线p的方程为y产2-2， 4+26 当所，5马即 2y 、-2 时e若习利 32-12 所以k加k0=上，少 yiy2 3m2+4 312-121 4+26+2(x+2x3+242-12m,160 +442+160+164, 3m2+43m2+4 化简得2+t-2=0,解得1=1或1=-2（此时直线过点A,不合题意，舍去）， 即直线P2的方程为x=my+1,经过定点1,0)· (ii)由(i)可知△APQ的面积 Sm号4-小+n- 3 6m )2 3618Vm2+1 3m2+4 3m2+43m2+4 18 18 喷2，则，则小心双 1, 又y=3说+元在元∈山，+0)上单调递增， 故当2=1，即m=0时，动+号取得最小值为4，此时5心取得鼓大值为号 6 圆锥曲线：面积最值问题、距离最值问题专项训练 B 变式1.2526商三下-相建泉州开学考试)已知等轴双曲线C:若卡=a>06>0的左、右顶点分别为4、么 ，且A44=22不在x轴上的点B,、B,关于原点O对称，且点B,、B,都在双曲线C上，过点B、B,分别作以线 段AA,为直径的圆的一条切线，这两条切线相交于点P (1)求双曲线C的标准方程； (2)求点P的横坐标： (3)求△PB,B的面积的最小值 【答案】①上-1 22 (2)-1或1 (3)4 【详解】(1)由双曲线为等轴双曲线，有a=b, 又由442=2W2,有2a=22,可得a=√2，b=V2, 故双曲线C的标准方程为。上=1 22 A B (2)设B(m,.B,(m,-m)(其中n+0,有四_”=1，可得m=川+2. 22 设直线B,P的方程为y-n=k(Cx-m),直线B2P的方程为y+n=k,(x+m) km-m=√2 V1+k2 由直线B,P和直线B,P都与圆O相切，有 k m-m=2 V1+好 0 圆锥曲线：面积最值问题、距离最值问题专项训练 可得k,k,是关于k的方程=V2的两个根，整理为m-2K-2mk+-2=0, 有k+k2= 2mn.kk:=m-2 n2-2 m2-21 联立直线BP和直线B2P方程消去y后，有(k3-k)x=2n-m(k+k), 代入k+6,=2mm， m2有k-kx2n吃整理为/=4n m2-21 又由(-)=(%+62-4张k,=4mn4n-2_8m2+m-2) (m2-2m2-2(m2-27 8n2+2+n2-216n2 (m2-2 (m2-22, 有=可”2代入传- m一2’可得x=1,故点P的横坐标为-1或1 (3)由圆的对称性，可知SP8,=2SoPg,=OB×OP 又由圆的对称性，不妨设点P的横坐标为1， 又由0P108,可得直线Or的方程为y=只，取x=1,可得点P的坐标为1-贸）】 n 有OP=1+ 0B.-Vm+n m 可得SPBB,=1 +×你+.m+_公+2到+r_2+4:4当且仅当。1或-1时取等号. m 故△PB,B,的面积的最小值为4. 变式2.(25-26高三上四川成都期末)已知动点M(x,y)与定点F(2,0)的距离与它到定直线1：x=1的距离的比是 常数√2，动点M的轨迹C (I)求轨迹C的方程； (2)点0为坐标原点，过F(2,0)的直线I交C的右支于P,Q两点，过点P作直线x=1的垂线，垂足为N. ①已知42.，当PA+号pPF最小时，求直线修方程， ②求△OQN面积的最小值 【答案】0号号1 ②01：y=-(N5+2x+25+4,②32 2 【详解】1)由x-2+少-万，则v-2护+=k- x-1 10