向量法求线线角、线面角和面面角 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 考点目录 线线角的向量求法 线面角的向量求法 面面角的向量求法 考点一 线线角的向量求法 例1.(25-26高二上·江西南昌期末)在平行六面体ABCD-A,B,CD,中，∠AAB=∠A,AD=∠BAD=60°， AB=L,AD=AA=2.求直线BD与AD所成角的余弦值() A.0 B.3 D.23 3 C.5 6 3 例2.(25-26高二上·天津西青·期末)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，M是AB的中点，则DB,与CM所成角 的余弦值是() D C B M B A. 15 B.V30 C./15 D.30 10 15 15 10 例3.(25-26高二上山东济宁·期末)如图，三棱柱0AB-OA,B,中，平面0BB,O11平面0AB,且∠0,0B=60°， ∠A0B=90°，0B=00,=2,0A=√3，求异面直线A,B与O,A所成角的余弦值() B A A. > B c.月 D吉 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 例4.(25-26高二上广东韶关期末)已知棱长为4的正方体ABCD-A,B,CD,中，DE=DD,G,F分别为AB,BD 4 的中点 A D E .. D G.1 (I)求证：EF⊥A,C: (②)求直线EF和AG所成角的余弦值 变式1.2526高三下云南楚雄开学考试)在三棱锥A-BCD中，AB=CD=5,4D=BC:2,BD=2 7 AD⊥DC,AB⊥BC,则异面直线BD与AC所成的角的余弦值为 变式2.(25-26高二上·江西景德镇·期末)已知一个直四棱锥P-ABCD,如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平 面ABCD,且PA=AB=2,M是线段PB的中点，则异面直线DM与PA所成角的正切值为一： 0 2 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 变式3.(2526高二上湖南衡图期中)如图，在几何体4BCD8F中，4D8C,∠BAD-分，4B=4D=2BC=6, AE∥CF,AE=2CF=4,AE⊥平面ABCD,则异面直线EF与AB所成角的余弦值为 A D C 变式4.(25-26高二上广东广州期末)如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=AD=4,AA=2,点E,F,G 分别在棱AA,AB,AD上，点P,Q,R分别在棱CC,CD,CB上，A,E=A,F=A,G=CP=CQ=CR=1. D G B (I)求BD,和EF所成角的余弦值： (2)求证：平面EFG/1平面PQR. 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 考点二 线面角的向量求法 例1.(2026四川模拟预测)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是正三角形，且 PC⊥BC. D B<-- (1)求证：CA=CD: (2)若CA⊥CD,PC=PA,求PB与平面PCD所成角的正弦值 例2.(25-26高二上·江苏南通·期末)如图，四棱锥P-ABCD中，△4DC与△BAC都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠ADC=90,平面PAB⊥平面4BCD,PA=3N2AD=3N5,PB=26,点M在棱PB上 2 D B- A (I)证明：PA⊥平面ABCD; (2)若PD∥平面AMC,求直线AB与平面AMD所成角的正弦值 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 例3.(25-26高二上山西运城期末)如图，已知斜三棱柱ABC-A,B,C,底面ABC为等腰直角三角形， AC=BC=2,AA,=2,AC的中点为D,AD⊥底面ABC. B D: B (I)求证：AC⊥平面ABC; (2)求直线DB,与平面ABC所成角的正弦值， 变式1.(2026广东佛山二模)如图，PB是圆柱OO,的母线，四边形ABCD是底面内接正方形.点E,F是棱 BC,CD上的动点(E,F不与端点重合)，且CE=DF. D B C (I)证明：AE⊥平面PBF; (②)已知圆柱OO的体积为刀，PB=2,点A到直线PF的距离是1. (i)求CE的长度； (i)求直线CD与平面PAE所成角的正弦值. 5 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 变式2.(2026福建龙岩一模)如图，在正四棱台ABCD-A,B,C,D,中，AB=2A,B,=2√2，E是BC的中点，其外 接球的表面积为16π D D E (I)求证：AE/1平面CCDD; (2)若平面A4E与B,C交于点F,求直线EF与平面CCDD所成角的正弦值 变式3.(2026山东临沂一模)如图，多面体EF-ABCD中，四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形， BF=2AB,M为AE的中点 ”、 B (I)求证：DMII平面CEF; (2)当平面ABCD⊥平面BDEF时，求直线CM与平面CEF所成角的正弦值 6 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 考点三 面面角的向量求法 例1.(25-26高三上·贵州黔南·期末)如图，在五面体ABCDEF中，CD∥EF,BC⊥CD,AB⊥BE,平面 ABCD⊥平面CDEF,AB=DC=V3,DE=2AD=2. B E (I)证明：AB/1平面CDEF; (2)求二面角B-DE-F的余弦值. 例2.(2026吉林通化模拟预测)如图，在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，AA,=2AB=2,C,E=2EC. A B E B (I)求点A到直线AE的距离； (②)求二面角A-DE-A,的正弦值. 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 例3.(25-26高三下·云南楚雄开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，∠BAD=元 3 PA=PC=√5，PB=PD=√5，点E为AB的中点，过点E作平面I平面PBC,且交PD于点F. D: E B 0求%的值： (2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 变式1.(25-26高三下·北京·开学考试)如图，在三棱锥D-ABC中，侧面DAC⊥底面ABC,AD=DC,AB=BC. D B (I)求证：AC⊥BD; (2)已知AB=V5,AC=2,AD=√2，F是线段BD上一点，当AF⊥BD时， (1)求二面角F-AC-B的余弦值. (i)设线段AB,BD的中点为H,G,试判断直线HG与平面ACF的关系，并说明理由. 8 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 变式2.(25-26高二下·云南昭通开学考试)在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠ACB=90°，AC=CB=AA,=2,D, E分别是AB,CC的中点. A B C (I)证明：BE⊥B,D. (2)求三棱锥E-BB,D的体积. (3)求平面BDE与平面ABC夹角的余弦值. 变式3.(2026·湖北襄阳一模)如图，正三角形ABC'和平行四边形ABDE在同一个平面内，其中AB=4, BD=AD=V31,AB,DE的中点分别为F,G.将△ABC'沿直线AB翻折到ABC,使二面角C-AB-D为I20°， 设CE的中点为H. D (I)求证：平面CDF∥平面AGH; (2)求平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值. 0线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 考点目录 线线角的向量求法 线面角的向量求法 面面角的向量求法 考点一 线线角的向量求法 ∠AAB=∠AAD=∠BAD=60° 例1.（25-26高二上江西南昌·期末)在平行六面 ABCD-ABCD中， AB=1,AD=A4=2.求直线 BD与4P 所成角的余弦值() 3 5 25 A.0 B.3 C.6 D.3 【答案】A 【详解】设B=a,D=6,=c,则l=l==2,a-6=ac=1,6c=2, 因为BD=BA+A+AD=-a+c+6,D4=DA+=-6+c 则BDD=-a+c+6j-b+c=a-6-ac+c2-B=1-1+4-4=0 则BD L DA 故直线D与4D所成角的余弦值为0， D A B 故选：A 例2.(25-26高二上·天津西青·期末)如图，在正方体 BCD-AB,CD中，M是4B的中点，则DB与CM所成 角的余弦值是() 1 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 D B M B 5 V30 √30 A.10 B.15 C.15 D.10 【答案】C ABCD-ABCD 【详解】设正方体 的棱长为1， 如图，以D为原点， DA,DC,DD 所在直线分别为少2轴建立空间直角坐标系， D A B A M B iO.0.0).B(L).C(o.1.0).ar0 则 所以n丽=l,-（0）, 11 所以与 所成角的余弦值是cos(DB,CM DB·CM 2 5 15 DB CM DB.CM V3xv5 2 故选：C. 例3.(25-26高二上山东济宁·期末)如图，三棱柱 4B-0,AB中，平面 BB0+平面016，且∠00B=60 ∠AOB=90°，OB=OO1=2,OA=V3 求异面直线4B与OA所成角的余弦值（） 2 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 B A司 1 B.3 1 c.7 D.3 【答案】C 【详解】以O为坐标原点，OA,OB所在直线分别为x轴、'轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 3 B 则4v5,0.0,502,0.4W5.15,0(01,5 所以4B=(-51,-5),0a=(3,-l,-5 设所求的角为a, 则cosa 4B.0A_|-3-1+3到_1 4B0A7×√77， 即异面直线AB与0,4所成角的余弦值为7 故选：C 例4.（25-26商二上广东韶关期末)已知棱长为4的正方体ABCD-48CD中，DE=DD,G,F分别为 AB,BD的中点. D B C ! E D B C 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 EF⊥AC (1)求证： AG (2)求直线EF和 所成角的余弦值， 【答案】(1)证明见解析 45 (2)15 【详解】(1)解法一：如图，以A为原点，分别以 B,4D,44为少2轴，建立空间直角坐标系， Z◆ A D B G D立 B C A(0,0,4),E(0,4,1),F(2,2,0),C(4,4,4) 则 .EF=(2,-2,-1),AC=(4,4,0) ,EF.AC=8-8=0 .EF⊥AC 解法二：连接8,0，在正方 ABCD-AB,CD中有： AC⊥BD,DD上平面 A BC D A D B C 平面 A D G B AC A,BC D 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 DD⊥AG 又BBODB=D,8n.Dnc平面9 BDDB AG上平面BDDB 又“BFC平面 DDB ∴.AC⊥EF (2)由(1)可得 EF=(2,-2,-1)A(0,0,4)G(2,0,0) …AG=(2,0,-4) ∴EF.AG=4+4=8 EF=V2+(-2+(-=3,4G=V2+02+(-4y=25 ∴.cos EF,AG= EF.4G845 EF4G3×2515, 4v5 故直线EF和AG所成角的余弦值为15. 变式1.(25-26高三下云南楚雄开学考试)在三棱锥A-BCD中，4B=CD=V5,4D=BC=2,BD2W分 7, AD⊥DC,AB⊥BC,则异面直线BD与AC所成的角的余弦值为 1 【答案】20.5 【详解】因为在三棱锥A-BCD中，AD⊥DC,AB⊥BC,AB=CD=V5,AD=BC=2, 所以BDAC-(BA+ADAD+DC到 BA.AD+DC+ADAD+DC=BA.AC+AD+AD.DC 又由题知4D1DC所以D1DC,所以D:DC=0, 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 所以BD·AC=BAAB+BC+AD=AD-AB=4-3=1 叉因为1c-V6+aC=5,80=2 ， 所以os(BD,AC BD·AC_1 BD AC 2 所以异面直线BD与AC所成的角的余弦值为2， 故答案为：2 变式2.(25-26高二上江西景德镇期末)已知一个直四棱锥P-ABCD,如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥ 平面ABCD,且PA=AB=2,M是线段PB的中点，则异面直线DM与PA所成角的正切值为· D A B M 【答案】5 【详解】 Z◆ D B D M 由PA⊥平面ABCD及正方形ABCD,得直线AP,AB,AD两两垂直， 以A为坐标原点，直线AP,AB,AD分别为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系， 由PA=AB=2,得D(0,0,2),P(2,0,0),B(0,2,0),线段PB中点M(11,0), AP.DM2√6 则DM=1,1,-2),AP=(2,0,0), cos(AP,DM)= 1 APIDM12√66， 6 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 设异面直线DM与PA所成角为9，即os0-cos(丽，D6 , 则sim8=V-cos'6- tano=sine=5 6, cos0 5 所以异面直线 DM与PA所成角的正切值为 DM 故答案为：5 变式3.（25-26高二上湖南衡阳期中)如，图在几何体1 BCDEF中，1DC,∠B4D-受 2, AB=AD=2BC=6,AE/CF,AE=2CF=4,AE⊥平面ABCD,则异面直线EF与AB所成角的余弦值为 E 6 【答案】 【详解】：AE⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,AE⊥AD,AE⊥AB, 又∠BAD= 2’AE,AD,AB两两垂直， 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ZA A D C AB=AD=2BC=6 AE=2CF=4 .BC=3,CF=2 则400,01，B60.0j,E00,4,F63,2 ∴AB=(6,0,0,EF=(6,3,-2) > 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 AB.EF 6×6 .cos(AB,EF 6×66 AB·EF V62×V62+32+(-22 6×77, :异面直线E即与AB所成角的余弦值为7· 6 故答案为：万· 变式4.(25-26高二上广东广州期末)如图，在长方体 BCD-4BCD中，B=AD=4,M=2,点 E,F,G分别在校4,4，AD上，点P,Q.R分别在校G,D,CB上， AE=AF=AG=CP=CO=CR=1 BD (1) BD和EF所成角的余弦值： (2)求证：平面 G/平面POR 2 【答案】(1)6 (2)证明见解析 【详解】(1)根据题意，以D为原点，以 A,DC,DD 所在直线为少2轴建立空间直角坐标系，如图， 则B440,D(0,02,E4,0,,F41,2 所以BD=(4,4,2),F=(0,1 所以osD,F)= BD·EF -4+2 2 BDEF√42+42+22x+1 6. 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 两0和BP有成角的余这在为maC.产要 (2)证别：连接8D,BD,取1，DC的中点分别为S.7,连接4S,C7 AG AF 1 因为ADAB4,所以GF11DB. CO CR 1 因为CD=CB4,所以QR1IDB 因 DB/1DB,所以GF1QR ORC POR GF POR 平面 ，而不在平面内，所以 F//POR ”平面 因为45=E=4F=N=lCP=PC,=C0=Qr=】 ，所以 EF//AS,PO/ICT S1CT,所EFPO, 而 POR POR 平 POR,而EF不在平面P内，所以日 EF/IPOR 平面 又EF∩GF=F,EF,GFC平面EFG,所以平面EFG/I平面PQR. D A 6⊙ 9 线线角的向量求法、线面角的向量求法、面面角的向量求法专项训练 考点二 线面角的向量求法 例1.(2026四川模拟预测)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是正三角形，且 PC⊥BC D (I)求证：CA=CD, (2)若CA⊥CD,PC=PA,求PB与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； √42 (2)14. 【详解】(1)取AD中点，连接PO,OC, 】 B 因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD, 因为底面ABCD是平行四边形，所以BC∥AD,己知PC⊥BC,所以PC⊥AD, 又PO∩PC=P,且PO,PCc平面POC,所以AD⊥平面POC, 因为OCC平面POC,所以AD1OC, 在△ACD中，O是AD中点，且OC⊥AD,所以OC是AD的垂直平分线， 所以CA=CD (2)由CA⊥CD,CA=CD,O为AD中点， 得OC⊥AD,OA=OD=OC, 设CD=CA=2,则4D=2a,0M=0D=0C=a 在正△PAD中，P0=VPAP-0A2-2a)2-a=Ba o