6.3.3 空间角的计算（第1课时 空间角的计算(1)）课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何中空间角的计算，核心内容为利用向量法求解异面直线所成角与线面角，通过复习向量基础知识导入，结合自主诊断巩固概念，搭建从向量运算到空间角转化的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于通过题型分析（如例1基底法、例2坐标系法）和规律方法总结，培养数学思维（推理能力）与数学语言（向量表达），结合几何直观（空间直角坐标系建立）。学生能提升运算与逻辑推理能力，教师可借助分层训练与系统资源优化教学效率。

第6章　空间向量与立体几何 6.3.3　空间角的计算 第1课时　空间角的计算(1) 【课标要求】 1.能用向量法求解线线、线面的夹角的计算问题. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角的关系. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　两条异面直线所成的角 (1)设两条异面直线所成的角为θ,它们的方向向量为a,b,则 cos θ=|cos<a,b>|= (2)两条异面直线所成角的取值范围是(0,. 知识点二　直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为e,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<e,n>|= 名师点睛 (1)直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角. (2)线面角的范围为 (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)两异面直线的夹角与其方向向量的夹角相等.(　　) (2)如果一条直线与一个平面所成的角是30°,那么这条直线与平面内的任意一条直线所成的角都不小于30°.(　　) (3)若异面直线l1,l2的方向向量分别为m1=(1,-1,0)与m2=(-1,0,-1),则l1,l2的夹角为60°.(　　) × √ √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】利用空间向量求异面直线所成的角 例 1 [链接教材例7](1)在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为(　　) A B C D A 解析 如图,取BC的中点O,连接OP,OA.因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以∠POA就是二面角P-BC-A的平面角.设AB=2,则=()·()=-.所以cos<>==-,即异面直线PB与AC所成角的余弦值为. (2)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,=,若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为,则λ的值为　　　　　.  　 解析 如图,建立空间直角坐标系. ∵=λ,∴F(0,2λ,0),λ∈[0,1],又A1(0,0,2),D1(0,2,2),E(2,2,1). ∴=(2,0,-1),=(0,2λ,-2). ∵|cos<>|=,∴λ2=.∵0≤λ≤1,∴λ=. 规律方法　利用空间向量求异面直线所成角的两种思路 跟踪训练1在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=4,AA1=6,E为CC1的中点,点F满足=2,则异面直线EF,BC1所成角的余弦值为　　　.  　 解析 如图,易知AB,AC,AA1两两垂直,以{}为正交基底,建立空间直角坐标系,则B(4,0,0),C1(0,4,6),E(0,4,3),F(0,0,4),所以=(-4,4,6), =(0,-4,1). 设异面直线EF,BC1所成的角为θ,则cos θ=.故答案为. 【题型二】求直线与平面所成的角 例 2 [链接教材例8](1)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°, D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=2,PA=4,则直线PA与平面DEF所成角的余弦值为(　　) A B C D A 解析 由∠BAC=90°,得BA⊥AC.又PA⊥平面ABC,BA,AC⊂平面ABC,则PA⊥AC,PA⊥AB,以{}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,4),D(1,0,0),E(1,1,0), F(0,1,2),=(0,0,4), =(0,1,0),=(-1,1,2).设平面DEF的法向量为 故选A. m=(x,y,z),则令z=1,得m=(2,0,1).设直线PA与平面DEF所成角为θ,则sin θ=|cos<,m>|=, 所以cos θ=. (2)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,SA=AD=2,AB=2, SC=4,M是SB的中点,MC⊥BD. ①证明:SA⊥平面ABCD; ②若点P是棱SC上的动点,直线AP与平面AMC所成角的正弦值为,求的值. ①证明 如图,取AB的中点N,连接MN,CN,BD与CN交于点Q,在底面矩形ABCD中,易知tan∠DBC==tan∠BNC=,所以∠BNC=∠DBC,所以BD⊥CN. 因为MC⊥BD,MC∩NC=C,MC,NC⊂平面CMN, 所以BD⊥平面CMN. 因为MN⊂平面CMN,所以BD⊥MN, 易知MN∥SA,所以BD⊥SA. 由题意可知AC2=AD2+AB2=12=SC2-SA2, 所以SA⊥AC,而AC,BD相交,且AC,BD⊂平面ABCD,所以SA⊥平面ABCD. ②解 由上可知SA⊥AD,SA⊥AB,AB⊥AD,以{}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),S(0,0,2),C(2,2,0),B(0,2,0),M(0,,1),=(2,2,0), =(0,,1).设平面AMC的法向量为m=(x,y,z), 则 取x=,则m=(,-1,). 设=λ=λ(2,2,-2)=(2λ,2λ,-2λ),其中0≤λ≤1, 则=(0,0,2)+(2λ,2λ,-2λ)=(2λ,2λ,2-2λ). 因为直线AP与平面AMC所成角的正弦值为, 所以|cos <,m>|=,解得λ=或λ=, 又0≤λ≤1,所以λ=,即. 规律方法　利用空间向量求线面角的解题步骤 跟踪训练2已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,AB=4,AA1=4,点B1在底面ABCD的射影为BC的中点H,则直线AD1与平面ABCD所成角的正 弦值为　 .  解析 因为点B1在底面ABCD的射影为BC的中点H,则B1H⊥平面ABCD.又因为四边形ABCD为正方形,所以AB⊥BC,过点H作AB的平行线交AD于点E,易知HE,HC,HB1两两垂直,以{}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz. 因为AB=4,AA1=4,所以B1H==2,则A(4,-2,0), D(4,2,0),B(0,-2,0),B1(0,0,2),所以= (0,4,0)+(0,2,2)=(0,6,2), 易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),cos<,n>=,因此,直线AD1与平面ABCD所成角的正弦值为.故答案为. $