1.4线段的垂直平分线同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.4线段的垂直平分线 考点1: 线段垂直平分线的性质与判定 1. 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 几何语言：∵AC＝BC，l⊥AB于点C，点P在l上，∴PA＝PB. 2. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 几何语言：∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上 · ①线段垂直平分线的判定定理与线段垂直平分线的性质定理互为逆定理. ②由PA＝PB只能判定点P一定在线段AB的垂直平分线上，而不能判定过点P的直线就是线段AB的垂直平分线，因为过点P可以作无数条直线. 练习1. 1. 如图，在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　C　). A．AB＝AD　　　 B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC 2. 三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3cm，PB＝3cm，则点P一定(　D　). A.是边AB的中点 B.在边AB的中线上 C.在边AB的高上 D.在边AB的垂直平分线上 3. 如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°.AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为(　A　). A.2 B.1 C.4 D.3 4. 如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 13 . 5. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝ 10° ． 考点2: 用尺规作等腰三角形 已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形. 已知：如图，线段a，h. 求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h. 作法： ①如图，作线段BC，使BC＝a. ②作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D. ③在l上作线段DA，使DA＝h. ④连接AB，AC. △ABC就是所要作的等腰三角形. 考点3: 用尺规作直线的垂线 1. 过直线上一点作已知直线的垂线： 作法： ①以P为圆心，任意长为半径画弧，交l于A，B两点. ②作线段AB的垂直平分线CD，直线CD即为直线l的垂线. 2. 过直线外一点作已知直线的垂线 作法： ①以P为圆心，适当长(一定要大于点P到直线l的距离)为半径画弧，交l于A，B两点 ②作线段AB的垂直平分线CD，直线CD即为直线l的垂线 · 用尺规作线段AB的垂直平分线时，半径是大于AB的任意长度，原因是只有当半径大于AB时，两弧才能有两个交点. 练习2. 1. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为(　C　). A.40° B.45° C.50° D.60° 2. 已知一条线段长为a，求作等腰直角三角形ABC，使它的斜边长为a. (不写作法，保留作图痕迹) 解：如图所示. 考点4: 三角形三边垂直平分线的性质 1. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 2. 符号语言：若直线m，n，l分别是△ABC的边BC，AC，AB的垂直平分线，则直线m，n，l相交于一点P，且PA＝PB＝PC. · 三角形三边垂直平分线交点的位置： 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 交点位置 三角形内部 三角形斜边中点处 三角形外部 练习3. 1. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(　D　). A．三条高的交点　　 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点　 D．三条边的垂直平分线的交点 2. 如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是(　C　). A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 巩固练习： 1. 数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l处一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形，其中作法错误的是(　A　). A. B. C. D. 2. 如图，将Rt△ABC过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，折痕为BD，现有以下结论： ①DE⊥AB；②BC＝BE；③BD平分∠ABC；④△BCE是等边三角形；⑤BD垂直平分EC 其中正确的有(　D　). A.①②③ B.②③ C.①②③④ D.①②③⑤ 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断下列结论错误的是(　B　). A.∠BDE＝∠BAC B.∠BAD＝∠B C.DE＝DC D.AE＝AC 4. 如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在(　B　)的垂直平分线上． A. AB B. AC C. BC D. 不能确定 5. 点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，OA＝8，则OA＋OB＋OC的值是(　C　). A. 11 B. 16 C. 24 D. 64 6. 有两个村庄P，Q种植了大量猕猴桃.为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路m旁建立公用移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在(　B　). A.A处 B.B处 C.C处 D.D处 7. 如图，y轴垂直平分线段AB，C为y轴正半轴上一点，D是线段OC上一点，且AD⊥BD，若C(0，4)，AC=5，则阴影部分的面积是(　D　). A. B. 2 C. D. 3 8. 在△ABC中，AB＝AC，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝_70°或20°. 9. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠BAC＝82°，则∠OBC的度数为　8°　. 10. 如图，已知A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3)，若点P是△ABC三边垂直平分线的交点，则点P的坐标为(－2，－1)． 11. 如图，将ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，若点B的坐标为(3，－1)，点C的坐标为(2，2)，则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为 (1，0) ． 12. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点M，N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为4cm/s，点N的速度为6cm/s，当点M，N第一次相遇时停止运动.设点M，N的运动时间为t(t＞0)秒，当线段MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时，t的值为 或或或 13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D，F分别为AB，AC的中点，且DE⊥AB，FG⊥AC，点E，G在BC上，BC＝18cm，求线段EG的长. 解：EG＝6cm 14. 如图，在△ABC中，D是边AC，AB的垂直平分线的交点.若∠DCA＝30°，∠DAB＝50°，求∠DCB的度数. 解：∠DCB＝10° 15. 如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等. 解：如图： 16. 如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作一个等腰直角△ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法) 解：如图，△ABC即为所求作的三角形.(答案不唯一) 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4线段的垂直平分线 考点1: 线段垂直平分线的性质与判定 1. 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 几何语言：∵AC＝BC，l⊥AB于点C，点P在l上，∴PA＝PB. 2. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 几何语言：∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上 · ①线段垂直平分线的判定定理与线段垂直平分线的性质定理互为逆定理. ②由PA＝PB只能判定点P一定在线段AB的垂直平分线上，而不能判定过点P的直线就是线段AB的垂直平分线，因为过点P可以作无数条直线. 练习1. 1. 如图，在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　 　). A．AB＝AD　　　 B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC 2. 三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3cm，PB＝3cm，则点P一定(　 　). A.是边AB的中点 B.在边AB的中线上 C.在边AB的高上 D.在边AB的垂直平分线上 3. 如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°.AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为(　 　). A.2 B.1 C.4 D.3 4. 如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 . 5. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝ ． 考点2: 用尺规作等腰三角形 已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形. 已知：如图，线段a，h. 求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h. 作法： ①如图，作线段BC，使BC＝a. ②作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D. ③在l上作线段DA，使DA＝h. ④连接AB，AC. △ABC就是所要作的等腰三角形. 考点3: 用尺规作直线的垂线 1. 过直线上一点作已知直线的垂线： 作法： ①以P为圆心，任意长为半径画弧，交l于A，B两点. ②作线段AB的垂直平分线CD，直线CD即为直线l的垂线. 2. 过直线外一点作已知直线的垂线 作法： ①以P为圆心，适当长(一定要大于点P到直线l的距离)为半径画弧，交l于A，B两点 ②作线段AB的垂直平分线CD，直线CD即为直线l的垂线 · 用尺规作线段AB的垂直平分线时，半径是大于AB的任意长度，原因是只有当半径大于AB时，两弧才能有两个交点. 练习2. 1. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为(　 　). A.40° B.45° C.50° D.60° 2. 已知一条线段长为a，求作等腰直角三角形ABC，使它的斜边长为a. (不写作法，保留作图痕迹) 考点4: 三角形三边垂直平分线的性质 1. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 2. 符号语言：若直线m，n，l分别是△ABC的边BC，AC，AB的垂直平分线，则直线m，n，l相交于一点P，且PA＝PB＝PC. · 三角形三边垂直平分线交点的位置： 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 交点位置 三角形内部 三角形斜边中点处 三角形外部 练习3. 1. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(　 　). A．三条高的交点　　 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点　 D．三条边的垂直平分线的交点 2. 如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是(　 　). A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 巩固练习： 1. 数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l处一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形，其中作法错误的是(　 　). A. B. C. D. 2. 如图，将Rt△ABC过点B折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，折痕为BD，现有以下结论： ①DE⊥AB；②BC＝BE；③BD平分∠ABC；④△BCE是等边三角形；⑤BD垂直平分EC 其中正确的有(　 　). A.①②③ B.②③ C.①②③④ D.①②③⑤ 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断下列结论错误的是(　 　). A.∠BDE＝∠BAC B.∠BAD＝∠B C.DE＝DC D.AE＝AC 4. 如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在(　 　)的垂直平分线上． A. AB B. AC C. BC D. 不能确定 5. 点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，OA＝8，则OA＋OB＋OC的值是(　 　). A. 11 B. 16 C. 24 D. 64 6. 有两个村庄P，Q种植了大量猕猴桃.为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路m旁建立公用移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在(　 　). A.A处 B.B处 C.C处 D.D处 7. 如图，y轴垂直平分线段AB，C为y轴正半轴上一点，D是线段OC上一点，且AD⊥BD，若C(0，4)，AC=5，则阴影部分的面积是(　 　). A. B. 2 C. D. 3 8. 在△ABC中，AB＝AC，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝ . 9. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠BAC＝82°，则∠OBC的度数为 . 10. 如图，已知A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3)，若点P是△ABC三边垂直平分线的交点，则点P的坐标为 ． 11. 如图，将ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，若点B的坐标为(3，－1)，点C的坐标为(2，2)，则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为 ． 12. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点M，N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为4cm/s，点N的速度为6cm/s，当点M，N第一次相遇时停止运动.设点M，N的运动时间为t(t＞0)秒，当线段MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时，t的值为 13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D，F分别为AB，AC的中点，且DE⊥AB，FG⊥AC，点E，G在BC上，BC＝18cm，求线段EG的长. 14. 如图，在△ABC中，D是边AC，AB的垂直平分线的交点.若∠DCA＝30°，∠DAB＝50°，求∠DCB的度数. 15. 如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等. 16. 如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作一个等腰直角△ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法) 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $