精品解析：湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期入学考试数学试题 一、单选题 1. 集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合与集合的解集，然后求它们的交集，由此得出正确选项. 【详解】集合A中的范围是，集合中的范围是，故，所以选A. 【点睛】本小题主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法，考查集合交集的求法.属于基础题. 2. 复数（ ） A. B. i C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算及乘方运算计算得解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 3. 设点，，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出和的值，即可求解. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， 而，， 所以或. 故选：A. 4. 已知的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的导函数图象确定导数值为正、为负的区间，由此确定函数的单调性即可得解. 【详解】观察的图象得，当时，或，当时，， 于是得在和上都是单调递减的，在上是单调递增的，只有D选项符合上述条件. 故选：D 5. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先利用关系式，求出公差，进而用等差数列求和公式即可求出答案. 方法二：利用等差数列的性质即为等差数列求解. 【详解】方法一：由题意得：，， 则等差数列的公差， 则，， 所以. 方法二：因为等差数列的性质即为等差数列， 则，得，解得. 故选：C 6. 一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转一周.它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，点离地面距离与时间之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设出函数解析式，再根据给定的条件求解其待定系数作答. 【详解】以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为y轴，该直线与地面的交点为原点，建立坐标系，如图， 依题意，设函数解析式为， 显然，则，， 函数的周期，则，因当时，，即有，则， 于是得， 所以点离地面距离与时间之间的函数关系式是. 故选：C 7. 现有5名毕业生去枣庄三中、枣庄八中、滕州一中三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录取情况种数是（ ） A. 420 B. 390 C. 360 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及平均分组问题求解. 【详解】①当5人中有三人被录取，则不同的录取情况数为， ②当5人中有四人被录取，则不同的录取情况数为， ③当5人全部被录取，则不同的录取情况数为， 综上不同的录取情况数共有种. 故选：B. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，，再证明，即得解. 【详解】因为，又，所以， 又，所以， 因为，所以， 因为， 所以. 故选：D. 二、多选题 9. 已知正数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：利用“1”的妙用，即可判断；对于B：利用基本不等式即可判断；对于C：利用配凑思想，根据基本不等式即可判断；对于D：利用基本不等式即可判断； 【详解】对于选项A：， 当且仅当，即时取等号，故选项A错误； 对于选项B：因为，则， 当且仅当，即时取等号，故选项B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾， 故，故选项C错误. 对于选项D：由选项A可知，所以， 当且仅当，即时取等号，故选项D正确； 故选：BD. 10. 在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱 上一点，且，，为线段的中点，给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 与是异面直线； B. 三棱锥的体积跟的取值无关； C. 当时，； D. 当时，过，，三点的平面截正方体所得截面的周长为． 【答案】BD 【解析】 【分析】由为的中点，得到，可判断A；由到平面的距离为定值，且的面积为定值，根据可判断B；当时，根据可判断C；由时，得到三点的正方体的截面是等腰梯形可判断D． 【详解】在中，因为为的中点，所以， 所以与共面，所以A错误； 由，因为到平面的距离为定值，且的面积为定值， 根据可知三棱锥的体积跟的取值无关，所以B正确； 当时，可得为的中点，为的中点， ， 则，所以不成立，所以C不正确； 当时，在上取点E，使，连接， 根据正方体的性质可知，，故过，，三点的平面截正方体所得截面为， 由知截面是等腰梯形，      所以平面截正方体所得截面的周长为， 所以D正确． 故选：BD 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，那么（ ） A. 若PA与C相切，则PB也与C相切 B. C. 若点P在x轴上，则为定值 D. 若点P在x轴上，且满足，则直线l的斜率绝对值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过证明过焦点弦两个端点的切线的交点在抛物线的准线上判断A，根据以为直径的圆与抛物线的准线相切判断B，设直线的方程为：，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，计算出判断C，推导出，可得轴为的平分线，即可得到，设直线的倾斜角为，利用焦半径公式求出，从而判断D. 【详解】依题意，不妨设点在第一象限， 抛物线的焦点为，准线方程为， 对于A：设，， 依题意可得过，两点的抛物线的切线不与坐标轴垂直， 不妨设过的抛物线的切线方程为：， 即， 由，有， 所以， 又，整理得，解得， 所以过的抛物线的切线方程为：，整理得， 同理可得过的抛物线的切线方程为：， 设两切线的交点为，由， 可得， 设直线的方程为：，由有， 所以，，则， 所以， 即两切线的交点在抛物线的准线上， 所以若与相切，则也与相切，故A正确； 对于B：设的中点为，由，则，则， 又，所以到准线的距离， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相切， 又点在的准线上，所以，故B正确； 对于C：依题意可得，所以，， 所以 ，显然不是定值，故C错误； 对于D：因为 ， 所以轴为的平分线， 根据角平分线定理可得， 设直线的倾斜角为， 则，， 所以，解得，所以， 则直线的斜率为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 三、填空题 12. 在中，角所对的边分别为，若，，则的取值范围是____. 【答案】. 【解析】 【分析】 由正弦定理边角互化，再经过三角恒等变形为，根据角范围，求三角函数的值域. 【详解】由正弦定理可得，所以，，则 .又，则，即，所以，即的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理边角互化，三角恒等变形，三角函数求值域，意在考查转化与化归的思想，本题的关键是正确化简. 13. 函数的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】换元，化简得，再换元得，令，利用得出最大值与最小值，进而得到的值域，即可得解. 【详解】因为， 令，则， 由于是奇函数且周期为，只需考虑 （值域对称）. 令，，则，（时，） 变为， 令， 对求导得： ，， 令，得或， 当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 当时，， 当时， 的最大值是， 的最大值为， 由于是奇函数， 故最小值为， 值域为，即的最大值为. 故答案为： 14. 从1，2，，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数求所有的可能性，再求符合条件的可能，结合古典概型运算求解. 【详解】从1，2，，11中任取三个不同的数，则不同的组合有共有种， 能构成等差数列不同的组合的有种， 所以这三个数可以构成等差数列的概率为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的极值. 【答案】（1）；（2）极大值，极小值. 【解析】 分析】（1）求出导函数，得切线斜率，由点斜式得切线方程，化简即可； （2）由导数确定函数的单调性后可得极值． 【详解】解：（1）因为 所以即 又因 所以函数在处的切线方程为. （2）因为 令，或 ， 所以，在，单调递增，在单调递减 所以时取极大值，时取极小值. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱的中点．证明： （1）平面； （2）平面平面； （3）求平面与平面所成角的余弦值 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明，，两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法证明平面的一个法向量与垂直，进而即可证明结论； （2）结合（1），先证明平面的一个法向量与平面的一个法向量垂直，进而即可证明结论． （3）求平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 因为平面，且平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量，且，， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为， 所以，所以平面平面. 【小问3详解】 由（1）可知：，， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 因为， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知等差数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式列方程组，求解，即可得通项公式；（2）利用错位相减法代入计算的前项和. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，设等差数列的公差为， 所以，所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得，∴， .∴.∴ 18. 双曲线经过两点和． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点直线交双曲线于两点，为左焦点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点，求直线过定点． 【答案】（1）; （2）定点 【解析】 【分析】(1) 利用分类讨论，结合待定系数法求解即可； (2) 利用设交点坐标，利用方程组结合韦达定理求解另一个交点坐标，然后代入动直线的方程，得到交点的直线方程，再结合直线经过的点，可求得动直线必过的定点. 【小问1详解】 设双曲线方程为：，代入两点可得： ，解得：， 又设双曲线方程为：，代入两点可得： ，解得：，显然这组解不成立， 综上双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 设，由（1）知， 则直线方程为：，直线方程为：， 由直线方程与双曲线方程联立可得： ，消可得：， 整理得：， 即， 又因为， 则， 所以， 则， 即点，同理可得：点， 设直线的方程为：，把点的坐标代入可得： ， ， 同理，把点的坐标代入可得：， 即直线方程必过点， 即此方程就是直线方程，又因为直线过点， 则有， 则直线的方程必过定点. 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（，简称）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称开启了我国新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 报名情况 性别 合计 男生 女生 报名 未报名 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为n的概率为. （i）求证：是等比数列；（ⅱ）求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 【答案】（1）列联表见解析，能 （2）①；②（i）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件完成列联表，零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关，求出，与参考数据比较可得答案； （2）①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为1，2，3，…，m，求出相对应的概率，利用期望公式求出期望，再利用错位相减求和求出；②求出， 根据递推式求出数列是等比数列，求出. 分n为奇数、n为偶数讨论可得答案. 【小问1详解】 因为，所以报名参加答题活动人数为， 又因为，所以报名参加答题活动的男生人数为，女生人数为， 又，所以样本中男生人数为，女生人数为50，得到列联表为： 报名情况 性别 合计 男生 女生 报名 20 35 55 未报名 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于； 【小问2详解】 ①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值 为1，2，3，…，m， 其中， 所以. . 所以， 所以 . 即甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望为； ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意可得， 当时，由全概率公式，， 因为，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，故时， ， 因为也符合上式，所以. 当n为奇数时，，当n为偶数时，， 所以的最大值在n为偶数时产生，又当n为偶数时， 随着n的增大而减小， 所以当时，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期入学考试数学试题 一、单选题 1. 集合，，则 A. B. C. D. 2. 复数（ ） A. B. i C. D. 1 3. 设点，，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 以上都不对 4. 已知的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. 一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转一周.它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，点离地面距离与时间之间的函数关系式是（ ） A B. C. D. 7. 现有5名毕业生去枣庄三中、枣庄八中、滕州一中三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录取情况种数是（ ） A. 420 B. 390 C. 360 D. 300 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9 已知正数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱 上一点，且，，为线段的中点，给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 与异面直线； B. 三棱锥的体积跟的取值无关； C. 当时，； D. 当时，过，，三点的平面截正方体所得截面的周长为． 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，那么（ ） A. 若PA与C相切，则PB也与C相切 B. C. 若点P在x轴上，则为定值 D. 若点P在x轴上，且满足，则直线l的斜率绝对值为 三、填空题 12. 在中，角所对的边分别为，若，，则的取值范围是____. 13. 函数的最大值为__________. 14. 从1，2，，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为____________. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的极值. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱的中点．证明： （1）平面； （2）平面平面； （3）求平面与平面所成角的余弦值 17. 已知等差数列前n项和为. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 双曲线经过两点和． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线交双曲线于两点，为左焦点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点，求直线过定点． 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（，简称）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称开启了我国新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 报名情况 性别 合计 男生 女生 报名 未报名 合计 100 （2）网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为n的概率为. （i）求证：是等比数列；（ⅱ）求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $