江苏南通市通州区2026届高三下学期期初测试数学试卷

1/7 高三年级数学参考答案与评分建议 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 题号 2 3 5 7 8 答案 A B D B C B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 题号 9 10 11 答秦 ABD AC BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.16 13.5 14.2ln2+1 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.(13分) 【解】(1)需求量x可取200,300,500，则 P(X=200)= 2+161 30×3=5 …2分 Px=30-03号 …4分 P(X=500)= 25+7+42 30×3 S. 则分布列为 X 200 300 500 1 P 5 2-5 …6分 (2)由题意可知，n≤500，且n∈N, ①当n≤200时，Y=n(6-4)=2n, 所以当n=200时，Y=400. …8分 ②当200<n≤300时.y=号x(2)+5200x2+a-200x-2列 _8m+800-2n_6n+800 =一1十 5 5 所以当n=300时，Yn.=520. …10分 ③当300<n≤500时， y=[200x2+(m-200)-(-2]+2300×2+(a-300(-2]+2xnx2 参考答案与评分建议第！页共7页 3200-2n 5 此时Y<520. …12分 综上，当n=300时，Y取到最大值为520. …13分 16.(15分) 【解】(1)连接OD,OE, 在△OCD巾，由余弦定理可知， 0D=0C2+DC2-20C.DCc0s号=4+1-2×2x号3， 得OD=5,同理，OE=√3. …2分 在△POD中，己知P0=V6,OD=5,PD=3,且P0+OD?=PD', 故POLOD, 同理，PO⊥OE. …4分 又因为OD∩OE=O,OD,OEc平面BCDE, 所以PO⊥平面BCDE. …6分 (2)取DE中点M,以OC,OM,OP为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 c20,0,P0,06,D390. …8分 -2.061.西=(90. 设平面PCD的一个法向量4，=(：y), 则nCP=0,h·CD=0, 即-25+6=0，+9%=0， 令x=V6,则y=V2,=2, 图2 所以m=(6,√2,2)是平面PCD的一个法向量. …11分 又因为m,=(0,1,0)是平面PCB的一个法向量， …12分 设平面PCD与Ψ面PCB所成角为B, 则1cos9HAi:256, 参考答案与评分建议第2页共7页 得sin0=V1-cos'g=V30 6 故二面角B-PC-D的正弦值为3 …15分 6 17.(15分) 【解】（1)证明：因为DC-2AB,所以Ia1c, y=kr+b 设lay=x+6,loc:y=la+b,联立 x'=4y 得x2-4c-46=0,则x,+x2=4k. 因为M为线段AB的屮点，所以xw=2k,y=2k°+， 。3分 同理，联立1c与曲线B,可知xy=2k,yw=2k2+b, 故xM=xw,即得证直线MW垂直于x轴. …5分 (2)因为直线AB经过曲线E的焦点F,所以Ia:y=+1, 联立lB与曲线E,得x2-4-4=0,则xu+x=4k,xxg=-4, 4B+k+x-4xx=4+k). 同理，1DC卡V1+kIxn-xc上4W+kVk+b,. …8分 因为DC上21AB1,所以4W+k√R2+b,=81+k'), 得b=3k2+4. 所以M(2k,2k2+1),N(2k,5k+4). …10分 又因为DC=2AB,所以AB为△PCD的中位线， 则P到In的距离，即为N到Ia:y=+1的距离d, d=15k+4-2k2-=3+R. …12分 √1+k2 而Sau-引4Bd-24+k)-3W1+R-61+k'3, 当k=0时，SAn取得最小值为6. …15分 参考答案与评分建议第3页共7页 18.(17分) 【解】（1)f(r)的定义域为R,导函数f'(x)=x(e-a). …】分 ①当a≤0时，c-a>0, 令'(x)<0,得x<0:'(x)>0,得x>0, 所以∫(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增. …2分 ②当a>0时，由(x)=0,解待x=0或x=ln(2a), （i)若h(2a)=0,a=3,x≥0恒成立， (x)在(o,+∞)上单调递增. …3分 (i)若n(2a)>0,a>2, 令f'(x)<0,得0<x<1n(2a):f'(x)>0,得x<0或x>ln(2a), 所以f(x)在(0，ln(2a)上单调递减： 在(-o,0)和(ln2a),+o)上单调递增. …4分 (i曲)若h(2a)<0,0<a<克 令f'(x)<0,得n(2a)<x<0: f'(x)>0,得r<ln(2a)或x>0, 所以f(x)在(n(2a),0)上单调递减： 在（∞，h(2a)和(0，+o)上单调递增。 …5分 (2)①(1)当a=0时，f(x)=(x-I)e*,(x)有唯一零点x=1,不符合题意. …6分 (i)当a=)时，)在(-m,+o)上单调递增， 所以(x)至多一个零点，不符合题意， …7分 ()当0<a<2时，f飞在{0,0)上恒负： f(x)在(0，+o)上单调递增， 所以(x)至多一个零点，不符合愿意， …8分 (iv)当a>时，在（←o,ln2a》上f(x)f0)=-l<0: ∫(x)在(n(2a),+o)上单调递增，至多一个零点，不符合题意. …9分 （v)当a<0时，(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 且图像不间断。 参考答案与评分建议第4页共7页 因为f(0)=-1<0.f)=-a>0. 所以∫(x)在(0，+∞)上存在唯一零点. 因为当x<0时，0<c<1,x-1<0, 所以f(x)>x-1-ar2>x-ar2=x1-ax), 令x-1-ar2=0,解符x=-1±-4. -2a 则r+=40)>0. 2a 又因为∫(x)在(-∞，0)上单调递减，f(0)=-1<0. 所以∫(x)在(-0,0)上存在唯一零点. 综上，若fx)存在两个零点时，a∈(o,0). …11分 ②由①可知，<0<名 要证：号+站>0， 只需证：x+x<0. …12分 设g(x)=f(x)-f(-),x>0,则 g(x)=(x-1)e+(x+l)e, 所以g'(x)=x(c-c). 当x>0时，g'(x)>0,g(x)在(0，+∞)上单调递增. 因为g(0)=0,所以8(x)>0. …14分 所以f(x)>f(-x), 所以(x)>(-x). 因为f(x)=(x)=0, 所以(x)>∫(-x). 因为x>0,所以-x<0, 又因为(x)在(-0,0)上单调递诫， 所以x<-名，即为1+<0. 所以号+安>0成立。餐证。 …17分 19.(17分) 【解】(1)因为{a}为“0型”数列，所以5，-，， 2 当n=1时，4=89，又4=1，所以a,=2, 2 参考密案与评分建议第5页共7页 当n=2时，4+4，=9，所以4，=3， 当n=3时，a+a,+4,=,9,所以a,=4. …3分 2 (2)因为包，}为“长型”数列，英巾<0.所以=2受+， 当n≥2时，31=8+k,两式相诚，得2a,=0,.(a4-0) …4分 2 因为a1=1,所以a=2-2k, 因为k<0,所以a>0. …5分 所以a,=3,a=2-2k>0, 以此类推，0nT0,所以01-a=2, 所以数列{a}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列， 所以a,=了 n,n为奇数， n-2k,n为偶数. …7分 (3)①当k<1时，a=2-2k>0,住(2)可知，数列{a}中没有0项.…9分 ②当k≥1时，且k不是整数时，4=2-2k≠0， 则a1=3,a1=4-2k40, 以此类推，a。≠0恒成立， …11分 当k≥1时，且k是整数时，假设a,是数列{a,}中第一个为0的项， 则当n≤i时，a,= n,n为资数， n-2k,n为阀数. 所以a,=i-2k=0,1=2k. …13分 因为2a,=a,(a4-a-),a,=0, 所以a可取任意数. 令a=0,同理，a,可取任意数， 令a,=0,以此类推，a,之后的项都可以取0. …15分 当n>i时，Sn=a,+a+…+a+a.1+…+an =a1+a3++0- =(1+3+…+1-1)+(2-2k+4-2k+…+1-2-2k) =0+2+3+…+1-)-2k+k+…+创x号 .09=k=+2受. 2 2 态考容案与评分速议第6页共7页 所以当k∈N时，数列{a)中可以存在从a,开始的项都为0. 所以k的取值华合为正整数集N”,高三年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知复数z= 2 V3+i ,则川z= A.1 B.√5 C.2 D.5 2.已知集合M=(-1,3),N=(0,+∞)，则集合（-1,0= A.(CRM)ON B.Mn(CRN) C.CR(MUN) D.CR(M∩N) 3.设直线1,1，的倾斜角分别为日，日2，斜率分别为k,k2,则“日>，”是“k>k”的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知向量a,b满足a-b>0,a在b上的投影向量为c,c在a上的投形向量为a,则 a与b的夹角为 A.30° B.45° C.60° D.90° 5.已知cos(2a+3=名，则sin(a-需+cosa= A. B. c.号 D.号 6. 已知f心倒是定义域为R的偶函数，且fc+)是奇函数，》=2，则上f)= A.-2 B.2 C.-4 D.4 7.已知三棱柱ABC-AB,C的棱长均为2，A在底面ABC内的射彩为△ABC的中心，则 A到平面BCC,B,的距离为 A.1 B.√2 C.5 D.2 8. 已知a,a,a,a,成等比数列，且a,=2,e++o+a=a,+a2+a,则 A.a<a B.a<a3 C.az>a3 D.as>a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知双曲线C-卡=b>0)的左、右焦点分别为不，A,以5R为直径的圆与C 的一个交点为P,且P=2PF引，则 A.IPF4 B.C的离心率为√5 C.C的渐近线方程为y=士号x D.分别以PR,PE,为直径的圆的公共弦长为4y5 I0.设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(0=,P(B)=子，P(A+B)=言，则 A.A,B是相互独立事件 B.事件A,B互斥 C.P(A+B)=P(B) D.P(BI A)=P(AI B) 11.已知函数f(x)=cosr·sin2o,则 A.f(x+1)=f(x) B.f(1-x)=f(x) C.f(x)的值域 [9g] D.f)在-号】上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若x,为2，x的方差为4，则2(：-2)，2（化22），…，2(3-2)的方差为 13.已知△ABC的面积为1，tanA=),tanB=-2,则AB= 14.已知斜率为-1的直线与曲线y=e-x(x>0),y=1-x-nx分别相交于A(:,), B(名，y2)两点，则2x+x的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骠。 15.（13分) 某餐饮连锁店计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每听4元，售价每听 6元，未售出的饮料降价处理，以每听2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天 需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500听；如果 最高气温位于区间[20,25)，需求量为300听：如果最高气温低于20，需求量为200听.为了 确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) 25,30) [30,35) [35,40) 天数 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 (1)求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：听)的分布列： (2)设六月份一天销售这种饮料的利润为Y(单位：元)·当六月份这种饮料一天的 进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 16.(15分) 如图1，在正三角形ABC中，BC=4,D,E分别是AC,AB上的点，CD=BE=1, O为BC的中点.将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥P-BCDE,使得PO=√6. (1)证明：PO⊥平面BCDE: (2)求二面角B-PC-D的正弦值. B D E B E A 图2 图1 试卷共4页 第3页 17.(15分) 已知点A,B,C,D都在抛物线E:x2=4y上，且DC=2AB,线段AB,CD的中点分别为 M,N. (1)证明：直线MW垂直于x轴： (2)直线AB经过曲线E的焦点F,直线AD与BC相交于点P,求△PAB面积的最小 值. 18.(17分) 设函数f(x)=(x-1)e-arx2. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)有两个零点x,x2,且x<x2· ①求实数a的取值范围： ②证明：六+六 ⊥+⊥>0 19.（17分) 设无穷数列{a}的前n项和为S,若a,=1,S。=u1+k,keR,则称数列{a,}为 2 “k型”数列 (1)若数列{an}为“k型”数列，且k=0,求a,a,a的值： (2)若数列{an}为“k型”数列，且k<0,求数列{an}的通项公式： (3)若“k型”数列{an}中可以存在无穷多项为0，求k的取值集合.