精品解析：江苏如皋市2025-2026学年度高一上学期期末考试数学试题

2025-2026学年度高一年级第一学期期末考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合．若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为（ ） A. 6 B. C. D. 5. 已知与图象交点的横坐标为，则所在区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. -2 7. 已知正数满足，则最小值为（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 8. 已知，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的值域为 D. 的增区间为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的奇函数在上为减函数，且为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于对称 B. C. 的解集为 D. 若，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 13. 如图，四边形中，等边三角形，，则______ 14. 记集合中元素个数为．已知集合．若，则___________；若，则可能值的集合为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知，，． （1）当时，求的解集； （2）求值域． 16. 已知． （1）求最大值； （2）证明：方程有两个不等正根． 17. 已知是奇函数． （1）求的值； （2）证明：是增函数； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知和为的两条对称轴，的最小值为．将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象． （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）设，若，，使得，求的取值范围． 19. 设的定义域为，如果，使得，都有，，那么称为上的“函数”． （1）判断和是否是“—函数”，并说明理由； （2）已知“—函数”，其中． ①当时，求； ②当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一年级第一学期期末考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合．若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，， 所以. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法，得出的等价条件，再分析充分性和必要性，即可得出结论. 【详解】由于，则成立，等价于成立， 充分性：若，且，则，则， 所以成立，满足充分性； 必要性：若，则成立， 其中，且， 则可得成立，即成立，满足必要性； 故选：C. 3. 已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以，即； 设向量与向量的夹角为，则， 因为，所以. 4. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为圆心角为， 所以. 5. 已知与图象交点的横坐标为，则所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为方程解的问题，进一步可转化为求函数的零点问题，利用零点存在性定理即可得解. 【详解】令，则由题意知， 因为， ，， 又函数在上的图象是一条连续不断的曲线， 所以函数在区间内有零点，即方程有解， 所以函数与图象交点的横坐标所在的区间是． 6. 已知，，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. -2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，① 所以， 解得，又， 所以， 又， 所以，② 联立①②解得， 所以. 7. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为， 所以，即，， 则， 当且仅当，即时等号成立. 8. 已知，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的值域为 D. 的增区间为 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数解析式计算判断A，根据特例判断B，函数写成分段函数，根据正弦型函数性质判断CD. 【详解】因为， 所以，故A错误； 因为， 即，所以B错误； 因为， 所以当时，， 当时，，所以函数的值域为，故C正确； 由可知， 的增区间为，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可判断角的终边落在第三象限，求出，，利用诱导公式即可得解. 【详解】点的纵坐标为，且． 角的终边落在第三象限， 又，（负根舍去）， ，， ，，， 所以AD正确，BC错误. 10. 在中，，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 11. 定义在上的奇函数在上为减函数，且为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于对称 B. C. 的解集为 D. 若，且，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据偶函数性质及函数图象的对称性判断A，利用周期性判断B，根据单调性及周期性判断C，利用对称性及基本不等式判断D. 【详解】因为为偶函数，所以，即，故函数的图象关于对称，故A正确； 由，用替换可得，故，即函数周期，所以，由函数是上的奇函数知，故B正确； 因为在上为减函数且，所以当时，，又函数周期为，所以函数在时，，所以，所以C错误； 因为函数图象关于对称，且 ，，所以， 故，当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出幂函数，再由幂函数有意义列出不等式组求解. 详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 13. 如图，四边形中，为等边三角形，，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 如图，建立平面直角坐标系， 又为等边三角形，所以， 则， 所以， 则. 14. 记集合中元素个数为．已知集合．若，则___________；若，则可能值的集合为___________． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】根据集合的新定义，当时直接计算得解；当时可得或，分别讨论求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 所以； 由，，可得或， 当时，由于是方程的一个根，则，因此方程无实根，即； 此时方程变为，也无实根，故即方程只有1个根， 此时满足题意； 当时，即方程有3个根， 因为时方程只有1个根，所以，此时，各有1个根， 且都不满足方程， 所以有相等实数根，即，解得， 综上可知，可能值的集合为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，． （1）当时，求的解集； （2）求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算求出，解三角不等式求解即可； （2）利用换元法，转化为二次函数在上求值域即可. 【小问1详解】 因，， 所以 所以， 因为，所以, 因为，所以， 所以的解集为 【小问2详解】 令，， 则，， 在上单调递减，在上单调递增，，， 所以，， 所以的值域为. 16. 已知． （1）求的最大值； （2）证明：方程有两个不等正根． 【答案】（1）4 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据复合函数的单调性判断函数的单调性，进而求解即可； （2）令，分，两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 因为， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减， 则时，取得最大值4. 【小问2详解】 令， ①当时，，方程无解； ②当时，， 当时，，，则， 根据零点存在定理，连续函数在上有零点， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增，则在上只有一个零点； 同理，当时，，，则， 根据零点存在定理，连续函数在上有零点， 因为在上单调递减， 则在上单调递减，即在上只有一个零点. 综上所述，函数在时有两个零点， 所以方程有两个不等的正根. 17. 已知是奇函数． （1）求的值； （2）证明：是增函数； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数恒成立求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数的单调性与奇偶性得，进而得，再结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 解：因为是奇函数， 所以， 所以， 所以 【小问2详解】 证明：由（1）得， 设为上任意两个实数，且， 因为，， 所以，即，所以是增函数 【小问3详解】 解：因为是奇函数，， 所以 因为是增函数，所以， 所以 因为，当且仅当时取等号， 所以， 所以实数的取值范围为 18. 已知和为的两条对称轴，的最小值为．将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象． （1）求的解析式； （2）若，求的值； （3）设，若，，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意求得函数的最小正周期，从而求得的值，根据，求出，从而得到的解析式，再根据图象变换法则求得的解析式； （2)根据诱导公式及同角三角函数关系式可求得的值； （3）由题意得，.根据函数单调性，分别求得的取值范围，从而求得的取值范围． 【小问1详解】 因为的最小值为，所以函数的最小正周期. 所以，所以 因为，所以 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以. 由题意可得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， . 所以. 【小问3详解】 由题意得，. ，单调递增， 所以. 当时，，. ①当时，，不成立，所以不合题意； ②当时，，所以，解得； ③当时，，所以，解得. 综上，的取值范围为. 19. 设的定义域为，如果，使得，都有，，那么称为上的“函数”． （1）判断和是否是“—函数”，并说明理由； （2）已知“—函数”，其中． ①当时，求； ②当时，求的值． 【答案】（1）是“函数”，不是“函数”，理由见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据新定义分别判断是否为“—函数”即可； （2）①当时，利用二次函数的单调性求出函数在定义域上的最大最小值即可求解； ②根据二次函数对称轴分类讨论，求出函数最大最小值，利用最大值与最小值之差为4求解. 【小问1详解】 是“函数”,理由如下： 因为， 即，使得恒成立， 所以，即是“函数”； 不是“函数”，理由如下： 假设是“函数”，而，则存在正数，使得， 取，则，矛盾， 所以不是“函数”. 【小问2详解】 ①当时，在上单调递增， 所以， 所以. ②若，则在上单调递增， 所以，解得； 若，则在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，， ，因此，解得； 若，则在上单调递增， ，而，， 所以，解得 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $