专题06 三角形的中位线与重心重难点题型专训（2个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题06 三角形的中位线与重心重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 利用三角形中位线求线段长 题型二 利用三角形中位线求角度 题型三 三角形中位线与三角形面积 题型四 与三角形中位线有关的证明 题型五 三角形中位线的实际应用 题型六 重心的概念 题型七 重心的有关性质 题型八 中点四边形 题型九 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 题型十 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十一 四边形中的线段最值问题 题型十二 四边形其他综合问题 拓展训练一 三角形中位线辅助线的添加问题 拓展训练二 三角形中位线的大题综合 拓展训练三 利用三角形中位线求最值 知识点一：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，是的中位线，若，则的长为（    ）． A．2 B．4 C．5 D．8 2．（24-25八年级下·上海杨浦·课后作业）连接三角形_____________的线段叫做三角形的中位线． 三角形的中位线_____________第三边，并且等于第三边的_____________． 知识点二：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，菱形中，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，作射线，交边于点，则四边形形状的变化依次为（      ） A．平行四边形正方形平行四边形矩形 B．平行四边形正方形矩形菱形 C．平行四边形矩形平行四边形菱形 D．平行四边形菱形正方形矩形 2．（24-25八年级下·上海松江·月考）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如上所示的关系图，则（4）处可以填写的条件是_____． 【经典例题一 利用三角形中位线求线段长】 【例1】（24-25八年级下·上海普陀·期末）如图， ， 以为邻边作， 连接， 则线段长为（    ） A． B． C． D．3 【例2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在菱形中，，，P是边上的一点，E、F分别是、的中点，那么线段长为__________． 1．（25-26八年级下·上海长宁·期中）已知直角三角形的两直角边长分别为和，连接这两边中点的线段长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海闵行·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则连接两条直角边中点的线段长为______． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知：线段，点为上一动点（不与，重合），分别以，为边，在线段的同侧作等边和等边，连接， (1)如图1，若，为边上的高， ①求的长； ②求证：四边形为矩形； (2)只用无刻度的直尺，在图2中作出的中点，不写作法，保留作图痕迹； (3)在（2）的条件下，当的长取最小值时，的长为______（直接写出结果）． 【经典例题二 利用三角形中位线求角度】 【例1】（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，连接、若是的中位线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形中，，取的中点，的中点，连接、，，则的度数为_____． 1．（2025八年级下·上海杨浦·专题练习）如图，在中，点分别为边的中点，是高．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北雄安·期末）如图，在四边形中，分别是的中点． （1）若，则__________； （2）若，则的度数为__________． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点，． 【用数学的眼光观察】 （1）求的度数． 【用数学的思维思考】 （2）如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求的度数． 【用数学的语言表达】 （3）如图，在中，，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的度数． 【经典例题三 三角形中位线与三角形面积】 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 _______． 1．（25-26八年级下·河南·月考）如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，中，、、分别是、、的中点，、、分别是线段、、上的点，且，，与交于点，如果四边形面积是，四边形的面积是，则的面积是___________．      3．（24-25八年级下·河北邯郸·开学考试）中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，利用上述结论求的面积． 【经典例题四 与三角形中位线有关的证明】 【例1】（2026九年级·上海杨浦·专题练习）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 【例2】（25-26八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中，各点始终在同一平面内，下列说法错误的是（    ） A．四边形的形状为平行四边形 B．四边形的面积始终在变小 C．四边形的面积是四边形面积的 D．四边形的周长等于四边形的对角线之和 2．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是____________；四边形的周长是______ 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，和相交于点．，分别为，上的动点，且满足．连接和，以为边作正方形，和相交于点，连接，，． 【基础探究】 （1）探究在点，的运动过程中，四边形的形状，并说明理由； 【深入研究】 （2）探究线段，的关系，并说明理由． 【经典例题五 三角形中位线的实际应用】 【例1】（24-25八年级下·山西临汾·期中）2025年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【例2】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为________； 1．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝________ 3．（25-26八年级下·上海杨浦·阶段练习）某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【经典例题六 重心的概念】 【例1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东泰安·月考）如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是_____．    1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 2．（25-26八年级上·福建莆田·期末）如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长为6.8米，高始终与水平地面垂直．现有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面推送至重心处在适当位置时，无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱．此时，正方体货物点H到直线的距离为1米，则正方体货物点G到直线的距离为____米． 3．（25-26八年级上·广东中山·期中）【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】若的面积为m，求的面积．（用含m的式子表示） 【经典例题七 重心的有关性质】 【例1】（2025·河北沧州·一模）如图，中，是中线，是上一点，作射线，交于点，若，则（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【例2】（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，点是的重心，如果，那么点与点的距离为__________． 1．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，已知G为的重心，且，，连结交于点D，则的面积是 （  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，，是三角形的重心，，过点的直线，则____． 3．（25-26八年级上·重庆大足·期末）在学习综合与实践活动一《确定简单平面图形的重心位置》时发现，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，下面我们进一步探究三角形重心的性质． 已知，点O是重心． 【探究】 （1）如图1，若的面积为m，则___________，___________； （2）在（1）的条件下，试猜想，，的值，并选择其中一个说明理由． 【应用】 （3）如图2，在中，若交于点O，，，求四边形的面积． （4）已知的中线，，请直接写出面积的最大值． 【经典例题八 中点四边形】 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，为其对角线，连结各边中点得到四边形，则下列判断正确的是（    ） A．若，则四边形菱形 B．若，则四边形菱形 C．若，则四边形为菱形 D．若，则四边形为菱形 【例2】（25-26八年级下·上海杨浦·开学考试）如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 1．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①：再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2025个图形中直角三角形的个数有（   ） A．4052个 B．2025个 C．1013个 D．8100个 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是______________． 3．（25-26八年级上·江苏·假期作业）如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【经典例题九 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·开学考试）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．  B．  C．  D．   【例2】（24-25八年级下·湖南永州·期中）如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 1．（24-25八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·开学考试）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 3．（24-25八年级上·上海杨浦·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【经典例题十 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【例2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，____________________ 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第次相遇点的坐标是（   ）      A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                    （2） 3．（25-26八年级下·河北保定·月考）如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【经典例题十一 四边形中的线段最值问题】 【例1】（24-25八年级下·重庆北碚·开学考试）如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形中，，，，点、分别为边上的点、且，则的最小值是_____． 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，菱形中，，，E、F分别是、上的动点，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为_____________． 3．（25-26八年级下·新疆昌吉·期末）矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            【经典例题十二 四边形其他综合问题】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，四边形中，，且，则四边形周长的最小值是_______________________． 1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·月考）如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点N为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为 __．若点M，N，E在同一直线上，且点H到的距离与到的距离相等，则印章区域的面积为 __． 3．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 【拓展训练一 三角形中位线辅助线的添加问题】 【例1】（24-25八年级下·山东德州·期末）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（    ） 小丽的辅助线作法： 延长DE到F，使EF=DE， 连接DC、AF、FC． 小亮的辅助线作法： 过点E作EBAB， 过点A作AFBC， GE与AF交于点F． A．小丽和小亮的辅助线作法都可以 B．小丽和小亮的辅助线作法都不可以 C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以 D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是______添加一个条件即可 1．（2025·河北邢台·二模）老师布置的作业中有这么一道题： 如图，在中，为的中点，若，．则的长不可能是（    ） A．5                 B．7                  C．8                  D．9 甲同学认为，，这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需构造一个特殊四边形，就可以解决关于三位同学的思考过程，你认为正确的是…（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 2．（24-25八年级下·上海杨浦·单元测试）如图，在中，，D，E，F分别是，，的中点，连接，，．如果_____________，那么四边形是正方形（要求：①不再添加辅助线；②只需填一个符合要求的条件）． 3．（24-25八年级下·江西吉安·期末）（1）课本再现 已知：如图，是的中位线．求证：，且． 定理证明 证明：如图1，延长至点F，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） （2）知识应用 如图2，在四边形中，，，，，点E，F，M分别是，，的中点，求的长． 【拓展训练二 三角形中位线的大题综合】 【例1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【例2】（25-26八年级下·吉林长春·月考）如图，在任意四边形中，分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形其中正确的序号__________． 1．（25-26八年级下·河南周口·期末）在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 2．（25-26八年级下·北京·期末）在中，，，D为平面内一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，取中点F，连接． (1)如图1，当点D在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D在内部时， ①依题意补全图2； ②判断与的数量关系，并证明． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期末）情境：图1是由一个边长为4的等边三角形纸片沿一条中位线去掉一个等边三角形后得到的“完美梯形”纸片．将该纸片通过裁剪，可拼接为新的等边三角形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）． 操作：嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪拼成了图2的等边三角形．嘉嘉沿虚线、、裁剪三刀，将纸片剪成①-④四块，再将①、③、④移动到新的位置进行拼接．根据嘉嘉的拼接过程解答下列问题： （1）的度数为 ， ； （2）直接写出图2中三条裁剪线、、的数量关系，并计算等边三角形的边长； 探究： （3）淇淇说：“将图1所示纸片沿过四边形顶点的直线裁剪，只剪两刀，分成三块，就可以拼成新的等边三角形”，请你按照淇淇的说法设计一种方案，在图3所示的纸片中画出两条裁剪线的位置（可以借助刻度尺、三角尺或圆规），并直接写出较长的裁剪线的长（若两条裁剪线长度相等，写出其长度即可）． 【拓展训练三 利用三角形中位线求最值】 【例1】（2025·北京·模拟预测）已知的两条中线与交于点，连接．若，，下列四个结论正确的是（   ） ①；②的最小值是；③的面积最大值是3；④； A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 【例2】（25-26八年级下·北京西城·月考）如图，是等腰直角三角形的边的中点，且是平面内一个动点，且与点之间的距离为2，连接，则的最大值为___________；将线段绕点逆时针旋转，得到线段，取线段的中点，连接，则的最小值为___________． 1．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，，分别为，，的中点，连接，，．将绕点在平面内自由旋转（如图）．若，，则面积的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 2．（25-26八年级下·上海闵行·月考）如图，在中，，，，是平面内一点，且，点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_______． 3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）在与中，，，．    (1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接，，则与的关系为________． (2)如果将图1中的绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断与的关系，并说明理由 (3)如图3，若，，连接，分别取，，的中点M，P，N，连接，，，将绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中的面积最大值和最小值． A基础训练 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定满足（    ）． A． B．正方形 C．菱形 D． 2．（25-26八年级下·山西晋城·期末）如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 3．（2025·湖南长沙·一模）已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，以此类推，则第2022个三角形的周长为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北衡水·月考）如图，等边三角形的边长为．动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及的边上一点D构成的四边形为平行四边形时，t的值为（    ） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或2 5．（24-25八年级下·浙江·单元测试）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，甲、乙两人有如下结论： 甲：若四边形是边长为1的正方形，则四边形必是正方形； 乙：若四边形为正方形，则四边形必是边长为1的正方形． 下列判断正确的是（   ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确 B 提高训练 6．（25-26八年级下·上海杨浦·课后作业）如图，在四边形中，、分别是、的中点．若，，，，则的长是_____________． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期中）点是的重心，若的面积等于6，_______________________． 8．（2025·山东临沂·一模）四边形的对角线，交点，点，，，分别为边， ，，的中点．有下列四个推断， ①对于任意四边形，四边形可能不是平行四边形； ②若，则四边形一定是菱形； ③若，则四边形一定是矩形； ④若四边形是菱形，则四边形也是菱形． 所有正确推断的序号是_____________． 9．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动（其中）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为______． 10．（2025·湖北十堰·模拟预测）【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则． 【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少_________（结果取整数，参考数据：）． C 培优训练 11．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，的平分线交于点，连接，若，，求的长． 12．（25-26八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 13．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）课本再现 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明 （1）请依据三角形中位线定理，将下列题目补充完整． 已知：如图1，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：______，______． （2）小陇为证明三角形中位线定理而添加了如图2的辅助线：延长到点F，使，连接，，．请你帮小陇完成证明． 14．（24-25八年级下·山西太原·月考）综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 15．（24-25八年级下·河南郑州·月考）定义：在凸四边形中，如果只有一组对角相等，我们把这类四边形叫作“奋进四边形”． (1)操作判断： 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“奋进四边形”的有______（填序号）； (2)性质探究： ①如图2，四边形是“奋进四边形”，，，，则的度数为______，的度数为______； ②如图3，四边形是“奋进四边形”，，，求证：； (3)四边形是“奋进四边形”，，，，，请直接写出对角线的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形的中位线与重心重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 利用三角形中位线求线段长 题型二 利用三角形中位线求角度 题型三 三角形中位线与三角形面积 题型四 与三角形中位线有关的证明 题型五 三角形中位线的实际应用 题型六 重心的概念 题型七 重心的有关性质 题型八 中点四边形 题型九 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 题型十 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十一 四边形中的线段最值问题 题型十二 四边形其他综合问题 拓展训练一 三角形中位线辅助线的添加问题 拓展训练二 三角形中位线的大题综合 拓展训练三 利用三角形中位线求最值 知识点一：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，是的中位线，若，则的长为（    ）． A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理，直接得出中位线与第三边的数量关系，进而求解．本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵ 是 的中位线， ∴ ∴ 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·课后作业）连接三角形_____________的线段叫做三角形的中位线． 三角形的中位线_____________第三边，并且等于第三边的_____________． 【答案】 两边中点 平行于三角形的 一半 【分析】根据三角形中位线的定义和性质填空即可． 【详解】解：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：两边中点；平行于三角形的；一半． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质，熟练掌握基础知识是解题的关键． 知识点二：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 【即时训练】 1．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，菱形中，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，作射线，交边于点，则四边形形状的变化依次为（      ） A．平行四边形正方形平行四边形矩形 B．平行四边形正方形矩形菱形 C．平行四边形矩形平行四边形菱形 D．平行四边形菱形正方形矩形 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，可得四边形形状的变化情况． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这个四边形先是平行四边形，当对角线相等时是矩形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是菱形． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，根据对角线的情况熟练判定各种四边形的形状是解题的关键． 2．（24-25八年级下·上海松江·月考）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如上所示的关系图，则（4）处可以填写的条件是_____． 【答案】或 【分析】本题考查正方形的判定，由四边形是菱形，且，可证明四边形是正方形；由四边形是菱形，且，可证明四边形是正方形，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形； ∵四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， ∴（4）处可以填写的条件是或， 故答案为：或． 【经典例题一 利用三角形中位线求线段长】 【例1】（24-25八年级下·上海普陀·期末）如图， ， 以为邻边作， 连接， 则线段长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】连接交于点O，取的中点M，连接，利用直角三角形斜边中线的性质，求出，由平行四边形的性质求得，，推出是中位线，据此求解即可． 【详解】解：连接交于点O，取的中点M，连接， 由条件可知，，， 是的中位线， ， ， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握以上知识点是关键． 【例2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在菱形中，，，P是边上的一点，E、F分别是、的中点，那么线段长为__________． 【答案】4 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，先根据菱形的性质得到是等边三角形，求出长，再根据三角形的中位线定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵E、F分别是、的中点， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·上海长宁·期中）已知直角三角形的两直角边长分别为和，连接这两边中点的线段长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 连接直角三角形两直角边中点的线段是中位线，其长度等于斜边的一半，先利用勾股定理求斜边长，再求中位线长． 【详解】解：∵ 直角三角形的两直角边分别为和， ∴ 斜边长 = ． ∵ 连接两直角边中点的线段是中位线， ∴ 中位线长 = ． 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海闵行·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则连接两条直角边中点的线段长为______． 【答案】5 【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据中位线的性质求出答案即可． 【详解】根据题意，画出图形． 在Rt△ABC中，AC=6，BC=8， ∴． ∵点D是AC的中点，点E是BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，中位线的性质等，掌握中位线的性质是解题的关键．即三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）已知：线段，点为上一动点（不与，重合），分别以，为边，在线段的同侧作等边和等边，连接， (1)如图1，若，为边上的高， ①求的长； ②求证：四边形为矩形； (2)只用无刻度的直尺，在图2中作出的中点，不写作法，保留作图痕迹； (3)在（2）的条件下，当的长取最小值时，的长为______（直接写出结果）． 【答案】(1)①，②见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）①根据题意可得，再利用等边三角形性质可得； ②由等边三角形性质可得：，，进而证得四边形是平行四边形，再由，即可证得四边形是矩形； （2）延长、交于点G，连接交于点M，根据，，得四边形是平行四边形，结合对角线互相平分，故点M是的中点； （3）由四边形是平行四边形，则， ，当最小时，最小，当且仅当时，最小，再利用等边三角形性质和三角形中位线定理即可求得答案． 【详解】（1）解：①如图1， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵为边上的高， ∴； ②∵和是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵为边上的高， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图2，点M即为所求； （3）解：∵和是等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， 当最小时，最小，当且仅当时，最小， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理，垂线段最短等，熟练掌握平行四边形的判定和性质等是解题关键． 【经典例题二 利用三角形中位线求角度】 【例1】（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，连接、若是的中位线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形的中位线和等腰三角形的性质，由可得，由是的垂直平分线可得出，推出，从而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴； ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形中，，取的中点，的中点，连接、，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，三角形中位线定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据点是中点，，则，所以，由三角形外角性质可得，又为的中点，点是中点，则为中位线，最后根据角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点是中点，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，点是中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（2025八年级下·上海杨浦·专题练习）如图，在中，点分别为边的中点，是高．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线性质，直角三角形斜边中线性质，平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线性质，直角三角形斜边中线性质，平行四边形的判定与性质是解题关键． 根据题意得出，是的中位线，即可得，证出四边形是平行四边形，得出，根据直角三角形的性质得出，，根据等腰三角形得出，同理可得：，证出，即可得． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是高， ∴，点分别为边的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·河北雄安·期末）如图，在四边形中，分别是的中点． （1）若，则__________； （2）若，则的度数为__________． 【答案】 /21度 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质： （1）根据三角形的中位线定理，即可求解； （2）根据三角形的中位线定理可得，，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：（1）∵分别是的中点， ∴， ∵， ∴； 故答案为∶3 （2）∵分别是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为： 3．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点，． 【用数学的眼光观察】 （1）求的度数． 【用数学的思维思考】 （2）如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求的度数． 【用数学的语言表达】 （3）如图，在中，，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据题意易证是的中位线，是的中位线，推出，进而得到，利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据题意易证是的中位线，是的中位线，推出，得到．同理，．由（1）可知，即可得到； （3）取的中点，连接，同理（1）（2）得，，，，推出，易证是等边三角形，求出，由即可解答． 【详解】（1）解：是对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ，， ， ， ， ， ； （2）是对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ， ， 同理，， 由（1）可知， ， ∵， ∴； （3）如图，取的中点，连接， 同理（1）（2）得，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 【经典例题三 三角形中位线与三角形面积】 【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据△AED和△BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形HEFG是矩形可得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c，过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，可得出OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别计算出，，进行判断即可 【详解】解：由题意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形， ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB ∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF， ∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF ∴AE=DE=BG=CG ∵四边形HEFG是矩形 ∴GH=EF，HE=GF 设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c 过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q， ∴OP//HE，OQ//EF ∵点O是矩形HEFG的对角线交点，即HF和EG的中点， ∴OP，OQ分别是△FHE和△EGF的中位线， ∴， ∵ ∵ ∴，即 而， 所以，，故选项A符合题意， ∴，故选项B不符合题意， 而于都不一定成立，故都不符合题意， 故选：A 【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系． 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 _______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·河南·月考）如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理，掌握中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理可证四边形是矩形，再根据对角线互相垂直的四边形面积可求得的值，最后根据矩形的面积公式即可求解； 【详解】解：点，分别为边，的中点， 是的中位线， ，且， 同理可证，，且， ，且， 四边形为平行四边形， 点，分别为边，的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，中，、、分别是、、的中点，、、分别是线段、、上的点，且，，与交于点，如果四边形面积是，四边形的面积是，则的面积是___________．      【答案】/ 【分析】过作，延长交于，延长交于，延长交于，由平行四边形的性质推出平行四边形的面积平行四边形的面积，平行四边形的面积平行四边形的面积，得到平行四边形的的面积，即可求出的面积． 【详解】解：过作，延长交于，延长交于，延长交于，      ∵，，分别是，，的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形，四边形是平行四边形， ∴的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积， ∵平行四边形的面积平行四边形的面积，，，， ∴， ∴平行四边形的面积平行四边形的面积， ∵平行四边形的面积， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，三角形的面积，平行四边形的面积，关键是由平行四边形的性质证明∶平行四边形的面积平行四边形的面积． 3．（24-25八年级下·河北邯郸·开学考试）中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，利用上述结论求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)44 【分析】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息． （1）证明得．同理可得：，，进而可证明四边形为矩形； （2）证明是的中位线可求出，然后求出矩形的面积即可求解． 【详解】（1）证明：点D，E分别是的中点， ． ， ， ． 同理可得：，， ， 四边形为矩形． （2）解：点D，E分别是的中点， 是的中位线， ， 由（1）可知，， ， ． 【经典例题四 与三角形中位线有关的证明】 【例1】（2026九年级·上海杨浦·专题练习）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，矩形的判定，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．根据三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，进而逐一判断即可． 【详解】解：．如图，连接，， 在四边形中， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形，故A选项错误； B．四边形的内角和等于，四边形的内角和等于，故B选项错误； C．点，，，分别是，，，边上的中点， ，， ， 同理：， 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故C选项正确； D．四边形的面积不等于四边形的面积的，故D选项错误． 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由三角形中位线定理得，，则四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加的条件可以是，理由如下： ∵分别是和边的中点， ∴都是△ABC的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中，各点始终在同一平面内，下列说法错误的是（    ） A．四边形的形状为平行四边形 B．四边形的面积始终在变小 C．四边形的面积是四边形面积的 D．四边形的周长等于四边形的对角线之和 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，掌握相关知识点并灵活运用，连接相交于点O是解题的关键． 连接相交于点O，根据三角形的中位线定理可判定选项A，D；利用与三角形的中线有关的面积关系，可判定选项B，C． 【详解】解：如图，连接相交于点O， 分别为的中点， 为的中位线， ， 同理可得，，， ， 四边形的形状为平行四边形， 故选项A正确； ， 四边形的周长等于四边形的对角线之和， 故选项D正确； 如图2，连接，设与交于点M，与交于点N， H为的中点， ， 又，即 M为的中点， ， 同理可得，， ， 四边形的面积等于的面积的一半， 对角线将平行四边形分割得到的四个四边形均等于各自所在大三角形的面积的一半， 四边形的面积是四边形面积的， 故选项B错误，选项C正确； 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是____________；四边形的周长是______ 【答案】 20 【分析】先证明四边形是菱形，求出， ，，求出周长，同理可得四边形、、……为菱形，且对应的边长：，，…… ，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：连接，，，，如图所示： ∵菱形中，边长为10， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵顺次连结菱形各边中点，得到四边形， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵顺次连结四边形各边中点，可得四边形， ∴，，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴是等边三角形，四边形是菱形， ∴的周长为； 同理可得：四边形、、……为菱形， 且对应的边长：， ， …… ∴四边形为菱形，边长为， ∴四边形的周长为： ． 故答案为：20；． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，根据题意发现中点四边形性质，分别求出菱形矩形边长并发现规律进行推理是解题关键． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，矩形中，和相交于点．，分别为，上的动点，且满足．连接和，以为边作正方形，和相交于点，连接，，． 【基础探究】 （1）探究在点，的运动过程中，四边形的形状，并说明理由； 【深入研究】 （2）探究线段，的关系，并说明理由． 【答案】（1）四边形为平行四边形，理由见解析；（2）且，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，正方形的性质的应用，平行线的判定定理，三角形中位线性质和判定，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）利用矩形性质，证明四边形为平行四边形，推出，结合正方形性质推出，进而推出，即可判断四边形的形状； （2）根据平行四边形性质可知，再结合矩形性质和正方形性质推出为的中位线，结合三角形中位线性质，即可推出线段，的关系． 【详解】解：（1）四边形为平行四边形， 理由如下： 四边形为矩形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为正方形， ， ， 四边形为平行四边形； 解：（2）且， 理由如下： 由（1）知，四边形为平行四边形， ， 由矩形性质和正方形性质可知， 为的中位线， 且， 且． 【经典例题五 三角形中位线的实际应用】 【例1】（24-25八年级下·山西临汾·期中）2025年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝20，BC＝32，则线段EF的长为________； 【答案】6 【分析】延长AF交BC于G，证明△ABF≌△GBF，根据全等三角形的性质得到BG＝AB＝20，AF＝FG，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长AF交BC于G， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠GBF， 在△ABF和△GBF中， ∵， ∴△ABF≌△GBF（SAS）， ∴BG＝AB＝20，AF＝FG， ∴GC＝BC−BG＝12， ∵D为AB的中点， ∴DF是的中位线， ∴DE∥BC， ∴EF是的中位线， ∴EF＝CG＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 1．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，即可得到答案． 【详解】解：的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形， ，，， 的周长为， 的周长为， … 以此类推，第个三角形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了找规律-图形的变化类，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝________ 【答案】3 【分析】作DF⊥AC，垂足为F，然后证明DF是中位线，得到，再利用面积公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：作DF⊥AC，垂足为F，如图 ∵∠BAC＝90°，DF⊥AC， ∴∠BAC＝∠DFC， ∴AB∥DF， ∵D为BC边上中点， ∴AD=BD=CD， ∴点F是AC的中点， ∴， ∵AE＝2， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题 3．（25-26八年级下·上海杨浦·阶段练习）某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 【经典例题六 重心的概念】 【例1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·山东泰安·月考）如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是_____．    【答案】10 【分析】如图，利用三角形重心的性质得、为三角形的中线，，，然后根据三角形面积公式出，则，，从而得到图中阴影部分面积． 【详解】是的重心， 、为三角形的中线，，， ， ，， 图中阴影部分面积． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 也考查了三角形面积公式． 1．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的重心，悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是三角形的重心，即三角形三条中线的交点， 故选：． 2．（25-26八年级上·福建莆田·期末）如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长为6.8米，高始终与水平地面垂直．现有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面推送至重心处在适当位置时，无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱．此时，正方体货物点H到直线的距离为1米，则正方体货物点G到直线的距离为____米． 【答案】5.8 【分析】本题主要考查重心的概念及全等三角形的性质与判定，熟练掌握重心的概念及全等三角形的性质与判定是解题的关键；分别过点H、G作，垂足为点F、P，连接，交于点O，则有，由重心可知，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：分别过点H、G作，垂足为点F、P，连接，交于点O，如图所示： ∴， 根据重心的定义可知：正方形的对角线的交点即为重心，即为图中点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可知， ∴正方体货物点G到直线的距离为； 故答案为5.8． 3．（25-26八年级上·广东中山·期中）【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】若的面积为m，求的面积．（用含m的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算，结合图形求解是解题关键． 根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出． 【详解】解：∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，， ， ． 【经典例题七 重心的有关性质】 【例1】（2025·河北沧州·一模）如图，中，是中线，是上一点，作射线，交于点，若，则（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查三角形重心的性质，根据是中线，可知点为的重心，从而可知F是的中点，从而得到答案． 【详解】解：是中线，， 点为的重心， 为边上的中线， ． 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，点是的重心，如果，那么点与点的距离为__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握三角形的重心的定义及性质． 连接并延长交于点，根据重心得到为中点，，再由直角三角形斜边中线的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴为中点，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，已知G为的重心，且，，连结交于点D，则的面积是 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查重心的定义与性质，根据重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为求解即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，， ∴，， ∵且，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，，是三角形的重心，，过点的直线，则____． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，熟知三角形重心的性质是解题的关键．连接并延长，与交于点，根据重心的性质得出与之间的关系，再由的长得出的长即可解决问题． 【详解】解：连接并延长，与交于点， 点是的重心， ，点为的中点． ，且， ， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·重庆大足·期末）在学习综合与实践活动一《确定简单平面图形的重心位置》时发现，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，下面我们进一步探究三角形重心的性质． 已知，点O是重心． 【探究】 （1）如图1，若的面积为m，则___________，___________； （2）在（1）的条件下，试猜想，，的值，并选择其中一个说明理由． 【应用】 （3）如图2，在中，若交于点O，，，求四边形的面积． （4）已知的中线，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1），（2），，，理由见解析；（3）12（4）72 【分析】本题主要考查三角形重心的性质，三角形中线与三角形面积，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）设，，，根据题意可得，，即可得到,三条中线分成的六个三角形面积相等，从而可得到答案； （2）由（1）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，则，由两个三角形高相等，则，即可得出，同理可得，； （3）求出，，根据可求解； （4）设交于重心，则，, 当时，面积最大，从而可求出面积的最大值． 【详解】解：（1）设，，， ∵是的中点， ∴， ∵，，， 同理：，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， ∴，； 故答案为：；； （2）由（1）知三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 则， ∵两个三角形高相等， ∴， ∴， 同理可得：，； （3）∵点O是重心， 由（1）、（2）可知：，， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， ， 则，         ∴； （4）设交于重心，则，, 当时，面积最大，最大为, ∴的最大面积． 【经典例题八 中点四边形】 【例1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，为其对角线，连结各边中点得到四边形，则下列判断正确的是（    ） A．若，则四边形菱形 B．若，则四边形菱形 C．若，则四边形为菱形 D．若，则四边形为菱形 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理和三角形的中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线定理证明，即可证明四边形为平行四边形，再由邻边相等即可证明为菱形． 【详解】解：∵分别为中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 同理可得：， ∴当时，， ∴四边形菱形， 故B符合题意，A、C、D均不符合题意， 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·上海杨浦·开学考试）如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线证明四边形是菱形． 连接，，，，根据中位线定理得到，即可得到四边形是菱形，结合菱形对角线互相垂直及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，，，，如图所示，设与的交点为O， E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． ∴． ∴的值为． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①：再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2025个图形中直角三角形的个数有（   ） A．4052个 B．2025个 C．1013个 D．8100个 【答案】A 【分析】本题考查了图形规律探索，根据题意得出规律是解题的关键．先写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当为奇数时，直角三角形的个数是，当为偶数时，直角三角形的个数是，根据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图形，有4个直角三角形， 第2个图形，有4个直角三角形， 第3个图形，有8个直角三角形， 第4个图形，有8个直角三角形， …， 依此类推，第个图形，当为奇数时，直角三角形的个数是，当为偶数时，直角三角形的个数是， 第2025个图形中直角三角形的个数是． 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是______________． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与判定四边形是菱形是解答本题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与可得四边形是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断． 【详解】解：、、、分别是、、、的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ，平分，故①③正确； 无法证明四边形是矩形，故②错误； 综上所述，①③共2个正确． 故答案为：①③． 3．（25-26八年级上·江苏·假期作业）如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】平行四边形，见解析；（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）且，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，掌握相关知识点是解题的关键． 连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形； （1）， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形， 故答案为：； （2）， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 故答案为：； （3）且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，由（2）可知， 根据，由（1）可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形， 故答案为：且． 【经典例题九 利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·开学考试）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为S， A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于， ∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形面积的计算，解题的关键是根据平行四边形的面积得出各个图形中阴影部分的面积． 【例2】（24-25八年级下·湖南永州·期中）如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 【答案】9 【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解． 【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了矩形是中心对称图形的性质．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 1．（24-25八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江温州·开学考试）如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 3．（24-25八年级上·上海杨浦·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 【经典例题十 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 【例2】（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，____________________ 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第次相遇点的坐标是（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为和，、的速度和是，求得每一次相遇的地点，然后找出规律即可解答． 【详解】解：，，，， ，，即， 经过秒钟时，与在处相遇， 接下来两个点走的路程为的倍数时，两点相遇， 第二次相遇在的中点， 第三次相遇在， 第四次相遇在 第五次相遇在， 第六次相遇在点 每五次相遇点重合一次， ， 即第次相遇点的坐标与第一次相遇点的坐标重合，即． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律是解答问题的关键． 2．（24-25八年级下·广西玉林·期末）如图（1），点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点F运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则菱形的面积为________．      （1）                   （2） 【答案】 【分析】本题主要考查了四边形的动点问题，菱形的性质，勾股定理等知识，设点A到的距离为h，根据动点函数图像求出h， 过点D作交的延长线与点E，则， 利用勾股定理求出，由菱形的性质得出，利用勾股定理求出，最后计算菱形的面积即可． 【详解】解：设点A到的距离为h， 由点F的运动轨迹和速度可知，，且， 解得：， 过点D作交的延长线与点E， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为： 3．（25-26八年级下·河北保定·月考）如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1)从运动开始，两点运动6秒或10秒时， (2)从运动开始，存在某个时间，使得四边形恰好为正方形，运动时间为8秒 【分析】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质的应用，综合性较强，难度适中． （1）分两种情况：①，且；②与不平行，但； （2）设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，则有，据此列出方程． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当、运动到，则平行且等于， ∴四边形是平行四边形，此时． 设运动时间为秒，则， ， ， 解得， 即时，； ②当、运动到，时，满足，过，分别作于，于， ∵，， ∴，， ∴，四边形是矩形，即， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ， ， 解得． 综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，； （2）解：设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，如图： ∴， ∴， 所以当时，四边形是正方形． 【经典例题十一 四边形中的线段最值问题】 【例1】（24-25八年级下·重庆北碚·开学考试）如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．由PM垂直平分线段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可． 【详解】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x． ∵四边形ABC都是矩形， ∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6， ∵S△PAB=S△PCD， ∴×4×x=××4×（6-x）， ∴x=2， ∴AM=2，DM=EM=4， 在Rt△ECD中，EC==4， ∵PM垂直平分线段DE， ∴PD=PE， ∴PC+PD=PC+PE≥EC， ∴PD+PC≥4， ∴PD+PC的最小值为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【例2】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形中，，，，点、分别为边上的点、且，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，两点之间线段最短，通过平移转化线段是解题关键． 先通过条件得出是等边三角形且垂直平分，再将向左平移个单位转化为，把转化为，最后根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理算出的最小值． 【详解】解：如图，连接，将向左平移两个单位得到，则，， ，， 是等边三角形， ， ，， 垂直平分， ， ， 当、、共线时，最小，最小值为， ，， ， ，， ． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）如图，菱形中，，，E、F分别是、上的动点，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，以及线段最值问题，准确添加辅助线是解题的关键． 如图构造全等三角形，使得，点A、G在直线两端，再根据三角形三边的性质，判断出，利用角度关系得出，结合直角三角形边长关系求出的长度，则为的最小值． 【详解】解：在下方取点，使， 连接、，如图所示： 又∵， ∴， ，故当、、三点共线时最小， ∵四边形为菱形， ∴，， 故，且， 得等腰， ， 则， 故选． 2．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为_____________． 【答案】1 【分析】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=CM=1即可． 【详解】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q， ∴PN=PE， 则PM-PN=PM-PE， ∴当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长， 在正方形ABCD中，AB=4， ∴AC=， ∵N是AO的中点，点N和E关于BD成轴对称， ∴点E是OC中点， ∴CE=AC=， ∵BC=4，BM=3， ∴CM=1=BC， ∵∠BCQ=45°， ∴△MCQ为等腰直角三角形， ∴CQ==， ∴EQ=， ∴CM=EM=1， 即PM-PN的最大值为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 3．（25-26八年级下·新疆昌吉·期末）矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            【答案】（）详见解析；（）． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】（1）证明：连接，   由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，，    ∴， 当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． 【经典例题十二 四边形其他综合问题】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角板和多边形内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．明确邻补对等四边形的定义，再根据定义判断即可得解． 【详解】①如图，两个三角板斜边重合，此时，是邻等对补四边形； ②当等腰直角三角板的直角边和所对的直角边重合时， 此时不满足邻等对补四边形的定义； ③当等䃌直角三角坂的直角边和所对的直角边重合时， 此时不满足邻等对补四边形的定义； ④当直角边和斜边重合时，不满足至少有一组邻边相等，也不满足对角互补． 综上，只有1个． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，四边形中，，且，则四边形周长的最小值是_______________________． 【答案】 【分析】延长AD至点E，使得，连接CE，过点C作，证明△CDE为等边三角形，分别求出四边形ABCD的边长判断即可； 【详解】如图所示，延长AD至点E，使得，连接CE，过点C作， ∵， ∴， 又∵， ∴△CDE为等边三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 则， ∴， ， ∴， ∴当时，AC取得最小值为， 此时，， ∵， ∴， 又， ∴，即， ， ∴四边形ABCD周长， ， ； ∴四边形ABCD的最小值为． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】设，则，求出，，分别求出比值，作出判断． 【详解】解：设， ∴， 在中，， 由折叠可知，， ∴ ， 又∵， ∴， ， ，， ， ∴比值为的是①③， 故选：B． 【点睛】本题考查四边形综合题，黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·月考）如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点N为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为 __．若点M，N，E在同一直线上，且点H到的距离与到的距离相等，则印章区域的面积为 __． 【答案】 64 12.25 【分析】本题考查正方形的性质及矩形的性质，能由图1求出各图形的边长是解题的关键．根据“台灯”的造型及图1，可求出的长，进而可求出矩形的周长；延长经过点E并与相交于点L，连接，可得出四边形是平行四边形，求出长即可解决问题． 【详解】解：由图1可知， 七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为6，然后，最小的直角边长为3， 正方形和平行四边形的短边长都是3． 过点N作和的垂线，垂足分别为J，K，则， 又 ，且是等腰直角三角形， ，故． 又， 四边形是矩形， ． 又， ， 故矩形的周长为． 延长经过点E与交于点L，连接， ，且， ． 又点H到的距离与到的距离相等， 点H在的角平分线上，则． ， ， 又， 四边形是平行四边形． 又， ． ．则， 四边形是正方形， 印章区域的面积为． 故答案为：64，12.25． 3．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 【答案】（1）②④；（2）猜想正确，理由见解析；（3） 【分析】本题考查四边形中新定义的问题，熟练掌握勾股定理与几何问题的结全是解题的关键， （1）利用垂美四边形的定义结合菱形和正方形的性质即可得到答案； （2）利用垂美四边形的定义可得到，再根据勾股定理即可得到答案； （3）结合垂美四边形的结论，代入即可得到答案． 【详解】解：（1）∵菱形、正方形的对角线相互垂直， ∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义， 故答案为：②④； （2）猜想正确，理由如下： ∵四边形中，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）∵，，D、E分别是、的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练一 三角形中位线辅助线的添加问题】 【例1】（24-25八年级下·山东德州·期末）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（    ） 小丽的辅助线作法： 延长DE到F，使EF=DE， 连接DC、AF、FC． 小亮的辅助线作法： 过点E作EBAB， 过点A作AFBC， GE与AF交于点F． A．小丽和小亮的辅助线作法都可以 B．小丽和小亮的辅助线作法都不可以 C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以 D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以 【答案】A 【分析】用辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质即可证得． 【详解】解：如图1，延长DE到F，使EF=DE， ∵AE=EC， EF=DE， ∴四边形ADCF为平行四边形 ∴ADCF，AD=CF 又∵BD=AD， ∴BDCF， ∴四边形BDFC是平行四边形， ∴DF=BC ，DFBC， ∴， ∴小丽的辅助线作法可以． 如图2，过点G作GEAB，过点A作AFBC， ∵GEAB，AFBC， ∴四边形ABGF是平行四边形． ∴AB=FG， 在△AEF和△GEC中， ， ∴△AEF≌△CEG（AAS） ∴EF=GE，AE=EC，AF=GC， ∴AD=EF，BD=EG， ∴四边形ADEF、DBGE是平行四边形， ∴DEBC，， ∴小亮的辅助线作法可以． 故选：A． 【点睛】此题考查了中位线定理的证明，解题的关键是构造平行四边形，根据平行四边形的性质去证明． 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，E，F分别是边的中点，要使四边形为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是______添加一个条件即可 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形是矩形是解题的关键．由中位线定理得到，，，结合得四边形是矩形，当时，四边形是正方形，据此可添加条件． 【详解】解：点D，E，F分别是边的中点， ，且，，且， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 添加的条件可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 1．（2025·河北邢台·二模）老师布置的作业中有这么一道题： 如图，在中，为的中点，若，．则的长不可能是（    ） A．5                 B．7                  C．8                  D．9 甲同学认为，，这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需构造一个特殊四边形，就可以解决关于三位同学的思考过程，你认为正确的是…（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】如图1所示，延长AD到E使得AD=ED=4 ，利用倍长中线模型证明△ABD≌△ECD得到AB=EC，再用三角形三边的关系即可判断乙同学的说法；如图2所示，取AB中点F，连接DF，则DF是△ABC的中位线，，再用三角形三边的关系即可判断丙同学的说法． 【详解】解：如图1所示，延长AD到E使得AD=ED=4 ， ∵D是BC的中点， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=EC， ∵， ∴，即， 如图2所示，取AB中点F，连接DF， ∵D、F分别为BC、AB的中点， ∴DF是△ABC的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴甲说法错误，乙和丙说法正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形中位线定理、三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·单元测试）如图，在中，，D，E，F分别是，，的中点，连接，，．如果_____________，那么四边形是正方形（要求：①不再添加辅助线；②只需填一个符合要求的条件）． 【答案】答案不唯一，如 【分析】本题可根据正方形的判定方法填空，由已知条件可首先判定四边形矩形，根据邻边相等的矩形为正方形可知时结论即可成立． 【详解】解： 证明：∵D，E分别是，的中点 ∴，， ∵， ∴， ∵D，F分别是，的中点 ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴矩形是正方形． 故答案为：．(答案不唯一) 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理以及矩形的判定定理和正方形的判定定理．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；矩形的判定定理：（1）有三个角是直角的四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；正方形的判定定理：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形． 3．（24-25八年级下·江西吉安·期末）（1）课本再现 已知：如图，是的中位线．求证：，且． 定理证明 证明：如图1，延长至点F，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） （2）知识应用 如图2，在四边形中，，，，，点E，F，M分别是，，的中点，求的长． 【答案】（1）见解析（2）5 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理的证明，勾股定理，平行线的性质，正确理解题意通过构造中位线进行求解是解题的关键． （1）如图1，延长至点，使得，连接，利用证明，再证明四边形是平行四边形，即可得证； （2）由（1）可得，，， ，再根据，，由平行线的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接， ， 点是的边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 又点是的边的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，，即，；   （2）解：点，，分别是，，的中点，，，，， ，，，， ，， ， ， 在中，． 的长为5． 【拓展训练二 三角形中位线的大题综合】 【例1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键． 利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴(米) ． 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·吉林长春·月考）如图，在任意四边形中，分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形其中正确的序号__________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形、矩形与正方形的判定、三角形中位线定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定是解题关键．连接，根据三角形的中位线定理和平行公理推论可得，，，，则四边形一定为平行四边形，结论④正确；根据不能得出四边形为正方形，结论①错误；根据可得，则四边形为菱形，结论②正确；根据可得，则四边形为矩形，结论③正确；由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形一定为平行四边形，结论④正确； 当时，四边形不一定是正方形，结论①错误； 当时，则， ∴四边形为菱形，结论②正确； 当时，则， ∴， ∴四边形为矩形，结论③正确； 综上，正确的序号为②③④， 故答案为：②③④． 1．（25-26八年级下·河南周口·期末）在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形中位线定理的运用； （1）依据等腰三角形的性质，即可得到是的中点，再根据三角形中位线定理，即可得到； （2）依据是的中位线，即可得到，，进而得到，再依据是的中点，继而得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：∵是的中位线， ∴，， 如图，连接，则， 又∵四边形的面积为6， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴的面积为． 2．（25-26八年级下·北京·期末）在中，，，D为平面内一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，取中点F，连接． (1)如图1，当点D在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D在内部时， ①依题意补全图2； ②判断与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质，旋转的性质，三角形中位线定理、正方形的性质等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明可得，而，F为中点，知，即； （2）①根据已知补全图2即可；②如图：连接，将绕点C顺时针旋转得，连接，证明四边形是正方形，再将绕点A顺时针旋转得，证明D，B，H共线，可得是的中位线，故，从而． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，F为中点， ∴， ∴． （2）解：①根据题意补图如下： ②；证明如下： 如图2：连接，将绕点C顺时针旋转得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 如图2，将绕点A顺时针旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴D，B，H共线， ∵F是中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期末）情境：图1是由一个边长为4的等边三角形纸片沿一条中位线去掉一个等边三角形后得到的“完美梯形”纸片．将该纸片通过裁剪，可拼接为新的等边三角形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）． 操作：嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪拼成了图2的等边三角形．嘉嘉沿虚线、、裁剪三刀，将纸片剪成①-④四块，再将①、③、④移动到新的位置进行拼接．根据嘉嘉的拼接过程解答下列问题： （1）的度数为 ， ； （2）直接写出图2中三条裁剪线、、的数量关系，并计算等边三角形的边长； 探究： （3）淇淇说：“将图1所示纸片沿过四边形顶点的直线裁剪，只剪两刀，分成三块，就可以拼成新的等边三角形”，请你按照淇淇的说法设计一种方案，在图3所示的纸片中画出两条裁剪线的位置（可以借助刻度尺、三角尺或圆规），并直接写出较长的裁剪线的长（若两条裁剪线长度相等，写出其长度即可）． 【答案】（1）；；（2），；（3）见解析， 【分析】（1）利用拼接的特征得到，再利用直角三角形的性质解答即可； （2）利用（1）的方法求得，再利用全等三角形的判定与性质得到；利用对称的性质得到等边三角形的边长； （3）连接，过点A作于点E，则，为所画出两条裁剪线；利用直角三角形的性质解答即可得出结论； 【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴． ∴ ∵， ∴ ∴． 故答案为：；． （2）三条裁剪线、、的数量关系为． 由题意得：，，，， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴． 连接，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴等边三角形的边长为； （3）1．连接， 2．过点A作于点E， 则，将纸片沿过四边形顶点A的直线裁剪，分成三块，将绕着点C旋转得到，将绕着点E旋转得到，可以拼成新的等边三角形，如图， 则，为所画出两条裁剪线． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴较长的裁剪线的长为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，尺规作图，图形的拼接，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形性质是解题的关键． 【拓展训练三 利用三角形中位线求最值】 【例1】（2025·北京·模拟预测）已知的两条中线与交于点，连接．若，，下列四个结论正确的是（   ） ①；②的最小值是；③的面积最大值是3；④； A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了中线交点的性质，线段、面积最值的计算，勾股定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据重心的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半可判定①；根据线段的和差关系，最值计算可判定②；但边上的高最大时，面积最大，可判定③；如图所示，过点作于点，运用勾股定理，等量代换即可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵，点是中点，， ∴， ∵点是中线交点， ∴，故①正确； ∵， ∴点在与为直径的圆上运动， ∴， 当共线时，值最小，最小值为：，故②错误； 如图所示， 当时，的面积最大，最大面积为，故③正确； 如图所示，过点作于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴得，， 由③得，， ∵，，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：D ． 【例2】（25-26八年级下·北京西城·月考）如图，是等腰直角三角形的边的中点，且是平面内一个动点，且与点之间的距离为2，连接，则的最大值为___________；将线段绕点逆时针旋转，得到线段，取线段的中点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 / / 【分析】利用勾股定理得到，再结合直角三角形的斜边中线，得到，根据题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，即可求出的最大值；连接、，延长至点，使得，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、、，根据三角形中位线定理，得到，结合旋转的性质，证明，得到，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当、、三点共线时，最小，最小值为，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 在等腰直角三角形中，， ， 是边的中点， ， 是平面内一动点，且与点之间的距离为2， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 的最大值为； 延长至点，使得，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、、， 是的中位线， ， 由旋转的性质可知，，，， 在中，， ， ， ， ， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，旋转的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，线段的最值问题等，根据题意得出点的运动轨迹是解题关键． 1．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，，分别为，，的中点，连接，，．将绕点在平面内自由旋转（如图）．若，，则面积的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】由，，，得，，，进而证明，，由，，分别为，，的中点，得，得腰直角三角形，得面积，由，从而即可得解． 【详解】解：连接，， ∵，，， ∴，，， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，分别为，，的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴面积的最大值 故选： A． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的旋转，解题关键是正确应用旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 2．（25-26八年级下·上海闵行·月考）如图，在中，，，，是平面内一点，且，点是中点，点在线段上，且，连接，则线段的最大值为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线的性质、勾股定理及三角形三边关系，正确得出是解题关键．延长到，使，连接，，可得是的中位线，利用勾股定理可求出，根据三角形中位线的性质可得，利用三角形三边关系可得的最大值为，即可得出的最大值． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴点、、三点在一条直线上时，有最大值， ∴的最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： 3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）在与中，，，．    (1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接，，则与的关系为________． (2)如果将图1中的绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断与的关系，并说明理由 (3)如图3，若，，连接，分别取，，的中点M，P，N，连接，，，将绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中的面积最大值和最小值． 【答案】(1)，； (2)，；理由见解析； (3)最小值为2，最大值为8． 【分析】（1）延长交于，证明，得出，，根据，得出，即可得出结论； （2）延长交于点，交于点，通过证明，得出，，根据，，得出，即可得出结论； （3）连接，由（1）（2）同理可得，，，根据三角形的中位线定理可得，，进而得出，，则，当点E在上时，取最小值，此时也取最小值，则最小；当点E在延长线上时，取最大值，此时也取最大值，则最大． 【详解】（1）解：延长交于，    在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：，； 理由：延长交于点，交于点，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，； （3）解：连接，    由（1）（2）同理可得，， ∵点M，P，N为，，的中点， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵绕点B在平面内顺时针旋转， ∴点E在以点B为圆心，为半径的圆上运动， 当点E在上时，取最小值，此时也取最小值，则最小， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值；      当点E在延长线上时，取最大值，此时也取最大值，则最大， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值；      综上：最小值为2，最大值为8． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． A基础训练 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定满足（    ）． A． B．正方形 C．菱形 D． 【答案】A 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定定理根据三角形中位线定理得到，，，，，得到，，得到四边形为平行四边形，再根据矩形的判定解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时， ∵，， ∴ ∴平行四边形为矩形， 故选：． 2．（25-26八年级下·山西晋城·期末）如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，连接，根据三角形中位线定理得到，得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点R在上从点B向点C移动， ∴先变小再变大， ∴线段的长先变小再变大． 故选：B． 3．（2025·湖南长沙·一模）已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，以此类推，则第2022个三角形的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对边的长度的，因此新三角形周长是前一个三角形周长的． 【详解】解：△ABC周长为1， ∵每条中位线均为其对边的长度的， ∴第2个三角形对应周长为； 第3个三角形对应的周长为（）2； 第4个三角形对应的周长为（）3； … 以此类推，第n个三角形对应的周长为（）n﹣1； ∴第2022个三角形对应的周长为（）2021，即， 故选：C． 【点睛】此题考查了中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的是解决问题的关键． 4．（24-25八年级下·河北衡水·月考）如图，等边三角形的边长为．动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及的边上一点D构成的四边形为平行四边形时，t的值为（    ） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列出方程求解是解题的关键．分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解． 【详解】解：①当，点M、N、D的位置如图所示： 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ，即：， 解得：， ②当时，点M、N、D在同一直线上，不能构成四边形， ③当时，点M、N、D的位置如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ，即：， 解得：， 综上所述，t的值为1或3， 故选：C． 5．（24-25八年级下·浙江·单元测试）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，甲、乙两人有如下结论： 甲：若四边形是边长为1的正方形，则四边形必是正方形； 乙：若四边形为正方形，则四边形必是边长为1的正方形． 下列判断正确的是（   ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确 【答案】D 【分析】根据，求出和的值，根据勾股定理求出的值，即可判断甲是否正确，若平行四边形为正方形，根据边的关系可以求出且四个角都是直角，即可判断乙是否正确． 【详解】解：四边形是边长为1的正方形， ，， ，，， ， ， 同理， 四边形是菱形， 在和中， ， ， ， ， ， ， 则四边形必是正方形； 甲正确； 若四边形为正方形，则， 且， 在和中， ， ， ， 同理， 又， ， ， 同理， 即四边形为菱形， ， 则四边形必是边长为1的正方形， 乙正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． B 提高训练 6．（25-26八年级下·上海杨浦·课后作业）如图，在四边形中，、分别是、的中点．若，，，，则的长是_____________． 【答案】5 【分析】本题考查中位线的性质、勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 取的中点，连接、，则，和，，进而得到，，最后利用勾股定理求出的值即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 、分别是、的中点，，， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， ，， ， 在中，， 故答案为：5． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期中）点是的重心，若的面积等于6，_______________________． 【答案】 【分析】本题考查重心的定义，三角形中线有关的面积问题，根据三角形三条中线交点为三角形的重心，结合三角形中线有关的面积特征求解即可． 【详解】解：连接并延长交于， ∵点是的重心， ∴，，是的中线， 即为的中点，为的中点，为的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴由得到， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·山东临沂·一模）四边形的对角线，交点，点，，，分别为边， ，，的中点．有下列四个推断， ①对于任意四边形，四边形可能不是平行四边形； ②若，则四边形一定是菱形； ③若，则四边形一定是矩形； ④若四边形是菱形，则四边形也是菱形． 所有正确推断的序号是_____________． 【答案】②③ 【分析】根据四边形的性质及中位线的性质推导即可． 【详解】解：点，，，分别为边， ，，的中点， 且，且， 且， 是平行四边形， 故①错误； 点，，，分别为边， ，，的中点， ，， ， ， 是平行四边形， 四边形是菱形， 故②正确； 点，，，分别为边， ，，的中点， ，， ， ， ， 是平行四边形， 是矩形， 故③正确； 若要四边形是菱形，需满足, 当四边形是菱形，不一定等于， 故④错误； 综上，正确的有：②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了中位线定理，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动（其中）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为______． 【答案】4.8或8或9.6 【分析】根据平行四边形的判定可得当DP=BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=12cm，AD∥BC， ∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP=BQ， 当点Q的运动路线是C—B时，则12-4t=12-t， 解得：t=0，不符合题意； 点Q的运动路线是C—B—C，则4t-12=12-t， 解得：t=4.8； 点Q的运动路线是C—B—C—B，则12-（4t-24）=12-t， 解得：t=8； 点Q的运动路线是C—B—C—B—C，则4t一36=12-t， 解得：t=9.6； 综上所述，t=4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：4.8或8或9.6． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质等知识，求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 10．（2025·湖北十堰·模拟预测）【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则． 【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少_________（结果取整数，参考数据：）． 【答案】370 【分析】延长交于点，根据已知条件求得,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，，从而求得的长，根据材料可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，，， ，， 是等边三角形， , , 在中，，， ，， ， 中，，， ， ， ， 中， 是等腰直角三角形 由阅读材料可得， 路线的长比路线的长少． 故答案为：370． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键． C 培优训练 11．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，的平分线交于点，连接，若，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的判定． 根据点、分别是、的中点，得到，，，从而证得，得到，根据线段的和差即可求解． 【详解】解：点、分别是、的中点， ，是的中位线， ，， ， 是的平分线， ， ， ， ． 12．（25-26八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 【答案】四边形EFGH是平行四边形；当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH是菱形；当四边形ABCD为菱形时，四边形EFGH是矩形．当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形；理由见解析 【分析】连接，，由三角形中位线定理可得，，，，，，根据菱形、矩形、正方形的性质定理和判定解答即可． 【详解】解：如图，连接，． ，分别为，的中点， ∴，． 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，分别为，的中点， ∴，． 当四边形为矩形时，， ∴， ∴四边形是菱形． 当四边形为菱形时，， ∴， ∴四边形是矩形． 当四边形为正方形时，，， ∴，， ∴四边形是正方形． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，解题关键是掌握三角形中位线定理． 13．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）课本再现 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明 （1）请依据三角形中位线定理，将下列题目补充完整． 已知：如图1，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：______，______． （2）小陇为证明三角形中位线定理而添加了如图2的辅助线：延长到点F，使，连接，，．请你帮小陇完成证明． 【答案】（1），（2）见详解 【分析】本题考查了平行四边形判定与性质，三角形的中线的定义，三角形中位线定理的证明等知识，添加适当的辅助线构造平行四边形是解题的关键. （1）根据三角形中位线定理即可得到答案； （2）先证明四边形是平行四边形，故，即可证四边形是平行四边形，有，，从而可得结论 【详解】解：（1）已知：如图1，在，点D，E分别是，边的中点，求证：， ∵点D，E分别是，边的中点， ∴是的中位线 ∴，； 故答案为：，； （2）证明：如图2，延长到点F，使，连接，， ∵点D，E分别是，边的中点， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，； ∵ ∴； 即，且 14．（24-25八年级下·山西太原·月考）综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 【答案】①四边形是平行四边形，理由见详解② 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质． 探究：①证明，由，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形是平行四边形； ②设运动时间为，由题意得，列出方程，据此求解即可； 【详解】解：①四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②设运动时间为，四边形为平行四边形， ∴，，， 由题意得， ∴， 得． 15．（24-25八年级下·河南郑州·月考）定义：在凸四边形中，如果只有一组对角相等，我们把这类四边形叫作“奋进四边形”． (1)操作判断： 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“奋进四边形”的有______（填序号）； (2)性质探究： ①如图2，四边形是“奋进四边形”，，，，则的度数为______，的度数为______； ②如图3，四边形是“奋进四边形”，，，求证：； (3)四边形是“奋进四边形”，，，，，请直接写出对角线的长． 【答案】(1)②④ (2)①，；②见解析 (3)或 【分析】（1）按照“奋进四边形”的定义逐个判断即可； （2）①根据“奋进四边形”的定义进行求解即可； ②连接，根据等腰三角形性质得出，证明，根据等边三角形的判定得出答案即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：图①中有两组对角相等，图③没有一组对角相等，因此不是奋进四边形，图②和图④有一组对角相等，是奋进四边形， 故答案为：②④； （2）解：①∵四边形是“奋进四边形”，，，， ∴，； ②证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：当时，如图2，延长、交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3，作于点，于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，对角线的长为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形判定与性质，勾股定理，多边形的内角和，直角三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明． 学科网（北京）股份有限公司 $