第二十三章 四边形重难点检测卷（压轴卷）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

第二十三章 四边形重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：四边形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据在中，，得出，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 则， 故选：B． 2．（25-26八年级下·上海崇明·期末）把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（   ） A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了不规则物体的重心，把不规则物体悬挂起来，重心一定在悬挂点与物体下端所连的直线上． 【详解】解：不规则物体的重心一定在悬挂点与物体最下端所连接的直线上， 薄板状物体的重心位置在直线上． 故选：C． 3．（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（    ） A．4 B．5 C．8 D．20 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质．由菱形四边相等，对角线垂直，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且其周长为40， ∴，， ∴， ∵点为边的中点， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级下·上海奉贤·课后作业）如图，的对角线，交于点，过点作交边于点，垂足为，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形对角线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质，将的周长转化为平行四边形相邻两边的和，进而求出平行四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． 又， ． 的周长为， ， 的周长为． 故选：D． 5．（25-26八年级下·上海闵行·阶段练习）蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为8，点，分别是边，的中点， ∴ 在中，由勾股定理得， ∵点是的中点， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 6．（24-25八年级下·上海普陀·期中）如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为24，那么四边形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是几何规律探究题，根据已知条件求得四边形的面积矩形的面积是解决问题的关键． 根据已知条件可得四边形的面积矩形的面积；四边形的面积四边形的面积=矩形的面积；由此可得四边形的面积 矩形的面积．根据所得规律求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴； 又∵各边中点是， ∴四边形的面积矩形的面积， 即四边形的面积矩形的面积； 同理，四边形的面积四边形的面积=矩形的面积； 以此类推，四边形的面积 矩形的面积． 又∵矩形的面积为24， ∴四边形的面积为． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）从七边形纸片的一个顶点出发画对角线，沿着这些对角线一共把这个七边形剪成________个三角形． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的对角线，利用多边形的对角线性质列式计算即可． 【详解】解：从七边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，则可以剪成三角形的个数为（个）， 故答案为：5． 8．（25-26八年级下·上海杨浦·课后作业）如图，有一块平行四边形草坪，边BC的长为，高AE的长为，则其面积为_______． 【答案】 【分析】本题要求平行四边形的面积，根据平行四边形面积公式：面积=底×高，这里底为，高为，所以需要计算与的乘积． 【详解】根据平行四边形面积公式，已知，则面积 根据二次根式乘法法则，可得： 【点睛】本题考查了平行四边形的面积计算以及二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法法则是解题的关键． 9．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）如图，菱形中，连接，若，则的度数为_______． 【答案】/55度 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质可得，则，进而即可求解． 【详解】解：∵ 四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，中，，请添加一个条件_____，可得出该四边形是正方形． 【答案】 (或 答案不唯一) 【分析】本题主要考查了正方形的判定，根据正方形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：∵中，， ∴四边形为矩形， ∴添加条件，可以根据一组邻边相等的矩形为正方形，得出四边形是正方形． 添加条件，可以根据对角线互相垂直的矩形为正方形，得出四边形是正方形． 故答案为： (或 答案不唯一)． 11．（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为______． 【答案】160 【分析】此题考查了中位线的实际应用，根据题意得到是的中位线，进而求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：160． 12．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，、分别是平行四边形的边、上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则阴影部分的面积为___．    【答案】44 【分析】作出辅助线，利用同底等高的两个三角形面积相等，阴影图形的面积即可求解． 本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的面积，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【详解】解：如图，连接， 与同底等高， ， 即， 即， 同理可得， 阴影部分的面积为． 故答案为：44．    13．（24-25八年级下·上海嘉定·月考）如图，在四边形中，，作、的平分线交于点称为第1次操作，作、的平分线交于点称为第2次操作，作、的平分线交于点，称为第3次操作，．．．，则第4次操作后的度数是______ 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是找出操作的变化规律，得到与之间的关系．先根据、的平分线交于点，得出，再根据、的平分线交于点，，得出，以此类推，得出 再进行计算即可，再进行计算即可． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∵、的平分线交于， ∴，， ∴， ∵、的平分线交于点， ∴，， ∴， 同理， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，以边长为2的正方形的四边中点为顶点作第一个四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为______；所作的第n个四边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，图形类规律探究，以及正方形的周长的求法，根据已知得出规律是解题关键． 根据正方形的性质以及勾股定理，求出第二个，第三个的周长，从而发现规律，即可求出第n个四边形的周长，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知：得到的四边形都是正方形， 根据勾股定理得， 围成的第一个四边形的边长为：，周长为：， 第二个四边形的边长为：，周长为：， 第三个四边形的边长为：，周长为：， 第四个四边形的边长为：，周长为：， 故第个四边形的边长为：，周长为：， 故答案为：． 15．（2025·上海杨浦·模拟预测）将边长为的正方形纸片按图所示方法进行对折，第次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为，，第次对折后得到的图形面积为，请根据图化简：______ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变化问题，有理数的乘方，观察图形的变化发现每次折叠后的面积与正方形的关系，从而写出面积和的通项公式，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意可得：，，，， ， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，在方格纸中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D均落在格点上． （1）______； （2）点P为线段BD的中点，过点P作直线，过点B作于点M，过点C作于点N，则四边形BCNM的面积为______． 【答案】 【分析】由题意得：CD=3，AB=3，由三角形面积公式得出S△BDC，根据作图可得四边形BCNM是矩形，根据为线段BD中点，可得即可求解 【详解】解：由题意得：CD=3，AB=3， ∴S△BDC， 故答案为：； l∥BC，BM⊥l，CN⊥l， 四边形BCNM是矩形， 为线段BD中点，连接PC， ，， ． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了三角形中线的性质，矩形的性质与判定，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 17．（24-25八年级下·上海虹口·期中）如图，在四边形ABCD中，，，cm，cm，cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．若运动t s时，则运动时间t的值是______s． 【答案】或 【分析】分两种情况：①时，则四边形为平行四边形；②时，过点P作交于S，于M，则四边形为平行四边形，四边形为矩形；分别计算即可． 【详解】解：由题意可知，， 若，分两种情况： ①时， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：， ②时， 过点P作交于S，于M，则四边形为平行四边形，四边形为矩形； ∴， ∴（cm）， ∴（cm）， ∴， 解得：， 综上所述，当t的值为或时，． 故答案为：或 【点睛】本题考查了直角梯形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 18．（24-25八年级下·上海松江·期中）如图所示，在矩形中，，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形…依此类推，第n个平行四边形的面积是______． 【答案】 【分析】首先分别求得几个平行四边形的面积，即可得到规律：第个平行四边形的面积为． 【详解】解：在矩形中，，， ， ，， 以，为邻边作第1个平行四边形， 平行四边形是菱形， ， ， 第个平行四边形的面积为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的性质．注意得到规律：第个平行四边形的面积为是关键． 三、答题（7小题，共64分） 19．（25-26八年级下·上海闵行·阶段练习）求图形中x的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了由四边形的内角和为，熟练掌握是解决此题的关键． （1）、（2）由四边形的内角和为列方程计算即可． 【详解】（1）解：由四边形的内角和为可得， ， 解得． （2）解：由四边形的内角和为可得， ， 解得． 20．（24-25八年级下·上海闵行·单元测试）如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，关键是掌握三角形的面积公式．根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可． 【详解】解：因为在直角三角形中，，，，， 所以点到的距离， 因为， 所以与的距离是． 21．（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）由题意得：，即；结合，，即可求证； （2）由题意得：，求出，即可； 【详解】（1）证明：由题意得：，即； ∵，， ∴四边形是平行四边形； ∵； ∴四边形是矩形； （2）解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴四边形的面积； 22．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】(1)①（或③） (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定． （1）根据题意选择条件即可求解； （2）选①或③，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证． 【详解】（1）解：①（或③） （2）解：选①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 选③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 23．（25-26八年级下·上海松江·期末）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)3，12 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，证得，进而得到； （2）根据题意易得，进而得到，由（1）知，则，同理可得，再利用解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 、 在和中 ； （2）解：、 由（1）知 同理可得 故答案为：3；12． 24．（25-26八年级下·闵行·月考）已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 【答案】（1）16；（2）16；（3）；（4）四边形的面积与正方形的面积相等 【分析】本题考查正方形的性质． （1）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （2）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （3）用大正方形的面积加上梯形的面积再减去直角三角形的面积，进行求解即可； （4）求出大正方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：（1）四边形的面积； 故答案为：16； （2）四边形的面积； 故答案为：16； （3）四边形的面积； 故答案为：； （4）由上可知，四边形的面积等于正方形的面积； 四边形的面积； 正方形的面积； 故四边形的面积等于正方形的面积． 25．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形重心的定义，及三角形面积的计算． （1）延长，，分别交，，于点F，E，D，根据重心的定义可得分别为的中点，设，，，根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出结论； （2）根据（1）的结论，根据，即可求解； （3）根据（1）的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，延长，，分别交，，于点F，E，D， ∵点P是的重心， ∴分别为的中点， ∴，，， 设，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：由（1）可得，，且 ∴ （3）解：依题意，是的重心， 由（2）可得，， ∵，， ， ∵， ， ，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 四边形重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：四边形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海崇明·期末）把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（   ） A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定 3．（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为40，则的长为（    ） A．4 B．5 C．8 D．20 4．（25-26八年级下·上海奉贤·课后作业）如图，的对角线，交于点，过点作交边于点，垂足为，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·上海闵行·阶段练习）蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（    ） A． B．2 C． D．4 6．（24-25八年级下·上海普陀·期中）如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为24，那么四边形的面积为（   ）    A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）从七边形纸片的一个顶点出发画对角线，沿着这些对角线一共把这个七边形剪成________个三角形． 8．（25-26八年级下·上海杨浦·课后作业）如图，有一块平行四边形草坪，边BC的长为，高AE的长为，则其面积为_______． 9．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）如图，菱形中，连接，若，则的度数为_______． 10．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，中，，请添加一个条件_____，可得出该四边形是正方形． 11．（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为______． 12．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，、分别是平行四边形的边、上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则阴影部分的面积为___．    13．（24-25八年级下·上海嘉定·月考）如图，在四边形中，，作、的平分线交于点称为第1次操作，作、的平分线交于点称为第2次操作，作、的平分线交于点，称为第3次操作，．．．，则第4次操作后的度数是______ 14．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，以边长为2的正方形的四边中点为顶点作第一个四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为______；所作的第n个四边形的周长为______． 15．（2025·上海杨浦·模拟预测）将边长为的正方形纸片按图所示方法进行对折，第次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为，，第次对折后得到的图形面积为，请根据图化简：______ ． 16．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）如图，在方格纸中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D均落在格点上． （1）______； （2）点P为线段BD的中点，过点P作直线，过点B作于点M，过点C作于点N，则四边形BCNM的面积为______． 17．（24-25八年级下·上海虹口·期中）如图，在四边形ABCD中，，，cm，cm，cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．若运动t s时，则运动时间t的值是______s． 18．（24-25八年级下·上海松江·期中）如图所示，在矩形中，，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形…依此类推，第n个平行四边形的面积是______． 三、答题（7小题，共64分） 19．（25-26八年级下·上海闵行·阶段练习）求图形中x的值． (1) (2) 20．（24-25八年级下·上海闵行·单元测试）如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 21．（25-26八年级下·上海金山·期中）如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 22．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 23．（25-26八年级下·上海松江·期末）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 24．（25-26八年级下·闵行·月考）已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 25．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $