专题03 相交线 平行线（阶段复习，十三大题型）-2025-2026学年 沪教版（五四制 )七年级数学下册期中期末专项练

专题03 相交线 平行线（阶段复习，十三大题型） 题型1：概念辨析Ⅰ 1．下列各选项中， 和 是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角．同位角是两直线被第三条直线所截形成的，具有特殊位置关系的两个角，解决本题的关键是观察图中两个角的位置关系，是否符合同位角的位置关系． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：A、 和 是同位角，故此选项符合题意； B、 和 是内错角，故此选项不符合题意； C、 和 是同旁内角，故此选项不符合题意； D、 和 是两条直线被第三条直线所截形成的，但是 在截线的左侧， 在截线的右侧，不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段 上取点C，使 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键．根据命题的定义分别进行判断即可． 【详解】解： 、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意； 、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意； 、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意； 、在线段 上取点C，使 为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意； 故选： ． 3．下列命题中，真命题的个数是(   ) ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可． 【详解】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题； 平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是真命题； 图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题； 两直线平行，内错角相等，④是假命题； 故选A． 【点睛】此题考查了命题与定理，解题关键在于熟练掌握各性质定义以及判定定理． 4．下列命题不正确的是（    ） A．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 B．两点之间直线最短 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交 【答案】B 【分析】本题考查垂线段的定义、两点之间的距离、平行线和相交线、直线的性质，掌握相关定理，是解题关键． 根据垂线段的定义、两点之间的距离、平行线和相交线、直线的性质进行分析即可． 【详解】解：A．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确； B． 两点之间线段最短，故选项说法错误； C．两点确定一条直线，正确． D．在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交，正确； 故选：B． 5．下列说法中，正确的是（　　） A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 B．平面内，互相垂直的两条直线不一定相交 C．直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cm D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】C 【分析】根据点到直线距离的定义分析，可判断选项A和C；根据相交线的定义分析，可判断选项B，根据垂线的定义分析，可判断选项D，从而完成求解． 【详解】从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，即选项A错误； 在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，即选项B错误； 直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cm，即选项C正确； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，即选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了点和直线的知识；解题的关键是熟练掌握点到直线距离、相交线、垂线的性质，从而完成求解． 题型2：概念填空、辨析Ⅱ 6．把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果___________，那么___________． 【答案】 两直线平行 同位角相等 【分析】本题考查命题的改写．掌握命题是由题设和结论两部分组成是解题的关键． 根据命题是由根据命题是由题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论改写即可． 【详解】解：把命题“两直线平行，内错角相等”表示成“如果…那么…”的形式是：如果两条直线平行，那么同位角相等． 故答案为：两条直线平行，同位角相等． 7．命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角都是锐角，那么这两个角互余 【分析】本题考查了命题的逆命题，找出原命题的条件和结论是解题的关键．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是“如果两个角都是锐角，那么这两个角互余”． 故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角互余． 8．能说明命题“若 ，则 ”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查举反例说明假命题，举出一个符合命题条件，但是结论相反的例子即为反例． 当a为负数，b为正数或0时，命题不成立，据此逐一判断即可． 【详解】解：A. 当 时， ， ，“若 ，则 ”是真命题； B. 当 时， ， ，“若 ，则 ”是真命题； C. 当 时    ， ， ，“若 ，则 ”是假命题； D. 当 时， ， ，条件不符合 故选：C． 9．如图，要把河中的水引到 处，可过 点引 于 ，然后沿 开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：______． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短．根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解：要把池中的水引到 处，可过 点引 于 ，然后沿 开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 10．如图， 与 是直线 和直线 被直线______所截而得到的______角． 【答案】 / 内错 【分析】本题考查了内错角的定义，两直线被第三条直线所截，在截线的两侧，被截线的内部的两个角是内错角，结合图形即可得出答案． 【详解】解： 与 是直线 和直线 被直线 所截而得到的内错角． 故答案为： ，内错． 11．如图， ，直线 和直线 的锐角夹角是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握邻补角互补的性质是解题的关键． 根据 ，结合已知条件即可求出 的度数，然后即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 即直线 和直线 的锐角夹角是 ， 故答案为： ． 12．如图，下列叙述不正确的是（   ） A． 和 是内错角 B． 和 是同位角 C． 和 是同旁内角 D． 和 是邻补角 【答案】C 【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角，邻补角，关键是掌握同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断． 【详解】解：A、 和 是内错角，说法正确，不符合题意； B、 和 是同位角，说法正确，不符合题意； C、 和 互为邻补角，不是同旁内角，说法错误，符合题意； D、 和 是邻补角，说法正确，不符合题意； 故选：C． 13．如图，在 中， ， 是边 上一点，且 ，那么下列说法错误的是（   ） A．直线 与直线 的夹角为 B．直线 与直线 的夹角为 C．线段 的长是点 到直线 的距离 D．线段 的长是点 到直线 的距离 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离和两直线的夹角，熟记两直线的夹角小于 和点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长是解题的关键．根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【详解】解：A、∵ ， ， ∴直线 与直线 的夹角为 ，正确，故本选项不符合题意； B、 ， ∴直线 与直线 的夹角为 ，正确，故本选项不符合题意； C、 ， ， ∴线段 的长是点 到直线 的距离，原说法错误，故本选项符合题意； D、 ， ∴线段 的长是点 到直线 的距离，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型3：平行线的判定 14．如图，在下列四组条件中，能判定 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由 ，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到 ，不能得到 ，不符合题意； B、由 ，不能得到 ，不符合题意； C、由 ，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到 ，符合题意； D、由 不能得到 ，不符合题意； 故选：C． 15．如图，点 在 的延长线上，下列条件能判断 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵ ， ∴ ， 该选项符合题意； B. ∵ ， ∴ ， 该选项不符合题意； C. ∵ ， ∴ ， 该选项不符合题意； D. ∵ ， ∴ ， 该选项不符合题意； 故选：A． 16．如图所示，下列条件中，不能判定直线 的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定定理，熟悉平行线的判定定理，是解题的关键．根据同位角、内错角、同旁内角的关系逐一分析各选项． 【详解】解： 选项中，当 时，不能判定 ，符合题意； 选项中，当 时， ，不符合题意； 选项中，当 时， ，不符合题意； 选项中，当 时， ，不符合题意. 故选： ． 题型4：添加一个条件成为平行线 17．如图所示，请添加一个合适的条件：________，使 （填一个即可）． 【答案】 或 或 （任填一个即可） 【分析】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键． 直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． 故答案为： 或 或 （任填一个即可）． 18．如图，点D在 上，任意添加一个条件，使得 ，则这个条件可以是________________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可． 本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可以添加条件为： ，答案不唯一． 故答案为： ． 题型5：平行线判定的应用 19．如图，借助三角板画直线 的操作过程，其数学依据是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据． 【详解】解：根据作图过程可知，画图的依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：C． 20．如图，将木条 ， 与木条 钉在一起， ，转动木条 ，当 （　　）时，木条a与b平行． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据题意可知 ，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图， 木条转动时 ． 当 时， ． ∴当 时，木条a与b平行． 故选：A． 题型6：平行线的性质及其应用 21．如图， ，若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到 ，再由邻补角的性质解答即可． 【详解】解：如图， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 22．如图，直线 分别与直线 、 交于点 、 ， ， ，则 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过平行线的性质找到与 相关的角，再利用邻补角的互补关系计算 的度数． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 23．如图， ，连接 ，且 平分 ， ，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行，内错角相等可得 的度数，再由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， 故选：A． 24．如图，直线 ，点 在直线 上，且 ， ，则 的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与垂直的定义，掌握垂直的夹角为 、邻补角的和为 是解题的关键． 先根据垂直的定义得到直角，结合 的度数、 可求出 的度数，再利用邻补角的关系求出 的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 与 是邻补角， ∴ ． 故答案为： ． 25．如图， ， 垂足为 ，交 于点 ， 交 于点 ，已知 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．利用平行线的内错角相等，结合直角的角度关系，求出对应角的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即 ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， 故选：C． 26．如图，若 ，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．根据两直线平行，同位角相等即可判定． 【详解】解： ， ，故选项D符合题意， 、 、 均不符合题意． 故选：D． 题型7：同一平面内三条直线的位置关系 27．在同一平面内，已知直线 、 、 ，且 ， ，那么直线 和 的位置关系是________． 【答案】 【分析】本题考查的是平行公理及其推论，即若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，那么另一条也垂直于这条直线． 根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 同一平面内，已知直线a、b、c，且 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 28．已知 ， ， 是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定及平行公理，在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行；在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；据此逐个判断得结论． 【详解】解：A：若 ， ，则 ，故该说法错误，不符合题意； B：若 ， ，则 ，故该说法错误，不符合题意； C：若 ， ，则 ，故该说法错误，不符合题意； D：若 ， ，则 ，故该说法正确，符合题意， 故选：D． 29．下列说法正确的是（　　） A．a、b、c是直线，若 ，则 B．a、b、c是直线，若 ，则 C．a、b、c是直线，若 ，则 D．a、b、c是直线，若 ，则 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可． 【详解】解：A．当 时， ，故本选项错误，不符合题意； B．在同一平面内，当 时， ，故本选项错误，不符合题意； C．当 时， ，故本选项错误，不符合题意； D．当 时， ，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行公理和推论，平行线的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行判断是解此题的关键，此题比较好，但是比较容易出错． 题型8：三角板问题 30．如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板上画的两条平行线a，b上．若 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，即两直线平行，同位角相等以及互余的两角，正确掌握知识点是解题的关键；先根据平行线的性质求出 的同位角，再由两角互余的性质求出 的度数即可； 【详解】解：∵直线 ， ， ∴ ， ∵三角板的直角顶点放在b上， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 31．将一把直尺与一块含有 角的直角三角板按如图方式放置，若 ，则 ________． 【答案】 /55度 【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，解题的关键是正确构造平行线，利用平行线的性质求解． 过点 作 ，由 ，得到 ，再由 得到 ， ，据此即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 ， ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 32．一副三角板按如图所示放置， ，则 的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中角的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． 根据 ，得出 ，从而求出 ． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 题型9：相交线、平行线的其他应用 33．如图，直线 和 相交于点 ， 平分 ， ，那么 __ ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，根据 ， 即可求出 的度数，根据角平分线的定义求出 的度数，最后根据对顶角相等即可求出 的度数． 【详解】解： 平分 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 34．已知两个角有一条边在同一条直线上，且另一边互相平行，若其中一个角的度数为 ，则另一个角的度数为___________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是做题的关键．根据平行线的性质，两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行时，则这两个角相等或互补，因此分类讨论即可． 【详解】解：如图， ， ， 则 ， ， 故另一个角的度数为 或 ． 故答案为： 或 ． 35．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（    ） A．第一次右拐 ，第二次左拐 B．第一次左拐 ，第二次右拐 C．第一次左拐 ，第二次左拐 D．第一次右拐 ，第二次右拐 【答案】B 【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意可得两次拐弯的方向不相同，但角度相等． 【详解】解：如图，第一次拐的角是 ，第二次拐的角是 ， 由两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进得： ， 由此可知，两次拐弯的方向不相同，但角度相等， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 题型10：（类）笔尖型 36．如图所示，已知 ，则 与 的位置关系是（   ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查两直线平行的判定与性质，直线平行的传递性，作合适的辅助线是解题的关键． 过 作 ，由平行的性质可得 ，进而得到 ，即 ，再由平行的传递性可得 ． 【详解】解：过 作 ， （两直线平行，内错角相等）， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， ， ． 故选：C． 37．如图， ，则 _______________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点 作 ，根据平行线的性质可得 ， ，根据 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： ． 题型11：折叠问题 38．如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵ ， ∴ ， ， ， ∴选项 一定成立， 由折叠可得， ，由条件无法判断 和 相等，故无法确定 ， ∴ 不一定成立， 故选： ． 39．将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若 ，则 的度数为_______°． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质； 先利用平行线的性质得出 ，再根据折叠的性质和平角的定义计算即可． 【详解】解：如图， 由长方形纸片可得， ， ， 由折叠得 ， ∴ 故答案为： ． 40．如图，将矩形纸条 折叠，折痕为 ，折叠后点C，D分别落在点 ， 处， 与 交于点G．已知 ，则 的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得出 ，求出 ，根据折叠得出 ，得出 ，求出结果即可． 【详解】解：∵矩形纸条 中 ， ∴ ， ∴ ， 根据折叠可知， ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等． 题型12：反证法 41．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图， ， ， 都被 所截． 求证： ． 证明：假设 　　 ． ∵ ， ∴ 　　 ． ∵ 　　 ， ∴ ，这和　　矛盾， ∴假设 　　 不成立，即 ． 【答案】 ； ； ；平角为 ； ． 【分析】根据反证法的一般步骤、平行线的性质、平角的定义证明． 【详解】证明：假设 ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ，这与平角为 矛盾， ∴假设 不成立，即 ． 故答案为： ； ； ；平角为 ； ． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 42．已知：如图，直线 ， 被 所截， ， 是同位角，且 ．求证： 不平行于 ． 【答案】见解析 【分析】用反证法证明即可． 【详解】解：假设 ，则 （两直线平行，同位角相等），这与 相矛盾， 假设不成立， 不平行于 ． 【点睛】本题主要考查了反证法和平行线的性质，熟知反证法是解题的关键． 题型13：解答题 43．按下列要求画图并填空： 如图，直线 与 相交于点 是 上的一点， (1)过点 画出 的垂线，交直线 于点 ． (2)过点 画出 ，垂足为点 ． (3)点 到直线 的距离是线段______的长． (4)点 到直线 的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)0 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离等知识： （1）（2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线 即为所求； （2）解：如图，直线 即为所求； （3）解：点O到直线 的距离是线段 的长． 故答案为： ； （4）解：点P到直线 的距离为0， 故答案为：0． 44．证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【答案】见解析 【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可． 【详解】已知：如图，直线 中， ， ，    求证： ． 证明：作直线 的截线 ，交点分别为 ．    ∵ , ∴ ， ∵ , ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 45．如图，直线 与 相交于点 ， 平分 ， ．已知 ，求 的度数．    【答案】 【分析】先利用对顶角的性质得到 ，再根据角平分线定义得到 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，接着利用垂直定义得到 ，则利用互余得到 即可求解． 【详解】解： 直线 与 相交于一点 ， ， 平分 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 46．如图，已知 ，求 的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据 得出 ，结合已知可得 ，即可证明 ，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 又∵ ， ∴ ． 47．如图，已知 平分 ，且 ，请完成下面的天空． 解：因为 平分 （已知）， 所以 （______）． 又因为 （已知）， 所以 ______（______） 所以 ______（______，两直线平行）． 所以 （两直线平行，______）． 【答案】角平分线的定义； ；等量代换； ；内错角相等；同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质与判定；先根据角平分线的定义，得出 ，再根据等量代换，得出 ，最后根据平行线的判定与性质得出结论． 【详解】解：因为 平分 （已知）， 所以 （角平分线的定义）． 又因为 （已知）， 所以 EMBED Equation.DSMT4 （等量代换） 所以 EMBED Equation.DSMT4 （内错角相等，两直线平行）． 所以 （两直线平行，同位角相等）． 48．如图，已知 ， ，那么 ，为什么？ 解：因为 （已知）， 所以 （                            ）， 所以 （                                  ）． 因为 （    ）， 所以 EMBED Equation.DSMT4 （    ），    即 ，                                                                                                                      所以 （                                ）， 所以 （ 两直线平行，内错角相等  ）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等式性质；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 先根据题意得出 ，故可得出 ，再由 得出 ，进而可得出 ，据此可得出结论． 【详解】解：因为 （已知）， 所以 （同旁内角互补，两直线平行）， 所以 （两直线平行，内错角相等）． 因为 （已知）， 所以 EMBED Equation.DSMT4 （等式性质），    即 ，                                                                                                                      所以 （内错角相等，两直线平行）， 所以 （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等式性质；内错角相等，两直线平行． 49．如图，已知点E、F在直线 上，点N在线段 上， 与 交于点M， ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键： （1）由 ，推出 ，进而推出 ，即可得证； （2）根据平行线性质，角的和差关系，以及对顶角相等，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． （2）∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 50．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中 ， ， ．     (1)填空： 与 的数量关系：_____；理由是_____； (2)直接写出 与 的数量关系：_____； (3)如图2，当点E在直线 的上方时，将三角尺 固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当 时．画出图形，并求出 的度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？请直接写出此时 角度所有可能的值． 【答案】(1) ，同角的余角相等 (2) (3)①图见解析， ；②存在， 或 或 或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中的角度计算，余角的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据余角的性质进行解答即可； （2）根据角度之间的关系进行解答即可； （3）①根据题意画出图形，作 ，利用平行线的性质进行解答即可； ②分别画出图形，利用平行线的性质求出 的度数即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ， ∴ （同角的余角相等）， 故答案为： ，同角的余角相等； （2）解：∵ ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ； （3）解：①如图3，当 时，作 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； ②存在， 如图4，当 时， ， ∴ ； 如图5，当 时， ； 如图6，当 时， ， ∴ ； 如图7，当 时， ， ∴ ．      综上，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相交线 平行线（阶段复习，十三大题型） 题型1：概念辨析Ⅰ 1．下列各选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 2．下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 3．下列命题中，真命题的个数是(   ) ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等． A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列命题不正确的是（    ） A．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 B．两点之间直线最短 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交 5．下列说法中，正确的是（　　） A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 B．平面内，互相垂直的两条直线不一定相交 C．直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cm D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 题型2：概念填空、辨析Ⅱ 6．把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果___________，那么___________． 7．命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是_______． 8．能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 9．如图，要把河中的水引到处，可过点引于，然后沿开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：______． 10．如图，与是直线和直线被直线______所截而得到的______角． 11．如图，，直线和直线的锐角夹角是______． 12．如图，下列叙述不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 13．如图，在中，，是边上一点，且，那么下列说法错误的是（   ） A．直线与直线的夹角为 B．直线与直线的夹角为 C．线段的长是点到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离 题型3：平行线的判定 14．如图，在下列四组条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 15．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 16．如图所示，下列条件中，不能判定直线的是（   ）． A． B． C． D． 题型4：添加一个条件成为平行线 17．如图所示，请添加一个合适的条件：________，使（填一个即可）． 18．如图，点D在上，任意添加一个条件，使得，则这个条件可以是________________． 题型5：平行线判定的应用 19．如图，借助三角板画直线的操作过程，其数学依据是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 20．如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当（　　）时，木条a与b平行． A． B． C． D． 题型6：平行线的性质及其应用 21．如图，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 22．如图，直线分别与直线、交于点、，，，则等于（    ） A． B． C． D． 23．如图，，连接，且平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．如图，直线，点在直线上，且，，则的度数是________． 25．如图，，垂足为，交于点，交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 26．如图，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 题型7：同一平面内三条直线的位置关系 27．在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是________． 28．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 29．下列说法正确的是（　　） A．a、b、c是直线，若，则 B．a、b、c是直线，若，则 C．a、b、c是直线，若，则 D．a、b、c是直线，若，则 题型8：三角板问题 30．如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板上画的两条平行线a，b上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 31．将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则________． 32．一副三角板按如图所示放置，，则的度数为_____． 题型9：相交线、平行线的其他应用 33．如图，直线和相交于点，平分，，那么__． 34．已知两个角有一条边在同一条直线上，且另一边互相平行，若其中一个角的度数为，则另一个角的度数为___________． 35．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 题型10：（类）笔尖型 36．如图所示，已知，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．无法确定 37．如图， ，则 _______________． 题型11：折叠问题 38．如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 39．将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为_______°． 40．如图，将矩形纸条折叠，折痕为，折叠后点C，D分别落在点，处，与交于点G．已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 题型12：反证法 41．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截． 求证：． 证明：假设　　． ∵， ∴　　． ∵　　， ∴，这和　　矛盾， ∴假设　　不成立，即． 42．已知：如图，直线，被所截，，是同位角，且．求证：不平行于． 题型13：解答题 43．按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 44．证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 45．如图，直线与相交于点，平分，．已知，求的度数．    46．如图，已知，求的度数． 47．如图，已知平分，且，请完成下面的天空． 解：因为平分（已知）， 所以（______）． 又因为（已知）， 所以______（______） 所以______（______，两直线平行）． 所以（两直线平行，______）． 48．如图，已知，，那么，为什么？ 解：因为 （已知）， 所以（                            ）， 所以（                                  ）． 因为（    ）， 所以 （    ），    即，                                                                                                                      所以（                                ）， 所以（ 两直线平行，内错角相等  ）． 49．如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 50．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，．     (1)填空：与的数量关系：_____；理由是_____； (2)直接写出与的数量关系：_____； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当时．画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $