精品解析：吉林长春市吉林大学附属中学2025-2026学年九年级下学期数学学情自测试题

数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升2m记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 水位下降记作， ∴ 水位上升应记作． 2. 如图为小美同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体是（ ） A. 棱锥 B. 球 C. 圆锥 D. 圆柱 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的识别．根据棱柱，棱锥，球，圆锥，圆柱的特点分析即可． 【详解】解：由题意可得：该作品中有棱柱，球，圆锥，圆柱，没有棱锥， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行判断即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C符合题意； D．，故D不符合题意， 故选：C． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，在解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的区别，这是解答此类题目的易错点； 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来，选出符合条件的选项即可； 详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故此不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：D． 5. 2025年10月17日15时08分，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将千帆极轨18组卫星发射升空．如图当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】在直角三角形中，对于一个锐角θ，‌正弦函数定义为该角的对边与斜边的比值‌，即：． 【详解】解：由题意得： ∴千米 6. 已知一次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键，在中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．利用一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：， ∴随的增大而增大． ， ， 故选：A． 7. 将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，折痕为和．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠性质、平行线分线段成比例定理，关键是知识点的灵活应用； 由折叠可得，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵， ∴，B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：，C选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，D选项错误，符合题意； 故选：D． 8. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案. 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故选：D ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 10. 写出的一个同类项：___________． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【详解】解：根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，可得的一个同类项为（答案不唯一）． 11. 已知，则___________． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，先把化简为，再整体代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：1． 12. 一个扇形的半径为3，面积为，则此扇形的圆心角为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式．直接代入扇形面积公式求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为度．扇形的面积公式为． 其中，代入得， 整理得 解得． 13. 若一个边形的每个外角都为，那么边数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和定理． 根据多边形的外角和定理，计算即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为，一个边形的每个外角都为， ∴边数， 故答案为：． 14. 如图，在中，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于两点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点．连接并延长交于，连接，交分别于两点．给出下面四个结论：①是等边三角形；②四边形是菱形；③；④，上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形得，结合角平分线定义推出，进而得，再结合作图知，故且，证得四边形是平行四边形，又，所以四边形是菱形；由题中条件无法确定的度数，故不一定是等边三角形；根据四边形是菱形得，算出，再由证得，利用相似三角形性质得，即；由得，结合相似三角形性质及已知边长求出的长度，进而算得． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ． ∴ ． 由作图可知,平分， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ 以点为圆心,长为半径画弧交于点， ∴ ． ∴ ，且， ∴ 四边形是平行四边形． 又∵ ， ∴ 四边形是菱形，故结论②正确； ∵ 题目未给出的具体度数，无法保证 ∴ 不一定是等边三角形，结论①错误； ∵ 四边形是菱形 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ，故结论③正确； ∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴，故结论④正确； 综上，正确结论的序号为②③④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，最后运算除法，得，再把分别代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵，， ∴． 16. 2025年3月14日(国际圆周率日)发行了名称为《数学之美》的邮票．如图，：“圆周率”、：“勾股定理”、：“欧拉公式”、：“莫比乌斯环带”．(邮票背面完全相同)．将这四张邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽取一张，则抽取的邮票刚好是的概率是________； （2）从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽取的邮票刚好是的结果有种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到的两张邮票恰好是和的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取的邮票刚好是A的结果有1种， ∴抽取的邮票刚好是的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有12种等可能结果，其中抽到的两张邮票恰好是和的结果有：，，共2种， ∴抽到的两张邮票恰好是和的概率为． 17. 如图，的对角线相交于点O，且，，，求证：是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理，证明，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，熟练掌握定理和判定是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形，，， ∴，． ∵， 故， ∴为直角三角形，且． ∴． ∴四边形是菱形． 18. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 【答案】购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决实际问题；设购买一个A种机器人需要x万元，则一个B种机器人需要万元，利用“用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍”作为等量关系建立方程求解即可. 【详解】解：设购买一个A种机器人需要x万元，则一个B种机器人需要万元 去分母得： 解得： 经检验是原方程解 ∴ 答：购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元. 19. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中以为边画一个钝角三角形，使； （2）在图②中以为边画一个，使； （3）在图③中以为边画一个，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）过点B作于点M，通过角的正切值的求解方法求解； （2）通过勾股求出边长，再通过勾股定理逆定理求解判断 （3）通过角的正切值的求解方法求解； 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点M， ， 则即为所求（答案不唯一）； 【小问2详解】 如图， ，， ，； 如图： ，， ，； 则即为所求（答案不唯一）； 【小问3详解】 如图， 则即为所求 【点睛】网格作图仍然是基于尺规作图原理，网格是由大小完全相同的正方形排列而成，它的基本构成是网格线和格点，其中网格线之间的关系为平行或垂直，相邻网格线间的距离相等，网格线的交点为格点，通常情况下，网格会有大小限制，并非无限延伸． 20. 自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．某中学在七年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整的统计图表： 分组 频数 A. 4 B. C. 36 D. 16 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次一共随机抽取了___________名学生的成绩； （2）求出m，n的值； （3）将频数分布直方图补充完整； （4）扇形统计图中，“C.”组所对应的扇形圆心角的度数是___________． 【答案】（1）80 （2）， （3） 见详解 （4）162 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握样本百分比的计算，圆心角度数的计算是关键． （1）根据A组的频数与百分比计算即可； （2）由样本容量及A，C，D组的频数即可得到m的值，根据各项百分比的计算方法得到n的值； （3）根据B组的人数补全图形即可； （4）根据圆心角度数的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：A组的频数为4，百分比为， ∴， ∴本次一共随机抽取了80名学生的成绩； 【小问2详解】 解：，， ∴； 【小问3详解】 解：B组有24人，补全图形如下， 【小问4详解】 解：， ∴“C.”组所对应的扇形圆心角的度数是， 故答案为：162． 21. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放．从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表1： 表1：电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 表2：汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据． ①直接写出关于的函数表达式； ②直接写出关于的函数表达式： 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1）①，②；（2）25分钟 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【详解】解：①设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入，得， 解得， 关于的函数表达式为． ②设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入， 得，解得， 关于的函数表达式为． （2）当时，， 行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为，充电分钟后，增加的电量为， 充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为 行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， ． 答：电动汽车在服务区充电25分钟． 22. 【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置是否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？ 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于C的点， 是的外角， ______（填“、或”）， 又 ______， ． 眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上的展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 【答案】米勒定理∶，；问题解决∶ 围栏放在距离墙壁米位置最合适 【解析】 【分析】米勒定理∶由得，由圆的基本性质得，即可求证； 问题解决∶过作交于，由矩形的判定方法得 四边形是矩形，由矩形的性质得，，由线段和差可求，，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】米勒定理 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于C的点， 是的外角， ， （填“、或”）， 又， ， ， 眼睛位于点C处时，最大， 故答案：，； 问题解决∶ 解：如图，过作交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 故围栏放在距离墙壁米位置最合适． 【点睛】本题考查了矩形的判定及性质，圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，掌握性质，理解米勒定理及题意中线段的实际意义，构建直角三角形用勾股定理求解是解题的关键． 23. 如图，在等边中，，点为边的中点，点为边上一动点，连结，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段． （1）当时，线段的长为___________； （2）当点在边上时，求证：； （3）当点到的距离是点到距离的3倍时，求的长； （4）直接写出的最小值． 【答案】（1）6 （2）见解析 （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）利用旋转性质和等边三角形性质、证明，，再根据含直角三角形的性质即可得出结论； （2）先证明，然后利用全等三角形的判定可得答案； （3），，过点作，过点作，证明，得出，再根据点到的距离是点到距离的3倍时，即，可求的长，从而求出，由此即可求出. （4）过点E作于点M，过点F作于点N，连接，设，先根据三角形的外角性质和含30度角的直角三角形的性质得到，，则，，再证明，得到，，进而利用勾股定理可得到，利用平方式的非负性可得答案， 【小问1详解】 解：如图1， ∵是等边三角形， ∴， ∵， 由旋转性质，得， ∵， ∴， ∴ ∴． 【小问2详解】 证明：如图2， 由题意得，， ∵，， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：作，，过点作，过点作， ∴，， ∴，，， 由（2）可得：， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当点在内时，如图，点到的距离是点到距离的3倍时，即， ∴，， ∴， ∴，此时， 当点在外时，如图，点到的距离是点到距离的3倍时，即， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为或. 【小问4详解】 解：过点E作于点M，过点F作于点N，连接 设 ∵，， ∴，， ∴， ∴，则 ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 当时取等号．，即. ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、旋转性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点在该抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，以为对角线构造矩形且点的纵坐标与点的纵坐标相同． （1）求此抛物线对应的函数表达式并写出点坐标； （2）___________； （3）抛物线在两点之间的部分（包括两点）记为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，当时，求的取值范围； （4）设矩形边与抛物线的交点为（点不与该矩形的顶点重合），当与矩形的面积之比为时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）1 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）把点A，C的坐标代入计算得到抛物线解析式，再根据抛物线与x轴的交点的计算方法，令，解一元二次方程得到点B的坐标； （2）根据抛物线的特点得到，结合题意，由矩形的性质得到轴，，再根据正切值的计算即可求解； （3）根据题意分类讨论，结合图示，解方程即可求解； （4）根据抛物线图象的性质，矩形的性质，中线平分面积的知识，数形结合分析即可． 【小问1详解】 解：抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点， ∴， 解得，， ∴抛物线对应的函数表达式为， 当时，，则， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：已知抛物线解析式为， ∵点在该抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴， 当时，， ∴， ∵以为对角线构造矩形且点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴点的纵坐标为，轴，， 如图所示， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：， ∴抛物线图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为， ∵，图象的最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴当时，顶点为最高点，点A为最低点，符合题意， ∴； 当时，，即， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）； 综上所述，当时，的取值范围为：或； 【小问4详解】 解：由（2）可知，矩形是正方形， ∴， ∴， 当与矩形的面积之比为时，矩形的边与抛物线的交点为矩形边的中点， 第一种情况：当时，，即点在点左边，如图所示， ∴点为线段的中点，且点关于抛物线对称轴直线对称， ∴，则， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴时，与矩形的面积之比为； 第二种情况，当时，，即点在点右边，如图所示， ∴点为线段的中点，且点关于抛物线对称轴直线对称， ∴，则， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，当时，与矩形的面积之比为； 综上所述，当或时，与矩形的面积之比为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升2m记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图为小美同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体是（ ） A. 棱锥 B. 球 C. 圆锥 D. 圆柱 3. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年10月17日15时08分，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将千帆极轨18组卫星发射升空．如图当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 6. 已知一次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，折痕为和．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 的立方根是__________． 10. 写出的一个同类项：___________． 11. 已知，则___________． 12. 一个扇形的半径为3，面积为，则此扇形的圆心角为___________度． 13. 若一个边形的每个外角都为，那么边数为________． 14. 如图，在中，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于两点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点．连接并延长交于，连接，交分别于两点．给出下面四个结论：①是等边三角形；②四边形是菱形；③；④，上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 2025年3月14日(国际圆周率日)发行了名称为《数学之美》的邮票．如图，：“圆周率”、：“勾股定理”、：“欧拉公式”、：“莫比乌斯环带”．(邮票背面完全相同)．将这四张邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽取一张，则抽取的邮票刚好是的概率是________； （2）从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 17. 如图，的对角线相交于点O，且，，，求证：是菱形． 18. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 19. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中以为边画一个钝角三角形，使； （2）在图②中以为边画一个，使； （3）在图③中以为边画一个，使． 20. 自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．某中学在七年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整的统计图表： 分组 频数 A. 4 B. C. 36 D 16 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次一共随机抽取了___________名学生的成绩； （2）求出m，n的值； （3）将频数分布直方图补充完整； （4）扇形统计图中，“C.”组所对应的扇形圆心角的度数是___________． 21. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放．从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系数据记录如表1： 表1：电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 表2：汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据． ①直接写出关于的函数表达式； ②直接写出关于的函数表达式： 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 22. 【发现问题】如图1，在画展厅，为保护展品，会放置围栏分隔观赏者和展品，现在数学小组想知道围栏位置否合适，做出以下研究． 【资料查阅】1471年德国数学家米勒也提出过类似问题，如图2，观赏最佳的位置就是展品的最高点A与最低点B与观赏者的眼睛C所形成的视角最大． 【米勒定理】如图3，当经过A，B，C三点的与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想．这是为什么呢？ 请思考后完成填空： 设点是上任意一个异于C的点， 是的外角， ______（填“、或”）， 又 ______， ． 眼睛位于点C处时，最大． 【问题解决】如图4，在上述定理基础上，假如竖直墙壁上展品的最高点A距离地面的高度为3.4米，最低点B距离地面的高度为2.4米，观赏者的眼睛C距离地面的高度为1.6米，那么围栏放在什么位置最合适呢？ 23. 如图，在等边中，，点为边的中点，点为边上一动点，连结，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段． （1）当时，线段的长为___________； （2）当点在边上时，求证：； （3）当点到距离是点到距离的3倍时，求的长； （4）直接写出的最小值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点在该抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，以为对角线构造矩形且点的纵坐标与点的纵坐标相同． （1）求此抛物线对应的函数表达式并写出点坐标； （2）___________； （3）抛物线在两点之间的部分（包括两点）记为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，当时，求的取值范围； （4）设矩形的边与抛物线的交点为（点不与该矩形的顶点重合），当与矩形的面积之比为时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $