第15章 分式 单元培优练习 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

第15章 分式 单元培优练习 一．选择题 1．下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D．yπ 2．极薄规格的锡箔纸厚度可达0.000025毫米，通常用于高灵敏度电子元件．数据0.000025用科学记数法表示为（　　） A．2.5×10﹣5 B．2.5×10﹣4 C．25×10﹣4 D．0.25×10﹣6 3．分式的运算结果为x﹣1，则“□”处的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 4．关于x的方程有增根，则m的值是（　　） A．0 B．5 C．3 D．3或5 5．若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1且k≠0 B．k＞﹣1 C．k≥1且k≠0 D．k≥1 6．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套“四大名著”后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，因此又用2400元购买了第二批该套书，此时正赶上图书城八折优惠，于是第二批购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（　　） A．4 B．4 C．4 D．4 7．下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 8．定义运算“※”：．若5※x＝﹣1，则x的值为（　　） A． B．或10 C．10 D．不存在 9．下面是马小虎的答卷，他的得分应是（　　） 姓名 马小虎 得分？ 判断题（每小题20分，共100分） （1）代数式，是分式．（√） （2）当x＝﹣1时，分式无意义．（×） （3）不是最简分式．（×） （4）若分式的值为0，则x的值为±2．（√） （5）分式中x，y的值均扩大为原来的2倍，分式的值保持不变．（×） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 10．某果干加工坊要加工780千克梨千，本次加工采用了新工艺，工效提高了30%，加工同样重量的梨干比原来就少用9h．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工x千克梨干，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题 11．如果，那么x的值为　 　 ． 12．若分式的值为零，则x的值为　 　 ． 13．若分式有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 14．若关于x的不等式组有且仅有3个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和是　 　 ． 15．已知，则的值为　 　 ． 16．我们把形如xa+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“完美分式方程”．例如x4为完美分式方程，可化为x1+3，∴x1＝1，x2＝3．例如：x2为完美分式方程，可化为x（﹣2）+4，∴x1＝﹣2，x2＝4．应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程x1的两个解分别为x1＝m，x2＝n，则的值为　 　 ． 三．解答题 17．计算： ． 18．解方程： （1）； （2）． 19．我们把形如xa+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”． 例如：x4为“十字分式方程”，可化为x1+3，∴x1＝1，x2＝3． 再如：x6为“十字分式方程”，可化为x（﹣2）+（﹣4）， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣4 应用上面的结论解答下列问题： （1）若x7为“十字分式方程”，则x1＝　 　 ，x2＝　 　 ； （2）若“十字分式方程”x2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求代数式m3n+mn3的值； （3）若关于x的“十字分式方程”xk+3（k＞0）的两个解分别为x1，x2，其中x1＞x2，求的值． 20．列方程解下列问题：重庆是一座兼具山水之美与烟火气息的热门旅游城市，美景与美食都让游客们流连忘返．顾客甲在某特产店购买了3个火锅底料礼盒和2个麻花礼盒，共花费195元．已知一个火锅底料礼盒的销售单价比一个麻花礼盒的销售单价的2倍少15元． （1）求该特产店中一个火锅底料礼盒和一个麻花礼盒的销售单价分别是多少元？ （2）春节临近，为了扩大店内销量，该特产店决定每个火锅底料礼盒的销售单价降价2m元，每个麻花礼盒的销售单价降价m元．降价后，顾客乙购买火锅底料礼盒花费了140元，购买麻花礼盒花费了200元，且购买麻花礼盒的数量是购买火锅底料礼盒数量的2倍，求m的值． 21．甲乙两个工程队计划参加一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的．这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程，求乙队单独施工完成该项工程需要的天数，设乙队单独施工完成该项工程需要x天． （1）根据题意，填写下表． 工程队 工作时间/天 工作效率 工作总量 甲 30 　 　 乙 x 　 　 1 （2）列出方程，并求出问题的解． 22．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“慧中式”，这个常数称为A关于B的“慧中值”． 如分式，，，则A是B的“慧中式”，A关于B的“慧中值”为2． （1）分式是分式的“慧中式”，则M关于N的“慧中值”为　 　 ； （2）已知分式，，判断C是否为D的“慧中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“慧中值”； （3）已知分式，，P是Q的“慧中式”，且P关于Q的“慧中值”是2，x为整数，且“慧中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A． D B A B B D B B 二．填空题 11．． 12．﹣3． 13．x≠3． 14．15． 15．2． 16．． 三．解答题 17．解： ． 18．解：（1）， 方程两边同时乘x（x﹣2），得x﹣2＝3x， 移项、合并同类项，得2x＝﹣2， 解得：x＝﹣1， 把x＝﹣1代入x（x﹣2）≠0， 所以x＝﹣1是分式方程的解； （2）， 方程两边同时乘（x﹣3），得2＝x﹣3+2， 解得：x＝3， 把x＝3代入x﹣3＝0， 所以x＝3是分式方程的增根， 所以原分式方程无解． 19．解：（1）∵x7为“十字分式方程”， ∴x（﹣2）+（﹣5）， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣5． 故答案为：﹣2；﹣5； （2）∵x2， ∴x（﹣2）+4， ∴x1＝﹣2，x2＝4， 即m＝﹣2，n＝4， ∴m3n+mn3 ＝（﹣2）3×4+（﹣2）×43 ＝﹣32﹣128 ＝﹣160； （3）∵xk+3， ∴（x﹣1）2k+（k+2）， ∵k＞0，x1＞x2， ∴x1＝k+2，x2＝﹣2k， ∴ ． 20．解：（1）设该特产店中一个麻花礼盒的销售单价是x元，则一个火锅底料礼盒的销售单价是（2x﹣15）元， 根据题意得：3（2x﹣15）+2x＝195， 解得：x＝30， ∴2x﹣15＝2×30﹣15＝45（元）． 答：该特产店中一个火锅底料礼盒的销售单价是45元，一个麻花礼盒的销售单价是30元； （2）根据题意得：2， 解得：m＝5， 经检验，m＝5是所列方程的解，且符合题意． 答：m的值为5． 21．解：（1）设乙队单独施工完成该项工程需要x天，则甲工程队单独施工的工作效率为， 乙工程队单独施工的工作效率为， 故答案为：，； （2）根据题意得：（30+15）1， 解得：x＝30， 经检验：x＝30是所列方程的解，且符合题意， 答：乙队单独施工完成该项工程需要30天． 22．解：（1）根据新定义计算可得： ， ∴M关于N的“慧中值”为：3． 故答案为：3； （2）∵， ∴C﹣D ， ∴C不是D的“慧中式”； （3）由条件可知P﹣Q＝2， ∴， ∴E﹣2x（3+x）＝2（9﹣x2）， ∴E＝18+6x， ∴， ∵x为整数，且“雅中式”P的值也为整数， ∴3﹣x是6的因数， ∴3﹣x的值可能是±1，±2，±3，±6， 由3﹣x＝1，解得x＝2， 由3﹣x＝﹣1，解得x＝4， 由3﹣x＝2，解得x＝1， 由3﹣x＝﹣2，解得x＝5， 由3﹣x＝3，解得x＝0， 由3﹣x＝﹣3，解得x＝6， 由3﹣x＝6，解得x＝﹣3， 由3﹣x＝﹣6，解得x＝9， 根据分式的意义可知9﹣x2≠0， ∴x≠±3， ∴x的值为2，4，1，5，0，6，9， ∴2+4+1+5+0+6+9＝27． ∴E所代表的代数式为18+6x，所有符合条件的x的值之和为27． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/9 19:23:51；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $