6.2矩形的性质与判定 同步练习2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

6.2.3矩形的性质与判定的综合运用 基础夯实 1.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是( ) A.四边形 ABCD 由矩形变为平行四边形 B.对角线 BD 的长度减小 C.四边形ABCD 的面积不变 D.四边形ABCD 的周长不变 2.如图,已知在四边形 ABCD 中,AB=DC,AD=BC,连接AC,BD,AC 与BD 交于点O,若 AO=BO,AD=3,AB=2,则四边形ABCD 的面积为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 3.如图，O 为菱形 ABCD 的对角线的交点，DE∥AC,CE∥BD,若AC=6,BD=8,则线段 OE 的长为 ( ) A.3 B. C.5 D.6 4.如图，在平面直角坐标系中，. ∠AOB 内一个动点 P 到这个角两边的距离之和为5，则图中四边形 AOBP 的周长是 5.如图,在平行四边形 ABCD 中,CE⊥AD 于点E,点 F 在 BC上,且 BF=DE. (1)求证:四边形 AFCE 是矩形; (2)连接 EF,若 EF∥DC,DE=2,CE=4.求平行四边形 ABCD 的面积。 能力提升 6.如图，在 中，AB=8,BC=6,AC=10,D 为边AC上一动点, 于点E， 于点 F，则EF 的最小值为( ) A.5 B.4.8 C.3 D.2.4 7.(宁波中考)如图，以钝角三角形 ABC 的最长边 BC 为边向外作矩形 BCDE,连接 AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD 的面积分别为S,S₁,S₂,若要求出( 的值，只需知道 ( ) A.△ABE 的面积 B.△ACD 的面积 C.△ABC 的面积 D.矩形 BCDE 的面积 8.(2024·淄博高青县期中)如图，四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 交于点O,E是边AD 的中点,过点 E 作EF⊥BD,EG⊥AC,点 F,G 为垂足,若 AC=10,BD=24,则 FG 的长为 ( ) A.5 B.6.5 C.10 D.12 9. 如图,在 四边 形 ABCD 中,∠A = 60°,∠ABC=∠ADC=90°,BC=1,CD=10,过D 作 DH⊥AB 于点 H,则 DH 的长是 10.如图,在▱ABCD 中,AE⊥BC 于点 E,延长 BC 至点 F,使 CF=BE,连接 DF,AF与DE 交于点O. (1)求证:四边形AEFD 为矩形; (2)若AB=3,OE=2,BF=5,求 DF 的长. 素养培优 11.如图,在△ABC 中,AC=3,BC=4,AB=5,点 P 在AB 上(不与点 A,B 重合),过点P 作. ，垂足分别是 E，F,连接 EF,M 为EF 的中点. (1)请判断四边形 PECF 的形状，并说明理由； (2)随着点 P 在边 AB 上位置的改变,CM的长度是否也会改变?若不变，求CM 的长度；若有变化，求CM 的变化范围. 1. C解析：向左扭动矩形框架ABCD，改变了四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意； 此时对角线BD减小，对角线AC 增大，B不符合题意；BC 边上的高减小，故面积变小，C符合题意； 四边形的四条边不变，故周长不变，D不符合题意.故选 C. 2. C 3. C 4.10 5.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC. ∵BF=DE, ∴AD-DE=BC-BF,即AE=CF. 又∵AE∥CF,∴四边形AFCE 是平行四边形. ∵CE⊥AD.∴∠AEC=90°, ∴平行四边形AFCE 是矩形. (2)解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC. ∵EF∥DC,∴四边形 EFCD 是平行四边形, ∴CF=DE=2. ∵BF=DE, ∴AD=BC=CF+BF=CF+DE=2+2=4. ∵CE⊥AD,∴S平行四边形ABCD=BC·CE=4×4=16. 6. B 解析:如图,连接BD. ∵在△ABC 中,AB=8,BC=6,AC=10, ,即∠ABC=90°. 又∵DE⊥AB 于点E,DF⊥BC 于点F, ∴四边形EDFB 是矩形, ∴EF=BD. ∵BD的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，即4.8， ∴EF 的最小值为4.8. 故选B. 7. C 解析:如图,作AG⊥ED 于点G,交 BC 于点F. ∵四边形 BCDE 是矩形, ∴∠FBE=∠BEG=∠FGE=90°,BC∥ED,BC=ED,BE=CD, ∴四边形 BFGE 是矩形,∠AFB=∠FGE=90°, ∴FG=BE=CD,AF⊥BC, ∴只需知道S△ABC，就可求出 的值，故选 C. 8. B 解析:如图,连接OE. ∵四边形 ABCD 是菱形,AC=10,BD=24, ∴OA=OC=5,OB=OD=12,AC⊥BD. 在 Rt△AOD 中, 又∵E 是边AD的中点， ∵EF⊥BD,EG⊥AC,AC⊥BD, ∴∠EFO=∠EGO=∠GOF=90°, ∴四边形 EFOG 为矩形, ∴FG=OE=6.5.故选B. 9.6 10.(1)证明:∵BE=CF, ∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC,AD=BC,∴AD=BC=EF. 又∵AD∥EF,∴四边形AEFD为平行四边形. ∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°, ∴平行四边形AEFD 为矩形. (2)解:由(1)知,四边形AEFD 为矩形, ∴DF=AE,AF=DE=2OE=4. ∵AB=3,AF=4,BF=5, ∴△BAF 为直角三角形,∠BAF=90°, ∴AB·AF=BF·AE,即3×4=5AE, 11.解:(1)四边形 PECF 是矩形. 理由:在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5, ∴∠ACB=90°. ∵PE⊥AC,PF⊥BC, ∴∠PEC=∠ACB=∠CFP=90°, ∴四边形 PECF 是矩形. (2)CM 的长度会改变. 如图,连接 PM.由(1)知,四边形 PECF 是矩形,则 M 为 PC的中点， 过点C作CD⊥AB 于点.D、 ∵点 P 在斜边AB 上(不与A,B 重合), ∴CD≤PC<BC.∴PC 的变化范围是2.4≤PC<4. ∴CM 的变化范围是1.2≤CM<2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2矩形的判定 基础夯实 知识点一 利用对角线的关系判定矩形 1.四边形ABCD 的对角线AC,BD 互相平分,要使它成为矩形，可添加条件 ( ) A. AB=CD B. AC=BD C. AB∥CD D. AC⊥BD 2.如图，为了检查平行四边形书架 ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线 AC，BD 的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 . 3.如图,平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD相交于点O,AE⊥BD 于点 E,DF⊥AC 于点F,且AE=DF.求证:四边形ABCD是矩形. 知识点二 利用直角的个数判定矩形 4.在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是 ( ) A.测量其中三个角是否为直角 B.测量两组对边是否相等 C.测量对角线是否相互平分 D.测量对角线是否相等 5.[教材 P15 做一做变式]如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当∠α为 度时，两条对角线长度相等. 6.(2024·长春)如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠B=90°,O 是边 AB 的中点,∠AOD=∠BOC.求证:四边形 ABCD 是矩形. 易错点悟 对矩形的判定方法理解错误导致出错 7.在一组对边平行的四边形中，下列条件中，可判定这个四边形是矩形的是 ( ) A.另一组对边相等，对角线相等 B.另一组对边相等，对角线互相垂直 C.另一组对边平行，对角线相等 D.另一组对边平行，对角线互相垂直 能力提升 8.如图，直角三角形 ABC 的面积为4，点 D 是斜边AB 的中点,过点 D 作 DE⊥AC 于点E,DF⊥BC 于点 F,则四边形 DECF 的面积为 ( ) A.1 B.2 C.2.5 D.3 9.四边形的两条对角线 时，连接四条边的中点，得到的新四边形是矩形.( ) A.垂直 B.相等 C.垂直平分 D.相等平分 10.在平面直角坐标系中,已知点 A(-2、-1),点 B(2,3),点 C(2,-1),在平面直角坐标系中找一点 D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形为矩形，则BD 的长为 、点D的坐标为 . 11.(2024·北京西城区校级模拟)如图，在平行四边形 ABCD 中,过对角线AC 的中点O作直线分别交BC，AD 于点 E，F，只需添加一个条件即可证明四边形 AECF 是矩形，这个条件可以是 .(写出一个即可) 12.如图,菱形 ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点O,DE⊥AB 于点 E,交 AC 于点 P,BF⊥DC 于点F. (1)判断四边形 DEBF 的形状，并写出证明过程； (2)若 BE=4,BF=8,求 DP 的长. 13.如图,线段 DE 与 AF 分别为△ABC 的中位线与中线. (1)求证:AF 与DE 互相平分; (2)当线段 AF 与 BC 满足怎样的数量关系时，四边形 ADFE 为矩形?请说明理由. 14.如图,在四边形 ABCD 中,AD=26cm,DC=10cm,CB=5cm,D,C 两点到 AB的距离分别为 10 cm 和 4 cm,求四边形ABCD 的面积. 1. B 解析:由四边形ABCD 的对角线AC,BD 互相平分,可知四边形ABCD 为平行四边形。添加条件AC=BD，可证明四边形ABCD 是矩形，故B符合题意. A，C，D选项均无法证明四边形ABCD 是矩形.故选 B. 2.对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 3.证明:∵AE⊥BD,DF⊥AC, ∴∠AEO=∠DFO=90°. 又∵AE=DF,∠AOE=∠DOF, ∴△AEO≌△DFO(AAS), ∴AO=DO. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO=DO=BO, ∴AC=BD, ∴四边形ABCD 是矩形. 4. A 5.90 解析：根据题意，得∠α=90°时，四边形为矩形，故两条对角线相等. 6.解:∵O是边AB 的中点,∴OA=OB. 在△AOD 和△BOC 中, ∴△AOD≌△BOC(ASA),∴DA=CB. ∵∠A=∠B=90°,∴DA∥CB, ∴四边形ABCD 是平行四边形. 又∵∠A=90°,∴四边形ABCD 是矩形. 7. C解析：此题易因对矩形的判定方法理解错误而出错.在一组对边平行的前提下，再找该组对边相等或另一组对边平行即可判定这个四边形为平行四边形，再结合对角线相等即可判定这个四边形是矩形.故选C. 8. B 9. A 10.4 (-2,3) 解析:∵点A,C 的纵坐标相同,点 B,C的横坐标相同， ∴AC∥x 轴,BC∥y 轴,AC=BC=4, ∴∠ACB=90°,∠CAB 和∠CBA 是锐角, ∴使以点A，B，C，D为顶点的四边形为矩形只能是如图所示这种情况。 ∴BD=AC=4,点 D 的坐标为(-2,3). 11.∠AEC=90°(答案不唯一)解析：添加一个条件是∠AEC=90°, ∵四边形ABCD 是平行四边形，O是AC 的中点， ∴AF∥EC,AO=∞,∴∠FAO=∠ECO. 在△AOF 和△OOE 中, ∴△AOF≌△COE(ASA),∴AF=EC. 又∵AF∥EC, ∴四边形 AECF 是平行四边形. ∵∠AEC=90°,∴四边形 AECF 是矩形.(答案不唯一) 12.解:(1)四边形 DEBF 是矩形. 证明:∵DE⊥AB,BF⊥DC. ∴∠DEB=∠BFD=90°. ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB∥CD, ∴∠DEB+∠EDF=180°, ∴∠EDF=∠DEB=∠BFD=90°. ∴四边形DEBF 是矩形. (2)如图,连接PB. ∵四边形ABCD 是菱形. ∴AC 垂直平分BD, ∴PB=PD. 由(1)知, 四边形 DEBF 是矩形, ∴DE=FB=8. 设PD=BP=x,则PE=8-x. 在 Rt△PEB 中, 由勾股定理，得解得x=5, ∴DP=5. 13.(1)证明:∵线段 DE 与AF 分别为△ABC 的中位线与中线， ∴点D 是AB 的中点,点 E 是AC 的中点,点 F 是BC 的中点， EF 是△ABC的中位线, ∴EF=AD, ∴四边形 ADFE 是平行四边形， ∴AF 与DE 互相平分. (2)解:当 时，四边形ADFE 为矩形. 理由:∵线段 DE 为△ABC 的中位线, 由(1)，得四边形ADFE 是平行四边形， ∴四边形ADFE 为矩形. 14.解:如图所示,过点 D 作 DF⊥AB,CE⊥AB,过点 C 作CG⊥DF. ∵D,C 两点到AB 的距离分别为10 cm和4 cm, ∴DF=10cm,CE=4 cm. ∵AD=26 cm,DF⊥AB, ∵CB=5cm ,CE⊥AB, ∵DF⊥AB,CE⊥AB,CG⊥DF, ∴四边形GFEC 是矩形, ∴GF=CE=4 cm, ∴DG=DF-GF=6cm, ∴四边形 ABCD 的面积=S△AFD+S梯形DFEC +S△BCE 学科网（北京）股份有限公司 $6.2.1矩形的性质 基础夯实 知识点一 矩形的定义和边角性质 1.[生活应用]如图，矩形 ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与 CD 的交点为E，当水杯底面 BC 与水平面的夹角为 27°时,∠AED 的度数为 ( ) A.27° B.53° C.57° D.63° 2.(2024·吉林)如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(-4,0),点 C 的坐标为(0,2).以OA,OC 为边作矩形OABC.若将矩形OABC 绕点 O 顺时针旋转 90°,得到矩形OA'B'C',，则点 B'的坐标为 ( ) A.(-4,-2) B.(-4,2) C.(2,4) D.(4,2) 3.在四边形 ABCD 中,若 AB∥CD,AD∥BC且∠A = 90°,则四边形 ABCD 的形状为 知识点二 矩形的对角线性质 4.矩形具有而菱形不具有的性质是 ( ) A.两组对边分别相等 B.两组对边分别平行 C.两条对角线相等 D.两条对角线互相垂直 5.如图,O 是矩形ABCD 对角线的交点,AE平分∠BAD,∠AOD=120°,则∠AEO 的度数为 ( ) A.15° B.25° C.30° D.35° 6.(2024·威海期末)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点O,∠AOD =120°,AB=5,则 BC 的值为 . 知识点三 直角三角形斜边上中线的性质 7.一个直角三角形斜边上的中线为 5，斜边上的高为4，则此三角形的面积为 ( ) A.40 B.30 C.20 D.10 8.(2024·德州陵城区期中)如图,公路 AC,BC 互相垂直,公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开.若测得AB 的长为6.4k m,则 M,C两点间的距离为 km. 9.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点 N 是 BC 边上一点,点 M 为 AB边的中点,点 D,E 分别为 CN,MN 的中点,则DE 的长是 . 能力提升 10.(2024·成都)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与BD 相交于点O，则下列结论一定正确的是 ( ) A. AB=AD B. AC⊥BD C. AC=BD D.∠ACB=∠ACD 11.矩形一个角的平分线分矩形一边为2cm 和3c m两部分，则这个矩形的面积为 ( ) A. B. C. D. 或15 cm² 12.如图,在矩形 ABCD 中,AD=4,AB=2,在 BC 上取一点 E,使 AD=AE,过 D 作DF⊥AE 于F,连接 DE.下列结论不正确的是 ( ) A.△ADF≌△EAB B. DE 平分∠FDC C.∠AEC=150° D. 13.(2024·济南槐荫区期末)如图，在矩形ABCD 中,点 E 为BA 延长线上一点,F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点 G,连接 BG.若AB=4,CE=10,则AG= . 14.如图,将矩形 ABCD 沿AE 折叠,使点 D落在边 BC 的点 F 处,已知 AB = 6 cm,BC=10 cm,则 EC 的长为 cm. 15.(2024·云南)如图,在四边形ABCD 中,点E,F,G,H 分别是各边的中点,且 AB∥CD,AD∥BC,四边形 EFGH 是矩形. (1)求证:四边形 ABCD 是菱形; (2)若矩形 EFGH 的周长为 22,四边形ABCD 的面积为 10,求 AB 的长. 16.(2024·淄博周村区期末)如图，在矩形ABCD 中,AD=4,AB=6,对角线 AC,BD 交于点O,点 E,F 分别是CD,DA 延长线上的点，且.DE=3,AF=2,连接 EF,点G 为 EF 的中点.连接 OE,交 AD 于点H,连接GH. (1)猜想：H是 OE 的中点吗?并加以证明； (2)求GH 的长. 学科网（北京）股份有限公司 1. D 解析:如图,∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB∥CD,∠ABC=90°, ∵AE∥BF,∴∠EAB=∠ABF=63°. ∵AB∥CD,∴∠AED=∠EAB=63°. 2. C 3.矩形 4. C 5. C 6.5 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OB=OC,∠ABC=90°. ∵∠AOD=120°, ∴△AOB 是等边三角形, ∴∠BAO=60°, ∵AB=5,∴AC=2AB=2×5=10. 在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=5,AC=10,根据勾股定理，得 7. C 8,3.2 解析:∵M 是公路AB 的中点, ∴AM=BM. ∴M,C 两点间的距离为3.2km. 9. 解析：如图，连接CM， ∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4, 又M为AB的中点， ∵点D,E分别为CN,MN 的中点, 10. C11. D 12. D 13.3 解析:∵CE=10,F 为CE的中点,∴CF=FE=5. ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°, ∴BG=FB=FC=5. 在Rt△ABG 中, 14. 15.(1)证明:如图,连接AC,BD交于点O,AC交FG于点N,BD 交 HG 于点M, ∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵四边形 EFGH 是矩形, ∴∠HGF=90°. ∵点 H,G分别是AD,DC的中点, ∴∠HGF=∠GNC,∴∠GNC=90°. ∵点G,F 分别是DC,BC 的中点, ∴∠GNC=∠MOC=90°,∴BD⊥AC, ∴四边形ABCD 是菱形. (2)解:∵矩形 EFGH 的周长为22, ∴HG+FG=11,∴AC+BD=22. ∵ ×AC×BD=10,∴AC×BD=20. 16.解:(1)H 是OE 的中点. 证明:取AD 的中点M,连接OM,如图1, ∵四边形ABCD 是矩形,对角线AC,BD 交于点O, ∴点O是AC 的中点. ∵点M 是AD的中点, ∴∠MOH=∠DEH. ∵∠OHM=∠EHD,∴△OHM≌△EHD(AAS), ∴OH=EH,即 H 是OE 的中点. (2)连接OF,如图2, ∵点M 是AD的中点, ∴FM=FA+AM=2+2=4. ∵OM∥CD,∴∠FMO=∠ADC=90°, ∵点G 是EF 的中点,点 H 是OE 的中点, $