2.2 第2课时 向量的数量积课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

2.2 第2课时 空间向量的数量积 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=F·s=|F||s|cos α，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念. 思考：类比平面向量的夹角的概念，空间向量的夹角是怎样定义的？ α是力与位移的夹角. a·b=|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积. b a . O B α A 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 1.空间向量的夹角： (2)取值范围： . ①当〈a，b〉=时，向量a与b垂直，记作a⊥b. ②当〈a，b〉=0或π时，向量a与b平行，记作a∥b. [0，π] 1．如图，在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A．30° B．60°　C．120°　　　D．150° 解：由题意，可得＝， 所以〈〉＝〈〉 ＝180°－〈〉 ＝180°－60°＝120°． √ 对空间任意两个非零向量a，b，有： (1)〈a，b〉＝〈b，a〉． (2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉． (3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b= ，λ∈R 交换律 a·b=b·a 分配律 a·(b+c)=_________ 2.空间向量的数量积 (1)定义a·b= 为a与b的数量积. 特别地，a·a= ，|a|= ，a·b=0⇔ . (2)对于两个非零向量a，b，由a·b=|a||b|·cos〈a，b〉得cos〈a，b〉=. |a||b|cos〈a，b〉 λ(a·b) a·b+a·c |a|2 a⊥b (3)空间向量的数量积的运算律 注意：(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量. (2)零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=0. 空间向量的数量积满足如下运算律： 你能证明这些运算律吗？ ② （交换律） ② ① 证明: 证明: 因为中存在零向量,易知道等式成立 设都为非零向量,如图,以为起点,作,,向量,的终点,在或其延长线上的投影分别为点,,记,与,夹角分别为,,与的夹角为 由于点,,,在同一直线上,且 ③ （分配律） 上式的两边同乘,得 因此在方向上的投影等于,在方向上的投影之和,即 即 由于点,,,在同一直线上,且 3.投影向量与投影 如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平 面内，可得=a，=b，〈a，b〉=α.过点B作 BB1⊥OA，垂足为点B1，则为在方向上 的投影向量，投影向量的模||=__________称为投影长. 取方向上的单位向量e来度量投影向量，类比平面向量，可得=(||cos α)e，我们称||cos α为在方向上的投影. |||cos α| 4.数量积的几何意义： a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影 的乘积， 也等于b的模|b|与a在b方向上的投影 的乘积. |b|cos α |a|cos α 注意： (1)投影可正、可负、也可为零，这是由两非零向量的夹角决定的. (2)投影不一定是投影向量的模.当两向量的夹角小于或等于90°时，投影才是投影向量的模. 2.已知向量a，b，|a|=6，|b|=8，〈a，b〉=120°，则a在b方向上的投影向量为　　　　，b在a方向上的投影向量为　　　　. 解：与向量a，b同方向的单位向量分别为. 根据投影向量的定义，得a在b方向上的投影向量为|a|cos〈a，b〉==-b， b在a方向上的投影向量为|b|cos〈a，b〉·==-a. -b -a (1)求投影向量时首先确定向量a的模与b同向的单位向量e及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos θ·e计算. (2)a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉=. 归纳总结 例1 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB = 4，AD = 2，AA1 = 2． （1）求||； （2）求与的夹角θ的余弦值. 例1 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB = 4，AD = 2，AA1 = 2． （1）求||； 例1 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB = 4，AD = 2，AA1 = 2． （2）求与的夹角θ的余弦值 例1 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB = 4，AD = 2，AA1 = 2． （2）求与的夹角θ的余弦值. (1)用数量积求两点间距离的步骤 (2)用向量法求夹角、证明垂直关系的步骤 归纳总结 ①将两点间的连线用向量表示. ②用其他向量表示此向量. ③用公式a·a=|a|2，求|a|. 利用数量积的定义可得cos〈a，b〉=，求出〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况. 19 例2 设ABCD是空间四边形．求证： 分析：如图 ，所要求证的结论中既有垂直关系，又有线段长度的平方关系，这很容易让人联想到向量的数量积及模．于是，我们可以从点A出发作向量AB，AC，AD．从而将题中所涉及的线段都用这三个向量表示出来，再运用向量的数量积等知识证明所要求证的结论． 例2 设ABCD是空间四边形．求证： 例2 设ABCD是空间四边形．求证： 改为“ABCD是平面四边形”， 证明过程仍然成立. 1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影向量、投影. (2)空间向量的数量积、性质及运算律. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a≠0时，由a·b=0可得a⊥b或b=0. 本节课你学到了哪些知识与方法？ 1.(多选)下列命题中，正确的有 A.=|a| B.m(λa)·b=(mλ)a·b C.a·(b+c)=(b+c)·a D.a2b=b2a √ √ √ 解： D项中，因为等式左边表示与b共线的向量，右边表示与a共线的向量，两者方向不一定相同. 2.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=，且a与2b-a互相垂直，则〈a，b〉等于 A.30° B.45° C.60° D.90° 解：由a与2b-a互相垂直，得a·(2b-a)=0，即2a·b=|a|2=4，解得a·b=2， ∴cos〈a，b〉===， 又0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=45°. √ 3.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为 正方形，AB=1，PD=2，则异面直线PA与BD所成角的 余弦值为 A.- B. C.- D. √ 解：由题意知，DA⊥DC，=-=+， 故·=(-)·(+)=+·-·-·=1， ==，==， cos〈〉===，所以异面直线PA与BD所成角的余弦值为. 4.(1)已知|a|=3，|b|=5，a·b=-12且e是与b方向相同的单位向量，则a在b方向上的投影向量为　　　　. -e 解：(1)由于cos〈a，b〉==-=-， 所以a在b方向上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·e=3×·e=-e. (2)已知|b|=3，a在b方向上的投影为，则a·b=　　　. (2)∵a在b方向上的投影为，∴|a|cos〈a，b〉=， ∴a·b=|a||b|cos〈a，b〉=3×=. 27 $