2.2 课时2 向量的数量积课件-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.2 空间向量及其运算 1 课时2 向量的数量积 2 1.理解空间向量数量积的相关定义.（数学抽象、直观想象） 2.空间向量的投影.（直观想象、数学运算） 3.将立体几何问题转化为向量的计算问题.（数学运算） 4.利用向量的模长、夹角求线段长.（数学运算） 学习目标 3 1.在空间中两个非零向量和 的夹角及取值范围与平面向量有什么关系？ [答案] 完全一致. 2.已知两个非零向量，的模以及夹角，如何求 ? [答案] , . 3.空间向量的数量积有哪些运算律？与平面向量的数量积的运算律一样吗？ [答案] ；； .一样. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）两向量的数量积是实数. ( ) √ （2）对于非零向量，，，与， 相等. ( ) × （3）对于任意向量，，，都有 . ( ) × （4） . ( ) √ 2.已知向量，满足， ，则两向量的夹角为( ) . C A. B. C. D. [解析] 设向量，的夹角为 ，则,所以 . 自主预习 5 3.已知，，是两两垂直的单位向量，，，则 等于____. [解析] . 4.已知，空间向量为单位向量，，，则空间向量在向量 上的投影 向量为_____. [解析] 空间向量在向量上的投影向量为， . 自主预习 6 探究1 向量的数量积 问题1： 如何作空间向量的夹角？ [答案] 从空间任意一点出发作，，则就是， 所成的角. 问题2： ,,吗？,与,，,，, 有什么关系？ [答案] ,,，,,,，,, . 问题3： 要求 的值，应该知道哪些量的值？ [答案] 要求，应该知道，及， 的值. 合作探究 7 新知生成 1.空间角 如图，由于空间内任意两个向量，都可以平移到同一个平面 内.因此与平面向量 夹角的定义一样，我们把称为向量，的夹角，记作， ，其取值范围为 . 合作探究 8 2.空间向量的数量积 定义,为与 的数量积. 当，都不为0时，它们有确定的夹角, . 当或 时，夹角，可以在中任意选定，但总有 . 合作探究 9 新知运用 例1 已知空间四边形的边长和对角线长均为2，，，分别为，， 的 中点，求下列数量积： （1） ； （2） ； （3） . 合作探究 10 [解析] （1） 空间四边形 的边长和对角线长都为2,如图， 在空间四边形中，，且, ， . （2），，, ， . （3），，，, ， . 合作探究 11 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 （1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式; （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积; （3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模; （4）代入公式, 求解. 合作探究 12 已知正方体 的棱长为1，求： （1） ； （2） ； （3） . 合作探究 13 [解析] （1）在正方体中，, ， 所以，即 ， 所以 . （2）在正方体中，, ， 所以，即，即， 的夹角为0， 所以 . （3）在正方体中， ， 又向量,的夹角 ,且 ， 所以 . 合作探究 14 探究2 空间向量数量积的性质与运算律 问题1： 空间向量的数量积运算满足结合律吗？ [答案] 空间向量数量积运算不满足结合律，也不满足消去律，即 ， . 问题2： 已知向量，， 成立吗？ [答案] ， . 当与共线时， ，否则不成立. 问题3： 对于非零向量，，，由，能得到 吗? [答案] 不能，由得到，即可能有 成立. 合作探究 15 新知生成 1.数量积的性质 （1） . （2） . （3）若，是非零向量，则 . （4）若 为，的夹角，则 . 2.数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 合作探究 16 新知运用 例2 如图，在平行六面体中，底面 是边长为 2的正方形，侧棱的长度为4，且 .用向 量法求: （1） 的长; （2）直线与 所成角的余弦值. [解析] （1）因为 ， 所以 ，故，所以的长为 . 合作探究 17 （2） ， ，由（1）知 ， 设直线与所成的角为 ， 则 ， 所以直线与所成角的余弦值为 . 合作探究 18 1.用数量积求两点间距离的步骤：（1）用向量表示此距离；（2）用其他 向量表示此向量；（3）用公式，求 即可. 2.利用向量的数量积求夹角问题的思路：（1）结合图形，平移向量，利用空间向 量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；（2）先求，再利用公式 , 求,，最后确定, . 合作探究 1