2.2.4 向量的数量积学案-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

2.2 课时2 向量的数量积 【学习目标】 1.理解空间向量数量积的相关定义.(数学抽象、直观想象) 2.空间向量的投影.(直观想象、数学运算) 3.将立体几何问题转化为向量的计算问题.(数学运算) 4.利用向量的模长、夹角求线段长.(数学运算) 【自主预习】 1.在空间中两个非零向量a和b的夹角及取值范围与平面向量有什么关系? 2.已知两个非零向量a,b的模以及夹角,如何求a·b? 3.空间向量的数量积有哪些运算律?与平面向量的数量积的运算律一样吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两向量的数量积是实数. (　　) (2)对于非零向量a,b,<a,b>与<a,-b>相等. (　　) (3)对于任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=a·(b·c).(　　) (4)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. (　　) 2.已知向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-,则两向量的夹角为(　　). A.30° B.60° C.120° D.150° 3.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则a·b等于　　　　.  4.已知|a|=4,空间向量e为单位向量,<a,e>=,则空间向量a在向量e上的投影向量为　　　　.  【合作探究】 探究1 向量的数量积 问题1:如何作空间向量的夹角? 问题2:<a,b>=<b,a>吗?<a,b>与<-a,b>,<a,-b>,<-a,-b>有什么关系? 问题3:要求a·b的值,应该知道哪些量的值? 新知生成 1.空间角 如图,由于空间内任意两个向量a,b都可以平移到同一个平面OAB内.因此与平面向量夹角的定义一样,我们把∠AOB称为向量a,b的夹角,记作<a,b>,其取值范围为[0,π]. 2.空间向量的数量积 定义a·b=|a||b|cos<a,b>为a与b的数量积. 当a,b都不为0时,它们有确定的夹角<a,b>∈[0,π]. 当a=0或b=0 时,夹角<a,b>可以在[0,π]中任意选定,但总有a·b=0. 新知运用 例1　已知空间四边形ABCD的边长和对角线长均为2,E,F,G分别为AB,AD,DC的中点,求下列数量积: (1)·; (2)·; (3)·. 【方法总结】　　在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式; (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积; (3)根据向量的方向,正确求出向量的夹角及向量的模; (4)代入公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,求: (1)·; (2)·; (3)·. 探究2 空间向量数量积的性质与运算律 问题1:空间向量的数量积运算满足结合律吗? 问题2:已知向量a,b,|a·b|=|a||b|成立吗? 问题3:对于非零向量a,b,c,由a·b=a·c,能得到b=c吗? 新知生成 1.数量积的性质 (1)a·a=|a|2. (2)|a|=. (3)若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0. (4)若θ为a,b的夹角,则cos θ=. 2.数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) 交换律 a·b=b·a 分配律 a·(b+c)=a·b+a·c 新知运用 例2　如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1的长度为4,且∠A1AB=∠A1AD=120°.用向量法求: (1)BD1的长; (2)直线BD1与AC所成角的余弦值. 【方法总结】　　1.用数量积求两点间距离的步骤:(1)用向量表示此距离;(2)用其他向量表示此向量;(3)用公式a·a=|a|2,求|a|即可. 2.利用向量的数量积求夹角问题的思路:(1)结合图形,平移向量,利用空间向量夹角的定义来求,但要注意向量夹角的范围;(2)先求a·b,再利用公式cos<a,b>=求cos<a,b>,最后确定<a,b>. 如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对 角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE. (1)求MN与AD的夹角; (2)若CD=DE=1,求MN的长. 探究3 数量积的几何意义 我们在测量树的高度时,常利用阳光下的影子测量其高度,如图所示. 问题1:若测得||=2,如何求在上的投影? 问题2:平面向量数量积的投影的定义在空间中还成立吗? 新知生成 1.投影向量 如图,将空间任意两 个向量a,b平移到同一个平面内,可得=a,=b,<a,b>=α.过