2.4.4第2课时 点到平面、两平行平面之间的距离课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

2.4.4 第2课时 点到平面的距离、两个平行平面之间的距离 1.点到直线的距离 如图，直线l的方向向量为v，点P为直线l外一点，过点P作直线l的垂线交l于点D，则||即为点P到直线l的距离. 设A为直线l上任意一点，则是在l上的投影向量，所以投影长||= ||·|cos∠PAD|=||·=_______. 于是，点P到已知直线l的距离 d=||==____________________. 2.两条平行直线间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于 的距离. 点P到直线m 空间距离 两点距离、点到直线的距离、两条平行直线的距离 点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面的距离 这三个距离公式如何推导呢 √ √ 定义：平面外一点P到平面的距离d等于点P到平面的垂线段PB的长度. 如图，在平面α内任取一点A，作向量AP，设 n 是平面α的法向量，则AP在法向量 n 上的投影长 即为点P到平面α的距离． （一）点到平面的距离 点面距实质上就是平面外的定点与平面内任意一点连线对应的向量在平面的法向量上的投影长. 例1 在三棱锥S-ABC中，棱长 SA = 1，SB = 2，SC = 3，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求点S到平面ABC的距离． 如图，你准备选择哪个向量在平面ABC的法向量n上的投影长来计算点面距？与同学是否相同呢？ 例1 在三棱锥S-ABC中，棱长 SA = 1，SB = 2，SC = 3，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求点S到平面ABC的距离． 例1 在三棱锥S-ABC中，棱长 SA = 1，SB = 2，SC = 3，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求点S到平面ABC的距离． 求点 P 到平面 α 的距离的步骤： 归纳总结 1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AA1= ，AC = BC = 1，∠ACB = 90°．求点B1到平面A1BC的距离． 1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AA1= ，AC = BC = 1，∠ACB = 90°．求点B1到平面A1BC的距离． 当直线与平面平行时，直线上的每个点到平面的距离都相等，因而可以利用点到平面的距离来解决两平行平面间的距离问题 （二）直线到平面的距离 直线 l 和平面α间的距离等于直线 l 上任一点A到平面α的距离，也等于线段 AB在平面α的法向量 n 上的投影长． 如图，A，B分别是直线 l 和平面α上的任意一点，设 n 是平面α的一个法向量，则平面α，β之间的距离 例2 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A(2，0，0)，D(0，0，0)， C(0，2，0)，D1(0，0，2)，E，F分别为AC，AD1的中点． （1）求证：EF // 平面BCD1； （2）求直线EF与平面BCD1之间的距离． 例2 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A(2，0，0)，D(0，0，0)， C(0，2，0)，D1(0，0，2)，E，F分别为AC，AD1的中点． （1）求证：EF // 平面BCD1； （2）求直线EF与平面BCD1之间的距离． 例2 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A(2，0，0)，D(0，0，0)， C(0，2，0)，D1(0，0，2)，E，F分别为AC，AD1的中点． （2）求直线EF与平面BCD1之间的距离． 求直线 l 到平面 α 的距离的思路及步骤： 思路：当线面平行时，求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解. 归纳总结 具体步骤： 两平行平面间的距离处处相等，因而可以利用点到平面的距离来解决两平行平面间的距离问题 （三）两平行平面间的距离 两平行平面α，β之间的距离等于平面α上任一点 A到平面β的距离，也等于两平面之间任一条线段 AB在平面α的法向量n上的投影长． 两平行平面间的距离 如图，A，B分别是平行平面α，β上的任意一点， 设n是平面α，β的一个法向量，则平面α，β之间 的距离d=______. 例3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离． 例3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离． 求两平行平面 α，β 间的距离的步骤： 注意：线面距、面面距实质上都是转化为点面距求解，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行. 归纳总结 1.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)，则两平面间的距离是（ ） A. B. C. D.3 解析：∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，=(2，1，1)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)， ∴两平面间的距离d===. B 2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（ ） A. B. C. D. D 解析：以P为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系， 则P(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)， =(1，0，0)，=(-1，1，0)，=(-1，0，1). 可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1，1，1)， 则点P到平面ABC的距离d==. 3.已知棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为（ ） A. B. C. D. B 解析：以D1为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)， A(1，0，1)，所以=(1，0，-1)， =(0，1，-1)，=(-1，0，0)， 设平面 A1C1D 的法向量为m=(x，y，1)， 解析：则 故m=(1，1，1)，由正方体的性质，知AC∥A1C1， B1C∥A1D，且AC∩B1C=C，A1C1∩A1D=A1， 则平面AB1C∥平面A1C1D， 所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d===. $