2.4.4 向量与距离-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

2．4.4　向量与距离 [学习目标]　1.能用向量的方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.2.能描述用向量方法解决距离问题的步骤，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 知识点一　 点到直线的距离 [问题导引1]　在空间中任取一点O，作＝a，＝b，过M点作直线ON的垂线，垂足为M1，a在b上的投影是什么？ 提示：　. [问题导引2]　怎样求线段MM1的长度？长度的表达式是什么？ 提示：　根据勾股定理得 MM1＝＝. 点到直线的距离 直线l的方向向量为v，点P为直线l外的一点，设A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为 . 点拨：　点到直线的距离公式重在理解向量法的推导过程，记熟公式，应用公式，其中点到直线的距离也可以转化为三角形的边上高的问题(几何法)． 已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点，求点E到直线AF的距离． 解析：　如图，以D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则 A(1，0，0)，E(，1，1)，F(0，，1)， 于是＝(1，－，－1)，＝(，，0)． 因此||＝. 过点E作FA的垂线交FA于H，则是在上的投影向量．于是， ||＝ ＝＝. 所以点E到直线AF的距离 ||＝＝ ＝. (1)建立空间直角坐标系，写出点的坐标；(2)求直线的方向向量；(3)代入公式即可．　　 即时练1.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． 求点B到直线AC1的距离． 解析：　以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)， 则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，，0)，F(1，，1)， 所以＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝(0，，－1)，＝(－1，，0)，＝(－1，，0)，＝(0，，0)， 取a＝＝(0，1，0)，u＝＝(－1，1，－1)， 则a2＝1，a·u＝， 所以点B到直线AC1的距离为＝＝. 知识点二　 点到平面的距离 [问题导引1]　设平面α的法向量为n，A为平面α内的定点，P为平面α外的一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，点P到平面α的距离是哪一段线段的长度？ 提示：　线段PQ. [问题导引2]　从向量投影的角度来看，点P到平面α的距离又是什么？ 提示：　是在直线l上的投影向量的长度． [问题导引3]　根据向量投影的定义，你能得出点P到平面α的距离的表达式吗？ 提示：　||＝. 学生用书第74页 点到平面的距离 设平面α的法向量为n，A为平面α内的任意一点，P为平面α外的一点，所以点P到平面α的距离为. 点拨：　点A是平面内的任意一点，求出平面的法向量，代入公式即可．另外点到平面的距离也可以考虑用等体积法(几何法)． 在三棱锥S­ABC中，棱长SA＝a，SB＝b，SC＝c，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求点S到底面ABC的距离． 解析：　如图，以S为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则 S(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)． 所以＝(－a，b，0)，＝(－a，0，c)，＝(a，0，0)． 设n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量， 则 取x＝bc，得y＝ac，z＝ab， 则n＝(bc，ac，ab)是平面ABC的一个法向量． 由于点S到底面ABC的距离等于向量在法向量n上的投影长， 因此，点S到底面ABC的距离 d＝ ＝ ＝. (1)建立空间直角坐标系，写出点的坐标；(2)求平面的法向量；(3)代入公式即可．　　 即时练2.如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD的中点． (1)求直线PB与平面POC夹角的余弦值； (2)求点B到平面PCD的距离． 解析：　(1)在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点， 所以PO⊥AD， 又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD． 在△PAD中，PA⊥PD，PA＝PD＝，所以AD＝2. 在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD， 又PO∩OC＝O，PO，OC⊂平面POC， 所以AO⊥平面POC， 所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系(图略)， 则P(0，0，1)，A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)， 所以＝(1，－1，－1