第5章 分式与分式方程 单元培优练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第5章 分式与分式方程 单元培优练习 一．选择题 1．下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D．yπ 2．下列说法正确的是（　　） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为±3 D．分式是最简分式 3．若关于x的分式方程无解，则a的值可取下列哪些值？①0 ②1 ③﹣4 ④6（　　） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．①②④ 4．根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 5．若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A．a＞﹣5且a≠﹣2 B．a＜5且a≠2 C．a＞﹣5 D．a＜5 6．小明和同学们计划购进A，B两种水果送给社区养老院，其中B种水果的售价比A种水果的售价高4元，用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍，求A种水果的售价？若设A种水果的售价为x元，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B．5y C．3xy D．x+y 8．若，则的值为（　　） A．10 B．7 C． D． 9．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤5 B．m＜5且m≠3 C．m≠3 D．m≤5且m≠3 10．甲队修路1000m，乙队修路1200m，若_______，且比甲提前一天完成任务．设甲队每天修路xm，根据题意可列出方程1，则_______应填写的条件为（　　） A．甲队每天修路比乙队2倍多30m B．甲队每天修路比乙队2倍少30m C．乙队每天修路比甲队2倍多30m D．乙队每天修路比甲队2倍少30m 二．填空题 11．若分式的值为零，则x的值为　 　 ． 12．已知，其中a＜b＜0，则P、Q的大小关系是　 　 ． 13．使分式有意义的x的取值范围是　 　 ． 14．已知，则分式的值为 　 　 ． 15．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是 　 　 （填序号即可）． ①；②；③；④． 16．以非遗为钥，启乡村共富之门，某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做5个，甲工作组做80个所用的时间与乙工作组做60个所用的时间相等，若设甲工作组每天做x个，则根据题意，可列方程为　 　 ． 17．已知x2﹣6x+2＝0，那么　 　 ． 18．若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　 ． 三．解答题 19．解方程： （1）； （2）． 20．先化简，再求值：，请你从﹣2≤a≤2的整数解中选择一个合适的a的值代入并求值． 21．我们把形如xa+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”． 例如：x4为“十字分式方程”，可化为x1+3，∴x1＝1，x2＝3． 再如：x6为“十字分式方程”，可化为x（﹣2）+（﹣4）， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣4 应用上面的结论解答下列问题： （1）若x7为“十字分式方程”，则x1＝　 　 ，x2＝　 　 ； （2）若“十字分式方程”x2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求代数式m3n+mn3的值； （3）若关于x的“十字分式方程”xk+3（k＞0）的两个解分别为x1，x2，其中x1＞x2，求的值． 22．列方程解下列问题：重庆是一座兼具山水之美与烟火气息的热门旅游城市，美景与美食都让游客们流连忘返．顾客甲在某特产店购买了3个火锅底料礼盒和2个麻花礼盒，共花费195元．已知一个火锅底料礼盒的销售单价比一个麻花礼盒的销售单价的2倍少15元． （1）求该特产店中一个火锅底料礼盒和一个麻花礼盒的销售单价分别是多少元？ （2）春节临近，为了扩大店内销量，该特产店决定每个火锅底料礼盒的销售单价降价2m元，每个麻花礼盒的销售单价降价m元．降价后，顾客乙购买火锅底料礼盒花费了140元，购买麻花礼盒花费了200元，且购买麻花礼盒的数量是购买火锅底料礼盒数量的2倍，求m的值． 23．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则，∴， 根据材料回答问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． （3）若，且abc＝5，求xyz的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C B C C A D D 二．填空题 11．﹣3． 12．P＞Q． 13．x≠2026． 14．0.6． 15．②． 16．． 17．32． 18．0． 三．解答题 19．解：（1）方程两边同乘x（x+1）， 得2（x+1）＝x， 解得x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时x（x+1）≠0， ∴原分式方程的解是x＝﹣2． （2）方程两边同乘（x﹣2）， 得1＝x﹣3﹣2（x﹣2）， 解得x＝0， 检验：当x＝0时（x﹣2）≠0， ∴原分式方程的解是x＝0． 20．解： ， ∵﹣2≤a≤2且为整数， ∴a＝﹣2、﹣1、0、1、2， ∵分母不为0，即a≠0，（a+2）（a﹣2）≠0， ∴a≠﹣2、0、2， ∴a＝﹣1或1， ∴当a＝﹣1时，原式，（或当a＝1时，原式）． 21．解：（1）∵x7为“十字分式方程”， ∴x（﹣2）+（﹣5）， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣5． 故答案为：﹣2；﹣5； （2）∵x2， ∴x（﹣2）+4， ∴x1＝﹣2，x2＝4， 即m＝﹣2，n＝4， ∴m3n+mn3 ＝（﹣2）3×4+（﹣2）×43 ＝﹣32﹣128 ＝﹣160； （3）∵xk+3， ∴（x﹣1）2k+（k+2）， ∵k＞0，x1＞x2， ∴x1＝k+2，x2＝﹣2k， ∴ ． 22．解：（1）设该特产店中一个麻花礼盒的销售单价是x元，则一个火锅底料礼盒的销售单价是（2x﹣15）元， 根据题意得：3（2x﹣15）+2x＝195， 解得：x＝30， ∴2x﹣15＝2×30﹣15＝45（元）． 答：该特产店中一个火锅底料礼盒的销售单价是45元，一个麻花礼盒的销售单价是30元； （2）根据题意得：2， 解得：m＝5， 经检验，m＝5是所列方程的解，且符合题意． 答：m的值为5． 23．解：（1）设a＝5k，b＝4k，c＝3k， ∴； （2）由条件可知， ∴， ∴， ∴； （3）由条件可知， ∴， ∴， ∴， 将其代入中得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/9 19:17:49；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $