精品解析：甘肃武威市凉州区武威第二十中学2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题

2025-2026学年第二学期九年级数学开学学情检测 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 或 D. 3. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象过点，则下列判断中正确的是（ ） A. 函数图象的对称轴为直线 B. 图象与x轴的另一个交点为 C. 函数的最大值为3 D. 当时，y随x的增大而减小 5. 已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④，⑤（m为实数且）．其中正确的结论有（ ） A. ②④⑤ B. ①③④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是正八边形的外接圆，连接，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B. 掷一枚一元的硬币，正面朝上 C. 三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D. 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 12. 把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 13. 某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为_______米． 14. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，此时点C恰好落在边上．若，则________． 15. 如图，内接于，为的直径，，，，为上的动点（不与点，，重合），且，为的中点，分别连接，，则的最小值为_________． 16. 半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则折痕的长为______． 17. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为________． 18. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（不与点重合），则的度数为__________． 三、解答题（共66分） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是原方程的两根，且满足，求m的值． 21. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 22. 如图，将绕点顺时针旋转90°得，连接后发现、、三点共线． （1）求证． （2）当时，求的长度． 23. 如图，在中，，，是由绕点C顺时针旋转得到，其中点E与点A是对应点，点D与点B是对应点，连接，且点A、D、E在同一条直线上． （1）求的度数； （2）若，求的长度． 24. 如图，在平面直角坐标系中,的斜边在y轴上，边与x轴交于点平分，交边于点E，经过点，E的圆的圆心F恰好在y轴上,与y轴相交于另一点G． （1）求证：是的切线； （2）若点A的坐标为，点D的坐标为，求的半径； （3）直接写出线段之间满足的数量关系，不用证明． 25. 某服装店某种服装平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了迎接节日，商店决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件服装每降价2元，商店平均每天可多售出4件．设每件服装降价x元．据此规律，请回答： （1）每件服装降价多少元时，商店日盈利可达到1200元？ （2）如何降价，商店可获得最大利润？最大利润是多少？ 26. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 27. 如图，抛物线与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，抛物线的顶点为，点关于对称轴直线的对称点为点． （1）求该抛物线的表达式； （2）当时，求函数值y的取值范围； （3）将抛物线在点右方的图象沿着直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有个公共点时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级数学开学学情检测 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故C错误； D项：该图形能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是中心对称图形，故D正确． 2. 已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 解得， 此时方程化为，，符合题意； 故. 3. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 4. 二次函数的图象过点，则下列判断中正确的是（ ） A. 函数图象的对称轴为直线 B. 图象与x轴的另一个交点为 C. 函数的最大值为3 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 先将已知点代入二次函数解析式求出的值，再结合二次函数的对称轴、与轴交点、最值及增减性的相关性质逐一分析选项． 【详解】解：∵二次函数的图象过点， ∴将，代入解析式得：， 解得，即函数解析式为；； A．二次函数对称轴公式为，其中，， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； B．已知一个交点为，对称轴为， 设另一个交点为，则， 解得，即另一个交点为，故该选项说法错误，不符合题意； C．∵， ∴函数开口向下，顶点为最大值点，将代入解析式得 ，故最大值为4，故该选项说法错误，不符合题意； D．∵函数开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 又∵包含在的范围内，故当时，随的增大而减小，故该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④，⑤（m为实数且）．其中正确的结论有（ ） A. ②④⑤ B. ①③④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据函数的图象确定各参数的取值范围即可； ②根据对称轴得出对称点，然后特殊值代入进行求解即可； ③根据特殊值得出，利用平方差公式进行整理即可； ④根据对称轴得出，然后根据特殊值求解即可； ⑤根据二次函数的顶点坐标进行求解即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于轴的右侧， ∴符号相异， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∴，故①错误； ②根据对称轴为直线， ∴与关于对称轴对称， ∵当时，， ∴当时，，即； 故②正确，符合题意； ③由函数图象可知，当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ④根据对称轴为直线得，， ∴， 当时，， ∴ ∴， 故④正确，符合题意； ⑤当时，值最大，即最大， ∴，（）， ∴， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确选项为②④⑤， 故选：A． 6. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质．根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7. 如图，是正八边形的外接圆，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA、OB，根据圆内接正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：连接OA、OB，如图： ∵是正八边形的外接圆， ∴， 由圆周角定理得：． 8. 如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形性质，等边三角形的判定与性质和扇形面积的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；由题意可得：， ，，求得，再证得是等边三角形，然后即可求解； 【详解】解：连接，如图： ， 由题意可得：在中，，，， ∴， ，， ∴， ∵点C为圆心交于点D，交于点E， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴点是斜边的中点， ∴， ∴， ， ∴， 故选：C 9. 如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 10. 某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B. 掷一枚一元的硬币，正面朝上 C. 三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D. 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 【答案】A 【解析】 【分析】先计算题目中事件的频率，根据用频率估计概率得到该事件概率约为，再计算各选项事件的概率，选出概率最接近的选项即可. 【详解】解：∵试验总次数为次，该结果出现次， ∴频率为， 可得该事件的概率约为； 对各选项逐一计算概率： A选项： ∵张不含大小王的扑克牌中，红桃有张， ∴抽到红桃的概率为，符合要求； B选项：掷一枚硬币正面朝上的概率为，不符合要求； C选项： ∵共张纸片，其中奇数纸片有张， ∴抽到奇数的概率为，不符合要求； D选项： ∵质地均匀的骰子共个点数，点数为的情况只有种， ∴点数为的概率为，不符合要求， 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义将转化为含的代数式，代入所求式子化简后，结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即， 则 ． 12. 把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：原抛物线解析式为，将抛物线向左平移1个单位，根据平移规律，得到解析式， 再向下平移3个单位，根据平移规律，得到平移后抛物线的解析式为． 13. 某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为_______米． 【答案】4.05 【解析】 【分析】根据题意利用待定系数法求出的解析式，再根据形状相同， 得出抛物线的二次项系数为，进一步即可求解． 【详解】解：∵， ∴设的解析式为：， 且当时，， 则， 解得：， 故的解析式为：， ∵形状相同， ∴抛物线的二次项系数为：， ∵， ∴，， 则的解析式为：， 故当时，，即的最大高度为4.05． 14. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，此时点C恰好落在边上．若，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】由旋转性质得出，求出即可求出结论． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，， ， ， ∵在中，， ， ， ． 15. 如图，内接于，为的直径，，，，为上的动点（不与点，，重合），且，为的中点，分别连接，，则的最小值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，弦心距的计算，线段最大值的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据垂径定理和勾股定理计算得出的长度，由此判断点的运动轨迹，故可得出的最小值． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵为直径， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∵为的中点， ∴，， 在中，由勾股定理可得， ∴点在以为圆心，半径为的圆上， ∴的最小值为． 16. 半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则折痕的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，垂径定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．作交于，则，连接，根据勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：作交于，则，连接，如图 有， 对折后半圆弧的中点M与圆心O重合， 则，， ∴， 在中， ， ． 故答案为：． 17. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估计概率，根据概率求数量． 根据频率估计概率，摸到黑球的概率稳定在，求出总数，即可求出红球的个数． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴摸到黑球的概率稳定在左右， 则盒子中球的总个数为（个）， 所以盒子中红球的个数为（个）． 故答案为：20． 18. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（不与点重合），则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：， ∴， ， ， ， ∴，． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是原方程的两根，且满足，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上公式和性质． （1）利用根的判别式进行证明即可； （2）利用根与系数的关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴原方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵、是原方程的两根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，． 21. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 22. 如图，将绕点顺时针旋转90°得，连接后发现、、三点共线． （1）求证． （2）当时，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）如图，设，交于F，根据旋转的性质得到，，，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形内角和定理即可得到结论． （2）由（1）知，求得∠EAD=90°，根据旋转的性质得到，根据勾股定理得到结论． 【小问1详解】 证明：如图，设，交于F， ∵将绕点C顺时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，在中，，，是由绕点C顺时针旋转得到，其中点E与点A是对应点，点D与点B是对应点，连接，且点A、D、E在同一条直线上． （1）求的度数； （2）若，求的长度． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质及含直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质及含直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，由旋转得，，则有，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后可得，进而根据含直角三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中,的斜边在y轴上，边与x轴交于点平分，交边于点E，经过点，E的圆的圆心F恰好在y轴上,与y轴相交于另一点G． （1）求证：是的切线； （2）若点A的坐标为，点D的坐标为，求的半径； （3）直接写出线段之间满足的数量关系，不用证明． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为5 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论； （2）如图2，连接，设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）作于R，得到四边形是矩形，得到，根据垂径定理解答即可． 【小问1详解】 证明：如图平分，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图2，连接， 设的半径为r， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴的半径为5． 【小问3详解】 解：． 证明：过F作于R， 则，又， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 某服装店某种服装平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了迎接节日，商店决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件服装每降价2元，商店平均每天可多售出4件．设每件服装降价x元．据此规律，请回答： （1）每件服装降价多少元时，商店日盈利可达到1200元？ （2）如何降价，商店可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件服装降价10元或20元时，商店日盈利可达到1200元 （2）每件服装降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润是1250元 【解析】 【分析】本题考查了运用一元二次方程及二次函数解决销售问题，准确理解相关量之间的关系是解题的关键． （1）每件服装降价x元，商店平均每天可多售出件，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设每件服装降价x元时，商店日盈利y元，则商店平均每天可多售出件，根据题意列出y与x之间的函数关系式，根据二次函数图象性质即可求得y的最大值以及相应的x的值． 【小问1详解】 解：设每件服装降价x元， ∵每件服装每降价2元，商店平均每天可多售出4件， ∴每件服装降价x元，商店平均每天可多售出件， 由题意得，， 方程化简为，， 即， 解得，，， 答：每件服装降价10元或20元时，商店日盈利可达到1200元． 【小问2详解】 解：设每件服装降价x元时，商店日盈利y元， 则商店平均每天可多售出件， 由题意得，， 化简为，， 即， ∵， ∴二次函数开口向下， ∴当时，y有最大值为1250， 答：每件服装降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润是1250元． 26. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）概率公式：； （2）画树状图求概率． 【小问1详解】 解：恰好抽到B（滑板）的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的结果数为2， ∴体育老师抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的概率为：． 27. 如图，抛物线与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，抛物线的顶点为，点关于对称轴直线的对称点为点． （1）求该抛物线的表达式； （2）当时，求函数值y的取值范围； （3）将抛物线在点右方的图象沿着直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有个公共点时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合内容，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，一次函数与二次函数交点问题． （1）把对称轴直线和代入即可； （2）对称轴直线在中，考虑最大值在对称轴直线中取得，根据时，取得最小值，即可得出y的取值范围； （3）先根据对称性求得点的坐标，与在情况下的必然存在一个公共点，那么只需要考虑①当直线过点D时和②当直线与抛物线相切两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：将代入中得， ∵对称轴，即， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵，开口向下，对称轴直线， 又 ∴时，取得最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为； 【小问3详解】 解：①当直线过点D时： ∵B，D两点关于对称轴直线对称，， ∴点D的坐标为， 将点代入直线中得， ∴； ②当直线与抛物线相切时， 令，即， 当，解得； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $