专题8.4 乘法公式（4大知识点+ 10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦初中数学乘法公式核心知识点，系统梳理完全平方公式（含结构特征、变形及几何意义）与平方差公式（含结构特征、变形及几何意义），通过对比表格明确两者差异，构建从公式理解到灵活应用的学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计与几何验证结合，通过图形面积推导公式培养几何直观（数学眼光），多题型训练提升运算与推理能力（数学思维），实际情境应用强化模型意识（数学语言），课中辅助教学，课后助学生查漏补缺。

专题8.4 乘法公式 知识点1：完全平方公式 1.核心公式：两数和的平方；两数差的平方。 2.文字表述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。 3.结构特征：左边是二项式的平方，右边是二次三项式；首尾两项为平方项且恒正，中间项为交叉项，符号与左边二项式的符号一致。 4.常见变形： ， 5.几何意义：边长为的大正方形面积，等于边长为、的两个小正方形面积加上两个长宽的长方形面积；边长为的小正方形面积，等于边长为的大正方形面积减去两个长宽的长方形面积，再加上边长为的小正方形面积。 知识点2：平方差公式 1.核心公式：。 2.文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 3.结构特征：左边是两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方。 4.常见变形（整体思想）： 位置变形： 符号变形： 系数变形： 增项变形： 连用变形： 5.几何意义：边长为的大正方形减去边长为的小正方形的面积，等于长为、宽为的长方形面积。 知识点3：完全平方公式与平方差公式对比 公式类型 左边形式 右边形式 项数 符号特征 核心关键词 完全平方公式 二项式的平方 二次三项式 3项 首尾恒正，中间项符号随原式 平方和、积的2倍 平方差公式 两个二项式相乘（一同一反） 二项式（平方差） 2项 相同项平方减相反项平方 一同一反、平方差 知识点4：乘法公式的通用注意事项 1.公式中的、可以是具体的数，也可以是单项式、多项式等代数式，需遵循整体代换思想。 2.公式可正用、逆用，逆用是因式分解的重要依据（，）。 3.运用公式时需注意符号：完全平方的交叉项符号由原式决定，平方差的结果为“相同项平方减相反项平方”。 【基础必考题型】 【题型1】直接运用乘法公式进行整式运算 1.核心知识点 完全平方公式、平方差公式的基本形式 单项式、多项式的符号运算规则 2.解题方法技巧 识别式子结构：若为“二项式平方”用完全平方公式，若为“一同一反二项式相乘”用平方差公式； 带符号运算时，将负号纳入整体，如，； 展开后合并同类项，注意系数和符号的准确性。 【例题1】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的形式． 根据平方差公式的结构特征，判断各选项是否符合“两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数”的条件． 【详解】解：A选项：中，含的项分别为和，既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式结构； B选项：=，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构； C选项：=，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构； D选项：=，其中相同项为，互为相反数的项为与，符合平方差公式结构，可计算为； 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）下列等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐项计算即可判断． 本题考查完全平方公式，和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特点是解题的关键． 【详解】解：A.     ，故此选项不符合题意； B. ，故此选项符合题意； C. ，故此选项不符合题意； D. ，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·福建南平·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，直接用公式将原式展开，去掉括号后合并同类项． 【详解】解： ． 【题型2】根据完全平方式求字母系数的值 1.核心知识点 完全平方公式的逆用（） 多项式恒等的系数对应关系 2.解题方法技巧 定形分析：若多项式为完全平方式，则，如为完全平方式，则； 待定系数法：将等式两边展开，对应项系数相等列方程，如，则，，； 注意多解情况：完全平方式的交叉项可正可负，系数一般有两个值。 【例题2】.（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如果是一个完全平方式，那么k 的值是 （     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据完全平方式的结构特征，通过对比完全平方公式的展开式，确定中间项系数与首尾两项的关系，进而求出k的值． 【详解】解：∵完全平方公式为， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·山东德州·期末）若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键， 根据完全平方公式的结构对比对应项系数，即可求出a的值． 【详解】解：∵多项式可用完全平方公式进行因式分解， ∴， 展开得， ∴， 则． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河南开封·期末）若是完全平方式，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，明确式子中首尾两项与中间项的关系，进而求解的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ． 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解． 【详解】解：∵代数式是完全平方式， 又∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴t的值为或． 【题型3】利用乘法公式进行数的简便运算 1.核心知识点 完全平方公式、平方差公式的正用 数的拆项变形（凑整法） 2.解题方法技巧 平方差凑整：将两个数变形为“一个数的和与差”，如； 完全平方凑整：将接近整十、整百的数拆为“整十/百数±小数”，如，； 连乘式巧用平方差连用，如。 【例题3】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将转化为，利用完全平方公式计算； （2）将转化为，转化为，利用平方差公式计算后再进行整式的加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式题3-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）运用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的运用，注意数字特点，灵活运算； （1）利用平方差公式展开； （2）把改为，利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·天津宝坻·月考）用简便方法计算 (1) (2) 【答案】(1)9996 (2)1 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算． (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用． （1）运用完全平方公式计算即可． （2）运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【题型4】乘法公式与整式化简求值的综合 1.核心知识点 平方差、完全平方公式的混合运用 整式的去括号、合并同类项 整体代入求值 2.解题方法技巧 先公式展开：优先运用乘法公式展开式子，再去括号、合并同类项，简化代数式； 凑整体代入：若已知，则变形为，将所求代数式凑出整体代入； 注意运算顺序：先乘方（公式），再乘除，最后加减。 【例题4】.（2026·陕西西安·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，. 【分析】先利用乘法公式和单项式乘多项式运算法则展开括号内的整式，合并同类项后进行多项式除以单项式的化简，最后将给定的字母值代入化简后的整式计算结果． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东德州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：．其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】对于本题，重点掌握完全平方公式，平方差公式． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先由完全平方公式和平方差公式计算中括号，再计算多项式除以单项式，最后代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时， 原式． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式和平方差公式进行化简，再代入数值计算． 先利用完全平方公式展开，再利用平方差公式展开，然后合并同类项化简原式，最后将，代入化简后的式子求值． 【详解】解： . 当 ， 时，原式 ． 【培优高频题型】 【题型5】平方差公式的多因式连乘与规律应用 1.核心知识点 平方差公式的连用与逆用 代数式的规律探究 2.解题方法技巧 补项法：缺“”补“”，如； 找规律：观察连乘式的项的特征，发现“平方差连锁反应”，逐步化简至最简形式； 末位数字判断：先化简代数式，再根据乘方的末位数字规律求解。 【例题5】.（24-25六年级下·全国·单元测试）推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①8，② 【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键． （1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式； （2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算． 【详解】解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式． 故答案为：，，． （2）①因为，，且， 所以，即． ② ． 【变式题5-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．根据平方差公式解答即可． 【详解】解：∵ ∴原式 故选：B． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式，通过凑出的形式逐步化简连乘式，进而计算出的值． 【详解】解：∵， ∴ 则． 故选：D． 【变式题5-3】.（2026七年级下·全国·专题练习）观察：；，那么，________． 【答案】/ 【分析】本题考查平方差公式的应用．通过乘以构造平方差形式，然后连续使用平方差公式简化计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 【题型6】乘法公式的几何验证与面积计算 1.核心知识点 完全平方公式、平方差公式的几何意义 几何图形的割补法求面积 2.解题方法技巧 公式验证：用“整体面积=各部分面积和/差”推导公式，如边长为的正方形拆为、、； 面积计算：结合公式表示图形面积，如阴影部分面积用“大减小”或“补形法”，再代入公式化简。 【例题6】.（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)初步感知：如图1，写出一个我们熟悉的数学公式 ； (2)解决问题： ①若，，则的值为________； ②如图2，为上一点，分别以，为边作正方形，，连接，，．若与的面积和为，的面积为，求的长； (3)类比探究：如图3，将一长方形纸片按图裁剪，其阴影部分是两种大小不同，边长分别为与的正方形，其余空白部分均为长方形，观察图形，发现整式可以分解因式为 ； 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，运用整体思想和数形结合思想是关键． （1）根据题意，图形符合完全平方公式，写出即可； （2）①根据完全平方公式的变形进行计算即可； ②设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可得，，通过构造完全平方公式可得，因此； （3）分析图形可得大长方形的长为，宽为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，其余的小长方形的面积均为，根据面积相等写出等式即可． 【详解】（1）解：由图可知，大正方形的面积为，两个小正方形的面积分别为和，长方形的面积为， ∴数学公式为； （2）解：①∵， ∴； ②设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，， 由题意可知，，， 将，得， ， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； （3）解：由图可知，大长方形的长为，宽为， 由面积相等可得，． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到． 【类比应用】 （1）如图2，可以得到的代数恒等式是：　　； 【结论应用】 （2）若满足，求的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板()如图3所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若一块直角三角板的面积为，与面积之和为，求线段的长． 【答案】【小问1】； 【小问2】； 【小问3】 【分析】（1）通过两种方法计算图2中长方形的面积，一种是直接用长乘宽，另一种是将其分割为小正方形和小矩形后求和，从而推导出对应的代数恒等式． （2）利用完全平方公式的变形，通过设元将已知条件转化为和的具体值，再代入变形公式即可求出所求代数式的值． （3）设出直角三角板的直角边，利用三角板的面积和与的面积和这两个条件，结合完全平方公式求出直角边的和，得到线段的长度． 【详解】（1）解：图2中，大长方形的长为，宽为，面积为； 同时，大长方形可分割为一个边长为的正方形、三个长为宽为的矩形和两个边长为的正方形，面积和为， 故恒等式为； （2）解：设，， 则，． ∵， ∴； （3）解：设，． ∵，、、共线， ∴，． ∵三角板的面积为， ∴，即． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴，即． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·广东珠海·开学考试）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求，的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）． 【答案】（1），； （2），； （3）4051； （4） 【分析】（1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）中推导公式求得以及，得到以及，再利用平方差公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用（1）中推导公式进行计算，即可解答； （4）设，，则，，然后利用（1）中推导公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）图1：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为， ． 图2：左下角的正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：， ． 故答案为：，． （2）∵，， ∴，， , ，． ． （3）设，， 则， ， ． ． （4）设，，则，， ． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）阅读材料：面积与代数恒等式 通过学习，我们知道可以用图1的面积来解释公式'，人们习惯用平面面积解释代数恒等式．实际上，教材中是用图2的面积来解释多项式与多项式相乘的法则． 请根据阅读材料，解答下列问题： (1)请写出如图3所示的图形面积表示的代数恒等式． (2)类比上述图形，试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． (3)已知，，请你利用（1）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了整式乘法的应用，解题的关键是理解题意，通过图形的面积正确地进行求解． （1）通过两种方式求解图形的面积，即可； （2）根据代数式，构造合适的几何图形，使得面积可以表示为或； （3）利用（1）中的式子得到，再进行因式分解，根据非负数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：图形面积为， 也可以表示为：， 则； （2）解：如图，即为所求， （3）解：∵，，， ∴， ∴ 则， ∴ 即 【题型7】乘法公式的实际情境应用 1.核心知识点 乘法公式的变形与应用 几何图形的边长、面积关系 生活中的实际问题建模 2.解题方法技巧 几何建模：设未知数表示边长，根据面积相等、边长关系列方程，如正方形边长变化后面积相等，用公式列方程求解； 生活建模：将实际问题转化为代数问题，如分组、拼接、测距等问题，用公式简化计算； 结合题意检验：解出的未知数需符合实际意义（如边长、人数为正数）。 【例题7】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积，即可求解； （2）把，代入（1）所求结果中，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意， ， 绿化的总面积为平方米． （2）解：当，时，平方米， 绿化的总面积为平方米． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则______； (2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地，（），它们面积和为，为（B，A，G在同一直线上），学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再将代入求值即可； （2）设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，由已知条件得，，同理可求，由，可求得，从而可求得，由，再代入相关结论即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：． （2）解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，它们面积和为，为（B，A，G在同一直线上）， ∴，， ， ，解得：， ∵， ∴， ②， 联立，解得：， ∴ ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南商丘·期末）综合与实践 【实践操作】 在数学社团的实践活动中，同学们准备利用一张大长方形纸板设计一个拼图模型．他们按照设计图将纸板裁剪成9块，其中包括2块边长为的大正方形、2块边长为的小正方形以及5块长为、宽为的相同小长方形，且满足．同学们希望通过观察图形，探究代数式与几何图形面积之间的关系，并解决以下问题． 【问题解决】 (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________________； (2)若图中阴影部分的面积为34，大长方形纸板的周长为30． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)①5；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式在几何图形中的应用． （1）长方形图形的面积的两种不同算法可得出答案； （2）①根据长方形的周长是即可得出的值；②由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据第一步中求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：①根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ． 答：的值为5． ②空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）某学校有两块空地，如图1、图2． (1)图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪，请用两种方式表示草坪的面积：①_________；②__________． 由此可以验证的公式为③__________． (2)图2是一块多边形空地，该校在这块空地上规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的总面积． 【答案】(1)，， (2)108 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）通过不同图形分割方式得到草坪面积的不同表达式，从而验证完全平方公式； （2）由题意可得：，，得到草区域的面积，根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，两种方式表示草坪的面积：，， 由此可以验证的公式为， 故答案为：，，． （2）解：由题意得：，， ∴， ∴种草区域的面积， ∵，， ∴， 即种草区域面积和为108． 【压轴素养题型】 【题型8】利用乘法公式求代数式的最值 1.核心知识点 完全平方公式的非负性（） 配方法变形代数式 整体代换求最值 2.解题方法技巧 配方法：将代数式变形为“若干个完全平方式的和/差+常数”，如，利用完全平方非负性求最值； 结合条件求最值：已知，将所求代数式用表示，再根据确定的范围，进而求最值； 注意最值的类型：完全平方式的和加常数，求最小值；完全平方式的差加常数，求最大值。 【例题8】.（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）阅读理解并解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵ ∴ ∴的最小值是1． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)一农庄要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上建一个长方形果园，果园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图所示，设为x米，试问：当x取何值时，果园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)4 (2) (3)当时，果园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据文中提供的解题方法解答即可； （2）根据文中提供的解题方法解答即可； （3）先根据面积列出代数式，后根据（2）的方法解答即可． 本题考查了配方法，非负性，求最小值，最大值，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴的最小值是4． （2）解：， ∵ ∴， ∴， ∴的最大值为； （3）解：根据题意，得花园的面积是， ， ∵ ∴， ∴， 故当时，果园的面积最大，最大面积是． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期中）阅读材料： 求多项式的最值．分析：求二次三项式的最大值或最小值可以通过配成完全平方式的形式来求出． ， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是2． 解决问题： (1)请在序号处填上数字，完成多项式的配方过程： (2)求多项式的最值． (3)式子有最______值（填“大”或“小”），是______． (4)如图，一边靠墙（墙足够长），其余三边用长为12米的栅栏围成一个长方形鸡舍，则围成的鸡舍的最大面积是______平方米． 【答案】(1)①2；②1；③3 (2)1 (3)大，4 (4)18 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）利用完全平方公式配方即可； （2）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值； （3）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值； （4）设垂直于墙的长为x米，再表示出平行于墙的长，进而表示出鸡舍的面积，利用完全平方公式配方后确定出最大面积即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：①2；②1；③3． （2）解：， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是1． （3）解：， 无论取何值，， ∴， ∴， ∴时，有最大值是4． 故答案为：大，4； （4）解：设垂直于墙的长为x米，则平行于墙的边长为米， ， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最大值是18． 即围成的鸡舍的最大面积是18平方米． 故答案为：18． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江西南昌·期末）我们把多项式及叫做完全平方式，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它能解决一些与非负数或非正数有关的问题如求代数式最大值，最小值等，甚至我们还能巧妙地利用它来比较一些多项式的大小． 例如：求代数式的最小值． 小明是这样做的：原式． ，当时，的最小值为3． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)若多项式，，试着比较多项式和的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据阅读材料，先将代数式配方后，再利用非负数的性质解答即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答即可； （3）计算，再根据非负数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，的最小值为； （2）解：， , ， 当时，最大值为； （3）解：，理由如下， ，， ， ， ， ． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·湖南益阳·期末）【问题背景】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：， ∵，，当时，M有最小值1． 【问题解决】请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值． (3)【策略迁移】已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断三角形的形状． 【答案】(1) (2) 代数式的最大值为，此时 (3) 是等腰三角形 【分析】本题主要考查整式的混合运算，理解材料提示方法，掌握整式运算法则是关键． （1）根据材料提示的配方法计算即可； （2）根据材料提示的配方法计算得到，结合不等式的性质即可求解； （3）根据题意，运用配方法得到，结合非负性即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴，， ∴代数式的最大值为，此时； （3）解：是等腰三角形，理由如下， ， 移项得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，符合题意， ∴是等腰三角形． 【题型9】利用乘法公式变形求代数式的值 1.核心知识点 完全平方公式的常见变形（、、、的互求） 整体代换思想 2.解题方法技巧 知二求二：已知、、、中任意两个，利用变形公式求另外两个； 换元法：将复杂代数式设为整体，如已知，设，，则，再用求； 化简后代入：先将所求代数式用公式变形，再代入已知条件，避免直接求未知数。 【例题9】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)22 (2)7 (3)2 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）利用，代入已知条件即可解答； （2）设，则，，结合，即可解答； （3）设，则，，结合，求得的值，最后根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则，， ∴， 即的值为7； （3）解：设，则， ∵， ∴， ， 即， ， ． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·陕西榆林·开学考试）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)130 (2)16 (3)28 【分析】（1）设，由已知条件得，根据即可求解； （2）设，结合已知可得，将两边分别平方，然后整体代换即可求解； （3）观察图形，根据线段的构成将，用含x的代数式表示出来，根据阴影部分的面积，根据（2）的方法计算即可． 【详解】（1）解：设，则 ， ∴． （2）解：设， 则 ， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． （3）解：∵正方形的边长为x，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为28． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·四川达州·开学考试）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：__________________；方法2：__________________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． (3)根据等量关系，解决如下问题： 已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)13 【分析】（1）利用阴影两部分求和、总面积减去空白部分面积计算即可； （2）由（1）的两种方法即可得出； （3）利用，将变形为，再计算即可． 【详解】（1）解：由图可得阴影两部分求和为：， 总面积减去空白部分面积为：， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由（2）可得： ． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·湖北荆门·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （1）若，，则______； 【类比应用】 （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （2）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）， ， 当，时， ． 故答案为：． （2），， ； （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ，， ，， ， ， ， ，， ，即． 【题型10】乘法公式的新定义/探究式问题 1.核心知识点 乘法公式的灵活运用 新定义运算的理解与转化 代数式的规律探究与证明 2.解题方法技巧 新定义转化：将新定义运算用乘法公式表示，如定义，则按完全平方公式计算； 规律探究：观察已知等式，归纳出一般规律，再用乘法公式证明规律的正确性； 多结论判断：逐一分析结论，用公式验证正误，注重逻辑严谨性。 核心：将跨学科问题中的数量关系转化为代数式子，再用乘法公式求解。 【例题10】.（25-26八年级上·山西晋城·期中）定义：如果一个整数能表示成两个连续正整数的积，那么称这个整数为“邻积数”．根据“邻积数”的定义，“邻积数”可以表示为（，且为整数）．例如，，，，则2，6，12都是“邻积数”． 任务：根据上述材料，推理下面的结论． 求证： (1)任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方． (2)连续两个“邻积数”的和是两数和的平方的2倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，理解新定义， 对于（1），根据新定义可设“邻积数”为，再根据条件可得，然后整理得出结论即可； 对于（2），先表示出两个“邻积数”为，再整理得出答案． 【详解】（1）证明：由题可知，任意“邻积数”乘4，再加1可以表示为． ， 任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方； （2）解：由题可知，两个连续的“邻积数”可以分别表示为． ， 两个连续“邻积数”的和是两数和的平方的2倍． 【变式题10-1】.（23-24八年级上·四川巴中·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为；当，即或时，的值均为． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称；若关于的多项式关于对称，则______； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为，求时，多项式的值． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（）对多项式进行配方，即可求出关于对称，求出的对称轴，由关于对称，即可求解； （）对多项式进行配方，根据新定义判定，然后代入求值即可； 本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，读懂所给的新定义是解题关键． 【详解】（1）解：由， 则是关于对称， 由，关于对称， 由题意得， 故答案为：，； （2）由， ∵关于的多项式关于对称， ∴，解得， ∵当时，多项式的值为， ∴，解得， ∴关于的多项式为， ∴当时，． 【变式题10-2】.（24-25八年级上·广东汕头·期末）综合与实践 【素材】如图，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】步骤：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形； 步骤：沿虚线用剪刀剪开； 步骤：按如图所示拼成一个大正方形． 【实践探索】（1）图中的阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）； 观察图，图，请写出，，之间的等量关系是： ； 【实践应用】（2）如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积． 【答案】（）； ； （）． 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （）根据题意可得出图中阴影部分正方形的边长； 根据图中大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为，进而可得出，，之间的等量关系； （）设，，依题意得，，根据（）的结论得，由此可得的面积． 【详解】解：（）依题意得：图中阴影部分正方形的边长为：， 故答案为：； ∵图2中大正方形的边长为：， ∴图中大正方形的面积为：， ∵图中阴影部分正方形的边长为：， ∴图中阴影部分正方形的面积为：， 由拼图可知：， 故答案为：； （）设，， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形，且， ∴，， ∵， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， ∴． 【变式题10-3】.（23-24八年级上·云南曲靖·期末）数和形是数学研究客观物体的两个方面，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】（1）探究2中_________； 【应用结论】（2）利用（1）的结论求解：已知，，求的值； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）；（2）； （3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想，准确进行计算是解此题的关键． （1）根据大正方形的面积为大正方形边长的平方，也可以表示为几个小正方形和长方形的面积之和，由此即可得出答案； （2）结合（1）中的公式进行计算即可； （3）先求出，再结合，进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由图可得： 大正方形的边长为，故大正方形的面积为， 大正方形的面积还可以表示为， ， 故答案为：； （2），， ， ； （3） ， ， ， ， ， ，即， ， ． 易错点 运用完全平方公式时，遗漏交叉项的2倍，如错误写成、。 运用平方差公式时，忽略“一同一反”的结构特征，如错误计算、为平方差。 处理符号时出错，如错误展开为，正确应为。 求完全平方式的系数时，忽略多解情况，如为完全平方式，只考虑，遗漏。 5.整体代换时，未将代数式正确凑成已知整体，或忽略符号的整体代入。 6.几何验证公式时，割补法的面积计算出错，混淆“各部分面积和”与“整体面积差”。 重点 1.掌握完全平方公式、平方差公式的文字表述、符号语言、结构特征，能准确识别并正用公式。 2.熟记完全平方公式的常见变形，能实现、、、之间的互求，熟练运用整体代换思想。 3.会用凑整法、拆项法利用乘法公式进行数的简便运算，提高运算效率。 4.能根据完全平方式的特征求字母系数的值，注意多解情况。 5.理解乘法公式的几何意义，能用割补法验证公式，并解决简单的几何面积问题。 6.掌握整式化简求值的步骤：公式展开→去括号→合并同类项→整体代入，熟练运用公式简化运算。 难点 1.乘法公式的逆用与混合运用，尤其是平方差公式的连用、完全平方公式的配方法变形。 2.整体代换思想的灵活运用，能将复杂代数式设为整体，或凑出已知条件中的整体进行代入。 3.利用完全平方公式的非负性求代数式的最值，掌握配方法的步骤和技巧。 4.乘法公式与非负数、三角形三边关系、新定义运算的综合应用，能将复杂问题转化为代数问题求解。 5.几何与代数的结合，能通过割补法用乘法公式解决几何面积的探究问题，体现数形结合思想。 6.乘法公式的规律探究与证明，能观察已知等式归纳一般规律，并运用公式严谨证明规律的正确性。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题可通过平方差公式对原式变形后结合已知条件求解，也可用含的式子表示，代入原式化简计算． 【详解】解：解法一： ∵ ∴． 解法二： ∵ ∴ ∴． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，同时满足与，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平方差公式得到，再代入求解即可得到答案． 【详解】解：， ∵，， ∴． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【详解】解：计算图1中拼成的平行四边形面积，其长为，高为，面积为； 计算图2中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即， 由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 故选：D． 4．（25-26八年级上·山东滨州·期末）已知多项式是某个整式的平方的展开式，则a的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方公式对应系数即可求出a的值． 【详解】解：∵多项式是某个整式的平方的展开式，符合完全平方公式的结构， ∴令，，得， ∴中间项满足， 即， 解得． 5．（25-26八年级上·山东德州·月考）已知是完全平方式，则a的值为（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据完全平方式的结构特征，对应原式系数求解a，需考虑完全平方式的两种不同符号情况． 【详解】解：∵=，=，是完全平方式， ∴ 原式可写成的形式， 展开得， ∴ ． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建漳州·期末）若，则m的值为_____． 【答案】6 【分析】利用完全平方公式将等式左边展开，再根据多项式相等时对应项系数相等求出m的值. 【详解】解：， ∴， ∴. 7．（25-26七年级下·河北保定·开学考试）已知，则M与N的大小关系是________ 【答案】/ 【详解】解：， ， ， ． 8．（25-26七年级下·广东茂名·开学考试）若，，则________． 【答案】3 【分析】利用平方差公式计算，代入已知和的值，即可计算得到的结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 【答案】 【分析】观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 拼成的大长方形的面积为， 大长方形的宽为4， 大长方形的长为． 10．（25-26七年级下·河北保定·开学考试）如图，两个正方形边长分别为，如果，则图中阴影部分的面积为________ 【答案】72 【分析】将阴影部分的面积表示为两个正方形的面积之和减去和的面积，再利用完全平方公式将多项式变形后，整体代入即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积 ． ∵， ∴阴影部分的面积． 三、解答题 11．（25-26七年级上·陕西西安·期末）（1）化简： （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）先运用积的乘方与幂的乘方运算法则计算各项，再合并同类项完成化简； （2）先运用完全平方公式、平方差公式及单项式乘多项式法则展开各项，再合并同类项化简，最后代入给定数值计算求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 12．（25-26八年级上·江西南昌·月考）已知：多项式，整式．若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的多项式M． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式的化简，完全平方式特点，熟练掌握整式的混合运算法则以及完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵是关于x的一个完全平方式， ∴则可以使其等于， ∴ ， ∴（答案不唯一）． 13．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）阅读以下解法： “若满足，求的值”．解：设，则，则，即． 解决以下问题： (1)若满足，则_______； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． ()设，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可； ()设，利用完全平方公式变形求解即可； ()利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值： ， 所以， 故答案为：； （2）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值：， 解得：， ∴； （3）解：如图可得：， 设，则，且， 根据完全平方公式：， ∴． 14．（25-26八年级上·山东济宁·月考）探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为__________； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以，为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积： 拓展：已知，求的最小值． 【答案】尝试：，应用：12，拓展：2 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，根据图形中面积的不同表示方法得到相关等式是解题的关键． 尝试：从整体上看，阴影部分的面积边长为的正方形的面积；从组成上看，阴影部分的面积边长为m的大正方形的面积个长为m、宽为n的小长方形的面积再加上边长为n的正方形的面积； 应用：设，得，求出，从而可求出阴影部分的面积； 拓展：进行整式的减法得，再进行配方可得结论． 【详解】解：尝试：， 故答案为：； 应用：设， 由题意，得． 又， ， ． 阴影部分的面积为． 拓展：， 的最小值为2． 15．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有________项，第三项（字母部分为）的系数是________； 【拓展推广】 （2）利用杨辉三角，写出的展开式________； 【迁移应用】 （3）我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 【答案】（1）5，6；（2）；（3） 【分析】本题考查了杨辉三角与二项式展开式的规律应用． （1）根据前面二项式展开式的项数规律以及杨辉三角的系数规律来求解； （2）依据杨辉三角的规律，先得出其对应的一行数，再得出的展开式； （3）通过替换的方法即可得到的展开式． 【详解】解：（1）观察已知的二项式展开式： 有2项，有3项，有4项， ∴的展开式共有项， ∴的展开式共有项， 由杨辉三角可知，对应的杨辉三角的一行数为1，4，6，4，1， ∴第三项的系数是6， 故答案为：5，6； （2）根据杨辉三角的规律，对应的杨辉三角的一行数为1，5，10，10，5，1， ∴的展开式为， 故答案为：； （3）由题意知， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.4 乘法公式 知识点1：完全平方公式 1.核心公式：两数和的平方；两数差的平方。 2.文字表述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。 3.结构特征：左边是二项式的平方，右边是二次三项式；首尾两项为平方项且恒正，中间项为交叉项，符号与左边二项式的符号一致。 4.常见变形： ， 5.几何意义：边长为的大正方形面积，等于边长为、的两个小正方形面积加上两个长宽的长方形面积；边长为的小正方形面积，等于边长为的大正方形面积减去两个长宽的长方形面积，再加上边长为的小正方形面积。 知识点2：平方差公式 1.核心公式：。 2.文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 3.结构特征：左边是两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方。 4.常见变形（整体思想）： 位置变形： 符号变形： 系数变形： 增项变形： 连用变形： 5.几何意义：边长为的大正方形减去边长为的小正方形的面积，等于长为、宽为的长方形面积。 知识点3：完全平方公式与平方差公式对比 公式类型 左边形式 右边形式 项数 符号特征 核心关键词 完全平方公式 二项式的平方 二次三项式 3项 首尾恒正，中间项符号随原式 平方和、积的2倍 平方差公式 两个二项式相乘（一同一反） 二项式（平方差） 2项 相同项平方减相反项平方 一同一反、平方差 知识点4：乘法公式的通用注意事项 1.公式中的、可以是具体的数，也可以是单项式、多项式等代数式，需遵循整体代换思想。 2.公式可正用、逆用，逆用是因式分解的重要依据（，）。 3.运用公式时需注意符号：完全平方的交叉项符号由原式决定，平方差的结果为“相同项平方减相反项平方”。 【基础必考题型】 【题型1】直接运用乘法公式进行整式运算 1.核心知识点 完全平方公式、平方差公式的基本形式 单项式、多项式的符号运算规则 2.解题方法技巧 识别式子结构：若为“二项式平方”用完全平方公式，若为“一同一反二项式相乘”用平方差公式； 带符号运算时，将负号纳入整体，如，； 展开后合并同类项，注意系数和符号的准确性。 【例题1】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： (1)． (2)． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）下列等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·福建南平·期末）化简：． 【题型2】根据完全平方式求字母系数的值 1.核心知识点 完全平方公式的逆用（） 多项式恒等的系数对应关系 2.解题方法技巧 定形分析：若多项式为完全平方式，则，如为完全平方式，则； 待定系数法：将等式两边展开，对应项系数相等列方程，如，则，，； 注意多解情况：完全平方式的交叉项可正可负，系数一般有两个值。 【例题2】.（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如果是一个完全平方式，那么k 的值是 （     ） A． B． C． D．无法确定 【变式题2-1】.（25-26八年级上·山东德州·期末）若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河南开封·期末）若是完全平方式，则的值是______． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 【题型3】利用乘法公式进行数的简便运算 1.核心知识点 完全平方公式、平方差公式的正用 数的拆项变形（凑整法） 2.解题方法技巧 平方差凑整：将两个数变形为“一个数的和与差”，如； 完全平方凑整：将接近整十、整百的数拆为“整十/百数±小数”，如，； 连乘式巧用平方差连用，如。 【例题3】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）简便运算： (1) (2) 【变式题3-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）运用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·天津宝坻·月考）用简便方法计算 (1) (2) 【变式题3-3】.（25-26七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算． (1) (2)； 【题型4】乘法公式与整式化简求值的综合 1.核心知识点 平方差、完全平方公式的混合运用 整式的去括号、合并同类项 整体代入求值 2.解题方法技巧 先公式展开：优先运用乘法公式展开式子，再去括号、合并同类项，简化代数式； 凑整体代入：若已知，则变形为，将所求代数式凑出整体代入； 注意运算顺序：先乘方（公式），再乘除，最后加减。 【例题4】.（2026·陕西西安·二模）先化简，再求值：，其中，． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东德州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：．其中，． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中，． 【培优高频题型】 【题型5】平方差公式的多因式连乘与规律应用 1.核心知识点 平方差公式的连用与逆用 代数式的规律探究 2.解题方法技巧 补项法：缺“”补“”，如； 找规律：观察连乘式的项的特征，发现“平方差连锁反应”，逐步化简至最简形式； 末位数字判断：先化简代数式，再根据乘方的末位数字规律求解。 【例题5】.（24-25六年级下·全国·单元测试）推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【变式题5-1】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A．1 B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【变式题5-3】.（2026七年级下·全国·专题练习）观察：；，那么，________． 【题型6】乘法公式的几何验证与面积计算 1.核心知识点 完全平方公式、平方差公式的几何意义 几何图形的割补法求面积 2.解题方法技巧 公式验证：用“整体面积=各部分面积和/差”推导公式，如边长为的正方形拆为、、； 面积计算：结合公式表示图形面积，如阴影部分面积用“大减小”或“补形法”，再代入公式化简。 【例题6】.（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)初步感知：如图1，写出一个我们熟悉的数学公式 ； (2)解决问题： ①若，，则的值为________； ②如图2，为上一点，分别以，为边作正方形，，连接，，．若与的面积和为，的面积为，求的长； (3)类比探究：如图3，将一长方形纸片按图裁剪，其阴影部分是两种大小不同，边长分别为与的正方形，其余空白部分均为长方形，观察图形，发现整式可以分解因式为 ； 【变式题6-1】.（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到． 【类比应用】 （1）如图2，可以得到的代数恒等式是：　　； 【结论应用】 （2）若满足，求的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板()如图3所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若一块直角三角板的面积为，与面积之和为，求线段的长． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·广东珠海·开学考试）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求，的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）阅读材料：面积与代数恒等式 通过学习，我们知道可以用图1的面积来解释公式'，人们习惯用平面面积解释代数恒等式．实际上，教材中是用图2的面积来解释多项式与多项式相乘的法则． 请根据阅读材料，解答下列问题： (1)请写出如图3所示的图形面积表示的代数恒等式． (2)类比上述图形，试画出一个几何图形，使它的面积能表示为． (3)已知，，请你利用（1）中的结论，求的值． 【题型7】乘法公式的实际情境应用 1.核心知识点 乘法公式的变形与应用 几何图形的边长、面积关系 生活中的实际问题建模 2.解题方法技巧 几何建模：设未知数表示边长，根据面积相等、边长关系列方程，如正方形边长变化后面积相等，用公式列方程求解； 生活建模：将实际问题转化为代数问题，如分组、拼接、测距等问题，用公式简化计算； 结合题意检验：解出的未知数需符合实际意义（如边长、人数为正数）。 【例题7】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则______； (2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地，（），它们面积和为，为（B，A，G在同一直线上），学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南商丘·期末）综合与实践 【实践操作】 在数学社团的实践活动中，同学们准备利用一张大长方形纸板设计一个拼图模型．他们按照设计图将纸板裁剪成9块，其中包括2块边长为的大正方形、2块边长为的小正方形以及5块长为、宽为的相同小长方形，且满足．同学们希望通过观察图形，探究代数式与几何图形面积之间的关系，并解决以下问题． 【问题解决】 (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________________； (2)若图中阴影部分的面积为34，大长方形纸板的周长为30． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）某学校有两块空地，如图1、图2． (1)图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪，请用两种方式表示草坪的面积：①_________；②__________． 由此可以验证的公式为③__________． (2)图2是一块多边形空地，该校在这块空地上规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的总面积． 【压轴素养题型】 【题型8】利用乘法公式求代数式的最值 1.核心知识点 完全平方公式的非负性（） 配方法变形代数式 整体代换求最值 2.解题方法技巧 配方法：将代数式变形为“若干个完全平方式的和/差+常数”，如，利用完全平方非负性求最值； 结合条件求最值：已知，将所求代数式用表示，再根据确定的范围，进而求最值； 注意最值的类型：完全平方式的和加常数，求最小值；完全平方式的差加常数，求最大值。 【例题8】.（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）阅读理解并解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵ ∴ ∴的最小值是1． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)一农庄要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上建一个长方形果园，果园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图所示，设为x米，试问：当x取何值时，果园的面积最大？最大面积是多少？ 【变式题8-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期中）阅读材料： 求多项式的最值．分析：求二次三项式的最大值或最小值可以通过配成完全平方式的形式来求出． ， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是2． 解决问题： (1)请在序号处填上数字，完成多项式的配方过程： (2)求多项式的最值． (3)式子有最______值（填“大”或“小”），是______． (4)如图，一边靠墙（墙足够长），其余三边用长为12米的栅栏围成一个长方形鸡舍，则围成的鸡舍的最大面积是______平方米． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江西南昌·期末）我们把多项式及叫做完全平方式，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它能解决一些与非负数或非正数有关的问题如求代数式最大值，最小值等，甚至我们还能巧妙地利用它来比较一些多项式的大小． 例如：求代数式的最小值． 小明是这样做的：原式． ，当时，的最小值为3． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)若多项式，，试着比较多项式和的大小，并说明理由． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·湖南益阳·期末）【问题背景】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：， ∵，，当时，M有最小值1． 【问题解决】请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值． (3)【策略迁移】已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断三角形的形状． 【题型9】利用乘法公式变形求代数式的值 1.核心知识点 完全平方公式的常见变形（、、、的互求） 整体代换思想 2.解题方法技巧 知二求二：已知、、、中任意两个，利用变形公式求另外两个； 换元法：将复杂代数式设为整体，如已知，设，，则，再用求； 化简后代入：先将所求代数式用公式变形，再代入已知条件，避免直接求未知数。 【例题9】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知，求ab的值； (2)已知，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·陕西榆林·开学考试）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解答下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·四川达州·开学考试）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：__________________；方法2：__________________． (2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系． (3)根据等量关系，解决如下问题： 已知，求的值． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·湖北荆门·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （1）若，，则______； 【类比应用】 （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为，的面积为，求的长度． 【题型10】乘法公式的新定义/探究式问题 1.核心知识点 乘法公式的灵活运用 新定义运算的理解与转化 代数式的规律探究与证明 2.解题方法技巧 新定义转化：将新定义运算用乘法公式表示，如定义，则按完全平方公式计算； 规律探究：观察已知等式，归纳出一般规律，再用乘法公式证明规律的正确性； 多结论判断：逐一分析结论，用公式验证正误，注重逻辑严谨性。 核心：将跨学科问题中的数量关系转化为代数式子，再用乘法公式求解。 【例题10】.（25-26八年级上·山西晋城·期中）定义：如果一个整数能表示成两个连续正整数的积，那么称这个整数为“邻积数”．根据“邻积数”的定义，“邻积数”可以表示为（，且为整数）．例如，，，，则2，6，12都是“邻积数”． 任务：根据上述材料，推理下面的结论． 求证： (1)任意“邻积数”乘4，再加1是两数和的平方． (2)连续两个“邻积数”的和是两数和的平方的2倍． 【变式题10-1】.（23-24八年级上·四川巴中·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为；当，即或时，的值均为． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称；若关于的多项式关于对称，则______； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为，求时，多项式的值． 【变式题10-2】.（24-25八年级上·广东汕头·期末）综合与实践 【素材】如图，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】步骤：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形； 步骤：沿虚线用剪刀剪开； 步骤：按如图所示拼成一个大正方形． 【实践探索】（1）图中的阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）； 观察图，图，请写出，，之间的等量关系是： ； 【实践应用】（2）如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积． 【变式题10-3】.（23-24八年级上·云南曲靖·期末）数和形是数学研究客观物体的两个方面，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】（1）探究2中_________； 【应用结论】（2）利用（1）的结论求解：已知，，求的值； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值． 易错点 运用完全平方公式时，遗漏交叉项的2倍，如错误写成、。 运用平方差公式时，忽略“一同一反”的结构特征，如错误计算、为平方差。 处理符号时出错，如错误展开为，正确应为。 求完全平方式的系数时，忽略多解情况，如为完全平方式，只考虑，遗漏。 5.整体代换时，未将代数式正确凑成已知整体，或忽略符号的整体代入。 6.几何验证公式时，割补法的面积计算出错，混淆“各部分面积和”与“整体面积差”。 重点 1.掌握完全平方公式、平方差公式的文字表述、符号语言、结构特征，能准确识别并正用公式。 2.熟记完全平方公式的常见变形，能实现、、、之间的互求，熟练运用整体代换思想。 3.会用凑整法、拆项法利用乘法公式进行数的简便运算，提高运算效率。 4.能根据完全平方式的特征求字母系数的值，注意多解情况。 5.理解乘法公式的几何意义，能用割补法验证公式，并解决简单的几何面积问题。 6.掌握整式化简求值的步骤：公式展开→去括号→合并同类项→整体代入，熟练运用公式简化运算。 难点 1.乘法公式的逆用与混合运用，尤其是平方差公式的连用、完全平方公式的配方法变形。 2.整体代换思想的灵活运用，能将复杂代数式设为整体，或凑出已知条件中的整体进行代入。 3.利用完全平方公式的非负性求代数式的最值，掌握配方法的步骤和技巧。 4.乘法公式与非负数、三角形三边关系、新定义运算的综合应用，能将复杂问题转化为代数问题求解。 5.几何与代数的结合，能通过割补法用乘法公式解决几何面积的探究问题，体现数形结合思想。 6.乘法公式的规律探究与证明，能观察已知等式归纳一般规律，并运用公式严谨证明规律的正确性。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，同时满足与，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 4．（25-26八年级上·山东滨州·期末）已知多项式是某个整式的平方的展开式，则a的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 5．（25-26八年级上·山东德州·月考）已知是完全平方式，则a的值为（　　） A． B． C．3 D．6 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建漳州·期末）若，则m的值为_____． 7．（25-26七年级下·河北保定·开学考试）已知，则M与N的大小关系是________ 8．（25-26七年级下·广东茂名·开学考试）若，，则________． 9．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 10．（25-26七年级下·河北保定·开学考试）如图，两个正方形边长分别为，如果，则图中阴影部分的面积为________ 三、解答题 11．（25-26七年级上·陕西西安·期末）（1）化简： （2）先化简，再求值：，其中，． 12．（25-26八年级上·江西南昌·月考）已知：多项式，整式．若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的多项式M． 13．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）阅读以下解法： “若满足，求的值”．解：设，则，则，即． 解决以下问题： (1)若满足，则_______； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 14．（25-26八年级上·山东济宁·月考）探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为__________； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以，为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积： 拓展：已知，求的最小值． 15．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有________项，第三项（字母部分为）的系数是________； 【拓展推广】 （2）利用杨辉三角，写出的展开式________； 【迁移应用】 （3）我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 第 1 页 共 1 页 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