精品解析：湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三下学期开学检测数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三下学期入学检测数学试题 一、单选题 1. 已知，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 平面内有一个直角边长为a的等腰直角三角形ABC，其中为直角，若沿着其中一条直角边AC旋转，使得所在平面与平面的夹角为且，此时的内(含边界)有一动点，满足到另一条直角边BC的距离与到平面的距离相等，则动点的轨迹的长度为（ ） A. a B. a C. a D. a 4. 已知是定义在上的奇函数，且，若，，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，，，为中点，，当该三棱锥的体积的最大值为时，其外接球表面积为（ ）． A. B. C. D. 6. 等比数列中，，且，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知点E为平行四边形所在平面上一点且满足，点F为AE与BD的交点，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极小值点 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处切线斜率小于零 二、多选题 9. 已知虚数满足，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第三象限 10 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，函数，则（ ） A. 对任意a，总存在零点 B. 当时，是的极值点 C. 当时，曲线与轴相切 D. 对任意a，在区间上单调递增 三、填空题 12. 已知单位向量满足，则__________. 13. 已知集合，，若存在实数使得集合与中均恰有2个元素，则的取值为______. 14. 若且，则取值范围为________. 四、解答题 15. 在中，，分别为内角，的对边长，设向量，，且有． （1）求角的大小； （2）若，求三角形面积的最大值． 16. 设首项为a的等比数列的前项和为，若等差数列的前三项恰为，，. （1）求数列，的通项公式；（用字母a表示） （2）令，若对恒成立，求实数a的取值范围. 17. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：BC∥AD； （2）求证：CE∥平面PAB． 18. （1），，若与夹角为钝角，则的取值范围是 . （2）设定义在区间上的函数的图象为是上任意一点，为坐标原点，设向量，，，当实数满足时，记向量. 定义“函数在区间上可在标准下线性近似”是指“恒成立”，其中是一个确定的正数. （i）求证：三点共线； （ii）设函数在区间上可在标准下线性近似，求取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三下学期入学检测数学试题 一、单选题 1. 已知，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，求出的值，可得，可得答案. 【详解】解：由，集合，可得， 故：， 故选：C. 【点睛】本题主要考查集合中补集与交集的运算，相对简单. 2. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质逐一分析即可. 【详解】A.当时满足，但此时，故A选项错误； B.当时满足，但此时，故B选项错误； C.当时满足，但此时，故C选项错误； D.由得：，即，故D选项正确. 故选：D. 3. 平面内有一个直角边长为a的等腰直角三角形ABC，其中为直角，若沿着其中一条直角边AC旋转，使得所在平面与平面的夹角为且，此时的内(含边界)有一动点，满足到另一条直角边BC的距离与到平面的距离相等，则动点的轨迹的长度为（ ） A. a B. a C. a D. a 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，找到二面角的平面角，将所满足的距离转化为动点到另一条直角边BC的距离与到边的距离的比，进而找到满足条件的轨迹，利用相似等知识解得轨迹长度即可. 【详解】结合题意,如图:做垂足于点,做面于点， 连接并延长于点, 因为平面，且在平面内，所以, 因为，且,且在面内， 所以面，所以为平面与平面的二面角的平面角， 因为,结合三角函数关系，所以, 要满足动点到另一条直角边BC的距离与到平面的距离相等， 只需，即满足，故动点的轨迹为, 当点与点重合时，此时点与点重合, 点与点重合, 如图：易得出，设,所以, 即,解得，所以，, 在直角三角形中，， 解得，动点的轨迹的长度为. 故选：A. 4. 已知是定义在上的奇函数，且，若，，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用所给条件求出最小正周期，再转化到给定的函数值求范围即可. 【详解】由，是定义在上的奇函数，可得， 故的最小正周期为4，且已知， 故，，，已知， 则，解得. 故选：D 5. 在三棱锥中，，，为中点，，当该三棱锥的体积的最大值为时，其外接球表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求得底面积的最大值和此时底面直角三角形的直角边长，根据体积最大值求得棱锥的高，得到平面，进而确定球心在上，并利用勾股定理求得外接球的半径，进而得到表面积. 【详解】，，故底面三角形外接圆半径为，外接圆圆心为斜边中点. ，当时等号成立， ∴，设三棱锥的高为,则 故，故， 当外接球体积最大时平面，且,. 设三棱锥外接球球心为，球的半径为,则在上，, 在中，，化简得到， 故. 故选：D. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，涉及基本不等式求最值，球的表面积公式，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，属中档题. 6. 等比数列中，，且，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差中项的知识列方程，求得，结合数列的单调性求得的最小值. 【详解】设等比数列的公比为， 由于，，成等差数列， 所以，即， 也即，解得， 所以，所以. ， ， 当时，，当时，， 所以， 所以的最小值为. 故选：D 7. 已知点E为平行四边形所在平面上一点且满足，点F为AE与BD的交点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量加法、减法的几何意义即可求解. 【详解】 平行四边形，由， 所以，所以, 故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法的几何意义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 8. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极小值点 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC选项，根据导数的定义和几何意义即判断D选项，从而得出答案. 【详解】由图像知，当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减， 是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误； 又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9. 已知虚数满足，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第三象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共轭复数概念写出，进而判断各项的正误. 【详解】由，得， 所以的实部为的虚部为， 在复平面内对应的点在第三象限， 故选：ACD 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，，，即，故A正确； 对于B，，，即，故B正确； 对于C，，不妨取时，，故C错误； 对于D，， ，，即， ，则，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知，函数，则（ ） A. 对任意a，总存零点 B. 当时，是的极值点 C. 当时，曲线与轴相切 D. 对任意a，在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用零点存在性定理判断A；利用导数探讨单调性判断B；求出切线斜率为0的切线方程判断C；当时探讨值的情况判断D. 【详解】函数定义域为，求导得， 对于A，函数在上的图象连续不断，当时，由，得； 而，当时，，函数在上存在零点； 当时，， 函数在上存在零点，因此对任意a，总存在零点，A正确； 对于B，当时，，函数在上单调递增，无极值点，B错误； 对于C，当时，，由，得，而， 则曲线在处切线为，即曲线与轴相切，C正确； 对于D，当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，又， 则当时，， 函数在区间上单调递增， 因此对任意a，在区间上单调递增，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知单位向量满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得，再由运算律求即可. 【详解】因为，所以，所以， 则，故. 故答案为： 13. 已知集合，，若存在实数使得集合与中均恰有2个元素，则的取值为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分角的终边在一条直线上和角的终边在上两种情况讨论，确定的值，得到答案. 【详解】根据单位圆，若集合中恰有2个元素，则满足以下两钟情况： 当角的终边在一条直线上，此时，可取除的任意角； 当角的终边在上来回跳，此时，取值只能为， 故的取值为或. 故答案为：或. 14. 若且，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的单调性和三角函数的图象和性质求解. 【详解】不等式 可化为. 设，因为是上的增函数， 所以，，则. 又因为，知的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，，分别为内角，的对边长，设向量，，且有． （1）求角的大小； （2）若，求三角形面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据得，即，即可得答案. （2）根据余弦定理可得：，又由基本不等式可得到，代入整理即可得答案. 【小问1详解】 由得：；即 因为，所以 【小问2详解】 由得： 又∴ ∴ ∴ . 三角形面积的最大值为. 16. 设首项为a的等比数列的前项和为，若等差数列的前三项恰为，，. （1）求数列，的通项公式；（用字母a表示） （2）令，若对恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差中项公式及等比数列求和公式可得，从而即可求解数列，的通项公式； （2）利用错位相减法求出数列的前n项和，进而可得恒成立，令，判断的单调性，求出其最大值，从而即可求解. 【小问1详解】 解：设等比数列的公比为，依题意有，故， 所以，即，解得， 所以， 又，所以公差， 所以； 【小问2详解】 解：， 令，则， ， 所以， 所以， 由题意，对都有，即恒成立， 令，则时， 故时，数列递减，又，故， 所以，即的取值范围为. 17. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：BC∥AD； （2）求证：CE∥平面PAB． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明． 【小问1详解】 在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD． 【小问2详解】 取PA的中点F，连接EF，BF，∵E是PD的中点， ∴EF∥AD，， 又由（1）可得BC∥AD，且，∴BC∥EF，BC＝EF， ∴四边形BCEF是平行四边形，∴EC∥FB， ∵EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB， ∴EC∥平面PAB． 18. （1），，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 . （2）设定义在区间上的函数的图象为是上任意一点，为坐标原点，设向量，，，当实数满足时，记向量. 定义“函数在区间上可在标准下线性近似”是指“恒成立”，其中是一个确定的正数. （i）求证：三点共线； （ii）设函数在区间上可在标准下线性近似，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）（i）证明见解析（ii） 【解析】 【分析】（1）由数量积定义结合题设条件列出不等式组即可求解； （2）（i）由题设可得，即可得证； （ii）由题设求出，即可由新定义分析求解. 【详解】（1）因为，，与的夹角为钝角， 所以或， 所以的取值范围是； （2）（i）证明：由题向量， 得，即，所以三点共线； （ii）由题得向量，， 所以向量， 由题意，，， 则，向量，， 所以恒成立， 当时，当且仅当时等号成立， 所以，即函数在区间上可在标准下线性近似，则的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程； （2）要证，即证.先利用导数研究函数单调性与最值可证，再证利用导数证明即可. 【小问1详解】 当时，，则， 所以， 故所求的切线方程为，即. 【小问2详解】 要证，即证先证. 设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，也是的最小值点，且， 所以，即成立. 再证. 设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，也是的最小值点，且， 所以. 综上，成立 【点睛】利用导数求切线方程步骤：1.根据导数的几何意义求出切线斜率；2.求出切点坐标；3，点斜式求切线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $