精品解析：江苏省南京市栖霞区名校联盟2026届高三一模考试数学试题

2026届第一次模拟考试 命题人：陈宇轩 审题人：黄泽宇 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. “a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，是上的动点，点，则的最小值为（ ） A. 841 B. 2026 C. 2027 D. 4111 6. 在中，，，则的最短边与最长边之比为（ ） A. B. C. D. 7. 等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知正实数a，b满足和，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 10. 定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 不等式的解集为 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，直线l：与两条渐近线交于A，B两点，若，则C的离心率可能是（ ） A. 2 B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 某工厂抽检一批零件，共120个，其中90个零件的合格率为90%，30个零件的合格率为80%，则这120个零件的合格率是______． 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 14. 已知数列满足，且，则_____. 四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分) 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，. （1）证明：； （2）若，求内角A的大小. 16. 设函数． （1）求的单调区间； （2）若存在极值点，且存在，使得，证明：．附 17. 如图所示，在三棱柱中，，且满足平面平面. （1）证明：； （2）设点是棱上一点，当直线与平面所成的角最大时，求的值. 18. 已知函数，． （1）求在内的单调性； （2）若存在，使得，求实数a的取值范围； （3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由． 19. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． （1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润 购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留 位小数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届第一次模拟考试 命题人：陈宇轩 审题人：黄泽宇 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，又， 所以. 故选：C 2. 若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数为，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A. 3. “a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，建立的方程，解出的值，利用充分条件和必要条件得到结论. 【详解】由直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切， 得，解得a＝0或a＝－4， 则“a＝－4”是“直线l：3x＋ay＋a＋3＝0与圆C：相切”的充分不必要条件． 故选：B. 4. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过奇偶性排除CD选项，再通过特定区间的函数符号排除B选项，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，所以CD错误． 当时，，所以B错误. 故选：A． 5. 已知抛物线的焦点为，是上的动点，点，则的最小值为（ ） A. 841 B. 2026 C. 2027 D. 4111 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义计算即可. 【详解】注意到，故在内，过点作的准线的垂线，垂足为， 过点作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义知，当且仅当点在线段上时等号成立. 故选：C. 6. 在中，，，则的最短边与最长边之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，即可求出，从而得到，则，再求出，最后由正弦定理计算可得. 【详解】因为，， 所以， 又，所以，则， 又，，所以，所以，则， 又，解得， 所以， 即的最短边与最长边之比为. 故选：C 7. 等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出外接圆方程，再根据向量关系得到点M坐标，代入圆方程，最后利用不等式求解的最大值. 【详解】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， 则：，，， 外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为，半径为， 故外接圆方程为：． 又因为，其中，， 则． 将代入圆的方程得， 即， ， ∴， 解得，当且仅当时取得的最大值2． 故选：B. 8. 已知正实数a，b满足和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可. 【详解】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，，即， 令，，则， 由，可得在上单调递增，则，故； 又由可得，则，故. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 10. 定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用赋值法判断A，结合题意并利用偶函数的定义判断B，利用函数单调性的定义判断C，将目标不等式合理转化判断D即可. 【详解】令，得，即，故A正确； 令， 则， 即是偶函数，故B正确； 当时，因为，所以， 因为，所以， 则在上单调递增，故C错误； 由题意知，且， 因此不等式可化为， 因为在上单调递增， 所以，解不等式得，故D错误． 故选：AB 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别是，，直线l：与两条渐近线交于A，B两点，若，则C的离心率可能是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分析可知，，求交点横坐标，分和两种情况，结合弦长公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：直线l过点，且与直线垂直， 点到渐近线的距离， 因为，可知垂足为A，且，． 联立方程，解得； 联立方程，解得； 当时，点B在射线上，则， 可得，整理得， 所以双曲线C的离心率为； 当时，点B在射线上，则， 可得，整理得， 所以双曲线C的离心率为； 综上所述：C的离心率可能是或2. 故选：AD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 某工厂抽检一批零件，共120个，其中90个零件的合格率为90%，30个零件的合格率为80%，则这120个零件的合格率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的公式求解即可. 【详解】由题意可得，这120个零件的合格率是． 故答案为：. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求得，得到，求得切线方程为，再求得，设曲线的切点为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由函数，可得， 设曲线的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 已知数列满足，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过构造新数列的方法，将给定的递推公式转化为一个等比数列的形式，进而可求出数列的通项公式. 【详解】设，则. 由，解得. . 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. ，. 故答案为： 四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分) 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，. （1）证明：； （2）若，求内角A的大小. 【答案】（1）在中， ， 因为，即， 且，则， 则，即， 又因为 ，则，即. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合面积公式可得，运算求解即可； （2）根据题意结合余弦定理可得，即可得角A的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则，且， 由余弦定理可得， 且，所以. 16. 设函数． （1）求的单调区间； （2）若存在极值点，且存在，使得，证明：．附 【答案】（1）时，的增区间为，无减区间； 时，增区间为，减区间为. （2）证明：因为是的极值点，故，故， 所以， 因为存在，使得， 所以，即， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为 所以，即， 所以，即， 因为， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，就、 分类讨论导数的符号后可得函数的单调性； （2）根据极值点可得，再根据结合代数变形可证. 【小问1详解】 解：， 当时， （不恒为零），的增区间为，无减区间； 若 ，则当时，， 当时，， 故的增区间为，减区间为， 综上：时，的增区间为，无减区间； 时，的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 略 17. 如图所示，在三棱柱中，，且满足平面平面. （1）证明：； （2）设点是棱上一点，当直线与平面所成的角最大时，求的值. 【答案】（1）证明：如图，设点是的中点，连接. 由于，故. 又平面平面平面，平面平面， 故平面. 而平面，故，即， 在中，， 所以. 又，故，所以，即， 结合平面， 可得平面，又平面，因此. 又，故. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直，再利用余弦定理和勾股定理来证明，再证明线面垂直，从而问题得证； （2）利用空间向量法，引入变量，来表示相关向量的坐标，再求线面角的正弦值，借助二次函数求出最值，则问题即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，所以以为坐标原点建立如图空间直角坐标系. 于是， 点是棱上一点，设， 所以， ， 设向量是平面的一个法向量，则 ，令，则， 所以， 设直线与平面所成的角为， ， 所以当时，达到最大，直线与平面所成的角最大， 故. 18. 已知函数，． （1）求在内的单调性； （2）若存在，使得，求实数a的取值范围； （3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减． （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得，解出和的解集即可求解. （2）由已知可得存在，使得成立，因为时，，故存在，用参变分离法可得出，利用导数求出函数在上的最大值即可求解； （3）令，利用导数分析在上的单调性，利用零点存在性定理可知，求得，证明出，结合的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 ． 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由题可知存在，使得成立， ∵时，，故存在，使得． 令，其中， ， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故． 【小问3详解】 ． 证明：由可得， 令，则． 因为，则， 所以，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以，存在唯一的，使得， 所以，，， 同理可得， 且， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为函数在上单调递减， 故，即, 取，则, 19. 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． （1）若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （2）设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润 购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留 位小数） 【答案】（1）分布列： （2）（i） （ii）证明：对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 所以时，最大期望利润为 【解析】 【分析】（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算； （2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式； （ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润. 【小问1详解】 实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . 【小问2详解】 (i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $