第六章 平面向量及其应用 单元测试试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用单元测试试卷（学生版） （人教A版必修二第六章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆的半径为4.内接于此圆，且，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 5．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．在中，“”是“为直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，，，则（   ） A． B．，使得 C．，使得 D．，使得 10．已知为所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．与的面积之比为 D．与的面积之比为 11．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则一定是钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一个物体在三个力的作用下，处于静止状态，则_____. 13．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达D处，又测得山顶的仰角为，则山的高度为____________m（注：） 14．如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路和一条索道，小王和小李打算不坐索道，徒步攀登，已知，，，．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250米，则两位登山爱好者经过_________小时登上山峰（即从B点出发到达C点）． 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。 15．已知，，，求与的夹角大小． 16．已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 17．如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 18．锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 19．在中，为锐角，． (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积及边上的中线长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章平面向量及其应用单元测试试卷（详解版） （人教A版必修二第六章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用向量的模、相等向量、相反向量、共线向量等相关概念进行判断. 【详解】对于选项A：若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误； 对于选项B：当时，，，此时未必共线，故B错误； 对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误； 对于选项D：若，则向量，互为相反向量，则，则D正确； 故选：D. 2．已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【详解】因为，则，则，解得， 则，， 则与的夹角的余弦值为. 3．已知向量，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、求投影向量 【分析】根据投影向量的定义计算得解. 【详解】因为， 所以在上的投影向量为：. 4．已知圆的半径为4.内接于此圆，且，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、向量与几何最值 【分析】建系后，根据圆上一动点B的坐标，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以为坐标原点，轴，建立坐标系，如图， 则，， 设， ， 则， 5．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】利用向量中点公式，得到，把原式化简为，根据向量的数量积运算确定最小时点的位置，再利用均值不等式求出最小值. 【详解】解析 （为的中点）， 则，要使最小， 则，的方向相反，即点在线段上， 则，即求的最大值， 因为， 所以， 当且仅当，即是的中点时，取等号． 故． 故选：B． 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用、基本不等式求积的最大值、求三角形面积的最值或范围 【分析】根据余弦定理角化边求出，然后利用基本不等式求出的范围，最后根据面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以，整理得， 则，解得. 因为，所以，取等条件为， 则的面积. 故选：A 7．在中，“”是“为直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【详解】先考查充分性： 由，可得， 整理得，由正弦定理得，故为直角三角形，充分性正确； 再考查必要性： 若为直角三角形，不妨令，代入，即必要性不成立. 故“”是“为直角三角形”的充分不必要条件. 8．某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形、角度测量问题 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，，，则（   ） A． B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】ABC 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】对A，根据条件，利用向量垂直的坐标表示，即可求解；对B，根据条件，利用向量共线的坐标表示，即可求解；对C，根据条件，利用向量的模长计算公式，即可求解；对D，根据条件，利用向量夹角的坐标表示，即可求解. 【详解】对于A，因为，，所以，则，故A正确， 对于B，因为，，若，则，即，所以，使得，故B正确， 对于C，因为，所以， 由，整理得，解得， 所以，使得，故C正确， 对于D，因为，若，则， 解得，不合题意，所以不存在，使，故D错误， 故选：ABC. 10．已知为所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．与的面积之比为 D．与的面积之比为 【答案】ABD 【知识点】平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用、垂直关系的向量表示、向量在几何中的其他应用 【分析】对于A，由条件，求出，再开方可得，即可判断；对于B，由，通过向量的线性运算可得，即可判断；对于C，由，可得，即可判断；对于D，由，可得，，则得，即可判断. 【详解】若且，则， 则， 所以，故A正确； 因为， 所以，故B正确； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，，所以，故D正确． 故选：ABD． 11．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则一定是钝角三角形 【答案】BD 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据正弦定理、余弦定理和三角形内角的范围逐项计算判断即可. 【详解】对于A，根据正弦定理得， 化简得，得到或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对于正弦定理可知，，因为，所以，B正确； 对于C，仅知道是锐角三角形，并不能确定的大小，C错误； 根据余弦定理可得，，因为，所以. 因为，所以，所以一定是钝角三角形，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一个物体在三个力的作用下，处于静止状态，则_____. 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、力的合成 【分析】依题意可得，再根据向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】依题意，所以. 故答案为： 13．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达D处，又测得山顶的仰角为，则山的高度为____________m（注：） 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】过点D作交于E，可得，进而利用正弦定理可得，求得，进而可求得. 【详解】过点D作交于E，因为，故． 于是． 又，故， 由正弦定理得． 所以在中，． 故答案为：. 14．如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路和一条索道，小王和小李打算不坐索道，徒步攀登，已知，，，．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250米，则两位登山爱好者经过_________小时登上山峰（即从B点出发到达C点）． 【答案】 【知识点】正、余弦定理的其他应用 【分析】结合正弦定理、余弦定理求得，由此求得登山时间. 【详解】依题意，所以千米， 在三角形中，由正弦定理得 ，解得千米. 在三角形中，由余弦定理得 ， 化简得，解得千米， 所以千米. 所需要的时间为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理求解实际问题，属于中档题. 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤。 15．已知，，，求与的夹角大小． 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】通过向量垂直，数量积为0，列出等式，结合向量数量积的定义即可求解. 【详解】， ． 即． ，， 设向量与的夹角为， ． ． 又． 与的夹角为． 16．已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值； (2)若，求实数的值； (3)已知，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）求出、的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （3）表示出，利用坐标法计算，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1），又，，， 即， ，解得. （2）因为，， 又， ，即，解得. （3）因为， 所以， 所以当时，取最小值. 17．如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】用向量证明线段垂直、用向量解决夹角问题 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【详解】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 18．锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）先利用二倍角公式与因式分解化简已知等式，结合锐角三角形的性质求出角，再用余弦定理求边并检验解的合理性，最终确定； （2）先用正弦定理将边的比值转化为角的正弦值，再结合将表达式化为含的三角函数，最后通过角的范围求出取值范围. 【详解】（1）由题， ，为锐角三角形，， . 由余弦定理，得， 即，解得或， 但时，，与已知条件不符， 而时，，符合条件，； （2）由正弦定理，得 ， ， . 19．在中，为锐角，． (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积及边上的中线长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理与角度的函数值求解. （2）选①，首先排除为钝角，再利用正弦定理求得，再利用两角和的正弦公式求得，最后利用三角形面积公式与余弦定理即可求得答案；选②，利用余弦定理即可验证；选③，利用余弦定理即可求得相关长度，再利用同选①的方法即可求得中线长. 【详解】（1）在中，由正弦定理， 所以 因为， 所以． 又，所以， 因为为锐角，所以． （2）条件①：， 因为是的内角，若为钝角， 则， ，不成立， 所以为锐角，即， 由正弦定理得： ，得， 又， 所以，， 设中点为M，由余弦定理， 得， 选条件②：由余弦定理， 代入得，判别式， 三角形不存在，不符合要求。 选条件③：，， 由余弦定理，解得，， ， 同条件①计算得中线长为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $