精品解析：上海市南洋模范中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试卷

2025-2026上海市南洋模范中学高三第二学期开学考 2026.3 一､填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分） 1. 经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是__________. 2. 设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________． 3. 已知虚数单位，设复数满足，则________. 4. 若函数，则______． 5. 抛物线的准线方程是，则实数___________. 6. 若，求__________. 7. 已知函数在区间上恰有3条对称轴，则的取值范围是__________． 8. 上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影，两部纪录片和两部悬疑片，当天白天有5个时段可供放映（5个连续的场次），则两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有______种（结果用数字表示）． 9. 已知，：不存在正数，使得不等式成立，若是的充分条件，则正实数的取值范围是__________. 10. 从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为______． 11. 已知平面内不同的三点，满足，若，的最小值为，则_____________． 12. 已知函数，在上可导，其导数，，若，则成立，英国数学家泰勒发现了一个恒等式：，则__________. 二､多选题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知两个随机事件和，其中，则（ ） A. B. C. D. 15. 在一个有限的资源和空间环境下，某种生物的数量与时间（单位：天）的关系式为：，其中，为正常数．已知该种生物数量为，时，所对应的时间分别为，，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①､②都正确 D. ①､②都错误 三､解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17. 已知数列的前项和，等差数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）设数列前项和为，求的最大值. 18. 如图，在四棱锥中，平面，在棱上，平面，设． （1）求； （2）若点到平面的距离为1，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 不是每天都整理数学错题人数 22 合计 60 （1）完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联? （3）从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中； 0.10 0.01 0001 2.706 6.635 10.828 20. 已知点为椭圆：上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若点不在轴上，求的周长； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程； （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得（）成立?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求极值差比系数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026上海市南洋模范中学高三第二学期开学考 2026.3 一､填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分） 1. 经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得且斜率，计算即可得解. 【详解】根据题意，即， 且斜率， 即， 解得或. 实数的范围是. 故答案为： 2. 设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________． 【答案】11 【解析】 【详解】设a与b的夹角为θ.因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝，又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|·cos θ＝1×3×＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11. 【考查意图】考查两个向量的数量积的定义． 3. 已知为虚数单位，设复数满足，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的运算化简可得. 【详解】因为，故，可得， 因此，. 故答案为：. 4. 若函数，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】求导得，令，解得，从而得，再代入，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 令， 则有， 解得， 所以， 所以. 故答案为： 5. 抛物线的准线方程是，则实数___________. 【答案】## 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数. 【详解】抛物线化为标准方程：， 其准线方程是，而 所以 ，即 ， 故答案为： 6. 若，求__________. 【答案】 【解析】 【详解】令， 又， ， 故． 7. 已知函数在区间上恰有3条对称轴，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦二倍角公式、辅助角化简函数解析式，结合余弦型函数的对称性进行求解即可. 【详解】 ， 所以. 当时，， 因为在区间上恰有3条对称轴， 所以. 故答案为： 8. 上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影，两部纪录片和两部悬疑片，当天白天有5个时段可供放映（5个连续的场次），则两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有______种（结果用数字表示）． 【答案】 【解析】 【分析】按照第一场是否为空场分类，再根据分步计数原理得到两部悬疑片不相邻，且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法. 【详解】由题意当天最先放映的一定是悬疑片，若第一场是悬疑片， 从2个悬疑片中选1个安排到第一场有种排法，由两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），可以从个场次中的后3场选1场安排另一部悬疑片有种排法， 所以排悬疑片有种排法，两部纪录片排在剩下的3个位置，有种排法， 共有种； 若第一场为空场，则第二场从2个悬疑片中选1个安排有种排法， 从后2场选1场安排另一部悬疑片有种排法， 所以排悬疑片有种排法，两部纪录片排在剩下的2个位置，有种排法， 共有种； 所以符合题意的排法一共有种排法. 故答案：44 9. 已知，：不存在正数，使得不等式成立，若是的充分条件，则正实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围. 【详解】设，则在严格递增，又， 所以，即，故. ， 故：， 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数，故实数m的最小值为, 则正实数的取值范围是 故答案为： 10. 从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算“、、、、这个数中任取个不同的数”的取法，排除其中不符合题意的取法，再结合古典概型概率计算公式即可求解． 【详解】根据题意，从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，有种取法， 假设， 若不存在且、，使得， 则有， 在、、、、中任取个不同的数，依次表示、、、， 此时有种不符合题意的取法， 则有种符合题意的取法． 所以事件“存在，，使得”的概率为 故答案为： 11. 已知平面内不同的三点，满足，若，的最小值为，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】设、、，作D关于OB对称的点，如图，根据向量的线性运算化简题中的等式为，利用点关于直线对称的性质可得，结合余弦定理可求出，利用余弦的二倍角公式求出，最后根据计算即可. 【详解】如图，设，则点C在线段OB上运动， 所以， 设，则， 所以， 所以，即， 作D关于OB对称的点，设， 则，所以 在中，，由余弦定理，得 ，又， 所以，得. 故答案为：2 12. 已知函数，在上可导，其导数为，，若，则成立，英国数学家泰勒发现了一个恒等式：，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：根据题意先求出，进而得到，最后利用裂项相消法计算得到结果； 解法二：对题干的恒等式进行求导，以及两边分别乘3得到两个式子，对比式子结构从而得到，化简得到，最后利用裂项相消法计算得到结果. 【详解】解法一： 设， 则， 记，，则， 又，所以，所以， 所以. 解法二： 由①， 得②， 由①得③， 由②③得，则，即， 所以. 故答案为： 二､多选题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质判断即得. 【详解】由，得，则，； 反之，，取，则有，即不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 14. 已知两个随机事件和，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ． 15. 在一个有限的资源和空间环境下，某种生物的数量与时间（单位：天）的关系式为：，其中，为正常数．已知该种生物数量为，时，所对应的时间分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接代入得到指数方程，两式相除即可得到答案. 【详解】由代入化简得①，由得②， ①和②相除得，则． 故选：C． 16. 已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①､②都正确 D. ①､②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系画出与的图象，结合函数图象即可判断①；再分别求出与的解，即可判断无解的条件，从而判断②，即可得解； 【详解】解：在同一平面直角坐标系画出与的图象如下所示： 由，解得，由函数图象可知当或时为偶函数，故①错误； 令，解得，令，解得，因为，，，所以当，时满足无解，故存在无穷多非空集合对，使得方程无解，故②正确； 故选：B 三､解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17. 已知数列的前项和，等差数列满足，. （1）求数列，通项公式； （2）设数列前项和为，求的最大值. 【答案】（1）；. （2）544 【解析】 【分析】（1）通过求首项，再利用推导递推关系，确定等比数列后得，结合等差数列通项公式基本量运算可得，即可得； （2）由（1）可知：，结合等差数列求和公式可得，进而利用二次函数性质分析最值. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 两式作差得，，即， 当时，，得， 则由以上递推关系可知，故， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； 设等差数列的公差为，因为，， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则， 当或时，取到最大值为． 18. 如图，在四棱锥中，平面，在棱上，平面，设． （1）求； （2）若点到平面的距离为1，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判断线线平行，结合平行线分线段成比例分析即可. （2）建立空间直角坐标系，运用线面角的向量求法处理即可. 【小问1详解】 连接，相交于，由可知， 面，平面平面， 由平面可知，，则； 【小问2详解】 易知，又，故由余弦定理得， 解得，由于，所以， 又平面平面，所以， 因为，面，面， 所以平面，而面，所以面面， 又平面平面，过作垂直于， 则平面，所以， 设，对使用等面积法可得，解得， 建立空间直角坐标系如图所示， ， 由，可得， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 因为，所以为的中点，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 不是每天都整理数学错题人数 22 合计 60 （1）完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联? （3）从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析， （2）数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联. （3）分布列见解析，2 【解析】 【分析】（1）根据题目数据完善列联表，然后利用频率估计概率即可求解； （2）利用列联表的数据求出的观测值，与临界值比较即可求解； （3）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望即可. 【小问1详解】 完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 30 不是每天都整理数学错题人数 8 22 30 合计 28 32 60 估计不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率约为. 【小问2详解】 零假设：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关联， 利用（1）中数据，得， 根据小概率值的独立性检验，可以判断不成立，所以数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联. 【小问3详解】 由题意知的所有可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 20. 已知点为椭圆：上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若点不在轴上，求的周长； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程； （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得（）成立?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程结合椭圆定义可得周长； （2）要使以为直径的圆经过，则，为此设，将直线方程与椭圆方程联立，再设，则，然后由韦达定理可得答案； （3）设，，，由（2）中分析可得，然后由椭圆对称性可得，由此可将化为，据此可判断C存在性. 【小问1详解】 由题可得. 当不在轴上，由椭圆定义可得：， 则； 【小问2详解】 由题可得直线斜率不为0，因，设， 将直线方程与椭圆方程联立，得， 消去得：，判别式为：. 设，由韦达定理，. 因以为直径的圆经过，则. 又，则. 则， 即 . 则或； 【小问3详解】 设，，由题可得直线斜率不为0，且也经过. 设，由（2）中分析，可得. 又由椭圆对称性，可得与关于轴对称，则. 从而，， 因，则 . 又，则， 结合，， 则， 则， 即存在满足题意. 21. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断. （2）反证法，假设存在这样的，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可. （3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【小问1详解】 当时，（）， 则 当时，，当，， 所以在和上严格递增，在上严格递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，所以是极值差比函数. 【小问2详解】 的定义域为，， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程两个不相等的正实数根， 则，解得，不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为； 【小问3详解】 由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，极值差比系数可化为， ，又，解得， 令（），， 设（），， 所以在上单调递减，当时，， 从而，所以在上单调递增，所以， 即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $