2.3一元二次方程根与系数的关系课后培优提升训练 2025—2026学年浙教版数学八年级下册

2.3一元二次方程根与系数的关系课后培优提升训练浙教版2025—2026学年八年级下册 一、选择题 1．一元二次方程的一根是，则方程的另一根是（   ） A． B．1 C． D．3 2．若方程的两个实数根为、，则的值为（   ） A．7 B．3 C． D． 3．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 4．已知关于x的方程的两个实数根互为相反数，则a的值为（   ） A．5或 B．0 C．5 D． 5．若一元二次方程的两个实数根是且满足，则的值为（   ） A． B．或6 C．6 D．4 6．若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（   ） A． B． C．2 D．4 8．关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 二、填空题 9．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______． 10．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 11．设，是方程的两个根，则________． 12．关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 三、解答题 13．规定：如果实数，，满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程． (1)下列方程是“等差”二次方程的有______（填序号）； ①；②；③；④ (2)若“等差”二次方程的一个根为，求这个方程的另一个根； (3)若，是“等差”二次方程的两个根，请写出，的数量关系，并说明理由． 14．关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 15．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，是此方程的两个实数根，且，求m的值． 16．【综合与探究】已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长． 17．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且满足，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的间隔点，称这样的方程为“间隔方程”． (1)下列方程是“间隔方程”的是________（填序号）． ①；②；③；④． (2)已知关于x的方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根且方程是“间隔方程”． (3)已知不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上，求b，c的值． (4)关于x的一元二次方程是否存在间隔点，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 18．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 参考答案 一、选择题 1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．A 7．B 8．B 二、填空题 9． 10．6 11．10 12． 三、解答题 13．【详解】（1）①，，，，，，，故①是“等差”二次方程； ②，，，，，，，故②不是“等差”二次方程； ③，，，，，，，故③是“等差”二次方程； ④，a，b，c，，，，故④不是“等差”二次方程． 综上，符合条件的有①③； （2）当时，代入原方程得：， ∵由得， ∴将代入得：， ∴， ∵根据韦达定理，， ∴， ∴； （3）∵，是“等差”二次方程的两个根， ∴根据韦达定理，，， ∵由得，即， ∴， ∴，即， 整理得， ∴． 14．【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（不满足，舍去）， 故． 15．【详解】（1）证明：∵一元二次方程， ∴， ∴该方程总有两个实数根． （2）解：根据根与系数的关系，，， 又∵， 联立方程组∶ ， 解得， 代入，得， 即， ∴， ∴． 16．【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， 解得：，， ， ∴； （2）解：∵等腰的一边长为7，，恰好是的另外两边长， ∴①或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，得，方程的另一个根为， 此时三角形三边分别为，周长为17； 当时，得，方程的另一个根为， 三角形三边分别为， ， 此时不能构成三角形； ②，，解得， 此时方程为，解得， 三角形三边分别为， ， 此时不能构成三角形； 综上，三角形的周长为． 17．【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， 解得或 ∵， ∴方程不是“间隔方程”； ②∵， ∴， 解得或， ∵， ∴方程是“间隔方程”； ③∵， ∴， 解得， ∵， ∴方程不是“间隔方程”； ④∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴方程是“间隔方程”； 故答案为：②④； （2）证明：由题意得， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 解得，， ∵ 方程是“间隔方程”； （3）解：∵不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上， ∴可设方程的两个实数根为，且满足， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上， ∴不论为何值，等式一定成立， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴， 假设关于x的一元二次方程存在间隔点， ∴原方程有两个不相等的实数根， 解方程得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴关于x的一元二次方程存在间隔点，此时． 18．【详解】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根， 可得，， 故． 答：． （2）解：， ， ， ，，， 和为的两个不相等实数根， ，， ． 答：． （3）解：由 ，， 可构造，和是方程的两个实数根， ， ， 可得的最大值为2． 答：2． 学科网（北京）股份有限公司 $