6.4.3.1 余弦定理 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修二导学案 三角函数 第六章 平面向量 §6.4.3.1 余弦定理【导学】 【导学目标】 1.掌握余弦定理的证明方法，牢记公式； 2.掌握余弦定理公式的变形，会灵活应用余弦定理解决两类解三角形问题； 3.掌握给出三边判断三角形的形状问题. 【导学重点】利用余弦定理求解三角形 【导学难点】利用余弦定理求解三角形 【知识要点】 余弦定理的推导 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 提示　如图，设＝a，＝b，＝c， 那么c＝a－b，① 则 |c|2＝|a－b|2=a2-2ab+b2 即 余弦定理的描述 文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 符号语言 在中，内角，所对的边分别是,则： ； 余弦定理的推论 ； ； 余弦定理解决的两类问题 （1）已知两角及一边解三角形（给出两边及夹角 两边及一边的对角） （2）已知三边解三角形 反思 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边． 【典型例题】 题型一 余弦定理的理解 【例1-1】(多选)下列说法中正确的是（ ） A. 在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形 B. 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C. 利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题 D. 在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 【例1-2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且，则角B的大小是（ ） A.45° B.60° C.90° D.135° 【例1-3】已知分别为三个内角的对边，且，则= . 【例1-4】已知在中，，，，则c等于（ ） A． B． C． D．5 题型二 已知两边及一角解三角形 【例2-1】(教材P43L5改编)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求的值； 【例2-2】在△ABC中，已知b＝5，c＝， ，求的值. 【例2-3】已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝ . 【例2-4】在中，角，，的对边分别为，，，若，则 . 题型三 已知三边或三边关系解三角形 【例3-1】在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C等于（ ） A.90° B.120° C.135° D.150° 【例3-2】在中,内角,,所对的边分别为,,,且,则此三角形中的最大角的大小为（ ） A． B． C． D． 【例3-4】在△ABC中，＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A. B. C. D. 【例3-5】一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则该三角形的第三条边长为(　　) A．52 B．2 C．16 D．4 【例3-6】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1. (1)求角C的度数； (2)求AB的长． 题型四 利用余弦定理判断三角形的形状 【例4-1】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若B=600，b2=ac，则△ABC一定是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【例4-2】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若2a−b=2ccosB，cosA+cosB=1，则△ABC一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 无法确定 【例4-3】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足acosB−bcosA=c，则△ABC的形状是 . 【例4-4】在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状是(　　) A．不等腰的直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 【例4-5】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若， 且，那么是 三角形. ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修二导学案 三角函数 第六章 平面向量 §6.4.3.1 余弦定理【导学】 【导学目标】 1.掌握余弦定理的证明方法，牢记公式； 2.掌握余弦定理公式的变形，会灵活应用余弦定理解决两类解三角形问题； 3.掌握给出三边判断三角形的形状问题. 【导学重点】利用余弦定理求解三角形 【导学难点】利用余弦定理求解三角形 【知识要点】 余弦定理的推导 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 提示　如图，设＝a，＝b，＝c， 那么c＝a－b，① 则 |c|2＝|a－b|2=a2-2ab+b2 即 余弦定理的描述 文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 符号语言 在中，内角，所对的边分别是,则： ； 余弦定理的推论 ； ； 余弦定理解决的两类问题 （1）已知两角及一边解三角形（给出两边及夹角 两边及一边的对角） （2）已知三边解三角形 反思 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边． 【典型例题】 题型一 余弦定理的理解 【例1-1】（多选）下列说法中正确的是（ ） A. 在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形 B. 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C. 利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题 D. 在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 【答案】BCD 【例1-2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，且，则角B的大小是（ ） A.45° B.60° C.90° D.135° 【答案】A. 【例1-3】已知分别为三个内角的对边，且，则= . 【答案】300 【例1-4】已知在中，，，，则c等于（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 题型二 已知两边及一角解三角形 【例2-1】(教材P43L5改编)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求的值； 【答案】 【例2-2】在△ABC中，已知b＝ 5，c＝ ，，求的值. 【答案】5或4 【例2-3】已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ . 【答案】2 【例2-4】在中，角，，的对边分别为，，，若，则 . 【答案】300。 题型三 已知三边或三边关系解三角形 【例3-1】在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C等于（ ） A.90° B.120° C.135° D.150° 【答案】1200. 【例3-2】在中,内角,,所对的边分别为,,,且,则此三角形中的最大角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【例3-4】在△ABC中，＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【例3-5】一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则该三角形的第三条边长为(　　) A．52 B．2 C．16 D．4 【答案】B 【例3-6】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1. (1)求角C的度数； (2)求AB的长． 【答案】(1)1200； (2) 题型四 利用余弦定理判断三角形的形状 【例4-1】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c。若B=600，b2=ac，则△ABC一定是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【例4-2】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若2a−b=2ccosB，cosA+cosB=1，则△ABC一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【例4-3】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足acosB−bcosA=c，则△ABC的形状是 . 【答案】直角三角形 【例4-4】在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2absin C，则△ABC的形状是(　　) A．不等腰的直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 【答案】D 【例4-5】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若， 且，那么是 三角形. 【答案】等边三角形 ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $