期末压轴题冲刺演练（二）正弦定理、余弦定理-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦正弦定理、余弦定理综合应用，以分层递进的压轴题构建“定理应用-模型转化-思想融合”的解题体系，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|4题|边角互化、正余弦定理联用|从定理公式到解三角形基本量计算| |面积与最值|5题|面积公式变式、基本不等式、三角函数有界性|面积计算与函数思想的结合| |几何模型|5题|费马点、布洛卡点、外心性质转化|几何定义与定理的综合应用| |向量综合|4题|向量数量积、坐标法|向量工具与解三角形的交叉融合|

期末压轴题冲刺演练（二） 正弦定理、余弦定理 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补．如图，中，，，点是外接圆上的一个动点（点O，C在直线AB两侧），记，则． (1)若与的交点为，，求的值； (2)若，求的最大值； (3)若点满足，，求四边形的面积． 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若， (1)求证：是等腰三角形； (2)已知的面积为18，点D满足，求线段AD的最小值． 3．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知平面内一三角形，点为其外心. (1)点为边的中点，，，求的值； (2)若过点的直线分别交边、于点，证明： . 4．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. (1)若，，求C； (2)求证：； (3)求的最小值. 5．（24-25高一下·黑龙江·期末）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角、、所对的边分别为、、，点为的费马点，且 (1)求角； (2)求； (3)已知在中，若点为平面上任意一点，求的最小值． 6．（24-25高一下·辽宁·期末）A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上． (1)若三角形ABC为等边三角形，点D在BC延长线上，满足，则A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值； (2)若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值； (3)若，，由A点对BC施以视角运算，，求AD的最大值. 7．（24-25高一下·新疆哈密·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且.点在上，满足且. (1)求角； (2)求证：； (3)求面积的取值范围. 8．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求证：； (2)若为锐角三角形，D为AB中点，. （i）求的取值范围； （ii）求CD的取值范围. 9．（24-25高一下·河北衡水·期末）在中，，D为BC中点，． (1)证明：； (2)证明：或； (3)求的值． 10．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，且，． (1)求边c的长度； (2)求； (3)设E，F分别为边，上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 11．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）在 中， a，b，c分别是角A，B，C的对边， 若： (1)求角A的大小． (2)若D是BC的中点， 求 面积的最大值； (3)若O在所在平面内，满足 且 求实数m的值． 12．（24-25高一下·重庆·期末）在中，内角所对的边分别为. (1)若的面积为1， ①，求的值； ②求的最小值. (2)若为锐角三角形，其外接圆半径，是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 13．（24-25高一下·广东汕头·期末）为锐角三角形，内角的对边分别为.已知为的外心，为上一点，且，. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)若，求的取值范围. 14．（24-25高一下·广东茂名·期末）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，. (1)求； (2)记的面积为，内一点满足； （i）若，求证：； （ii）若，，求的值. 15．（24-25高一下·湖北武汉·期末）在中，内角，，的对边分别为，，. (1)若， （ⅰ）求证：是等腰三角形； （ⅱ）已知的面积为18，点满足，求线段的最小值； (2)对于，若存在，使得，，，则称为的伴随三角形，若存在伴随三角形，求出三个内角中的最小值. 16．（24-25高一下·浙江丽水·期末）（1）已知的三个内角的对边分别为. ①若，求的面积. ②记，求证：. （2）在平面四边形中，，记，求证：四边形的面积. 17．（24-25高一下·江苏南京·期末）布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题： (1)若，求； (2)已知， ①若，求的值； ②若，求S. 18．（24-25高一下·山东·阶段检测）定义：函数为向量的“跟随函数”，向量为函数的“原向量”． (1)设函数，的“原向量”分别为，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围． (2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，AD平分∠BAC并与BC交于点D，向量的“跟随函数”为，且． （ⅰ）若，求AD的长； （ⅱ）求AD长度的取值范围． 参考答案 1．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，再结合可知四边形为等腰梯形，再利用梯形的边长计算即可； （2）先利用数量积的定义得出，再在中利用余弦定理可得，最后在中利用正弦定理得出外接圆的直径即可； （3）设，求出以及在中利用正弦定理得，，再利用得出，即可化简求出，进而得出，的值，最后利用面积公式即可. 【详解】（1）因，则，即， 则，，则， 又，，得， 则四边形为等腰梯形，则高为， 则， 又与的交点为，，所以. （2）由题意可知，，得， 在中利用余弦定理可得，， 则， 设的外接圆半径为，则在中利用正弦定理可得，， 又点是外接圆上的一个动点，所以的最大值为. （3）设，，则， 因为，则， ， ， 在中利用正弦定理得，， 则， 则， 且（因）， 即，即， 又，即， 则， 又，则，解得（舍）或， 因，所以， 代入中得， 则，又，解得， 所以，， 则四边形的面积为. 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助两角差的正弦公式结合正弦定理计算即可得出结论； （2）根据题意可知，再结合余弦定理计算可得，，代入计算可得，再利用基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 所以， 即，可得， 所以是等腰三角形； （2）因为点D满足，所以； 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 又由（1）知， 所以，整理得，， 因为，所以，所以， ， 由（1）中可知为锐角，则，， 所以， 当且仅当，时取等号， 所以线段的最小值为. 3．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可得，然后由数量积几何意义可得答案； （2）设三角形外接圆半径为R，用两种办法表示，可得，及，据此可完成证明. 【详解】（1）， 由数量积几何意义可得：， 同理得. 则； （2）证明：设三角形外接圆半径为R， ，. 因，所以. 同理，所以， 又，，. 则. 故  ① ∵点O为三角形ABC的外心，， ，， 同理，. 则. 代入上式①中，结合，可得： ， 所以，原命题得证 4．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式结合题意可得，据此可得答案； （2）由基本不等式，三角函数值域，利用作差法可完成证明； （3）由结合正弦定理和余弦定理可得，然后由（2）中结论可得答案. 【详解】（1）由， ，联立得 则，因为，， 所以，即； （2） ， 当且仅当时等号成立； 因为，所以 此时，当且仅当是等边三角形时等号成立 则，即. （3）因为 所以. 当且仅当是等边三角形时等号成立. 5．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题设及三角形内角性质，应用和角正弦公式得，进而有，结合，即可得； （2）由题设，，再应用等面积法得，向量数量积的定义即可得； （3）构建合适的直角坐标系，设点，应用向量加减、模长的坐标运算及的几何意义有点为的费马点时，取最小值，即可得. 【详解】（1）因为，又， 所以， 因为，则，故， 因为，所以， 又，则，故为等腰直角三角形，所以. （2）由，知， 由费马点定义知，， 设，，，，，， 由得：， 整理得， 则. （3）在中，，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、，设点， 则，， 所以， 则的几何意义是点到点、、的距离之和， 因为，，则为等腰直角三角形，故， 易知，故， 所以，的“费马点”为点，故的最小值为. 6．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题目所给信息结合题目条件可得答案； （2）由题目条件可得，然后利用，可得，最后利用基本不等式可得答案； （3）由题目条件可得，结合向量知识可得， 又，可得，然后结合正弦定理与和差化积，积化和差公式可得答案. 【详解】（1）由题目所给信息，又D在线段BC外，则， 如图，因三角形ABC为等边三角形，， 则， 从而，， 则； （2）因，则D在线段BC内， 则， 因，则. 则， 则， 从而， 当且仅当时取等号； （3）因，则D在线段BC内. 则 又，则均为锐角，如图过B，C做AD所在射线的垂线， 垂足分别为E，F，则， 则，又注意到，则， 从而，则， 从而， 则， 又，则. 则， 由正弦定理得， 由和差化积公式：， 则. 由积化和差公式：. 注意到，则，则当时， ，即， 则. 7．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先利用余弦定理角化边，再运算得到，进而结合三角形内角的性质求解即可. （2）结合题意得到是边上靠近的三等分点，再利用向量三等分线定理和向量数量积的定义证明目标命题即可. （3）先构造，再利用余弦定理结合锐角三角形的性质求出的范围，再对合理变形，得到，最后利用三角形面积公式表示出，最后结合对勾函数性质求解范围即可. 【详解】（1）由余弦定理得， 因为，所以， 两侧同乘，可得， 则，可得， 故，而，故. （2）因为，所以是边上靠近的三等分点， 由向量三等分线定理得， 两侧同时平方得， 则， 而，故， 可得，即原命题得证. （3）由已知得，则， 且设，因为是锐角三角形，所以，， 由余弦定理得，， 则，， 我们先求解，此时代入， 得到，即， 解得，即，故， 我们再求解，此时代入， 得到，即， 解得，即，故，综上，， 因为，所以，，而， 故，则， 可得，故， 则， 由三角形面积公式得， 令，则， 由对勾函数性质得在上单调递增， 故在上单调递减，当时，， 当时，，故， 则，故面积的取值范围为. 8．(1)证明过程见解析 (2)（i）（ii） 【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换即可得证； （2）（i）由三角形是锐角三角形求得的范围可得的范围；（ii）首先得，其次根据正弦定理将表示成的函数，结合的范围即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 而，， 从而， 所以或（舍去）， 所以； （2）（i）因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以的取值范围为； （ii）由已知，， 而， 从而， 由正弦定理有， 所以 ， ， 所以， 设， 所以，所以， 由对勾函数性质可知，在上递增， 所以， 所以，所以的取值范围是. 9．(1)证明见详解； (2)证明见详解； (3). 【分析】（1）将向量式两边平方，结合已知可证； （2）根据面积公式，结合已知可得，在中利用余弦定理列方程，结合（1）中结论消元即可得证； （3）利用（2）中结论，结合余弦定理求出三边关系，然后由余弦定理求解即可. 【详解】（1）记中角所对的边分别为， 因为D为BC中点，所以，两边平方得： ， 因为，所以， 又，所以. （2）记，则， 又，所以， 因为，所以， 又，所以或， 当时，在中，由余弦定理可得： ，， 消去整理得，又， 所以，即， 代入得：，即，. 当时，，同理可证. 故或. （3）当时，由余弦定理得， 即，所以，因为，所以， 所以 ； 当时，有，同理可得. 综上. 10．(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件利用余弦定理求解； （2）在和△ADC中，分别利用正弦定理，求得．分为情况讨论：为钝角，为锐角，结合余弦定理求解； （3）设，，，可得，由E、G、F三点共线，根据三点共线相关结论，得，由数量积的运算可得，的面积为面积的，利用三角形面积公式可得．从而化简，求解范围即可. 【详解】（1）∵， 由余弦定理：， ∵，∴． （2）∵，，可知， ∴． 在中，由正弦定理可得： ① 在中，由正弦定理可得：， ∵，②， 将①②两式相除可得：． 若为钝角，则， 在三角形中，由余弦定理得：， 在三角形中，由余弦定理得：， 又，∴， ，显然与已知矛盾． ∴为锐角，．∴， 又，． ∴， ∵为三角形内角，∴． （3）设，，（λ，） ∴，， ， ∵E、G、F三点共线，根据三点共线相关结论，得， ， ． ∴ ， ∵，而， ∴， ∴． 11．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理，直接化简可得结果； （2）使用，然后两边平方，结合基本不等式可得，然后计算即可； （3）依题可得为的外心，利用向量，结合单位圆可得坐标，然后代入计算即可. 【详解】（1）在 中，因为， 所以， 则， 又，则， 所以，又，所以 （2）因为D是BC的中点，所以，则， ， 当且仅当时取等号， 所以 ， 所以面积的最大值为. （3）由所以可知为的外心， 设的外接圆为单位圆，以为原点，为的正半轴， 因为， 则， 所以， 由，所以可得， 则化简得或， 所以或， 又， 当时，所以，代入上式可得， 当时，所以，代入上式可得 所以 12．(1)①2② (2) 【分析】（1）①由三角形面积公式、数量积的定义列式，两式相比即可求解；②由余弦定理、基本不等式可得，再结合乘1法即可求解最小值； （2）由正弦定理、余弦定理以及基本不等式可得，故只需求得的最小值即可. 【详解】（1）①若的面积为1，则，若，则， 两式相比，可得； ②,由余弦定理： , 所以 ， 等号成立当且仅当且， 即当且仅当且， 即当且仅当且， 即当且仅当且， 所以的最小值为； （2）由题意恒成立， 只需，所以， 由余弦定理，由正弦定理， ， 在锐角中，，令， 则表示四分之一单位圆上的动点与定点连线斜率， 如图所示， 由图可知，当与圆弧相切时，最小，此时， 而， 所以， 所以， 解得，而，所以， 所以， 所以式子，所以，等号成立当且仅当且， 所以存在满足题意，且. 13．(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）由三角形的面积公式得，利用正弦定理得，又，由为锐角三角形得的范围，进而求解； （3）设为外接圆的半径，由正弦定理求，即，先求，，，又，即，利用三角函数先求的范围，即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得：， 又， 所以，又，所以， 即，由， 所以； （2）由题意有， 由正弦定理有：，所以， 由（1）由，所以，所以， 又为锐角三角形，所以，所以，所以， 所以，，所以， 所以面积的取值范围为； （3）设为外接圆的半径，由正弦定理有，即， 所以，由余弦定理有， 所以， 同理， 又 ， 所以，所以 ， 又由正弦定理得， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 所以，即， 所以的取值范围为. 14．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）1 【分析】（1）根据二倍角公式、利用正弦定理把边化角即可求解. （2）（i）利用等面积法、三角形面积公式及余弦定理列式即可证明；（ii）利用余弦定理求出，再利用三角形相似性质及余弦定理即可求解. 【详解】（1）， 所以， 即， 由正弦定理得， 所以. （2）（i）因为， 所以 ， 所以， 由余弦定理得， ， ， 三式相加得：， 所以. （ii），又，， 所以，解得，所以， 因为， 所以， 所以∽，所以， 设，所以， 由余弦定理得， 即，解得， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角形的三角恒等变换、面积公式及几何性质.本题第（2）问题的解题关键在于利用等面积法、余弦定理及几何条件，建立边长与面积的关系；根据相似性质建立的关系，通过减少未知数的个数来求解. 15．(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）借助两角差的正弦公式结合正弦定理计算即可得；（ⅱ）借助向量运算可得，再借助向量平方与结合余弦定理计算可得，最后利用面积公式及基本不等式计算即可得； （2）先假设，，，由题意可得，，，则，不符；则可设，可得，则三个内角中的最小值为. 【详解】（1）（ⅰ）证明：因为， 所以， 由正弦定理得， 所以， 所以，所以是等腰三角形； （ⅱ）因为点D满足， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得，又， 所以，整理得，， 因为，所以，所以， ， 所以 ， 当且仅当，时取等号，所以线段的最小值为； （2）若，则或， 若，，，由， 所以，此时， 与矛盾，不符合题意； 不防设，由，所以， 所以，又，， 所以，解得，即三个内角中的最大值为， 余弦函数在上是单调递减函数，所以三个内角中的最小值为. 16．（1）①；②证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）①应用余弦定理及平方关系得，再由三角形面积公式求面积；②由三角形面积公式、平方关系及余弦定理，得，进而整理化简即可证； （2）设则，结合三角形面积公式、余弦定理，整理得，结合已知有，进而化简整理即可证. 【详解】（1）①，则， 所以； ②证明： . （2）设则， ，又， ， 综上，， 且， 所以， ， 由的确定性，当，即时，有最大值， 即四边形有外接圆时，四边形的面积最大. ，则 ， ， ， . 17．(1) (2)①12；② 【分析】（1）由题，可得，在，中，分别由正弦定理可得，，运算得解； （2）由，可得，①在，，中由余弦定理可得，运算得解；②由，结合①可得，平方展开运算得解. 【详解】（1）在中，，所以， 所以， 在中，，所以， 在中，，所以， 所以，故. （2） 因为，所以，即， ①，所以 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加得 ， 整理得：. ②又 又由①知， 所以， 故， 整理得：， 即， 所以，即， 所以. 18．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）利用两角差的余弦公式化简，即可求出，再得到，依题意，且，不同向，即可得到不等式组，解得即可； （2）（ⅰ）首先得到解析式，即可求出，再由正弦定理求出，再由等面积法计算可得；（ⅱ）由得到，从而转化为的三角函数，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以．由，得． 因为，的夹角为锐角，所以，且，不同向， 则，解得且， 故实数的取值范围为． （2）因为向量的“跟随函数”为， 所以． 又，所以，因为，则， 所以，所以． 又，所以由正弦定理可得， 则，． （ⅰ）因为，所以． 由余弦定理得， 即，则． 所以， ． 由，可得，则． （ⅱ）由，可得， 则． 因为，所以， 则． 令，则，由，得， 则． 由，可得，显然函数在上单调递增， 故长度的取值范围为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $