重难点02 二次函数最值问题（专项训练）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 专题02 二次函数最值问题 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：的最值问题 易｜混｜易｜错 1）＞0：开口向上，有最小值；＜0：开口向下，有最大值； 2）代入求最值： 对称轴在自变量范围内：最值在顶点处；对称轴不在范围内：最值在区间端点处 1．（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为_______． 【答案】/0.75 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． 2．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，与x轴的交点问题，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入，得到，再由对称轴公式即可求解； （2）当时，；当时，．根据对称性，可得和时，y值相等，即可求解； （3）根据题意可得，从而得到，再由时，，可得关于a的不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：当时，； 当时， 根据对称性，和时，y值相等， （3）解：，对称轴为， ， ， ， 时，， 时，， 即， 解得： 3．（2025·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过点和，M，N是抛物线上不同的两点，点M的坐标为，点N的坐标为．将抛物线上M，N两点之间的部分（包括M，N两点）记为图象G． (1)求抛物线的表达式； (2)求图象G上最高点与最低点的纵坐标的差d；（用含t的式子表示） (3)已知点，，若，当图象G在直线上方时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、待定系数法求函数表达式等，数形结合是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明点M，N关于直线对称，则，则图象G的最高点纵坐标为4，即可求解； （3）要使图象G在直线上方，即对于，都有，即，进而求解． 【详解】（1）解：将点和代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：将化为顶点式为， 抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线． ， 点M，N关于直线对称，． 图象G的最高点纵坐标为4， 将代入，得， ． （3）解：由题意知直线的方程为， 当时，， 要使图象G在直线上方，即对于，都有， 即． 由二次函数图象解不等式，得， 要在内， 解得． ， ． 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，的值分别为 (2)①见解析②或 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出，，再分别代入，列出二元一次方程组，即可解答． （2）①设直线的解析式为，将，分别代入，得直线的解析式为，设点E的坐标为，求出，设，，则，，即可解答． ②当时，，当时，，再分类讨论，即可解答． （3）易得，当时，取得最小值为，解出；当时，函数的最大值为，解得；当时，，解得，或（舍去），，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴， 将代入，得， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得． 答：点的坐标为，的值分别为． （2）①证明：如图， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为 ∵， ∴， 将代入得， 将代入，得， ∴， ， ∴ ②如图 当时，， ∴， ∴， 即，解得． 当时，， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． （3）∵次函数与二次函数组成新函数， ∴， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大．且当时，取得最小值． ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴当时，取得最小值为，即， 解得． ∵时，函数的最大值为， ∴当时，函数的最大值为，即， 解得； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 解得，． 考点二：二次函数中最短路径问题 易｜混｜易｜错 1）找点：确定两个定点、一条直线（对称轴/x轴/y轴） 2）作对称：作其中一个点关于直线的对称点 3）连对称点与另一定点，线段长即为最短路径 4）求解析式→求交点→算长度 1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为______． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点关于对称轴的对称点，连接，的长即为的最小值，勾股定理求出的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可． 【详解】解：由图象和题意可知：，当时，， ∴， ∴，；故①错误， 当时，函数取得最小值为：， ∴对于任意实数m，， ∴的值不小于2，故②正确； 作点关于对称轴的对称点，连接， 则：， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为；故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，满足且， ∴， ∴点离对称轴远， ∴；故④正确； 故答案为：②③④． 2．（2025·天津滨海新区·二模）已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． (1)当时， ①求点和点的坐标； ②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； (2)若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 【答案】(1)①， ② (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①利用点的坐标确定抛物线解析式，即可求解； ②将的长度转化为点到直线的距离，通过求二次函数的最大值确定的值； （2）通过几何变换将折线最短路径问题转化为直线距离，结合勾股定理求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 解得：， 将代入抛物线方程：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 顶点横坐标为，此时， ∴， 当时，， 解得：或， ∴， ∴，； ②如图： 过点作直线，由题意知，当直线与抛物线相切时，的值最大， 设直线的解析式为：， 则有，解得， ∴直线：， ∴可设直线的解析式为：， 联立，整理得， ∴， 解得：， 代入方程得， 解得：， ∴的横坐标为， 即； （2）如图： 由题意知，抛物线解析式为：， ∵， ∴有，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∴，，，， 过点作，且， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴ ， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴ ， 当时， 解得：或， ∵， ∴． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究】 数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点． （1）请直接写出的解析式； 【延伸拓展】 小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究： 如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接， （2）请直接写出点A，B的坐标； （3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下： 在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为： 则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）， 【分析】本题考查了二次函数的变形题型，仔细阅读材料是解题关键． （1）设的解析式为，将代入即可求解； （2）由：得：：；由直线：得：联立①②得：，解方程即可； （3）作关于直线的对称点，连接，可得此时取得最小值；求出直线的解析式，得到，即可求解； 【详解】解：（1）设的解析式为， 将代入得：， 解得：； ∴的解析式为； （2）由：得：：； 由直线：得： 联立①②得：， 解得：； ∴或； 即：，； （3）作关于直线的对称点，连接如图所示： ∵ ∴的最小值为线段的长度； 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，； 即：； ∵，， ∴； 考点三：三角形面积最值问题 易｜混｜易｜错 1）上点：抛物线上的点 y₁；下点：直线上的点 y₂；铅垂高 h = y₁ − y₂； 2）水平宽为定值； 3）面积公式： 1．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点D坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，得出，确定，然后结合图形求面积即可； （3）设点D坐标为，则，证明得到，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将、代入中， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 连接， ∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：； （3）解：根据题意，设点D坐标为，则， ∵、， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，此时点D坐标为． 2．（2025·宁夏银川·模拟预测）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于，两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华进行了以下探究： 【探索发现】（1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为________，点Q的纵坐标为________；（用x的代数式表示）若设的长度为y，则y与x之间的函数关系式为________； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 1.5 2 3 4 4.5 6 9 y 0 2.5 3.5 4 3.75 3.5 2.5 0 ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，发现：当________时，y的最大值为________． 【迁移应用】连接、（请自行完成作图），探究：的面积是否存在最大值？若存在，请求出对应的x值和最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，（2）图见解析，3，4（3）存在， 面积的最大值为 【分析】本题考查一次函数图像与反比例函数图像的交点问题，二次函数的综合应用： （1）根据题意，点P的横坐标为x，由点P在的图像上即可得出纵坐标，点Q在的图像上即可得出纵坐标，的长度为y，根据的长等于纵坐标之差求解即可； （2）描点，连线，画出函数图像，根据图像作答即可； （3）根据三角形的面积公式，列出函数关系式，利用函数的性质，求出最值即可． 【详解】解：（1）点P的横坐标为x，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q， 点P的纵坐标为，点Q的纵坐标为， 的长度为y， ； （2）描点，连线，如图所示；    由图像可知：当时，y有最大值为4； （3）存在， 由（1）可知：， 由图像可知：， ∴当时，最大为：． 3．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点作于点，连接． (1)求证：； (2)设的长为的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)结合（2）所得的函数，判断当的长为多少时，的面积最大． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据两角对应相等判断三角形相似即可； （2）根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得出，求出，， 然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， ． （2）解：在中，， ． 由（1）知， ， ， ， ， ． 是边上的动点，且不与点A，B重合， ， 关于的函数解析式为． （3）解：，且， 当时，有最大值， 即当的长为时，的面积最大． 4．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且． (1)求二次函数的表达式； (2)点M为一次函数下方抛物线上的点，的面积最大时，求点M的坐标； (3)设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且为直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为 (2) (3)点P的坐标为和 【分析】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且．得出可设二次函数，进而求出即可； （2）作于H，轴交于点G，易证，设，则，可表示出，进而求出的函数解析式，进而即可求解； （3）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时进行分类讨论，利用三角形相似对应边成比例求出即可． 【详解】（1）解：∵交x轴于点A， ∴， ∴， ∴， ∵直线与y轴交于点B， ∴B点坐标为， ∵二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且， ∴可设二次函数， 把代入得，， ∴二次函数的表达式：； （2）解：作于H，轴交于点G， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， 又∵，， ∴， ∵， 当时，最大，此时，， ∴； （3）解：（I）当点B为直角顶点时，过B作交x轴于点，则，如图1， ∴， ∴，得， ∴； （II）当点D为直角顶点时，作，如图2， 将与联立， 得 解得（舍去）或， 将代入得，， ∴D点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，则， 故点坐标为； （Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作轴于点E，如图3， 设， 则由，得， ∴， ∵方程无解， ∴点不存在， ∴点P的坐标为和． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的判定与性质等知识，关键是根据已知进行分类讨论得出所有结果． 5．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 【答案】(1)； (2)点为线段中点 (3)直线过线段中点，证明见解析 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数有关面积的问题，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． （1）设点，结合题意求出点，得到的值，再联立二次函数和一次函数得到交点坐标，根据三角形面积公式，得到面积关于的二次函数，求解即可； （2）由（1）得出点的坐标，再求出点的中点坐标，比较即可得出关系； （3）设抛物线解析式为，直线，点，求出点，得到为关于的二次函数，再根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴ ∵直线与抛物线交于两点， ∴， 解得：，， 当时，；当时，， ∴，． ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大为， ∵把代入点中， ∴点； （2）由（1）得，当时，有最大值， ∴将代入点得：点， ∵，， 点的中点坐标为点，即点， ∴点和点重合， ∴当面积最大时，点为线段的中点； （3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大． 证明：设抛物线解析式为：，直线：， 直线与抛物线交于两点，设， ∴则方程的解为：，， ∵点在抛物线上， ∴设点， ∵轴， ∴， ∵点在直线上， ∴点， ∴，即为关于的二次函数， ∵当时，，， 由二次函数对称性知，当时，有最大值， ∵ ∴当时，有最大值， ∴，即点为线段中点． ∴当直线过线段中点时（或），最大． 考点四：四边形面积最值问题 易｜混｜易｜错 1）分割成两个三角形； 2）补成大图形减小图形； 3）转化为函数 1．（2025·黑龙江牡丹江·二模）如图，抛物线经过点，，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第四象限的抛物线上是否存在一点，使得四边形的面积最大，若存在，请直接写出点的坐标和四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，12 【分析】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线与坐标轴的交点以及四边形面积的最值问题．熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能根据函数图象与坐标轴的交点坐标求出相关线段的长度，以及运用分割法求不规则图形的面积，并利用二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）已知抛物线经过点，，可将这两点的坐标代入抛物线方程，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值，从而得到抛物线的解析式． （2）先求出点的坐标，设点的横坐标为，根据抛物线解析式表示出点的纵坐标．通过分割法，将四边形的面积表示为与的面积之和，再根据二次函数的性质求出面积的最大值以及此时点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入得： 即 解得 ， ， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作轴交于点， 对于，令，则， ∴． 设． ∵ ，，． ∴，设直线为， ∴， 解得， ∴， ∴ ， ∴ ∴当时，有最大值，此时， ∴． 2．（2025·海南海口·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，点C为抛物线与y轴的交点． (1)如图，若该抛物线经过点； ①求抛物线的解析式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； ②连接．若点E为直线上方抛物线上的动点，连接、，则四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点E的横坐标；若不存在，请说明理由． (2)当时，对于任意的正数t，若点，在该抛物线上，则________（填“”“”或“”）； (3)已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)①，点B的坐标的坐标为；②存在， (2) (3)或 【分析】（1）①利用待定系数法求出表达式，然后根据对称性求出点B坐标； ②首先求出，所占直线解析式为，如图所示，过点E作轴交x轴于点G，交于点F，设，则，表示出，得到，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）首先得到抛物线开口向上，然后判断出点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，即可得到； （3）首先得到抛物线，然后分两种情况讨论：和，然后分别求解即可． 【详解】（1）①∵抛物线的对称轴是直线，经过点 ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 ∵，对称轴是直线 ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标的坐标为； ②∵， ∴ ∵ 当时， ∴，即 ∴ 设所占直线解析式为 ∴将代入得， 解得 ∴所占直线解析式为 如图所示，过点E作轴交x轴于点G，交于点F ∵点E为直线上方抛物线上的动点 ∴设，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时，由最大值 ∴此时； （2）∵当时， ∴抛物线开口向上 ∵对于任意的正数t，若点，在该抛物线上， ∴， ∵ ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∴； （3）∵抛物线的对称轴是直线 ∴ ∴抛物线 如图所示，当时，抛物线开口向上，当抛物线经过点时， ∴ 解得 ∴若该抛物线与线段恰有一个公共点 ∴； 如图所示，当时，抛物线开口向下，当抛物线的顶点在线段上时，此时抛物线与线段只有一个交点 ∴此时抛物线顶点坐标为 ∴ 解得 综上所述，若该抛物线与线段恰有一个公共点，a的取值范围为或． 【点睛】本题考查抛物线综合，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点问题，掌握抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点，掌握二次函数的性质是解题关键． 3．（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，，，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； （3）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，设，且，则，，可得，从而得出，进而得到，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于两点，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ，， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或； （3）解：，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在线段上运动， 设，且， 过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值， 即四边形的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键． 1．（2025·江西吉安·二模）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）减小，无；（2）最小，3；（3）存在最大值，最大值为；（4）无最值，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数的性质，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可； （4）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴对于函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小， ∴当且时，该函数无最值； 故答案为：减小，无； （2）∵，， ∴当时，函数有最小值，其最值为3； 故答案为：最小；3； （3）存在最大值，最大值为； 根据题意得：，此时， ∴y随u的增大而减小， ∴当时，函数存在最大值，最大值为； （4）函数不存在最值，理由如下： 令，则， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 即， ∵当时，y随u的增大而减小，当时，y随u的增大而减小， ∴函数无最值， 即函数不存在最值． 2．（2025·宁夏中卫·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线AB交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使是等腰三角形，请直接写出G点坐标； (3)如图②，点P为直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作交AB于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，此时 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出，设，由，得到方程，由此可求点G坐标； （3）设与交于点，推导出，则，设，则，，所以，根据求二次函数最值的方法求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， ， 解得， ； （2）解：， ， 设， 为等腰三角形， ， ， 解得， ； （3）解：设与交于点， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得 ∴直线的解析式为， 设，则，， ， ， ∵， ∴当时，的最大值为，此时． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 3．（2025·四川广元·三模）如图，二次函数的图象的顶点坐标为，与轴交于点，与轴分别交于点和点（点在点左侧），，为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的解析式和，两点的坐标． (2)以为直径作圆，圆心为，求点与上的点的最短距离． (3)设点的横坐标为，点的横坐标为，的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)存在，． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与二次函数的性质，圆的有关概念，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）连接，由为的直径，，，则，，由勾股定理得，从而即可求出点与上的点的最短距离； （）点的横坐标为，点的横坐标为，则点，点，然后分当直线轴时，当直线与轴不平行时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：由题意，设，将代入，得， ∴， ∴该二次函数的解析式为， 把代入，得， 解得，， ∴，； （2）解：如图，连接， ∵为的直径，，， ∴，， ∴的直径为， ∴半径为， 由勾股定理，得， ∴点与上的点的最短距离为； （3）解：存在， 由（）得该二次函数的解析式为， ∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点，点， 当直线轴时， ∴，解得：， ∴点，点， ∴， 当直线与轴不平行时，，如图，设直线交轴于点， 由点，点， 设解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 令，则， ∴点的坐标为， ∴的面积 ， ， 综上所述，的面积存在最小值，为． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)点的坐标为 (3)的取值范围为或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算． （1）由待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴交于点，求出的表达式，当最大时，最大，求解即可 （3）根据点在抛物线上，可先得出抛物线的表达式为，先对或进行分类讨论，其中发现时，抛物线与线段无交点；时，对点与点重合、抛物线过点、抛物线与线段相切三种情况进行分类讨论，根据图像进行求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，则， 点的坐标为． 将点代入，得． 直线的函数表达式为， 令，则，解得， 点的坐标为， 将点代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式为． （2）如图1，过点作轴交于点． 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为8， 此时点的坐标为． （3）由（2）知，点坐标为， 又∵， 直线的函数表达式为， 抛物线过点， 可设抛物线的函数表达式为， 在抛物线上， ， 抛物线的函数表达式为， ①当时， ， 抛物线开口向上。 又， ， 抛物线与线段无交点． ②ⅰ）当，且点与点重合时，作出图形如图2所示， 此时． 抛物线与线段只有一个交点， ． ⅱ）当，且抛物线过点时，作出图形如图3所示． 将代入，得． 抛物线与线段只有一个交点， ． ． ③当抛物线与线段相切时， 联立， 整理，得， ， 整理，得， 解得或（舍去）． 综上所述，的取值范围为或． 5．（2026·山东潍坊·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①，最大值为；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）①先求出直线的解析式为：，设，则，用含的代数式表示的面积，进而即可求解；②分两种情况：①；②，讨论即可． 【详解】（1）解：把、代入得 ， 解之得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：①如图， 设直线的解析式为， 把、代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴， ∴， ， ∴对称轴， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴； ②当时，如图： ∴， ∴轴， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得 舍去，， ∴， 当时， ， 过点作于， ∵，，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由①得，， ∴， 解得（舍去），， ∴， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）注意需要分类讨论． 1.（2025·广东惠州·中考模拟）某物理实验中，弹簧的弹力 与弹簧伸长量 的关系可表示为二次函数 （），其中 为弹簧伸长量（伸长量不能为负）。 (1)求该二次函数的顶点坐标，并说明该顶点的物理意义； (2)求弹簧弹力 的最小值及对应的弹簧伸长量 的值； (3)若弹簧伸长量 的取值范围变为 ，求此时弹簧弹力 的最大值和最小值。 【答案】(1)顶点坐标为 ，物理意义：当弹簧伸长量为 时，弹簧的弹力最小，最小弹力为 ； (2)最小值为 ，对应的伸长量 ； (3)最大值为 ，最小值为 。 【分析】本题融合物理弹簧弹力背景，考查二次函数的最值问题（顶点最值、区间最值），核心是掌握配方法求顶点坐标，结合自变量的实际取值范围（物理伸长量非负、给定区间）判断最值，体现“数形结合”思想。 【详解】(1)对二次函数 进行配方： ∴二次函数的顶点坐标为 。 物理意义：弹簧的弹力 随伸长量 的变化呈二次函数关系，开口向上，顶点为最小值点，即当弹簧伸长量为 时，弹簧的弹力最小，最小弹力为 。 (2)由（1）可知，二次函数开口向上（），顶点为最小值点，且顶点横坐标 落在自变量取值范围 内。 ∴当 时，弹力 取得最小值，最小值为 。 (3)由（1）知，抛物线对称轴为直线 ，开口向上，对称轴在区间 内。 最小值：在对称轴 处取得，； 最大值：比较区间两个端点的函数值： 当 时，； 当 时，； ∴区间内弹力 的最大值为 ，最小值为 。 2.（2025·广东珠海·一模）某地理规划小组在乡村规划中，计划修建一个矩形种植区，种植区的一边靠墙（墙长 ），另三边用总长为 的围栏围成，设矩形种植区垂直于墙的一边长为 ，种植区的面积为 。 (1)求面积 与边长 之间的二次函数解析式（注明自变量 的取值范围）； (2)求种植区面积 的最大值及对应的边长 的值； (3)若要求种植区的面积不小于 ，求边长 的取值范围。 【答案】(1)（）； (2)最大值为 ，对应的 ； (3)（结合自变量范围，最终取值为 ）。 【分析】本题融合地理乡村规划背景，考查二次函数最值的实际应用，核心是根据实际场景列出二次函数解析式，确定自变量取值范围（结合墙长、围栏长度），再通过配方法或顶点公式求最值，同时结合不等式解决实际约束问题。 【详解】(1)由题意，矩形垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 （围栏总长减去两条垂直于墙的边长）。 面积公式：，整理得： 自变量 的取值范围需满足： 边长为正数：，； 平行于墙的边长不超过墙长：； ∴自变量取值范围为 。 (2)对二次函数 进行配方： 二次函数开口向下（），顶点为最大值点，顶点横坐标 ，落在自变量取值范围 内。 ∴当 时，种植区面积取得最大值，最大值为 。 (3)由题意，令 ，即： 整理得： 因式分解：，解得 。 结合自变量取值范围 ，最终 的取值范围为 。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 专题02 二次函数最值问题 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：的最值问题 易｜混｜易｜错 1）＞0：开口向上，有最小值；＜0：开口向下，有最大值； 2）代入求最值： 对称轴在自变量范围内：最值在顶点处；对称轴不在范围内：最值在区间端点处 1．（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为_______． 2．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 3．（2025·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过点和，M，N是抛物线上不同的两点，点M的坐标为，点N的坐标为．将抛物线上M，N两点之间的部分（包括M，N两点）记为图象G． (1)求抛物线的表达式； (2)求图象G上最高点与最低点的纵坐标的差d；（用含t的式子表示） (3)已知点，，若，当图象G在直线上方时，求t的取值范围． 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 考点二：二次函数中最短路径问题 易｜混｜易｜错 1）找点：确定两个定点、一条直线（对称轴/x轴/y轴） 2）作对称：作其中一个点关于直线的对称点 3）连对称点与另一定点，线段长即为最短路径 4）求解析式→求交点→算长度 1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为______． 2．（2025·天津滨海新区·二模）已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． (1)当时， ①求点和点的坐标； ②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； (2)若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究】 数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点． （1）请直接写出的解析式； 【延伸拓展】 小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究： 如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接， （2）请直接写出点A，B的坐标； （3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下： 在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为： 则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度． 考点三：三角形面积最值问题 易｜混｜易｜错 1）上点：抛物线上的点 y₁；下点：直线上的点 y₂；铅垂高 h = y₁ − y₂； 2）水平宽为定值； 3）面积公式： 1．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 2．（2025·宁夏银川·模拟预测）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于，两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华进行了以下探究： 【探索发现】（1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为________，点Q的纵坐标为________；（用x的代数式表示）若设的长度为y，则y与x之间的函数关系式为________； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 1.5 2 3 4 4.5 6 9 y 0 2.5 3.5 4 3.75 3.5 2.5 0 ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，发现：当________时，y的最大值为________． 【迁移应用】连接、（请自行完成作图），探究：的面积是否存在最大值？若存在，请求出对应的x值和最大面积；若不存在，请说明理由． 3．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点作于点，连接． (1)求证：； (2)设的长为的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)结合（2）所得的函数，判断当的长为多少时，的面积最大． 4．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且． (1)求二次函数的表达式； (2)点M为一次函数下方抛物线上的点，的面积最大时，求点M的坐标； (3)设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且为直角三角形，求点P的坐标． 5．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 考点四：四边形面积最值问题 易｜混｜易｜错 1）分割成两个三角形； 2）补成大图形减小图形； 3）转化为函数 1．（2025·黑龙江牡丹江·二模）如图，抛物线经过点，，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第四象限的抛物线上是否存在一点，使得四边形的面积最大，若存在，请直接写出点的坐标和四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 2．（2025·海南海口·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，点C为抛物线与y轴的交点． (1)如图，若该抛物线经过点； ①求抛物线的解析式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； ②连接．若点E为直线上方抛物线上的动点，连接、，则四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点E的横坐标；若不存在，请说明理由． (2)当时，对于任意的正数t，若点，在该抛物线上，则________（填“”“”或“”）； (3)已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，求a的取值范围． 3．（2025·湖南株洲·三模）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，求四边形的面积的最大值，并写出此时点的坐标． 1．（2025·江西吉安·二模）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 2．（2025·宁夏中卫·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线AB交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使是等腰三角形，请直接写出G点坐标； (3)如图②，点P为直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作交AB于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标． 3．（2025·四川广元·三模）如图，二次函数的图象的顶点坐标为，与轴交于点，与轴分别交于点和点（点在点左侧），，为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的解析式和，两点的坐标． (2)以为直径作圆，圆心为，求点与上的点的最短距离． (3)设点的横坐标为，点的横坐标为，的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 4．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 5．（2026·山东潍坊·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 1.（2025·广东惠州·中考模拟）某物理实验中，弹簧的弹力 与弹簧伸长量 的关系可表示为二次函数 （），其中 为弹簧伸长量（伸长量不能为负）。 (1)求该二次函数的顶点坐标，并说明该顶点的物理意义； (2)求弹簧弹力 的最小值及对应的弹簧伸长量 的值； (3)若弹簧伸长量 的取值范围变为 ，求此时弹簧弹力 的最大值和最小值。 2.（2025·广东珠海·一模）某地理规划小组在乡村规划中，计划修建一个矩形种植区，种植区的一边靠墙（墙长 ），另三边用总长为 的围栏围成，设矩形种植区垂直于墙的一边长为 ，种植区的面积为 。 (1)求面积 与边长 之间的二次函数解析式（注明自变量 的取值范围）； (2)求种植区面积 的最大值及对应的边长 的值； (3)若要求种植区的面积不小于 ，求边长 的取值范围。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $