重难点01 二次函数图像的平移、对称（专项训练）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 专题01 二次函数图像的平移、对称 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：二次函数图像的平移 易｜混｜易｜错 1）左右平移：只改 ，上下平移：只改 ； 2）平移不改变开口大小和方向，不变 1．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，将抛物线沿向下平移，使平移后的抛物线经过原点，且平移后的抛物线的对称轴与原抛物线交于点，则经过点的反比例函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，求反比例函数解析式，根据题意可设将抛物线向下平移t个单位长度，向左平移t个长度可得到新抛物线，则新抛物线解析式为，利用待定系数法可求出平移后的抛物线解析式为，进而可求出点A的坐标，再利用待定系数法求出对应的反比例函数解析式即可． 【详解】解：∵将抛物线沿向下平移得到新抛物线， ∴可设将抛物线向下平移t个单位长度，向左平移t个长度可得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过原点， ∴， 解得或（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴， 设经过点A的反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴经过点A的反比例函数解析式为， 故答案为：． 3．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】 （1） （2）① ② (a)(b) 【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标． （2）由题意平移后的函数解析式为，则， ①若，则，利用二次函数的增减性即可求解； ②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． 故答案为；； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，， 当时，的取值范围是； ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，， ，， 当时，， ， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 随的增大而减小， 当时，， ， 对称轴为直线， ， 随的增大而增大， 故可能的序号是(a)(b)． 故答案为：(a)(b)． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，一次函数性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 4．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点G的坐标为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式为：或，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系分类讨论即可； （3）分成两种情况进行讨论，抛物线沿射线方向或射线方向平移．沿射线方向平移，求出直线的解析式为，由直线性质可知图象沿上下方向与左右方向平移相同的单位，设向上、向右平移了m个单位，可得，，由平移性质可证四边形是平行四边形，推出交点M坐标为，可证明为直角三角形且，根据，可得四点共圆，是在以为直径的圆上，可求中点，根据列方程即可求得的值，则题目可解； 抛物线沿射线方向，作关于点对称点，方法同上． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． （2）解：Ⅰ、当抛物线向右平移时： 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点M纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点N纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； Ⅱ、当抛物线向左平移时， 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， ∴当时，y取最大值8，代入解析式得： ， 解得：，（舍）， 综上可知，或； （3）解： 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则, ∴直线与轴交于， 直线与坐标轴围成的是一个等腰直角三角形， ∴图象沿直线平移时，上下方向与左右方向平移的距离相等， 设向上、向右平移了m个单位， ，， 由平移得，， 四边形是平行四边形， 线段与交于点M， ∴为线段的中点， ， Ⅰ、如图，抛物线沿射线平移， ∵，，G， ∴由勾股定理可得， ， ，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，是在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； Ⅱ、如图，抛物线沿射线平移， 作关于点对称点， 则可同理证明，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求一次函数解析式，平行四边形的判定和性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，正确作出辅助线． 5．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键． （1）求出时，函数的函数值，得到点坐标，即可得出结果； （2）根据点落在x轴正半轴上，得到点向下平移了个单位，进而得到点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可； （3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图像和性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上， ∴点向下平移个单位， ∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同， ∵点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为； ∵点在线段上，即点在直线上， ∴当时，， ∴； （3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C． ∴，把代入，得：， ∴， ∴， ∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为， ∵对于满足的任意实数，总成立， ∴或， ∴或． 考点二：关于 x 轴翻折（轴对称） 易｜混｜易｜错 1）一般式要先配方，不要直接对变号； 2）一步到位：变号，变号 1．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 2．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模） 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围． 【详解】解：如图， 当时，，解得，，则，， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得， 所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 故选：B． 3．（2025·安徽安庆·二模）二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是利用根的判别式得出不等式及数形结合来求解，先确定二次函数与轴的交点，再分析直线经过特殊点以及与翻折后抛物线相切时的情况，从而确定直线与新图象有两个公共点时的取值范围． 【详解】解：如图： 对于二次函数， 令，即， 解得或 ， 所以该二次函数与轴交点为和 ． 当直线经过点时， 把，代入直线方程得 ， 解得 ； 当直线经过点时， 把，代入直线方程得 ， 解得 ． 由此可知，当时，直线与新图象有两个交点． 先将二次函数，其图象轴上方部分沿轴翻折到轴下方后，翻折后的抛物线为． 联立直线与翻折后抛物线的方程 ， ， ． ∵直线与抛物线相切时，方程组有一组解， ∴一元二次方程的判别式． 则，即， 解得 ． 由图象可知，当时，直线与新图象有两个交点． 综上，的取值范围是或． 4．（2025·广西南宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求出该抛物线的解析式； (2)当时，求的最小值； (3)把抛物线的图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴下方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，函数最小值为；当时，函数最小值为 (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到图象的翻折、待定系数法求函数表达式，熟悉函数的图象和性质是解题的关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）根据题意分和两种情况分别求解即可； （3）由函数的对称性知，，则，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，当时，函数取得最小值，即； 当时，抛物线在顶点处取得最小值，即， 综上，当时，函数最小值为；当时，函数最小值为； （3）解：由函数的对称性知，，则， 即， 解得：． 考点三：关于 y 轴对称 易｜混｜易｜错 1）开口不变，对称轴左右翻转； 2）只变的符号，、都不动 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）令，解方程即可得解； （2）由二次函数知，其对称轴为直线，故设设点，则点，点，则，，由得，即可求解； （3）如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，进而求解． 【详解】（1）解：令 ∴， 则或， ∴点、； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点，则点，点， ∴，， ∵， ∴，则， ∴ ； （3）解：如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”， 只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”， 此时． 根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点， 此时是临界位置，， 所以． 2．（2025·广东深圳·三模）项目式学习：《无人机灯光秀图案的设计》 项目背景 为庆祝建校百年，某中学的无人机社团计划在校庆夜空上演无人机灯光秀．同学们以抛物线为基础，编排两组无人机组成“双翼彩虹”图案的表演．左侧无人机群的灯光轨迹近似看成一条抛物线：右侧轨迹与左侧关于舞台中轴线对称，展现彩虹双翼的平衡之美．如图所示：    任务1建立模型 如图1以地面为x轴，舞台中轴线为y轴，舞台中央点为原点，建立的直角坐标系，左侧抛物线过顶点，起始点为，终点与起始点关于直线对称，直接写出左侧抛物线解析式______； 若右侧抛物线与左侧抛物线关于y轴对称，直接写出抛物线解析式：_______． 任务2利用模型 为确保视觉效果，两侧无人机需要同时飞行移动至距离舞台地面中心5米的高度处并交汇于点A处，如图所示，求两组无人机队伍交汇时，距离舞台地面中心7米高度时无人机队列两侧的水平宽度．    任务3分析计算 在（2）的条件下，为达到更优的视觉效果，同学们提议，给交汇处的无人机装上射灯，并从交汇点A飞到舞台中央点的正上方B处发射两束光线，射出的光线与地面形成夹角，如图3所示 ①若要使光线不被无人机队列所遮挡，求无人机上升距离的最小值； ②若无人机计划飞到12米才发射光线，则此时单侧光线与无人机队列之间的最短距离为______． 【答案】（1），（2）米（3）①②米 【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入解答即可；根据对称，顶点坐标变成纵坐标不变，横坐标变成相反数，形状不变，写出解析式即可． （2）左侧抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即；右侧抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即；当时，求两个解析式的自变量值，用最右侧值减去最左侧值解答即可． （3）利用待定系数法，根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：∵左侧抛物线过顶点， 不妨设抛物线的解析式为， ∵起始点为，终点与起始点关于直线对称， ∴终点坐标为， ∴， 解得， ∴左侧抛物线解析式为， ∵左侧抛物线过顶点， ∴右侧抛物线过顶点， 不妨设抛物线的解析式为， ∵左侧抛物线起始点为， ∴右侧抛物线起始点为， ∴， 解得， ∴右侧抛物线解析式为， 故答案为：，． （2）解：左侧抛物线解析式为，点关于y轴的对称点为；左侧终点坐标为关于y轴的对称点为, 根据题意，两侧无人机需要同时飞行移动至距离舞台地面中心5米的高度处并交汇于点A处， 故平移到，平移到， 故左侧抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即； 故右侧抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到符合题意的新位置抛物线即； 当时，， 解得， 当时，， 解得， 故水平宽度为， 答：水平宽度为米． （2）①解：设，根据题意，射出的光线与地面形成夹角，得到， 设直线的解析式为， 故， 解得， 故直线的解析式为， 要使光线不被无人机队列所遮挡， 确定直线与抛物线只有一个交点时，为最小值， 故， 故， ， 解得， 故无人机上升距离的最小值为； ②解：根据题意，得无人机计划飞到12米才发射光线，此时单侧光线的解析式为， 此时， 由，得， 故直线与x轴的交点坐标为， 故两交点的距离为， 根据题意，射出的光线与地面形成夹角， 故与无人机队列之间的最短距离为米． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一元二次方程根的判别式应用，等腰直角三角形的性质，平行线之间的距离，熟练掌握待定系数法，根的判别式是解题的关键． 3．（2025·陕西西安·三模）图①是某花园的紫藤花架的示意图，它是以直线为对称轴的轴对称图形，其中曲线、、、均是抛物线的一部分． 素材1：某综合实践小组测量得到点A、B到地面距离分别为5米和4米．曲线的最低点到地面的距离是4米，与点A的水平距离是3米；曲线BF的最低点到地面的距离是米，与点B的水平距离是4米． 素材2：按图②的方式布置装饰灯带、、、、，布置好后成轴对称分布，其中、、、均垂直于地面，与之间的距离比与之间的距离多2米． 将该示意图放入平面直角坐标系中，使地面所在直线在x轴上，所在直线在y轴上． (1)求曲线所在抛物线的函数表达式； (2)若灯带的长为10米，求的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先根据题意求出，再求出，再把代入求出即可得出答案． 【详解】（1）解：由题可知曲线所在抛物线的顶点为，点A的坐标为， 设曲线所在抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得：， ∴曲线所在抛物线的函数表达式为． （2）解：∵的长为10米， ∴， ∵与之间的距离比与之间的距离多2米， ∴， 则， ∴米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出二次函数解析式． 考点四：关于原点对称（中心对称） 易｜混｜易｜错 1）开口反向； 2）顶点横、纵坐标都变号； 3）是 x轴 + y轴对称的结合 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线，抛物线与关于原点中心对称，抛物线与y轴的交点坐标为．记抛物线的顶点为M，抛物线的顶点为N，连接，则的长为（   ） A． B． C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点，中心对称，勾股定理，解题关键是根据中心对称的性质求出相应点的坐标． 先根据抛物线与y轴的交点坐标为，得到关于的方程求解，可得出抛物线的解析式，再求出其顶点坐标，然后根据抛物线与抛物线关于原点中心对称，求出点的坐标，再利用勾股定理求出的长． 【详解】解：根据题意，抛物线与y轴的交点坐标为， 将其代入中，得，即， ，点M的坐标为：． ∵抛物线与抛物线关于原点中心对称，则点N的坐标为， ． 故选：B． 2．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数，顶点为A，作该函数关于原点对称的新函数，顶点为B，若点B在函数L上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，先求出原函数 L 的顶点 A ，再确定关于原点对称的新函数及其顶点 B ，代入到原函数中解出a ，最后计算的距离． 【详解】解：∵函数为， ∴顶点横坐标为，代入得纵坐标， 故顶点为， 关于原点对称后，函数的顶点横坐标为，纵坐标， 故顶点B为． 将代入L的方程得：， 解得：， 当时， ，， 距离为：， 故选：B． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，并与轴相交于点．抛物线与关于坐标原点对称，点在上的对应点分别为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，求出的解析式是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求出抛物线的函数表达式即可；； （2）求出抛物线的对称轴，顶点坐标，运用对称性求出点A的坐标，再求出顶点，点A，点B关于原点的对称点，求出的解析式，设，根据列方程，求出在值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵ ∴由对称性得， ∵抛物线与关于坐标原点对称，点在上的对应点分别为， ∴，，抛物线的顶点坐标为， ∴，， 对于，令，则， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，解得 ∴； 当时，解得， ∴或， 综上，点D的坐标为或或． 4．（2025·陕西·模拟预测）已知抛物线与轴相交于A和两点，并与轴相交于点．抛物线与关于坐标原点对称，点在上的对应点分别为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】本题考查了待定系数法确定函数关系式，抛物线与x轴的交点坐标，关于原点对称的点的坐标的性质，三角形的面积公式，能熟练运用相关性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求得，，再根据关于原点对称的点的坐标特征可得，，则，，，设上的点P在L上的对应点为，的纵坐标为n，由对称性，可得．由列方程求得，进而求得点坐标，最后利用关于原点对称的点的坐标特征可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于A和， ∴将代入，得． 解得． ∴抛物线L的函数表达式为． （2）解：存在．在L中，令，则． ∴． 令，则． 解之，得或． ∴． ∵抛物线与L关于坐标原点对称， ∴，， ∴，，， 设上的点P在L上的对应点为，的纵坐标为n， 由对称性，可得． 要使， ． ∴，则． 令，则． 解之，得． 令，则． 解之，得或． ∴的坐标为或或， 由对称性，可得P的坐标为或或． 1．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 2．（2025·陕西西安·二模）操作实验：张华和同学们制作了一个滑轨，该滑轨是抛物线的一部分，现要研究不同物体沿滑轨下滑后的落地点．某物体从点处沿滑轨下滑至点处，再沿滑轨上行至处，从点处飞落至水平地面处． 观察分析：点是抛物线滑轨的最低点，点在水平地面上．物体从处飞出后经过的路径是抛物线的一部分． 模型建立：如图，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线和关于点对称，抛物线的函数表达式为（单位：）． 问题探究： (1)求抛物线的函数表达式； (2)求物体的落地点与滑轨的最低点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意设抛物线的函数表达式为，然后结合顶点坐标确定函数解析式； （2）令，求得，从而可得，然后结合点的坐标为，分析求解． 【详解】（1）解：抛物线和关于点对称， 设抛物线的函数表达式为， 抛物线的函数表达式为，点是抛物线滑轨的最低点， 点的坐标为，点的坐标为， 点关于点的对称点的坐标为， 即抛物线的顶点坐标为， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意可得，令，则， 解得，（舍）， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ． 物体的落地点与滑轨的最低点之间的距离为． 3．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 项目主题：图1所示是某学校植物园的一部分，现要对植物种植区域加装围栏，学校面向全体同学征集围栏设计方案． 方案设计：图2是小慧设计的围栏的一部分，说明如下： ①围栏下部是等腰三角形，且，，垂足为G； ②围栏上部由两段形状相同的抛物线和组成（点D在的延长线上），且抛物线和关于直线对称； ③米，米，米，米（，均与垂直）． ④抛物线的函数表达式为．… 解决问题： 请你根据小慧的设计方案，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，解决下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图3，小慧想在设计的围栏上加装一块社会主义核心价值观宣传展板，展板是扇形的一部分、展板整体关于对称．点P，Q分别在抛物线，上，点M，N分别在，上，线段，是所在圆的半径的一部分，且，． ①请求出线段的最大值； ②当线段取得最大值时，直接写出所在圆的半径长． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；（2）①的最大值为；②所在圆的半径长为米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，再由题意得出点的坐标为，继而得到点，后将其代入二次函数解析式中即可得出； （2）①过点作，垂足为点，交于，再勾股定理求出，再求出直线的解析式，后设点，点，再利用二次函数最值即可，再利用相似三角形判定及性质即可求出； ②作轴于W，作轴于V，作轴于T，延长与轴交于即为圆心，此时即为所在圆的半径，由线段取得最大值时，，可求出，，，，由求出，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， ， 由题意得：， ∴点的坐标为， ∵，， ∴点， ∵抛物线经过，， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：①过点作，垂足为点，交于， ， ∵，， ∴在中，， ∵，， 设直线的解析式为， ∵图象经过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴的最大值为：； ②作轴于W，作轴于V，作轴于T，延长与轴交于即为圆心，此时即为所在圆的半径， ∵线段取得最大值时，，即，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设所在圆的半径为，则， ∵， ∴， ∴，即：，解得：， ∴所在圆的半径长为米． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形判定及性质，以及锐角三角函数的知识，难度较大，属中考压轴题． 4．（2025·陕西宝鸡·二模）奶奶屋后有一块空地，宁宁帮奶奶设计了一个花园，其示意图如图所示． 素材一：花园由抛物线与围成，底部宽为米，抛物线的最高点与的距离为； 素材二：所在抛物线与所在抛物线关于直线对称，以直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求与所在抛物线的表达式； (2)现需要沿、修建篱笆，将花园分成三部分，分别种植不同的花卉，已知点、在抛物线上点在点的右侧，、之间的距离为，点、点关于轴对称，点、关于轴的对称点分别为点、，求所需篱笆的总长度． 【答案】(1)所在抛物线为；所在抛物线为 (2)所需篱笆的总长度为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用． （1）依据题意得，，，从而所在抛物线的顶点为，故可设所在抛物线为，结合过，可得，求出后可得所在抛物线为，然后根据对称性可得所在抛物线为，即可得解； （2）依据题意，设，则根据对称性可得，，，，又，则，故，进而可得，，，，从而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，，． 所在抛物线的顶点为， 可设所在抛物线为， 又过， ， ， 所在抛物线为， 又所在抛物线与所在抛物线关于轴对称， 将换成代入的表达式可得所在抛物线为； （2）解：由题意，设， 根据对称性可得，，，， ， ， ， ，，，， 所需篱笆的总长度， 答：所需篱笆的总长度为． 1.（2025·广东佛山·中考模拟）某同学在物理实验室做“小球平抛运动”实验，小球从坐标原点 水平抛出，其竖直高度 与水平距离 的关系为抛物线 。 (1)求抛物线 的顶点坐标（小球最高点）与对称轴； (2)若将抛物线 沿水平方向向右平移 个单位得到新抛物线 ，且 经过点 ，求 的值； (3)物理意义：平移后小球的落点（ 时非原点的横坐标）比原落点的水平距离增加了多少米？ 【答案】(1)顶点坐标为 ，对称轴为直线 ； (2)； (3)增加的距离为 米。 【分析】本题以物理平抛运动为背景，考查二次函数的顶点式、图像平移及零点求解。核心方法是利用“左加右减，上加下减”的平移法则，结合配方法和方程求解。 【详解】(1)对抛物线 进行配方： ∴抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为直线 。 (2)根据“左加右减”的平移法则，将抛物线 向右平移 个单位后，新抛物线 的解析式为： 已知 经过点 ，将该点坐标代入解析式： 化简得： 开方得 ，解得 。 因为 ，且 ，故舍去，取 。 (3)原落点：令 中 ，即 。 因式分解得 ，解得 （原点），。 ∴原落点的水平距离为 米。 平移后落点：令 中 ，即 。 化简得 ，开方得 。 解得 ，。 非原点落点的水平距离为 米。 增加的距离：（米）。 2.（2025·广东东莞模拟）某地理考察队在山区考察时，发现某段山坡的海拔高度 与水平距离 的关系可表示为抛物线 （），该抛物线对应山坡的坡顶为最高点。 (1)求抛物线 的顶点坐标（坡顶）与对称轴； (2)将抛物线 关于 轴作轴对称变换，得到新抛物线 ，求 的解析式； (3)若将抛物线 沿水平方向向左平移 个单位，得到抛物线 ，且 的顶点恰好落在抛物线 上，求 的值。 【答案】(1)顶点坐标为 ，对称轴为直线 ； (2)抛物线 的解析式为 ； (3)（舍去负根）。 【分析】本题以地理山区海拔为跨学科背景，考查二次函数的顶点式、轴对称变换及平移法则，核心是掌握“关于x轴对称的点坐标特征”和“左加右减”的平移规律，结合地理海拔的实际意义（非负性）解题。 【详解】(1)对抛物线 进行配方： ∴抛物线 的顶点坐标（坡顶）为 ，对称轴为直线 。 (2)抛物线 关于 轴对称得到 ，其变换规律为：横坐标不变，纵坐标变为相反数。 设抛物线 上任意一点坐标为 ，则其关于 轴的对称点坐标为 。 ∵点 在 上，即 ， ∴对称点满足 ，整理得： 故抛物线 的解析式为 。 (3)根据“左加右减”的平移法则，将抛物线 向左平移 个单位，得到抛物线 的解析式为： ∴抛物线 的顶点坐标为 。 已知 的顶点恰好落在抛物线 上，将顶点坐标 代入 的解析式： 解得： ∵ ∴舍去负根 ∴ 。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 专题01 二次函数图像的平移、对称 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：二次函数图像的平移 易｜混｜易｜错 1）左右平移：只改 ，上下平移：只改 ； 2）平移不改变开口大小和方向，不变 1．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，将抛物线沿向下平移，使平移后的抛物线经过原点，且平移后的抛物线的对称轴与原抛物线交于点，则经过点的反比例函数的解析式为___________． 3．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 4．（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 5．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 考点二：关于 x 轴翻折（轴对称） 易｜混｜易｜错 1）一般式要先配方，不要直接对变号； 2）一步到位：变号，变号 1．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 2．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模） 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽安庆·二模）二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为________． 4．（2025·广西南宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求出该抛物线的解析式； (2)当时，求的最小值； (3)把抛物线的图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴下方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值． 考点三：关于 y 轴对称 易｜混｜易｜错 1）开口不变，对称轴左右翻转； 2）只变的符号，、都不动 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 2．（2025·广东深圳·三模）项目式学习：《无人机灯光秀图案的设计》 项目背景 为庆祝建校百年，某中学的无人机社团计划在校庆夜空上演无人机灯光秀．同学们以抛物线为基础，编排两组无人机组成“双翼彩虹”图案的表演．左侧无人机群的灯光轨迹近似看成一条抛物线：右侧轨迹与左侧关于舞台中轴线对称，展现彩虹双翼的平衡之美．如图所示：    任务1建立模型 如图1以地面为x轴，舞台中轴线为y轴，舞台中央点为原点，建立的直角坐标系，左侧抛物线过顶点，起始点为，终点与起始点关于直线对称，直接写出左侧抛物线解析式______； 若右侧抛物线与左侧抛物线关于y轴对称，直接写出抛物线解析式：_______． 任务2利用模型 为确保视觉效果，两侧无人机需要同时飞行移动至距离舞台地面中心5米的高度处并交汇于点A处，如图所示，求两组无人机队伍交汇时，距离舞台地面中心7米高度时无人机队列两侧的水平宽度．    任务3分析计算 在（2）的条件下，为达到更优的视觉效果，同学们提议，给交汇处的无人机装上射灯，并从交汇点A飞到舞台中央点的正上方B处发射两束光线，射出的光线与地面形成夹角，如图3所示 ①若要使光线不被无人机队列所遮挡，求无人机上升距离的最小值； ②若无人机计划飞到12米才发射光线，则此时单侧光线与无人机队列之间的最短距离为______． 3．（2025·陕西西安·三模）图①是某花园的紫藤花架的示意图，它是以直线为对称轴的轴对称图形，其中曲线、、、均是抛物线的一部分． 素材1：某综合实践小组测量得到点A、B到地面距离分别为5米和4米．曲线的最低点到地面的距离是4米，与点A的水平距离是3米；曲线BF的最低点到地面的距离是米，与点B的水平距离是4米． 素材2：按图②的方式布置装饰灯带、、、、，布置好后成轴对称分布，其中、、、均垂直于地面，与之间的距离比与之间的距离多2米． 将该示意图放入平面直角坐标系中，使地面所在直线在x轴上，所在直线在y轴上． (1)求曲线所在抛物线的函数表达式； (2)若灯带的长为10米，求的长． 考点四：关于原点对称（中心对称） 易｜混｜易｜错 1）开口反向； 2）顶点横、纵坐标都变号； 3）是 x轴 + y轴对称的结合 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线，抛物线与关于原点中心对称，抛物线与y轴的交点坐标为．记抛物线的顶点为M，抛物线的顶点为N，连接，则的长为（   ） A． B． C．6 D．1 2．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数，顶点为A，作该函数关于原点对称的新函数，顶点为B，若点B在函数L上，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，并与轴相交于点．抛物线与关于坐标原点对称，点在上的对应点分别为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·陕西·模拟预测）已知抛物线与轴相交于A和两点，并与轴相交于点．抛物线与关于坐标原点对称，点在上的对应点分别为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 2．（2025·陕西西安·二模）操作实验：张华和同学们制作了一个滑轨，该滑轨是抛物线的一部分，现要研究不同物体沿滑轨下滑后的落地点．某物体从点处沿滑轨下滑至点处，再沿滑轨上行至处，从点处飞落至水平地面处． 观察分析：点是抛物线滑轨的最低点，点在水平地面上．物体从处飞出后经过的路径是抛物线的一部分． 模型建立：如图，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线和关于点对称，抛物线的函数表达式为（单位：）． 问题探究： (1)求抛物线的函数表达式； (2)求物体的落地点与滑轨的最低点之间的距离． 3．（2025·山西吕梁·一模）综合与实践 项目主题：图1所示是某学校植物园的一部分，现要对植物种植区域加装围栏，学校面向全体同学征集围栏设计方案． 方案设计：图2是小慧设计的围栏的一部分，说明如下： ①围栏下部是等腰三角形，且，，垂足为G； ②围栏上部由两段形状相同的抛物线和组成（点D在的延长线上），且抛物线和关于直线对称； ③米，米，米，米（，均与垂直）． ④抛物线的函数表达式为．… 解决问题： 请你根据小慧的设计方案，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，解决下列问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图3，小慧想在设计的围栏上加装一块社会主义核心价值观宣传展板，展板是扇形的一部分、展板整体关于对称．点P，Q分别在抛物线，上，点M，N分别在，上，线段，是所在圆的半径的一部分，且，． ①请求出线段的最大值； ②当线段取得最大值时，直接写出所在圆的半径长． 4．（2025·陕西宝鸡·二模）奶奶屋后有一块空地，宁宁帮奶奶设计了一个花园，其示意图如图所示． 素材一：花园由抛物线与围成，底部宽为米，抛物线的最高点与的距离为； 素材二：所在抛物线与所在抛物线关于直线对称，以直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系． (1)求与所在抛物线的表达式； (2)现需要沿、修建篱笆，将花园分成三部分，分别种植不同的花卉，已知点、在抛物线上点在点的右侧，、之间的距离为，点、点关于轴对称，点、关于轴的对称点分别为点、，求所需篱笆的总长度． 1.（2025·广东佛山·中考模拟）某同学在物理实验室做“小球平抛运动”实验，小球从坐标原点 水平抛出，其竖直高度 与水平距离 的关系为抛物线 。 (1)求抛物线 的顶点坐标（小球最高点）与对称轴； (2)若将抛物线 沿水平方向向右平移 个单位得到新抛物线 ，且 经过点 ，求 的值； (3)物理意义：平移后小球的落点（ 时非原点的横坐标）比原落点的水平距离增加了多少米？ 2.（2025·广东东莞模拟）某地理考察队在山区考察时，发现某段山坡的海拔高度 与水平距离 的关系可表示为抛物线 （），该抛物线对应山坡的坡顶为最高点。 (1)求抛物线 的顶点坐标（坡顶）与对称轴； (2)将抛物线 关于 轴作轴对称变换，得到新抛物线 ，求 的解析式； (3)若将抛物线 沿水平方向向左平移 个单位，得到抛物线 ，且 的顶点恰好落在抛物线 上，求 的值。 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $