6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 知识归纳与试题检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例知识归纳与试题检测(学生版) 【1】教材知识归纳 1．仰角和俯角 （1）前提：在视线所在的垂直平面内； （2）仰角：视线在水平线__________时，视线与水平线所成的角； （3）俯角：视线在水平线__________时，视线与水平线所成的角. 2．坡角和坡比的区别是什么？ 3．利用正（余）弦定理解应用题注意事项： （1）检验求解出的结果是否符合实际意义； （2）题中求解往往有精确度的要求，要合理选择近似值，并且为了避免误差的积累，解题过程中应尽量地使用已知（原始）数据，少用或不用间接求出的近似值，必用时要按照近似计算的规则取近似值； （3）利用正弦定理、余弦定理解应用题时，往往数据较多，关系较复杂，因此在解答过程中，要做到算法简练、算式工整、计算准确，还应注意方程思想的应用． 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 2．某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 3．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 4．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 5．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 6．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 7．气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 8．如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形区域内修建水上项目，并在湖面上修建，作为观光路线，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了四种测量方案（的角所对的边分别记为，，），则一定能确定间距离的所有方案为（    ）    A．测量，， B．测量，， C．测量，， D．测量，， 10．如图，在山脚测得山顶的仰角，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为6海里，该轮船从A处沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向上，下面结论正确的有（    ） A．海里 B．海里 C．或 D．灯塔C在D的南偏西方向上 三、填空题 12．相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为______m. 13．在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏西25°方向上的A处，且在C岛的北偏西58°方向上，B市在C岛的北偏西28°方向上，且距离C岛248km，此时，我方军舰沿着AC方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大约为________h．（参考数据：，，） 14．在地面上某处测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为，再向塔走m，测得塔顶的仰角为，则角θ的度数为______． 四、解答题 15．如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅锤平面内，在点A 测得，，在点 B 测得，，测得. (1)求点A 和点 N 之间的距离； (2)求两山顶M，N间的距离. 16．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A、B、C处测得阁顶端点P的仰角分别为30°、60°、45°，且米，求滕王阁的高度. 17．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 18．甲船在B岛的正南A处，，甲船以4的速度向正北航行驶向B岛，同时乙船从B岛出发以6的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是多少？ 19．公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点.    (1)求扇形花卉景观的半径，以及面积； (2)为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例知识归纳与试题检测(详解版) 【1】教材知识归纳 1．仰角和俯角 （1）前提：在视线所在的垂直平面内； （2）仰角：视线在水平线__________时，视线与水平线所成的角； （3）俯角：视线在水平线__________时，视线与水平线所成的角. 【答案】 上方 下方 2．坡角和坡比的区别是什么？ 【答案】坡角是坡面与水平面所成的二面角的度数，而坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比 3．利用正（余）弦定理解应用题注意事项： （1）检验求解出的结果是否符合实际意义； （2）题中求解往往有精确度的要求，要合理选择近似值，并且为了避免误差的积累，解题过程中应尽量地使用已知（原始）数据，少用或不用间接求出的近似值，必用时要按照近似计算的规则取近似值； （3）利用正弦定理、余弦定理解应用题时，往往数据较多，关系较复杂，因此在解答过程中，要做到算法简练、算式工整、计算准确，还应注意方程思想的应用． 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 【答案】D 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理计算可得结果. 【详解】由余弦定理可知，，则隧道的长度为km. 故选：D. 2．某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【答案】D 【知识点】距离测量问题 【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值． 【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60. 故选：D． 3．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】在中利用正弦定理求出，再利用即可求出. 【详解】在中利用正弦定理得，， 即，则， 在中得，，则. 故选：D 4．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】高度测量问题 【分析】设，则，，利用的长即可求出的值，进而求得. 【详解】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B 5．一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【知识点】角度测量问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 6．如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、角度测量问题 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 7．气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正、余弦定理的其他应用 【分析】利用余弦定理结合物理学知识求解即可. 【详解】如图，由余弦定理，得 ， 于是， 解得或， 所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00. 故选：B. 8．如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形区域内修建水上项目，并在湖面上修建，作为观光路线，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式、正、余弦定理的其他应用 【分析】设，利用三角恒等变换、余弦定理求得的表达式，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】设，则， ，则、为正数. 在三角形中，由余弦定理得：， 在三角形中，由余弦定理得： ， 所以, 由于，所以当时，取得最小值， 也即时，取得最小值. 故选：D 二、多选题 9．如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了四种测量方案（的角所对的边分别记为，，），则一定能确定间距离的所有方案为（    ）    A．测量，， B．测量，， C．测量，， D．测量，， 【答案】ABC 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据题意结合正、余弦定理依次判断求解. 【详解】对于A，先利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理解出c； 对于B，直接利用余弦定理即可解出c； 对于C，先利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理解出c； 对于D，不知道边的长度，显然不能求c. 故选：ABC. 10．如图，在山脚测得山顶的仰角，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】高度测量问题 【分析】将图中各角表示出来，利用正弦定理可判断A选项，求出，结合锐角三角函数的定义可判断BCD选项. 【详解】由题意可得，，，，，， 对于A选项，，， 所以， ， 在中，由正弦定理得，故，A错； 对于B选项， ， 在中，由正弦定理可得，故， 在中，，B对； 对于C选项，在中，，C对； 对于D选项，在中，，D对. 故选：BCD. 11．一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为6海里，该轮船从A处沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向上，下面结论正确的有（    ） A．海里 B．海里 C．或 D．灯塔C在D的南偏西方向上 【答案】ABD 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、角度测量问题、距离测量问题 【分析】画出示意图，由题意确定相应角大小、边长度，利用正余弦定理求、，进而判断各项的正误. 【详解】由题设，，，则， 所以，则海里，A正确； 所以海里，B正确； 由，则，故，灯塔C在D的南偏西方向上，C错误，D正确； 故选：ABD 三、填空题 12．相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为______m. 【答案】 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】先由正弦定理求出，然后在直角中即可求解. 【详解】中，由正弦定理得， 所以， 直角中，. 故答案为：. 13．在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏西25°方向上的A处，且在C岛的北偏西58°方向上，B市在C岛的北偏西28°方向上，且距离C岛248km，此时，我方军舰沿着AC方向以50km/h的速度航行，则我方军舰到达C岛的小时大约为________h．（参考数据：，，） 【答案】4 【知识点】距离测量问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解. 【详解】设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则， 依题意，，，， 在中， ， 由正弦定理得，即，解得， 所以我方军舰大约需要4小时到达C岛． 故答案为：4 14．在地面上某处测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为，再向塔走m，测得塔顶的仰角为，则角θ的度数为______． 【答案】/ 【知识点】角度测量问题 【分析】由题意画出示意图，易知,，在中，由正弦定理即可列出等式，即可解出角θ的度数. 【详解】如图， ∵，， ∴，∴． ∵，， ∴，∴． 在中，由， 得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：. 四、解答题 15．如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅锤平面内，在点A 测得，，在点 B 测得，，测得. (1)求点A 和点 N 之间的距离； (2)求两山顶M，N间的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）在里，已知两角一边，先由三角形内角和求出，再用正弦定理算出 （2）在中，根据已知两角求出，再用正弦定理算出在中，已知，用余弦定理算出，再开方得 【详解】（1）由题意可得，，所以 在中，根据正弦定理可知 所以 则 （2）在中，，所以， 由正弦定理可得 则. 在中，， 由余弦定理得 ， 所以 故两山顶M，N间的距离为 16．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A、B、C处测得阁顶端点P的仰角分别为30°、60°、45°，且米，求滕王阁的高度. 【答案】米. 【知识点】高度测量问题、余弦定理解三角形 【分析】设，结合直角三角形可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解，进而得解. 【详解】设，因为，，， 所以，，. 在中，， 即.① 在中，， 即.② 因为， 所以①②两式相加可得， 解得，则. 所以滕王阁的高度为米. 17．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、角度测量问题、距离测量问题 【分析】（1）设，则，，，由余弦定理得到，得到答案； （2）由余弦定理求出B的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或（舍去）， ∴ （2）由（1）知，，. ∴. 18．甲船在B岛的正南A处，，甲船以4的速度向正北航行驶向B岛，同时乙船从B岛出发以6的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是多少？ 【答案】小时 【知识点】正、余弦定理的其他应用 【分析】令经过小时后甲、乙分别在两处，利用余弦定理可得到的表达式，再借助二次函数最小值求解即可. 【详解】如图，令经过小时后甲、乙分别在两处，甲、乙两船距离为s， 则在中，，，， 由余弦定理得， 即. 当时，最小，此时. 即经过小时，甲、乙两船相距最近. 19．公园内有一块三角形绿地，其中米，米，.绿地内种植有一扇形的花卉景观，扇形的两边都落在和上，弧与相切于点.    (1)求扇形花卉景观的半径，以及面积； (2)为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三角形（如图），其中，使得原有的扇形花卉景观扩建为半径米，并且与相切于点，两边都落在三角形边上的扇形，求绿地三角形占地面积的最小值，并求此时、的长. 【答案】(1)， (2)， 【知识点】求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据余弦定理求出的长度，再根据扇形弧与相切，借助等面积法求解； （2）假设，利用余弦定理得到，然后表示出三角形的面积，最后使用基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）在中， 由余弦定理，所以， 因为弧与相切于点，所以， 所以， 所以，； （2）设， 则由余弦定理可得， 所以， 因为，所以， 即，所以，即， 当且仅当时，取最小值为256． 所以当时，三角形占地面积最小，为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $