6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例同步训练 一、单选题 1．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 2．如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，则这个三角形有（   ） A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 4．已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．在中，角所对的边分别为，已知，点在所在的平面内，满足，且，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 二、多选题 9．在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知的内角的对边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．周长为 B． C．为钝角三角形 D．的外接圆面积为 11．已知的内角的对边分别为，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰直角三角形 三、填空题 12．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为 . 13．在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知，，且，则的周长为 ． 14．在中，已知，则的形状为 四、解答题 15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角B； (2)若，△ABC的面积为1，求△ABC的周长. 16．已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，． (1)求A； (2)求； (3)求的面积． 17．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长； (3)若，判断的形状． 18．已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 19．锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，，满足． (1)求角的大小及角的取值范围； (2)若，求的周长的取值范围； (3)若的外接圆的圆心为，且，求的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知可求得，结合范围可求或解得或即可得 【详解】可得， 由正弦定理可得: ，即， 可得， ，或， 解得或，即是等腰或直角三角形. 故选：D 2．A 【分析】应用正弦定理求得，再由求建筑物的高. 【详解】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A 3．A 【分析】根据题意可得，则有，即有，从而得，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以，， 所以有，即， 所以， 所以三角形为钝角三角形，只有一个解. 故选：A. 4．C 【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 5．C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 6．B 【分析】由正弦定理、三角形内角及余弦函数性质判断A、B；特殊值即可判断C、D. 【详解】由，则，而，则，A错； 由，结合余弦函数性质知：，B对； 对于，则，，C、D错； 故选：B 7．B 【分析】根据题意，由正弦定理化简得到，求得，设，得到，再结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 由正弦定理得，可得，即， 所以，，则， 设，则，且， 在中，且，则， 在中，由，则， 由，即， 又由正弦定理知（为的外接圆半径）， 所以， 则，即， 又因为，故当，即时，所以. 故选：B.    8．D 【分析】由，结合向量线性运算可得平分，即可得，再结合余弦定理及基本不等式计算即可得. 【详解】由，则，即， ， 故，由、都为单位向量，故平分， 故， 则，则， 当且仅当时，等号成立， 即，即有最小值. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助，结合向量线性运算得到平分. 9．AD 【分析】由余弦定理化简得，再结合即可对A判断，由正弦定理可得，再结合，可得，当，时满足，即可对B判断；由，则可得，即可对C判断；若，可得，再结合化简得，即可对D判断. 【详解】A：由，化简得，即， 又，则，则为等腰直角三角形，故，故A正确. B：由，可得，因，即， 当，时满足，但此时，故B错误； C：由，则可化简为，即， 即，故C错误； D：若，则，则，则 代入得，整理得，即， 所以，故D正确. 故选：AD. 10．ABD 【分析】在中，由题中条件及正弦定理可得，∴，，即可判断选项A；由余弦定理可得，结合，即可判断选项B；又，可得为的最大角.由余弦定理可得，即可判断选项C；由选项B知，则由正弦定理可求出的外接圆半径，即可判断选项D. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理可得. 又，∴，，∴周长为，故选项A正确； 由余弦定理可得.因为，所以，故选项B正确； 又，所以，所以为的最大角. 由余弦定理可得，结合，可知为锐角，所以为锐角三角形，故选项C错误； 由选项B知，所以.设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，解得， 所以的外接圆面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 11．ABC 【分析】利用正弦定理和大边对大角可判断A；利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判断B；利用可判断C；边化角，利用二倍角公式化简，结合正弦函数性质可判断D. 【详解】对A，由和正弦定理可得，由大边对大角可知，正确； 对B，由和正弦定理可得， 所以，又，所以，正确； 对C，若，则， 即，所以符合条件的有两个，正确； 对D，若，则，即， 因为，所以或， 即或， 当时，，此时为直角三角形； 当时，为等腰三角形. 所以为直角三角形或等腰三角形，错误. 故选：ABC 12．米 【分析】设，即可得到，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可. 【详解】设，由题意得， 而， 则，， 所以， 在中，，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 所以铁塔的高度为米. 故答案为：米. 13． 【分析】利用余弦定理可得，化简可得，进而可求得，结合面积可求得，可求周长. 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得，又，， 因为，又，所以，所以， 又，可得，所以， 所以，所以， 所以的周长为. 故答案为：. 14．等腰或直角三角形 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，即，由，可得； （2）由三角形面积公式得到，由余弦定理得到，求出周长. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以， 则，因为，所以， 即. 由，可得. （2）因为△ABC的面积为1，所以，得. 由余弦定理可知， 则， 所以，故△ABC的周长为. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据余弦定理进行求解即可； （2）利用第（1）问所求的角，结合正弦定理进行求解即可； （3）直接根据三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）由余弦定理，可得， 因为，所以； （2）由（1）可知，. 在中，由正弦定理，可得，解得； （3）由（1）可知，. 由的面积公式，可得． 17．(1) (2) (3)直角三角形 【分析】（1）由三角形面角公式、数量积的定义得，结合即可求解； （2）根据等面积法即可求解； （3）法一：根据题目得到即可；法二：只需说明即可. 【详解】（1）由，可得， 即，即，因为，所以； （2）因为AD是△ABC的角平分线，且，，设， 因为，可得， 即，解得，即． （3）法一：（1）知， 由余弦定理得， 因为，平方得，即， 代入上式，可得，即， 将代入，可得，解得或 当时，可得，此时，可得△ABC为直角三角形； 当时，此时（不成立，舍去）； 综上可得，△ABC为直角三角形． 法二：由，则， 所以， ， 又因为，所以，，综上，△ABC为直角三角形． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理，结合题中条件即可求解； （2）用余弦定理结合重要不等式可得，利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以. 由三角形面积公式可知及，可得，即. 因为，所以.又，所以. （2）由（1）知. 因为，所以由余弦定理可得. 由不等式可得，所以，即， 当且仅当时等号成立，有最大值为16. 所以， 所以的面积的最大值为. 19．(1)；； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，再根据锐角三角形的知识列不等式，由此求得的取值范围. （2）应用正弦定理结合三角恒等变换化简得出结合角的范围求出值域即可得出周长范围； （3）根据正弦定理求得外接圆的半径，设，将表示为的形式，结合三角函数值域的知识求得的取值范围. 【详解】（1）锐角的三个内角角，，所对的边分别为，，， 因为， 由正弦定理可得， 所以， 故，因为为锐角，所以， 因为为锐角三角形，则， 解得，所以，角的取值范围是. （2）因为，由正弦定理得， 所以 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以周长的取值范围为 （3）设的外接圆半径为，所以， ，所以 设，则，则， 所以 因为，所以，所以,所以, 所以，所以的取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $