第5节：向量的应用【六大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

第5节：向量的应用 【考点梳理】 【知识梳理】 知识一　向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 知识二　向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 技巧(1)：用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. 技巧(2)：用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 【题型归纳】 题型一：向量在物理中的应用 【例1】．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】C 【分析】先根据航程最短的条件确定船头方向，再利用向量关系求、合速度以及渡河时间. 【详解】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误. 设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得. 已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误. 由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得. 将，代入，可得，C选项正确. 河宽米千米，合速度，可得. 将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误. 故选：C. 【举一反三】 1．（24-25高二下·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出合力的坐标，结合平面向量数量积可得到共点力对物体做的功. 【详解】由题意得，共点力的合力为， 对物体做的功为. 故选：B. 2．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意判断船的实际速度垂直于河的正对岸，根据向量的加法结合勾股定理即可求得答案. 【详解】由题意可知要使船从A出发到河的正对岸B处， 需满足船的实际速度垂直于河的正对岸，如图： 即船速的方向偏向水的上游方向，船速和水速的和即为垂直于对岸， 故船行驶速度的大小为， 故选：D 3．（23-24高一下·宁夏银川·月考）一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B．26 C．8 D．18 【答案】A 【分析】根据数量积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 所以，所以对该物体所做的功为. 故选：A 题型二：用向量解决夹角问题 【例2】．（23-24高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为______________ 【答案】/ 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则，则，又，所以.故答案为：. 【举一反三】 1．（22-23高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则______．    【答案】 【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果. 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 2．（2023·广东广州·三模）在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为________. 【答案】 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解. 【详解】由已知得即为向量与的夹角. 因为M、N分别是，边上的中点，所以，. 又因为，所以 , , , 所以. 故答案为： 3．（2023·全国·模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为______． 【答案】-1 【分析】先根据向量模长相关不等式得到，解出，设，，夹角为，将两边平方，得到，结合，求出，得到答案. 【详解】，故， 因为，所以，又， 所以，解得：， 不妨设，，夹角为，则， 两边平方得：， 即，解得：， 因为，所以， 故，夹角的余弦的最小值为-1. 故答案为：-1 题型三：用向量解决线段的长度问题 【例3】．（23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 【答案】 【分析】以为基底，表示出和，根据，可求的值，再求即可. 【详解】设，，则，． 因为， 所以．所以． 又． 所以，即． 故答案为： 2．（22-23高一下·河北石家庄·月考）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为________. 【答案】 【分析】设D为的中点，则，再由向量数量积的运算性质求解即可. 【详解】设D为的中点，则， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 3．（23-24高三上·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过向量线性运算求得，再将用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长，即可求解的长； （2）把视作与夹角，运用平面向量的夹角公式求解.计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值，最后利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【详解】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以， 所以. 题型四：向量与几何最值问题 【例4】．（24-25高一下·上海松江·期末）已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由题可知，表示点的坐标，然后将向量坐标化使用辅助角公式计算判断即可. 【详解】由题可知：A、、是单位圆上的三个点，且，不妨设， 所以，则， 当，即时，有最大值为1，所以. 故答案为： 【举一反三】 1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点在其边上运动，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解. 【详解】过点作于， 所以且，其中, ， 当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为； 当点与点重合时，此时，即，故，取得的最小值为； 的取值范围是． 故答案为：． 2．（24-25高一下·云南昆明·月考）已知中，，点是线段上的动点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质，结合数量积的定义，即可根据的位置求解. 【详解】因为，所以， 即， 因为，且， 所以当分别位于时，此时时，， 当均位于时，最大，最大，， 所以的取值范围为． 故答案为： 3．（24-25高一下·天津·月考）在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是______；设点是线段上的动点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据定比分点以及向量线性运算，利用数量积的运算律计算可得；设，利用向量数量积的运算律并结合二次函数性质即可求得的最小值. 【详解】因为D为BC的三等分点（靠近C点），所以， 可得， 所以 ； 设， 所以， 可得 ； 可知当时，的最小值为. 故答案为：；； 题型五：用向量证明线段垂直问题 【例5】．（23-24高一下·山东德州·月考）如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是线段的中点 【分析】（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； （2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证； （3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解. 【详解】（1）依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以， 所以， 则，即. （3）因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. 【举一反三1】 1．（22-23高一下·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得； （2）以，为基底表示出，结合已知求可证. 【详解】（1），由题意得， 所以． （2）由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． 2．（22-23高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 3．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可； （2）用基底表示两个向量，利用数量积的运算证明即可. 【详解】（1）， ； （2），证明如下： 由（1）知，， 所以， 设，则， 所以，所以，得证. 题型六：平面向量应用的综合问题 【例6】．（24-25高一下·广东茂名·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先由题意求出，再由题意结合以及模长公式和数量积运算律即可计算求解； （2）分别设求得和，利用向量共线的推论求出即可求解； （3）先求出，接着设得，将其代入结合一元二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由题， . （2）设·， 因为三点共线，所以， 所以； 设， 因为三点共线，所以， 所以. （3）由题， 所以， 所以， 所以当时，取得最大值13. 【举一反三】 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，点P，Q分别是矩形的边，上的两点，，. (1)若，，，求的范围； (2)若，求的最小值； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）借助向量的线性运算及数量积公式计算即可得； （2）建立平面直角坐标系后借助三角函数与基本不等式计算即可得 【详解】（1）由，，故，， 则， ， 由，故； （2）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，    设，， 则，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为. 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线于不同的两点M，N．    (1)设，试用表示； (2)求的值； (3)设，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. 故 （3）由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 由于 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 3．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据已知向量关系得四边形是平行四边形，为等边三角形，即可确定四边形形状. 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用合力求出，再利用向量夹角公式可得答案. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏镇江·期中）已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】若是的中点，易得，即，再应用向量数量积的运算律和定义可得，即，即可确定三角形性状. 【详解】若是的中点，则，故， 所以，显然为等腰三角形，即， 由，可得， 又，故，故为等边三角形. 故选：A    4．（24-25高一下·广东梅州·期末）如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立适当的平面直角坐标系，求出，结合计算即可. 【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 而，从而， 所以. 故选：A. 5．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 6．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据八边形的结构特征首先求出在方向上的投影的取值范围，然后可求得的范围. 【详解】因为每个三角形的顶角为的模为4，根据正八边形的特征， 所以， 所以如图所示，在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是. 故选：D．    7．（24-25高一下·辽宁·期中）如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，易知，，， 过点作于点，则四边形为矩形， 则， 又， 所以， 即的最大值为， 故选：C. 二、多选题 8．（24-25高一下·广东东莞·期中）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 【答案】AC 【分析】根据向量的平行四边形法则，由可知平行四边形法则为菱形，再逐一可验证求解. 【详解】 因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确； 根据向量加法的平行四边形法则越小越省力，越大越费力，故B错误； 当时，，又，所以为等边三角形，即，故C正确； 若，则，与矛盾，所以，故D错误； 故选：AC. 9．（23-24高一下·山东菏泽·月考）下列说法中正确的有（    ） A．与垂直的单位向量为 B．平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，则大小为 C．若非零向量，满足，则与的夹角是 D．已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】对于A：根据向量的坐标运算分析求解即可；对于B：可知，利用数量积和模长关系运算求解；对于C：根据模长关系可得，进而结合夹角公式运算求解；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：设与垂直的单位向量的坐标为， 则，解得或，故A错误； 对于选项B：由题意得， 所以，故B正确； 对于选项C：若非零向量，满足， 则，即， 可得， 又因为， 可知与的夹角的余弦值为， 且，所以与的夹角是，故C正确； 对于选项D：当时，与平行，不满足与夹角为锐角， 所以若与夹角为锐角，则的取值范围不包含0，故D错误. 故选：BC. 10．（24-25高一上·浙江湖州·月考）如图，平行四边形中，为的中点，交于，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据投影向量、向量线性运算、向量数量积、向量的模等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】在平行四边形中，，，，所以，则，所以， 所以在方向上的投影向量为，所以A正确； 因为，为中点，所以，则，故，，所以，所以B正确； ，所以C错误；，所以D错误. 故选：AB 11．（23-24高一下·福建厦门·期中）在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．存在t，使得 D．的最小值为2 【答案】BC 【分析】根据给定的正方形及其边长建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示逐项分析计算判断即可. 【详解】由题可以A为原点，AB、AD分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则由题意，故， 对于A，当时，则由可知， 所以，又， 故，故A正确； 对于B，当时，则由可知， 所以，， 所以， 故B错误； 对于C，由可得，故，， 则， 故不存在t，使得，故C错误； 对于D，由C得， 故， 又，故当时，取得最小值为，故D正确. 故选：BC. 12．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，由两边平方，并求出，即可求解；对于B，设，可得，根据三点共线的性质即可求解；对于C，根据为靠近的四等分点，为靠近的三等分点，可得，求即可；对于D，由，化简可得答案. 【详解】因为中，， 对于A，由题可得，因为为的中点，为的中点，所以，则 所以，故A正确； 对于B，由，设，所以， 因为，，三点共线，则，解得，则，所以，故B正确； 对于C，由于，所以为靠近的四等分点，由于，所以为靠近的三等分点，故 由于，，所以， 则， 所以，故C不正确； 对于D, ，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 13．（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________. 【答案】13 【分析】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可. 【详解】已知共点力， 则合力为， 又已知位移为， 所以合力对物体所做的功. 故答案为：13 14．（24-25高一下·广东深圳·月考）已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是______. 【答案】 【分析】由题设，取，结合平面向量基本定理，可得为等腰直角三角形，再建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算，结合二次函数配方法求得最值即可． 【详解】取，连接，如图所示， 则， 设，则B，D，E三点共线， 由，可知当时，有最小值， 故，即为等腰直角三角形， 以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，设，， 则，， 故， 故当时，可得的最小值是 故答案为： 15．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知，对于任意的实数，都有恒成立，则的最小值是________. 【答案】 【分析】利用数量积的运算律，系结合恒成立的不等式求得，再利用数量积的运算律求得，然后利用向量的三角不等式求出最小值. 【详解】由，得，而， 则，依题意，对任意的实数，恒成立， 因此，则， 又， 则 ，当且仅当与反向时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 16．（24-25高一下·天津·期中）在中，且的最小值为3，则__________，若点分别为线段与线段上的动点，且线段交中线于的面积为面积的一半，则的取值范围是__________. 【答案】 / 【分析】①令，，的中点为Q，则，求得，即可得②利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可. 【详解】①令，， 则， 即， 所以，即点在直线上. 设的中点为Q，因为，所以 因为，， ∴ 所以 ②设，由向量共线的充要条件不妨设 则 又 则，即， 又的面积为面积的一半，得,∴ 所以，. 由①得， . 解得，∴ 所以. 故答案为：①；②. 四、解答题 17．（25-26高一下·全国·课后作业）如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为． (1)若，，，求，的大小； (2)若，求与的余弦值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，由平面向量的数量积运算法则，结合题意可得，解三角形即可求得，的大小； （2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据锐角三角函数，即可求得与的余弦值． 【详解】（1）因为质点在，，的作用下保持平衡， 所以，所以， 又，，所以与的夹角为，所以， ， 因为，所以． 如图．易得， 所以， ． （2）因为，且质点处于平衡状态， 所以以为边长的三角形为直角三角形，如图所示， 则，， 所以， ． 18（24-25高一下·陕西西安·月考）如图，在直角中，点为斜边的靠近点的三等分点，点为的中点，，． (1)用，表示和； (2)求向量与夹角的正弦值． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）以A为原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，根据平面向量基本定理列方程求解即可 （2）由（1）的结论，用数量积的坐标形式求出余弦，根据同角三角函数关系求出正弦即可． 【详解】（1）以A为原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，． ，，，， 设，则，解得，，， 设，则，解得，，． （2）由（1）知，，． ，． 故，． 故向量与夹角的正弦值为． 19．（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在中，，分别是，的中点，，，． (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线； (3)若，，，求的值． 【详解】（1）， ; （2）证明：, , 故共线，又两向量有公共点,故，，三点共线 （3） 20．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【详解】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又，. （2）如图，取的中点，连接，，由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以，当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：.所以的最大值为8. 21．（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由可得， 又，由三角函数的定义可得， 即， 因为为圆弧的中点，所以,又， 则， 所以，，， 由可得， 即，解得. （2）设，则，所以， 由可得， 可得，解得， 所以， 因为，所以， 当时，即时，取得最大值，此时的最大值为， 当或时，即或时，取得最小值， 此时的最小值为， 所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5节：向量的应用 【考点梳理】 【知识梳理】 知识一　向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 知识二　向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 技巧(1)：用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. 技巧(2)：用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 【题型归纳】 题型一：向量在物理中的应用 【例1】．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【举一反三】 1．（24-25高二下·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南曲靖）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·宁夏银川·月考）一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B．26 C．8 D．18 题型二：用向量解决夹角问题 【例2】．（23-24高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为______________ 【举一反三】 1．（22-23高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则______．    2．（2023·广东广州·三模）在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为________. 3．（2023·全国·模拟预测）已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为______． 题型三：用向量解决线段的长度问题 【例3】．（23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，已知，，对角线．则对角线的长为________． 2．（22-23高一下·河北石家庄·月考）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为________. 3．（23-24高三上·河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 题型四：向量与几何最值问题 【例4】．（24-25高一下·上海松江·期末）已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为______． 【举一反三】 1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点在其边上运动，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是__________. 2．（24-25高一下·云南昆明·月考）已知中，，点是线段上的动点，则的取值范围是__________． 3．（24-25高一下·天津·月考）在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是______；设点是线段上的动点，则的最小值为______. 题型五：用向量证明线段垂直问题 【例5】．（23-24高一下·山东德州·月考）如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【举一反三1】 1．（22-23高一下·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 2．（22-23高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 3．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 题型六：平面向量应用的综合问题 【例6】．（24-25高一下·广东茂名·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 【举一反三】 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，点P，Q分别是矩形的边，上的两点，，. (1)若，，，求的范围； (2)若，求的最小值； 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线于不同的两点M，N．    (1)设，试用表示； (2)求的值； (3)设，求的最小值． 3．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏镇江·期中）已知中，，则此三角形为（    ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25高一下·广东梅州·期末）如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 6．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ）      A．B． C． D． 7．（24-25高一下·辽宁·期中）如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一下·广东东莞·期中）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 9．（23-24高一下·山东菏泽·月考）下列说法中正确的有（    ） A．与垂直的单位向量为 B．平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，则大小为 C．若非零向量，满足，则与的夹角是 D．已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是 10．（24-25高一上·浙江湖州·月考）如图，平行四边形中，为的中点，交于，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B． C． D． 11．（23-24高一下·福建厦门·期中）在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．存在t，使得 D．的最小值为2 12．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 三、填空题 13．（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________. 14．（24-25高一下·广东深圳·月考）已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是______. 15．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知，对于任意的实数，都有恒成立，则的最小值是________. 16．（24-25高一下·天津·期中）在中，且的最小值为3，则__________，若点分别为线段与线段上的动点，且线段交中线于的面积为面积的一半，则的取值范围是__________. 四、解答题 17．（25-26高一下·全国·课后作业）如图．在同一平面内，一个质点O受三个力，，的作用保持平衡，其中与的夹角为，与的夹角为． (1)若，，，求，的大小； (2)若，求与的余弦值． 18（24-25高一下·陕西西安·月考）如图，在直角中，点为斜边的靠近点的三等分点，点为的中点，，． (1)用，表示和； (2)求向量与夹角的正弦值． 19．（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在中，，分别是，的中点，，，． (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线； (3)若，，，求的值． 20．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 21．（24-25高一下·上海·期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；    (1)若为圆弧的中点，求和的值； (2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $