专题26.1&26.2反比例函数及性质 优等生讲义 (15考点+压轴+练习)2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册

本讲义聚焦反比例函数及性质，系统梳理概念（三种等价形式、自变量范围）、图象性质（双曲线象限分布、增减性、对称性）、k的几何意义，以及与一次函数、几何图形的综合应用，构建从基础到综合的完整学习支架。 资料以思维导图总览知识结构，15大考点分类精讲含方法总结与易错点提示，创新压轴题结合“倍根方程”“和谐三数组”等新情境，培养抽象能力、推理意识与应用意识。课中助力教师系统授课，课后通过分层练习与检测帮助学生巩固，查漏补缺。

专题26.1&26.2 反比例函数及性质 优等生讲义 (15大考点精讲+创新压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解反比例函数的概念，掌握其一般形式(k≠0)，能根据实际问题列出反比例关系； · 掌握反比例函数的图象与性质，能根据k的符号确定图象所在象限、增减性及对称性； · 熟练运用待定系数法求反比例函数解析式，能根据图象上的点求函数值或自变量的值； · 理解反比例函数k的几何意义，能利用面积关系解决相关问题； · 掌握反比例函数与一次函数、几何图形的综合应用，体会数形结合、分类讨论的思想。 知识梳理 · 核心概念与性质 ☆反比例函数定义 · 一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。 · 三种等价形式： 2. （分式形式） 2. （负指数形式） 2. （乘积形式） · 自变量取值范围：x≠0的一切实数，函数值y≠0。 ☆图象与性质 · 图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点成中心对称，且关于直线y=x和y=-x轴对称。 · 两支曲线无限接近坐标轴但永不相交（坐标轴是渐近线）。 · k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小。 · k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。 · 注意：谈论增减性时必须强调“在每个象限内”，跨象限不能直接比较。 ☆k的几何意义 · 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|。 · 若连接该点与原点，则与坐标轴围成的直角三角形面积为|k|2。 · 这个性质常被用于求k的值或比较面积大小。 ☆反比例函数与一次函数综合 · 求交点：联立两个函数解析式，解方程组得到交点坐标。若一次函数为，则交点的横坐标满足，转化为一元二次方程求解。 · 利用图象解不等式：在平面直角坐标系中，比较两个函数图象的上下位置，从而确定自变量的取值范围。 · 对称性：正比例函数与反比例函数如果有两个交点，则这两个交点关于原点对称。 ☆反比例函数与几何综合 · 常结合三角形、矩形、梯形等图形，利用点坐标表示线段长，建立方程求解。 · 涉及面积时，通常利用k的几何意义或割补法。 · 等腰三角形、直角三角形、平行四边形等存在性问题的处理：设出关键点坐标（注意点在曲线上），根据几何性质（如边相等、垂直、中点等）列方程求解，注意分类讨论。 核心考点 · 15类题型方法精讲 【考点1】用反比例函数描述数量关系 ❤方法总结 · 两个变量x,y成反比例 ⇔ 它们的乘积为定值，即(k≠0)。 · 常见实际背景：路程一定时速度与时间；总价一定时单价与数量；面积一定时底与高；矩形面积一定时长与宽等。 · 解题步骤：①找出题中的两个变量；②判断它们的乘积是否保持不变；③写出关系式，注意自变量的实际意义（如长度、时间等通常为正数）。 · 易错点：混淆正比例与反比例，注意“积定”为反比，“商定”为正比。 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系． 【详解】解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系,故A错误； B、等边三角形的面积与它的边长不成反比例关系；故B错误； C、货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x成反比例关系；故C正确； D、长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b不成反比例关系；故D错误. 故选：C 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查反比例关系的量．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵人的身高与年龄不一定有关系，即身高与年龄不成反比例，故A不符合题意， ∵三角形面积一定时，底边与其高乘积为定值，符合反比例关系，故B符合题意， ∵购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用之和为定值，它们的乘积不为定值，故C不符合题意， ∵小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间成正比，故D选项不符合题意， 故选：B． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】此题考查了列反比例函数解析式，根据等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，可以得到，即可得到函数解析式．正确进行计算是解题关键． 【详解】解：等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为， ， 与之间的函数关系式为． 故选：C． 【考点2】根据定义判断是否是反比例函数 ❤方法总结 · 反比例函数有三种等价形式：，，（k≠0）。 · 判断步骤：①看自变量是否在分母上（且分母只能为单独的x，不能是x+1等形式）；②看能否化为的形式；③注意系数k必须为非零常数。 4．（25-26八年级·上海·假期作业）下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【答案】（1）（3）（5）（6）不是反比例函数，（2）（4）是反比例函数，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，关键是牢记反比例函数的三种等价形式：(为常数，，)，，．判断函数是否为反比例函数，需看其能否化为上述形式，且满足、自变量的次数为(或分母为单独的)． （1）分析函数中的次数，判断是否符合反比例函数对次数的要求； （2）利用负整数指数幂的意义将函数转化为标准形式，验证是否符合定义； （3）识别函数为正比例函数形式，对比反比例函数定义进行判断； （4）直接对比反比例函数的标准形式，验证参数是否不为0； （5）观察分母是否为单独的自变量，判断是否符合定义； （6）分析函数的结构，判断是否为纯粹的反比例式形式． 【详解】（1）解：∵反比例函数要求自变量的次数为，而中的次数是，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （2）解：∵，符合反比例函数的形式， ∴是反比例函数； （3）解：∵，是形如的正比例函数，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （4）解：∵符合反比例函数的标准形式， ∴是反比例函数； （5）解：∵该函数的分母是，不是单独的自变量，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （6）解：∵是与常数的和，不是纯粹的的形式，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数． 5．（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 反比例函数的定义是（k为常数），判断各选项是否符合此形式． 【详解】解：∵ 反比例函数的标准形式为， 选项A：，为一次函数，不符合； 选项B：，为正比例函数，不符合； 选项C：，为y与成反比，不符合； 选项D：，符合形式，其中； 故选：D． 6．（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 【考点3】根据反比例函数的定义求参数 ❤方法总结 · 若函数是反比例函数，则自变量指数为-1，且系数不为0。 · 列方程组：求解并检验。 · 注意：若解析式形如，则直接由k≠0确定参数范围。 7．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）反比例函数的图象经过点，则k的值为（      ） A．15 B． C．-15 D．- 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查反比例函数的概念，熟练掌握反比例函数的概念是解题关键． 将点坐标代入反比例函数解析式，直接计算 k 的值． 【详解】∵ 点 在函数  的图象上， ∴ ， ∴ ． 故选C． 8．（24-25八年级上·上海·期中）若是反比例函数，则的值为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了反比例函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握反比例函数的解析式是解题的关键．根据反比例函数的定义可得且，求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， 且， 解得， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）在反比例函数中，比例系数_____________，自变量的取值范围是_____________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】求自变量的取值范围、根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的标准形式确定比例系数，依据分式分母不为0的条件确定自变量的取值范围． 【详解】解：将给定的函数变形为，由此可得比例系数， 由于分式的分母不能为0，所以， 解得， 即自变量的取值范围是． 【考点4】求反比例函数值 ❤方法总结 · 已知反比例函数解析式和自变量x，直接代入求y；已知点坐标，可先求k，再求其他点的函数值。 · 点(a,b)在图象上 ⇔ab=k。 · 技巧：利用函数值的正负可判断点所在的象限。 10．（2025九年级上·上海·专题练习）已知点，在反比例函数y＝的图象上，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入函数解析式求出常数，再代入点求解． 【详解】解：点在反比例函数y＝的图象上， ， 解得：， 反比例函数的解析式是， 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海·单元测试）下列点不在y= 的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数值 【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征分别对各个选项进行判断即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 【详解】解：A、当时，， 点，在的图象上； B、当时，， 点，在的图象上； C、当时，，无意义， 点不在的图象上； D、当时，， 点在的图象上； 故选：C． 12．（23-24九年级下·上海·月考）将反比例函数的图象向左平移2个单位长度后，所得的图象与y轴的交点坐标为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象．根据题意可得点在反比例函数的图象上，即可求解． 【详解】解：当时，， 即点在反比例函数的图象上， ∴将反比例函数的图象向左平移2个单位长度后，所得图象过点， 即所得的图象与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 【考点5】由反比例函数值求自变量 ❤方法总结 · 已知函数值y，代入解析式，得到关于x的分式方程，解方程即可。 · 注意自变量的取值范围（通常x≠0），检验是否产生增根。 · 易错点：忽略分母不为零，或解出x=0未舍去。 13．（24-25九年级下·上海·月考）将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数图像与x轴的交点坐标是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查反比例函数图象的平移问题，先根据平移方式求出平移后解析式，求出时对应的x的值即可． 【详解】解：将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数的解析式为：， 令， 解得， 所得函数图像与x轴的交点坐标是， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如果点P在反比例函数的图象上，那么m的值是________． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标符合函数的解析式．将点P代入反比例函数，即可求出m的值． 【详解】解：∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：3． 15．（24-25八年级上·上海杨浦·月考）在反比例函数的图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为，且以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点、、、、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则_______，_____________________． 【答案】 5 【难度】0.85 【知识点】点坐标规律探索、由反比例函数值求自变量 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，由已知条件横坐标成等差数列，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，即可求出，，，进而求出． 【详解】解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、， ∴， ， ， ∴ ． 故答案为：；． 【考点6】判断(画)反比例函数图象 ❤方法总结 · 图象是双曲线，关于原点对称，不与坐标轴相交。 · k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限；k<0时，位于第二、四象限。 · 画图步骤：列表（取若干互为相反数的x，如x=±1,±2,±3）、描点、连线，注意图象无限接近坐标轴但不相交（要体现渐近线）。 · 易错点：画图时两支曲线不能连在一起，且不能与坐标轴相交。 16．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正比例函数的性质、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的性质，由正比例函数中，如果随增大而增大，可得，得到反比例函数过一、三象限，据此判断即可． 【详解】解：∵正比例函数中，如果随增大而增大， ∴，图象过一、三象限， ∴反比例函数在一三象限， 故选：A． 17．（2024·重庆·二模）函数 的图象一定不经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象上的点的坐标一定满足其对应的函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数图象上的点的坐标一定满足其对应的函数解析式， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积一定为3， ∴四个选项中只有C选项不符合题意． 故选：C． 18．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的图象、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查反比例函数的图象、正比例函数的图象，根据得到反比例函数的图象、正比例函数的图象所在的象限即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数的图象经过第二、四象限，函数的图象位于第二、四象限， 故选项C中图像符合题意， 故选：C． 19．（23-24八年级上·上海静安·期末）函数的图像经过的象限是______． 【答案】二、四 【难度】0.85 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， 函数的图像经过的象限是二、四， 故答案为：二、四． 【考点7】已知反比例函数的图象，判断其解析式 ❤方法总结 · 若图象经过某点(a,b)，则代入解析式得。 · 有时需结合图象的对称性或与其他函数（如正比例函数）的交点求k。 · 技巧：若图象在第一、三象限，则k>0；若在第二、四象限，则k<0。 20．（24-25八年级上·上海闵行·月考）已知函数的图像经过点，那么k的值是____________． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】根据反比例函数的定义，，将点代入即可求得k的值． 【详解】解：依题意： 把代入得： 解得： 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像上的点的坐标特征，熟练掌握图像上的坐标与解析式的关系是解答的关键． 21．（24-25九年级下·全国·课后作业）把下列函数的解析式与其图象对应起来． （1）；（2）；（3）；（4）． A．   B．   C．   D． 【答案】（1）B；（2）A；（3）C；（4）D 【难度】0.65 【知识点】判断（画）反比例函数图象、已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】根据反比例函数的选择即可得到结论． 【详解】解：（1）的图象在一，三象限，对应着图象B； （2）的图象关于y轴对称，且函数值为正，在x轴上方，对应着图象A； （3）的图象在二，四象限，对应着图象C； （4）的图象关于y轴对称，且函数值为负，在x轴方下方，对应着图象D． 【点睛】本题考查了反比例函数的选择，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 22．（25-26九年级上·江西吉安·期末）（1）解一元二次方程：； （2）若反比例函数的图象经过点和，求的值． 【答案】（1），；（2） 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程、已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查解一元二次方程和反比例函数，正确掌握一元二次方程的解法和反比例函数是解题的关键． （1）根据因式分解法求解即可； （2）把点和的横纵坐标代入，可得，，得，化简即可求解． 【详解】（1）解： ， 则，； （2）解：因为反比例函数的图象经过点和， 所以，，则， 所以，即，所以． 23．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）为迎接农历马年的到来，提前点燃节日消费热度，各平台推出年终促销让利活动．某商家出售一款零食，在销售过程中，该商家发现这款零食的日销售量（单位：kg）与日销售单价（单位：元）之间成反比例函数关系，其函数图象如图所示，点在该反比例函数图象上． (1)求与之间的函数表达式（不必写的取值范围）； (2)当日销售单价为元时，对应的日销售量为_______； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值. ()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为 故答案为：； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵，∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 【考点8】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ❤方法总结 · 反比例函数的图象关于原点对称。 · 若点(a,b)在图象上，则点(-a,-b)也在图象上。 · 利用此性质可求另一交点的坐标，或解决与正比例函数交点的问题（正比例函数也关于原点对称）。 · 应用：若正比例函数与反比例函数相交于两点，则这两点关于原点对称。 24．（23-24九年级下·上海·月考）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的图象、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了正比例函数图象、反比例函数图象的对称性，熟记才能灵活运用．根据反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称， 另一个交点的坐标与点关于原点对称， 即该点的坐标为． 故答案为：． 25．（25-26九年级上·山东滨州·期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是关键．本题利用反比例函数的图象与性质，逐一验证各选项即可． 【详解】解：对于A，将代入，得，所以A选项错误，不符合题意； 对于B，因为，所以函数图象的两个分支分布在第一、三象限，所以选项B错误，不符合题意； 对于C，反比例函数的两个分支关于原点中心对称，不关于x轴对称，所以选项C错误，不符合题意； 对于D，由于，当时，图象位于第三象限，y随x的增大而减小，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 26．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、已知比例系数求特殊图形的面积、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的性质的综合应用．根据反比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数图象的两个分支在第二、四象限， ∴，A正确； 由函数图象可知，在每个象限内，值随值的增大而增大，B正确； 根据反比例函数的对称性可知，若点的坐标为，则点的坐标为，C正确； 根据反比例函数k的几何意义可知，，D错误； 故选：D． 27．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键．由题意可得点、关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解． 【详解】解：双曲线与直线相交于，两点， 点、关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选：A． 【考点9】已知双曲线分布的象限，求参数范围 ❤方法总结 · 根据图象所在象限确定k的符号：一、三象限 →k>0；二、四象限 →k<0。 · 若解析式为 ，则根据图象所在象限得m-2>0或m-2<0，解不等式即可。 · 注意：若题目说“图像的一支在第三象限”，则整体仍在二、四象限或一、三象限，需结合另一支判断。 28．（24-25八年级上·上海·月考）已知反比例函数的图像在第二、四象限，那么的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】反比例函数的图像在第二、四象限，得到，解答即可． 本题考查了图像分布与比例系数k的关系，熟练掌握这个关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 29．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，求不等式的解集，掌握反比例函数图象经过的象限确定反比例系数的符号是解题的关键． 根据反比例函数的图象分布在第二、四象限，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得，． 故选：D ． 30．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）反比例函数的图象在第一、三象限，那么______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，二次根式的性质化简．先根据反比例函数的性质得出，可知，再根据即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴，即：， 则， 故答案为：． 31．（24-25八年级上·上海·期中）若图像的一支位于第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的性质是本题的关键．由反比例函数的图像的一支位于第三象限，可得，即可求解． 【详解】解： 图像的一支位于第三象限， ， 解得：， 故答案为：． 【考点10】判断反比例函数的增减性 ❤方法总结 · 当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小。 · 当k<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大。 · 注意：必须强调“在每个象限内”，跨象限不具备增减性。例如，不能直接说“当k>0时，y随x增大而减小”，因为从第三象限到第一象限，y反而增大。 · 易错点：忽略象限限制，错误地比较不同象限的点的大小。 32．（25-26九年级上·上海宝山·月考）已知反比例函数，那么y值随x值的增大而______（从“增大”或“减小”中选择）． 【答案】减小 【难度】0.94 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了判断反比例函数的增减性，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据反比例函数的比例系数的符号确定其增减性求解． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象在第一象限，在每一象限内y值随x值的增大而减小， 故答案为：减小． 33．（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、用描点法画函数图象 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质、描点法等知识点，掌握相关知识是解答本题的关键． 根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A、B选项错误，不符合题意； 图像不经过第二象限，经过第四象限， 故C正确，符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：C． 34．（24-25八年级上·上海长宁·期末）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（    ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值y随x的增大而增大 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 分别根据反比例函数图象上点的坐标特征、函数图象所在象限、自变量取值范围内函数值的范围以及函数的增减性来判断各选项． 【详解】解：解：A、当时，，故点在函数图象上，选项说法正确，不符合题意； B、，故反比例函数图象在第二，四象限，选项说法正确，不符合题意； C、当时，，选项说法正确，不符合题意； D、在每个象限内，函数值随的增大而增大，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 35．（24-25八年级上·上海普陀·期末）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据的符号，结合反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，比例系数为，故选项B错误，不符合题意； ∴图象在第二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 在每一个象限内，随着的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； 如果点和点在该函数的图象上，那么；故选项D正确，符合题意； 故选D． 【考点11】判断反比例函数图象所在象限 ❤方法总结 · 直接由k的符号决定：k>0→ 一、三象限；k<0→ 二、四象限。 · 若函数形如 ，则，按上述规则判断。 · 快速判断：取一个正的x，看y的正负，若y>0则图象经过一、三；若y<0则经过二、四。 36．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）矩形面积为20，则长y与宽x的函数关系图象是（     ） A．第一象限的双曲线 B．第一象限的直线 C．第二象限的双曲线 D．全体象限的直线 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、求反比例函数解析式 【分析】根据矩形面积公式得出y与x的反比例关系，再结合反比例函数的图象性质判断即可． 【详解】解：∵ 矩形面积=长×宽， ∴ ， 此为反比例函数，图象为双曲线． 又∵ （长和宽均为正数）， ∴ 函数图象仅位于第一象限． 故选：A． 37．（2023·上海普陀·一模）已知反比例函数的图象在第一、三象限，如果，那么____（填“”、“ ”或“ “ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数性质，根据题意得，再根据反比例函数的增减性即可求解，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴在每个象限中，y随着x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 38．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知一个函数具有以下条件：它的图像经过第四象限；当时，随的增大而增大；函数的图像关于原点成中心对称．请写出一个符合上述条件的函数表达式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数解析式、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了利用已知条件写解析式，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据已知条件可以确定此函数的解析式一般形式，再分析得出符合要求的解析式，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得符合上述条件的函数表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 39．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图像经过点 C．图像关于直线对称 D．图像位于第二、四象限 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】考查反比例函数的性质，当时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．通过反比例图象上的点的坐标特征，可对B选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【详解】解：由反比例函数的性质，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故A是不正确的，符合题意； 由点的坐标满足反比例函数，故B是正确的，不符合题意； 由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数的图象关于对称是正确的，故C是正确的，不符合题意； 由，双曲线位于二、四象限，故D是正确的，不符合题意； 故选：A． 【考点12】已知反比例函数的增减性求参数 ❤方法总结 · 由增减性确定k的符号，从而得到参数的不等式。 · 例如：若在每个象限内y随x增大而增大，则k<0；若增大而减小，则k>0。 · 结合点坐标给出的条件（如 时 ），可判断所在象限及k的符号。 40．（25-26九年级上·上海·月考）已知反比例函数图像经过、，如果，，那么_______0．（填“”或“”） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查的是反比例函数性质，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键．先根据，判断出点、都在第二象限，且y随x的增大而增大，再根据反比例函数性质即可得出结论． 【详解】解：反比例函数图像经过、，且，， ∴点、都在第二象限，且y随x的增大而增大， ∴， 故答案为：． 41．（24-25八年级上·上海·月考）已知是双曲线上的两点，当时，有，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的概念及增减性，解题的关键是根据函数在特定区间内的增减趋势判断比例系数的符号． 根据反比例函数，当时，y随x的增大而增大即可解题． 【详解】：∵当时，有，即y随x的减小而减小， ∴函数图像在第二、四象限，且反比例函数系数， ∴． 故选：D． 42．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是_______．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据增减性可知该反比例函数的比例系数大于0，据此可得答案． 【详解】解：∵一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小， ∴该反比例函数的比例系数大于0， ∴符合题意的反比例函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 43．（2025·上海杨浦·二模）如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，结合题意得出当时，反比例函数中y随x的增大而增大，得到，计算求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像上有两点、， 当时，有， ∴当时，反比例函数中y随x的增大而增大， ∴ 得， 故选：D． 【考点13】比较反比例函数值或自变量的大小 ❤方法总结 · 先判断点是否在同一象限，若在同一象限，可利用增减性比较；若不在同一象限，根据函数值的正负直接判断（第一、三象限函数值同号，第二、四象限函数值同号）。 · 常见技巧：代入具体值计算比较；或利用进行转化，如，则y的大小与x反相关（同象限内）。 · 易错点：不能直接认为y随x增大而增大（或减小）就随意比较，必须确保两点在同一象限。 44．（24-25八年级上·上海·期末）若是反比例函数图象上的两点，则____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 根据反比例函数性质，当时，在区间内，y随x增大而减小． 【详解】解：反比例函数中，，在时，y随x增大而减小． ∵点的横坐标满足， ∴． 故答案为：． 45．（2025·上海静安·二模）已知点、在双曲线上，如果，那么______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 46．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）若，是一次函数的图象上的不同的两点，如果，那么__________0．(填“>”，“=”“﹤”) 【答案】> 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，结合 即 ，可得出 即)． 【详解】解：， 随的增大而增大， 又 ，是一次函数图象上的不同的两点，， ， ， ． 故答案为：． 47．（2025·上海·二模）如果反比例函数（k是常数）的图像经过点，，那么和的大小关系是：______．填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用反比例函数的性质是解决本题的关键． 根据反比例函数的性质即可判定． 【详解】解：在反比例函数中， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 48．（24-25八年级上·上海闵行·月考）已知反比例函数的图象上有两点、，当时，，那么的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】当时，有，可知随的增大而增大，由此可知图象经过第四象限，本题主要考查根据函数值的大小判断反比例函数图形的位置，掌握根据反比例系数判断反比函数图形的位置是解题的关键． 由此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象上有两点、，当时，， ∴当时，， ∴当时，随的增大而增大，反比例函数图象经过第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点14】求反比例函数解析式 ❤方法总结 · 待定系数法：设解析式为，代入已知点坐标求出k。 · 若已知y与x成反比例，直接设；若已知y与成反比例，则设。 · 注意：若题目给出的是变量之间的反比例关系，要准确设出形式，例如y与 成反比例，则设 。 49．（25-26八年级·上海·假期作业）已知是的反比例函数，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查反比例函数的解析式确定及代入求值，核心是利用待定系数法求反比例函数表达式，再根据函数与自变量的对应关系进行计算． （1）利用待定系数法，设出反比例函数的一般形式，代入已知的、值求出比例系数，即可得到函数表达式； （2）将代入已求出的反比例函数表达式，计算得到对应的值； （3）将代入反比例函数表达式，通过解方程求出对应的值． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， ∵当时，， ∴将，代入表达式得， 解得， ∴关于的函数表达式为； （2）解：将代入， 得； （3）解：将代入， 得，解得． 50．（24-25八年级上·上海·期末）正比例函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，解题关键是掌握待定系数法求解函数解析式． 依据题意，将A代入，求出a，再通过待定系数法可以得解． 【详解】解：将代入得， ∴点A坐标为． 将代入得， ∴反比例函数解析式为． 51．（25-26八年级上·上海·期中）已知与成正比例，与成反比例．当时，的值都为6，请写出关于的函数解析式． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求反比例函数解析式、正比例函数的定义 【分析】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设（），（）， ∴， ∵当时，，当时，， ∴， ∴， ∴关于的函数解析式为． 52．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出和的交点D的坐标，并根据图像法观察，直接写出当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)，或 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键求出函数解析式，利用数形结合的思想， （1）在中，，，再用待定系数法即可求解； （2）求出点D坐标，观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， 故点A、B的坐标分别为、， 将点A、B的坐标代入直线的表达式得，， 解得：， 故直线的表达式为； 当时，， 点C的坐标为， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得， 解得：， 故反比例函数的解析式； （2）解：直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D， 联立， 解得：或 ， 点C在第一象限，点D在第三象限， 点D坐标为， 观察图象知，当时，x的取值范围是或． 【考点15】创新及压轴题 ❤方法总结 · 综合运用反比例函数的性质，结合新定义、几何图形（三角形、矩形、相似）、方程不等式等。 · 常用方法：①设点坐标（利用点在曲线上），建立等量关系；②利用k的几何意义（面积关系）；③利用对称性简化计算；④分类讨论等腰、直角、平行四边形等存在性问题。 · 典型思路：遇到与面积有关的问题，常考虑k的几何意义：过双曲线上任一点作坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|，三角形面积等于 · 注意：综合题往往需要结合一次函数、方程、不等式等知识，要灵活运用数形结合思想。 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于的方程是“倍根方程”． 【答案】(1)是“倍根方程”．理由见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求反比例函数值 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． （1）解一元二次方程后，根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）通过转化一元二次方程，求解，再根据“倍根方程”的定义判断即可． 【详解】（1）解：是“倍根方程”． 理由：解方程，得，． 根据“倍根方程”的定义知，一元二次方程是“倍根方程”． （2）解：点在双曲线上， ，，且， 方程化为方程， 分解因式，得， 解得，， 方程是“倍根方程”． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）阅读以下材料： 材料一：若三个非零实数满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数构成“和谐三数组”． 材料二：若关于的一元二次方程的两根分别为，则有 问题解决： (1)下列四组数中能构成“和谐三数组”的有___________（填序号）； ①1，2，3；②；③；④． (2)若是关于的方程（a，b，c均不为0）的两根，是关于的方程（b，c均不为0）的解．求证：可以构成“和谐三数组”； (3)若三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数的值． 【答案】(1)②③④ (2)见解析 (3)或或． 【难度】0.65 【知识点】倒数、求反比例函数值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据“和谐三数组”的定义进行判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可； （3）先求出三点的纵坐标，然后由“和谐三数组”可得之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果． 【详解】（1）解：∵1，2，3的倒数分别为， ∴1，2，3不是“和谐三数组”； ∵的倒数分别为 ， ∴是“和谐三数组”； ③∵的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，， ∴是“和谐三数组”； ④∵的倒数为，的倒数为，的倒数为，． ∴是“和谐三数组”． 故答案为：②③④； （2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， ∴，， ∴， ∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解， ∴，∴， ∴=， ∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）解：∵三个点均在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”， ∴或或， 即或或， 解得：或或． 3．（21-22八年级上·上海·期末）参照反比例函数研究的内容与方法，研究下列函数： (1)研究函数：①画出它的图像；②它的图像是什么图形？可看作怎样的图形经过怎样的平移得到？③说明它所具有的性质． (2)研究函数的图像与性质； (3)由（1）（2）的图像经过平移，你还能得出怎样的函数图像与性质，请举例说明； (4)研究函数的图像与性质． 【答案】(1)①见解析；②双曲线，向上平移1个单位得到；③见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)见解析 【难度】0.85 【知识点】用描点法画函数图象、判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数的增减性 【分析】（1）①利用描点法画出函数图像，即可求解；②观察图像，可得它的图像是双曲线，可看作双曲线向上平移1个单位得到；③观察图像，即可求解； （2）根据题意可得函数的图像是双曲线，可看作是双曲线向左平移3个单位得到，即可求解； （3）根据题意可得，即可求解； （4）根据题意可得函数=，即可求解． 【详解】（1）解∶ ①列表如下∶ x …… -2 -1 1 2 …… y …… 0.5 0 -1 -2 4 3 2 1.5 …… 画出图象，如下： ②它的图像是双曲线，可看作双曲线向上平移1个单位得到； ③图像的两个分支在y轴两侧，在每一侧，y随x的增大而减小；图像的两支都无限接近于直线y=1和x=0，但不会与它们相交； （2）解：函数的图像是双曲线，可看作是双曲线向左平移3个单位得到；图像的两个分支在直线x=-3的两侧，在每一侧y随x的增大而减小，图像的两支都无限接近于直线y=0和x=-3，但不会与它们相交； （3）解：； （4）解：函数==，它的图像是双曲线，可看作双曲线向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到； 图像的两个分支在直线x=2的两侧，在每一侧y随x的增大而减小，图像的两支都无限接近于直线y=4和x=2，但不会与它们相交． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数的图形和性质，利用类比思想和数形结合思想解答是解题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知反比例函数图象经过一、三象限． (1)若函数过点，求当时的函数值y， (2)若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系，并说明理由； (3)设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是，求x为何值时， ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)8 【难度】0.65 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、比较反比例函数值或自变量的大小、求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】（1）把代入解得，得到，把代入得到函数值； （2）由反比例函数图象经过一、三象限，则，在每个象限内，y随着x的增大而减小，可判断出点，是第一象限内的点，则，，，即可得到，，，则； （3）由反比例函数图象经过一、三象限．得到，在每个象限内，y随着x的增大而减小，则反比例函数位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，根据已知条件得到当时，；当时，，则，，得到，解得：（不合题意，舍去）或，得到，则，，由得到，即可求得x的值； 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， 当时，， 即当时的函数值； （2），理由如下： ∵反比例函数图象经过一、三象限． ∴，在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∵点，是反比例函数图象上的两点， ∴点，是第一象限内的点， ∴，，， ∴，，， ∴； （3）∵反比例函数图象经过一、三象限． ∴，在每个象限内，y随着x的增大而减小， 反比例函数位于第二、四象限， 在每一象限内随的增大而增大， 又∵，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是， 当时，；当时，， ∴，， ，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴， ∴，， 由得到， 解得， 经检验，是原方程的根， 当时，． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象分别位于一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当时，反比例函数图象分别位于二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大．熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 5．（2022八年级上·上海·专题练习）如图，点A、B在 反比例函数的图像上，且A、B 横坐标分别是a、2a．轴，垂足为C，三角形的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点也在反比例函数的图像上，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】（1）由三角形的面积为2，可得，从而可得答案； （2）由时，反比例函数图像在每个象限内，y随x的减小而增大，结合，可得答案． 【详解】（1）解：根据反比例函数的几何意义，可得 ，由，即得：， 则反比例函数解析式为； （2）当时，反比例函数图像在每个象限内， y随x的减小而增大，由，即得：， 由此即得：． 【点睛】考查反比例函数的几何意义，反比例函数的增减性，掌握“的几何意义”是解本题的关键． 随堂检测 · 对应知识点 · 检测1 根据反比例函数的定义求参数 · 检测2 用反比例函数描述数量关系（求“雁点”即满足 y=x 的点） · 检测3 根据反比例函数的定义及图象所在象限求参数 · 检测4 已知反比例函数的增减性求参数范围 · 检测5 已知反比例函数的增减性比较函数值大小求参数范围 1．（24-25八年级·全国·单元测试）若函数是反比例函数，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25九年级下·上海浦东新·月考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】根据一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”，即可得到答案． 【详解】解：一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”， 函数图像的“雁点”坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标系的新定义问题，理解“雁点”的定义，是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海·月考）已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为________． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义和反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图象分布得出m的值． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， 解得：， ∵它的两个分支分别在第一、三象限， ∴，即， 则． 故答案为：3． 4．（24-25九年级下·上海·月考）已知反比例函数的图像在每个象限内，随的增大而增大，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得，求解即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图像在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果点、点都在函数的图像上，且，那么的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数图象和性质，根据题意可得在每个象限内随增大而增大，据此可得，则． 【详解】解：∵点、点都在函数的图象上，且， ∴在每个象限内随增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 课后巩固 · 核心作业知识点 · 题1 根据定义判断是否是反比例函数 · 题2 根据定义判断是否是反比例函数 · 题3 一次函数与反比例函数图象综合判断 · 题4 根据图形面积求反比例函数比例系数（k的几何意义） · 题5 一次函数与反比例函数的交点问题（利用图象解不等式） · 题6 求反比例函数解析式 · 题7 一次函数与反比例函数的交点问题（整数点，对称性） · 题8 反比例函数与几何综合（面积求点坐标） · 题9 一次函数与反比例函数的交点问题（代数式化简求值，利用对称性） · 题10 反比例函数与几何综合（相似三角形，含30°角，求解析式） · 题11 反比例函数与几何综合（矩形，等腰直角三角形，求参数） · 题12 一次函数与反比例函数的交点问题（求另一个交点） · 题13 一次函数与反比例函数的交点问题（平移，求解析式） · 题14 一次函数与反比例函数的交点问题（求点坐标、线段长、分类讨论求点坐标） · 题15 反比例函数与几何综合（猜想面积比是否变化，利用k的几何意义和同高三角形） ※复习建议熟练掌握反比例函数的概念、图象与性质；灵活运用k的几何意义；注意数形结合和分类讨论在综合题中的应用。 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列关系式中的两个量成反比例的是（   ） A．路程一定时，速度与时间 B．正方形的周长与它的边长 C．圆的面积与它的半径 D．长方形一条边确定时，周长与另一边 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数，根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：A、路程s一定时，速度v和时间t的关系，是反比例函数，故本选项符合题意； B、正方形的周长=边长，不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、圆的面积半径2，不是反比例函数，故本选项不符合题意； D、长方形一条a边确定时，周长s与另一边b的关系，不是反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列函数一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，函数不是反比例函数，不符合题意； B、不是反比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 4．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）直线与反比例函数图象交于A、B两点，过A作轴于C，面积为2，则反比例函数比例系数k为（）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解答本题的关键． 直接反比例函数k值的几何意义求解即可． 【详解】解：∵直线与反比例函数图象交于A、B两点，面积为2， 设反比例函数的解析式为， ∴，即， ∴结合选项可知：B选项符合题意． 故选B． 5．（24-25八年级下·上海·月考）如图，直线与坐标轴分别交于点，，与双曲线交于点，根据图像求出不等式的解集（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键． 本题先把点代入，求得，然后观察函数图象即可求解； 【详解】解：把代入，解得：， ∴， 观察函数图象得到当时，， 由题意可得：， ∴不等式的解集为； 故选：D； 6．（23-24八年级上·上海金山·期中）已知y与x成反比例，并且经过，则y与x的函数关系式是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，根据反比例函数的定义，设函数关系式为，再代入已知点求常数k即可． 【详解】解：设y与x的函数关系式为， ∵函数图象经过点， ∴，解得， ∴y与x的函数关系式为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海·月考）观察反比例函数的图像可以发现直线是它的一条对称轴，于是小明希望在用描点法绘制函数的图像时在每个象限都取5个点，使得除了双曲线与直线的交点以外的点的横纵坐标都是整数，考虑到正比例函数和反比例函数的对称性，他认为只需要再取四条经过原点的直线与双曲线的交点就能高效地找出余下八个点，这四条直线的斜率的和是________． 【答案】13 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数综合，根据可得反比例函数上横纵坐标均为整数的点有八个，分别位于四条经过原点的直线上，计算这四条直线斜率的和即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象上横纵坐标都为整数的点有，， 设经过点的正比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴经过点的正比例函数解析式为， 同理可得经过点的正比例函数解析式为， 经过点的正比例函数解析式为， 经过点的正比例函数解析式为， 由正比例函数和反比例函数的对称性可知，横纵坐标互为相反数的两个点所在的直线一定经过原点，则这8个点分别在经过原点的四条直线上， ∴这四条直线的斜率的和是， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海·期中）如图，函数的图像经过点，为函数图像上除外任意一点，过点B作y轴的垂线段，垂足为C，若的面积为2，则点B坐标为___________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及待定系数法求反比例函数解析式，根据三角形面积得出m值是解题关键． 把A点坐标代入可得k值，即可求出反比例函数的解析式，由轴可得的长度，根据的面积为2可求出m的值，即可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵的面积为2， ∴， 即， ∴， ∴ 解得或， ∵， ∴或， ∴点B的坐标为或． 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·上海·期中）若正比例函数的图像与双曲线交于两点，则___________． 【答案】256 【难度】0.85 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的交点性质及代数式化简求值，解题的关键是利用交点的对称性和反比例函数的性质进行推导． 先根据正比例函数与反比例函数的对称性得出，再结合反比例函数的性质，对代数式进行化简求值． 【详解】解：设正比例函数的解析式为，将其与双曲线联立，可得，整理得， 由于正比例函数与双曲线的交点关于原点对称，所以， 又因为点在双曲线上，所以， 将代入，可得 原式 ， 把代入上式，可得， 故答案为：256． 10．（2025·上海·二模）平面直角坐标系xOy内有一直角△AOB，其中O为直角顶点，∠A=30°．点B在第一象限内一反比例函数上运动，且满足其横纵坐标乘积为2．若点A在x轴上方，则点A所在的反比例函数图像解析式为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、含30度角的直角三角形、求反比例函数解析式 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质，解题关键是通过作辅助线证明三角形相似，结合三角函数和反比例函数的条件推导点$A$所在反比例函数的解析式． 设点，由．作轴、轴，证．在中，由得，结合相似三角形性质得边的比例关系．设，推导、与、的关系，代入，得出，从而得点所在反比例函数解析式． 【详解】解： 设点坐标为， 点B在第一象限内一反比例函数上运动，且满足其横纵坐标乘积为2， 过点作轴于点，过点作轴于点 在中， 设点坐标为 则 即 点在轴上方，在第一象限 即 即点所在反比例函数图像解析式为 11．（25-26八年级下·上海·开学考试）如图，已知点在函数的图像上，长方形的边在x轴上，函数的图像又经过点A，A的纵坐标为，且． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、利用矩形的性质证明、求反比例函数解析式、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）将点代入解析式可求k的值，即可求解； （2）先求出求出，再根据四边形是矩形，，求出点C，D两点坐标，可得结论； （3）当时，得出，构建方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为， ∵点A的纵坐标为， ∴， ∴ ∴， ∵四边形是长方形，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求k与m的值； (2)求反比例函数图象与一次函数图象的另一个交点B的坐标． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】解一元二次方程——配方法、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】该题考查了一次函数和反比例函数交点问题． （1）将代入一次函数求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数求解即可． （2）联立一次函数和反比例函数解析式即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴． 把代入得． （2）解：联立得， 即， 解得或， 当时，， ． 13．（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上． (1)求点、的坐标； (2)点C在反比例函数的图像上，如果，将直线平移，使其经过点，求平移后所得直线的表达式． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象平移问题、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及反比例函数上点的坐标特征、一次函数解析式的求解以及一次函数的平移性质． （1）先利用反比例函数解析式求出点的坐标，再根据点的坐标确定直线的解析式，最后将点的纵坐标代入直线解析式求出点的坐标； （2）由直线的解析式得到，结合，根据同位角相等判定轴，从而得到点的横坐标与点相同，再代入反比例函数求出点的坐标；最后设出平移后直线的解析式，代入点的坐标求出参数． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴代入得，故. ∵直线过点， ∴，解得 ∴直线的解析式为. ∵点在直线上， ∴代入得，故； （2）解：如图，点在点右侧，设点， ∵， ∴点到两坐标轴的距离相等， ∴. ∵， ∴轴， ∴点的横坐标与点的横坐标相同，即点的横坐标为， ∴将代入，得， ∴点的坐标为. 设平移后所得直线的解析式为， 将点代入解析式，得，解得， ∴平移后所得直线的表达式为． 14．（24-25八年级上·上海普陀·月考）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A、点B，已知点． (1)求的值及反比例函数的解析式； (2)求点B的坐标和线段的长； (3)如果点C在坐标轴上，且的面积为6，求点C的坐标． 【答案】(1)，； (2)，； (3)点C的坐标为或或或． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将代入正比例函数解析式可求出m，得到点A坐标，然后利用待定系数法可求出反比例函数的解析式； （2）利用中心对称图形的性质，求出点B坐标，然后利用勾股定理求出即可； （3）分两种情况讨论：①当C在x轴上时，②当C在y轴上时，分别根据的面积为6列式求出OC即可． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：正比例函数的图象与反比例函数的图象都是中心对称图形， ∴， ∴； （3）解：①当C在x轴上时， 由题意得：， ∴， ∴点C的坐标为或； ②当C在y轴上时， 由题意得：， ∴， ∴点C的坐标为或； 综上，点C的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，勾股定理的应用，坐标与图形性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 15．（2025·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴． (1)当点横坐标为6，求直线的表达式； (2)连接，当时，求点坐标； (3)连接、，试猜想：的值是否随的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变，值为1 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点坐标，进而求出直线的解析式即可； （2）根据轴，得到的纵坐标为，代入反比例函数的解析式，进而求出点坐标，根据，列出方程进行求解即可； （3）延长交轴和轴于点，由题意，得：，进而得到，值的几何意义得到，进而推出，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得：，解得：， ∴； （2）∵轴，点的坐标为， ∴的纵坐标为， 当时，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），值不变： 延长交轴和轴与点，由题意，得：， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴． 第 1 页 共 67 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.1&26.2 反比例函数及性质 优等生讲义 (15大考点精讲+创新压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 理解反比例函数的概念，掌握其一般形式(k≠0)，能根据实际问题列出反比例关系； 掌握反比例函数的图象与性质，能根据k的符号确定图象所在象限、增减性及对称性； 熟练运用待定系数法求反比例函数解析式，能根据图象上的点求函数值或自变量的值； 理解反比例函数k的几何意义，能利用面积关系解决相关问题； 掌握反比例函数与一次函数、几何图形的综合应用，体会数形结合、分类讨论的思想。 知识梳理 · 核心概念与性质 ☆反比例函数定义 · 一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。 · 三种等价形式： 2. （分式形式） 2. （负指数形式） 2. （乘积形式） · 自变量取值范围：x≠0的一切实数，函数值y≠0。 ☆图象与性质 · 图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点成中心对称，且关于直线y=x和y=-x轴对称。 · 两支曲线无限接近坐标轴但永不相交（坐标轴是渐近线）。 · k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小。 · k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。 · 注意：谈论增减性时必须强调“在每个象限内”，跨象限不能直接比较。 ☆k的几何意义 · 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|。 · 若连接该点与原点，则与坐标轴围成的直角三角形面积为|k|2。 · 这个性质常被用于求k的值或比较面积大小。 ☆反比例函数与一次函数综合 · 求交点：联立两个函数解析式，解方程组得到交点坐标。若一次函数为，则交点的横坐标满足，转化为一元二次方程求解。 · 利用图象解不等式：在平面直角坐标系中，比较两个函数图象的上下位置，从而确定自变量的取值范围。 · 对称性：正比例函数与反比例函数如果有两个交点，则这两个交点关于原点对称。 ☆反比例函数与几何综合 · 常结合三角形、矩形、梯形等图形，利用点坐标表示线段长，建立方程求解。 · 涉及面积时，通常利用k的几何意义或割补法。 · 等腰三角形、直角三角形、平行四边形等存在性问题的处理：设出关键点坐标（注意点在曲线上），根据几何性质（如边相等、垂直、中点等）列方程求解，注意分类讨论。 核心考点 · 15类题型方法精讲 【考点1】用反比例函数描述数量关系 ❤方法总结 · 两个变量x,y成反比例 ⇔ 它们的乘积为定值，即(k≠0)。 · 常见实际背景：路程一定时速度与时间；总价一定时单价与数量；面积一定时底与高；矩形面积一定时长与宽等。 · 解题步骤：①找出题中的两个变量；②判断它们的乘积是否保持不变；③写出关系式，注意自变量的实际意义（如长度、时间等通常为正数）。 · 易错点：混淆正比例与反比例，注意“积定”为反比，“商定”为正比。 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（   ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【考点2】根据定义判断是否是反比例函数 ❤方法总结 · 反比例函数有三种等价形式：，，（k≠0）。 · 判断步骤：①看自变量是否在分母上（且分母只能为单独的x，不能是x+1等形式）；②看能否化为的形式；③注意系数k必须为非零常数。 4．（25-26八年级·上海·假期作业）下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 5．（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【考点3】根据反比例函数的定义求参数 ❤方法总结 · 若函数是反比例函数，则自变量指数为-1，且系数不为0。 · 列方程组：求解并检验。 · 注意：若解析式形如，则直接由k≠0确定参数范围。 7．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）反比例函数的图象经过点，则k的值为（      ） A．15 B． C．-15 D．- 8．（24-25八年级上·上海·期中）若是反比例函数，则的值为________． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）在反比例函数中，比例系数_____________，自变量的取值范围是_____________． 【考点4】求反比例函数值 ❤方法总结 · 已知反比例函数解析式和自变量x，直接代入求y；已知点坐标，可先求k，再求其他点的函数值。 · 点(a,b)在图象上 ⇔ab=k。 · 技巧：利用函数值的正负可判断点所在的象限。 10．（2025九年级上·上海·专题练习）已知点，在反比例函数y＝的图象上，则________． 11．（24-25八年级上·上海·单元测试）下列点不在y= 的图象上的是（　　） A． B． C． D． 12．（23-24九年级下·上海·月考）将反比例函数的图象向左平移2个单位长度后，所得的图象与y轴的交点坐标为_________． 【考点5】由反比例函数值求自变量 ❤方法总结 · 已知函数值y，代入解析式，得到关于x的分式方程，解方程即可。 · 注意自变量的取值范围（通常x≠0），检验是否产生增根。 · 易错点：忽略分母不为零，或解出x=0未舍去。 13．（24-25九年级下·上海·月考）将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数图像与x轴的交点坐标是______． 14．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如果点P在反比例函数的图象上，那么m的值是________． 15．（24-25八年级上·上海杨浦·月考）在反比例函数的图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为，且以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点、、、、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则_______，_____________________． 【考点6】判断(画)反比例函数图象 ❤方法总结 · 图象是双曲线，关于原点对称，不与坐标轴相交。 · k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限；k<0时，位于第二、四象限。 · 画图步骤：列表（取若干互为相反数的x，如x=±1,±2,±3）、描点、连线，注意图象无限接近坐标轴但不相交（要体现渐近线）。 · 易错点：画图时两支曲线不能连在一起，且不能与坐标轴相交。 16．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·重庆·二模）函数 的图象一定不经过点（　　） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   19．（23-24八年级上·上海静安·期末）函数的图像经过的象限是______． 【考点7】已知反比例函数的图象，判断其解析式 ❤方法总结 · 若图象经过某点(a,b)，则代入解析式得。 · 有时需结合图象的对称性或与其他函数（如正比例函数）的交点求k。 · 技巧：若图象在第一、三象限，则k>0；若在第二、四象限，则k<0。 20．（24-25八年级上·上海闵行·月考）已知函数的图像经过点，那么k的值是____________． 21．（24-25九年级下·全国·课后作业）把下列函数的解析式与其图象对应起来． （1）；（2）；（3）；（4）． A．   B．   C．   D． 22．（25-26九年级上·江西吉安·期末）（1）解一元二次方程：； （2）若反比例函数的图象经过点和，求的值． 23．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）为迎接农历马年的到来，提前点燃节日消费热度，各平台推出年终促销让利活动．某商家出售一款零食，在销售过程中，该商家发现这款零食的日销售量（单位：kg）与日销售单价（单位：元）之间成反比例函数关系，其函数图象如图所示，点在该反比例函数图象上． (1)求与之间的函数表达式（不必写的取值范围）； (2)当日销售单价为元时，对应的日销售量为_______； (3)若，求的取值范围． 【考点8】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ❤方法总结 · 反比例函数的图象关于原点对称。 · 若点(a,b)在图象上，则点(-a,-b)也在图象上。 · 利用此性质可求另一交点的坐标，或解决与正比例函数交点的问题（正比例函数也关于原点对称）。 · 应用：若正比例函数与反比例函数相交于两点，则这两点关于原点对称。 24．（23-24九年级下·上海·月考）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为___________． 25．（25-26九年级上·山东滨州·期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 26．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 27．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【考点9】已知双曲线分布的象限，求参数范围 ❤方法总结 · 根据图象所在象限确定k的符号：一、三象限 →k>0；二、四象限 →k<0。 · 若解析式为 ，则根据图象所在象限得m-2>0或m-2<0，解不等式即可。 · 注意：若题目说“图像的一支在第三象限”，则整体仍在二、四象限或一、三象限，需结合另一支判断。 28．（24-25八年级上·上海·月考）已知反比例函数的图像在第二、四象限，那么的取值范围是___________． 29．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）反比例函数的图象在第一、三象限，那么______． 31．（24-25八年级上·上海·期中）若图像的一支位于第三象限，则的取值范围是________． 【考点10】判断反比例函数的增减性 ❤方法总结 · 当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小。 · 当k<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大。 · 注意：必须强调“在每个象限内”，跨象限不具备增减性。例如，不能直接说“当k>0时，y随x增大而减小”，因为从第三象限到第一象限，y反而增大。 · 易错点：忽略象限限制，错误地比较不同象限的点的大小。 32．（25-26九年级上·上海宝山·月考）已知反比例函数，那么y值随x值的增大而______（从“增大”或“减小”中选择）． 33．（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 34．（24-25八年级上·上海长宁·期末）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（    ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值y随x的增大而增大 35．（24-25八年级上·上海普陀·期末）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 【考点11】判断反比例函数图象所在象限 ❤方法总结 · 直接由k的符号决定：k>0→ 一、三象限；k<0→ 二、四象限。 · 若函数形如 ，则，按上述规则判断。 · 快速判断：取一个正的x，看y的正负，若y>0则图象经过一、三；若y<0则经过二、四。 36．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）矩形面积为20，则长y与宽x的函数关系图象是（     ） A．第一象限的双曲线 B．第一象限的直线 C．第二象限的双曲线 D．全体象限的直线 37．（2023·上海普陀·一模）已知反比例函数的图象在第一、三象限，如果，那么____（填“”、“ ”或“ “ 38．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知一个函数具有以下条件：它的图像经过第四象限；当时，随的增大而增大；函数的图像关于原点成中心对称．请写出一个符合上述条件的函数表达式：_______． 39．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图像经过点 C．图像关于直线对称 D．图像位于第二、四象限 【考点12】已知反比例函数的增减性求参数 ❤方法总结 · 由增减性确定k的符号，从而得到参数的不等式。 · 例如：若在每个象限内y随x增大而增大，则k<0；若增大而减小，则k>0。 · 结合点坐标给出的条件（如 时 ），可判断所在象限及k的符号。 40．（25-26九年级上·上海·月考）已知反比例函数图像经过、，如果，，那么_______0．（填“”或“”） 41．（24-25八年级上·上海·月考）已知是双曲线上的两点，当时，有，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是_______．（只需写出一个） 43．（2025·上海杨浦·二模）如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点13】比较反比例函数值或自变量的大小 ❤方法总结 · 先判断点是否在同一象限，若在同一象限，可利用增减性比较；若不在同一象限，根据函数值的正负直接判断（第一、三象限函数值同号，第二、四象限函数值同号）。 · 常见技巧：代入具体值计算比较；或利用进行转化，如，则y的大小与x反相关（同象限内）。 · 易错点：不能直接认为y随x增大而增大（或减小）就随意比较，必须确保两点在同一象限。 44．（24-25八年级上·上海·期末）若是反比例函数图象上的两点，则____（填“”、“”或“”）． 45．（2025·上海静安·二模）已知点、在双曲线上，如果，那么______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 46．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）若，是一次函数的图象上的不同的两点，如果，那么__________0．(填“>”，“=”“﹤”) 47．（2025·上海·二模）如果反比例函数（k是常数）的图像经过点，，那么和的大小关系是：______．填“>”、“=”或“<”） 48．（24-25八年级上·上海闵行·月考）已知反比例函数的图象上有两点、，当时，，那么的取值范围是__________． 【考点14】求反比例函数解析式 ❤方法总结 · 待定系数法：设解析式为，代入已知点坐标求出k。 · 若已知y与x成反比例，直接设；若已知y与成反比例，则设。 · 注意：若题目给出的是变量之间的反比例关系，要准确设出形式，例如y与 成反比例，则设 。 49．（25-26八年级·上海·假期作业）已知是的反比例函数，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 50．（24-25八年级上·上海·期末）正比例函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于点，求此反比例函数的表达式． 51．（25-26八年级上·上海·期中）已知与成正比例，与成反比例．当时，的值都为6，请写出关于的函数解析式． 52．（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出和的交点D的坐标，并根据图像法观察，直接写出当时，求x的取值范围． 【考点15】创新及压轴题 ❤方法总结 · 综合运用反比例函数的性质，结合新定义、几何图形（三角形、矩形、相似）、方程不等式等。 · 常用方法：①设点坐标（利用点在曲线上），建立等量关系；②利用k的几何意义（面积关系）；③利用对称性简化计算；④分类讨论等腰、直角、平行四边形等存在性问题。 · 典型思路：遇到与面积有关的问题，常考虑k的几何意义：过双曲线上任一点作坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|，三角形面积等于 · 注意：综合题往往需要结合一次函数、方程、不等式等知识，要灵活运用数形结合思想。 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于的方程是“倍根方程”． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）阅读以下材料： 材料一：若三个非零实数满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数构成“和谐三数组”． 材料二：若关于的一元二次方程的两根分别为，则有 问题解决： (1)下列四组数中能构成“和谐三数组”的有___________（填序号）； ①1，2，3；②；③；④． (2)若是关于的方程（a，b，c均不为0）的两根，是关于的方程（b，c均不为0）的解．求证：可以构成“和谐三数组”； (3)若三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数的值． 3．（24-25八年级上·上海·期末）参照反比例函数研究的内容与方法，研究下列函数： (1)研究函数：①画出它的图像；②它的图像是什么图形？可看作怎样的图形经过怎样的平移得到？③说明它所具有的性质． (2)研究函数的图像与性质； (3)由（1）（2）的图像经过平移，你还能得出怎样的函数图像与性质，请举例说明； (4)研究函数的图像与性质． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知反比例函数图象经过一、三象限． (1)若函数过点，求当时的函数值y， (2)若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系，并说明理由； (3)设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是，求x为何值时， ． 5．（2022八年级上·上海·专题练习）如图，点A、B在 反比例函数的图像上，且A、B 横坐标分别是a、2a．轴，垂足为C，三角形的面积为2． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点也在反比例函数的图像上，试比较的大小． 随堂检测 · 对应知识点 · 检测1 根据反比例函数的定义求参数 · 检测2 用反比例函数描述数量关系（求“雁点”即满足 y=x 的点） · 检测3 根据反比例函数的定义及图象所在象限求参数 · 检测4 已知反比例函数的增减性求参数范围 · 检测5 已知反比例函数的增减性比较函数值大小求参数范围 1．（24-25八年级·全国·单元测试）若函数是反比例函数，则________． 2．（24-25九年级下·上海浦东新·月考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为____________． 3．（24-25八年级上·上海·月考）已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为________． 4．（24-25九年级下·上海·月考）已知反比例函数的图像在每个象限内，随的增大而增大，则实数的取值范围是___________． 5．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果点、点都在函数的图像上，且，那么的取值范围是______． 课后巩固 · 核心作业知识点 · 题1 根据定义判断是否是反比例函数 · 题2 根据定义判断是否是反比例函数 · 题3 一次函数与反比例函数图象综合判断 · 题4 根据图形面积求反比例函数比例系数（k的几何意义） · 题5 一次函数与反比例函数的交点问题（利用图象解不等式） · 题6 求反比例函数解析式 · 题7 一次函数与反比例函数的交点问题（整数点，对称性） · 题8 反比例函数与几何综合（面积求点坐标） · 题9 一次函数与反比例函数的交点问题（代数式化简求值，利用对称性） · 题10 反比例函数与几何综合（相似三角形，含30°角，求解析式） · 题11 反比例函数与几何综合（矩形，等腰直角三角形，求参数） · 题12 一次函数与反比例函数的交点问题（求另一个交点） · 题13 一次函数与反比例函数的交点问题（平移，求解析式） · 题14 一次函数与反比例函数的交点问题（求点坐标、线段长、分类讨论求点坐标） · 题15 反比例函数与几何综合（猜想面积比是否变化，利用k的几何意义和同高三角形） ※复习建议熟练掌握反比例函数的概念、图象与性质；灵活运用k的几何意义；注意数形结合和分类讨论在综合题中的应用。 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列关系式中的两个量成反比例的是（   ） A．路程一定时，速度与时间 B．正方形的周长与它的边长 C．圆的面积与它的半径 D．长方形一条边确定时，周长与另一边 2．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列函数一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）直线与反比例函数图象交于A、B两点，过A作轴于C，面积为2，则反比例函数比例系数k为（）． A．2 B．4 C．6 D．8 5．（24-25八年级下·上海·月考）如图，直线与坐标轴分别交于点，，与双曲线交于点，根据图像求出不等式的解集（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·上海金山·期中）已知y与x成反比例，并且经过，则y与x的函数关系式是______． 7．（25-26八年级上·上海·月考）观察反比例函数的图像可以发现直线是它的一条对称轴，于是小明希望在用描点法绘制函数的图像时在每个象限都取5个点，使得除了双曲线与直线的交点以外的点的横纵坐标都是整数，考虑到正比例函数和反比例函数的对称性，他认为只需要再取四条经过原点的直线与双曲线的交点就能高效地找出余下八个点，这四条直线的斜率的和是________． 8．（25-26八年级上·上海·期中）如图，函数的图像经过点，为函数图像上除外任意一点，过点B作y轴的垂线段，垂足为C，若的面积为2，则点B坐标为___________． 9．（25-26八年级上·上海·期中）若正比例函数的图像与双曲线交于两点，则___________． 10．（2025·上海·二模）平面直角坐标系xOy内有一直角△AOB，其中O为直角顶点，∠A=30°．点B在第一象限内一反比例函数上运动，且满足其横纵坐标乘积为2．若点A在x轴上方，则点A所在的反比例函数图像解析式为________． 11．（25-26八年级下·上海·开学考试）如图，已知点在函数的图像上，长方形的边在x轴上，函数的图像又经过点A，A的纵坐标为，且． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)当时，求m的值． 12．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求k与m的值； (2)求反比例函数图象与一次函数图象的另一个交点B的坐标． 13．（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上． (1)求点、的坐标； (2)点C在反比例函数的图像上，如果，将直线平移，使其经过点，求平移后所得直线的表达式． 14．（24-25八年级上·上海普陀·月考）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A、点B，已知点． (1)求的值及反比例函数的解析式； (2)求点B的坐标和线段的长； (3)如果点C在坐标轴上，且的面积为6，求点C的坐标． 15．（2025·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴． (1)当点横坐标为6，求直线的表达式； (2)连接，当时，求点坐标； (3)连接、，试猜想：的值是否随的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $