精品解析：河北定州中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

高 三 数 学 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则可得答案. 【详解】原式， . 故选：C 2. 集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，结合包含关系即可得结果. 【详解】因为，则， 又集合，，可得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 3. 已知是过，两点的直线的一个方向向量，则实数为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题得到是直线的一个方向向量，也是直线的方向向量，所以向量与共线，利用向量共线坐标成比例列方程可求出的值. 【详解】已知，，所以是直线的一个方向向量； 因为向量也是直线的方向向量，所以它与共线， 所以，解得， 故选：A. 4. 设数列满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将数列类比成函数后递推即可求得周期. 【详解】因为，且， 所以 ，， 所以数列的周期为2，故 故选：A 5. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用圆柱的体积公式，求得四片瓦需要的粘土量，进而求得800片瓦需要的粘土量，得到答案. 【详解】由圆柱的体积公式，可得四片瓦需要的粘土量为， 所以800片瓦需要的粘土量为． 故选：D． 6. 已知的内角的对边分别为，且面积满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合余弦定理与面积公式得，再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为，， 所以，即， 所以， 所以，即， 因为， 所以，即. 故选：A 7. 当时，函数的最小值为，最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域可得，结合复合函数单调性分别确定函数与函数的单调性，从而得在上的单调性，从而得最值，于是求得的值. 【详解】因为，所以函数在处无定义，所以， 又函数在上单调递减，且，且函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以，解得， 再由，得， 由，可解得． 故选：D. 8. 已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 14 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】由l：得， 由，得，，所以直线，过定点． 所以点的中点坐标为，连接AM， 则，由题意知点B在以AM为直径的圆上， 所以点B的轨迹方程为（不包含点）， 记圆的圆心为， 过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H， 则， 当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立， 所以的最小值为． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是数形结合. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 的极小值点为1 D. 的极大值点为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出，结合即可求出可判断AB，通过导数求出函数的单调性，结合极值点的定义可判断CD. 【详解】因为，切线斜率为，所以， 由题意得，切点在切线上，故， 则， 联立，解得，故A正确，B错误； ， 当时，，在单调递减， 当或时，，在单调递增， 所以的极小值点为1，极大值点为，故CD均正确， 故选：ACD. 10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左右两支分别交于点，直线交双曲线于另一点，连接，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】确定直线方程，计算交点坐标，得到，A正确，根据两点间距离公式得到，B正确，计算，C错误，计算到两直线的距离不相等，D错误. 【详解】双曲线的右焦点为，直线 联立，解得 根据对称性知 对选项A，故，A正确； 对选项B：，故，B正确； 对选项C， ，C错误； 对选项D，而，所以， 由角平分线定理可知：， （另解：直线到的距离为到的距离为， 两者不相等，），D错误 故选：AB. 11. 某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为，且投篮结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束．则（ ） A. 当时，投篮2次游戏结束的概率为 B. 当时，投篮3次游戏结束的概率大于投篮4次游戏结束的概率 C. 当时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为 D. 设游戏结束时投篮总次数的数学期望为，则（） 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相互独立事件同时发生的概率公式可求AB；假定状态再分类讨论，利用递推法可求CD. 【详解】对于A， 由相互独立事件同时发生的概率公式可得， 投篮2次后游戏结束的概率为，故A正确； 对于B，当时，即出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束. 故投篮3次游戏结束的事件为“次投篮结果依次为：不中、命中、命中”， 则由相互独立事件同时发生的概率公式可得， 投篮3次游戏结束的概率； 投篮4次游戏结束，则第3、4次必须命中，且第2次必须不中（否则游戏在第3次或第2次就已结束），第1次投篮结果不影响， 故投篮4次游戏结束的概率为， 两者概率相等，故B错误； 对于C，当时，即出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束. 设投篮的总次数的数学期望，考虑第一次投篮的结果： ①第一次命中， 若第一次命中，第二次也命中（概率为），则投篮总次数为； 若第一次命中，第二次未命中（概率为），则游戏重置，投篮的总次数可看作； ②第一次未命中（概率为），则游戏重置，投篮的总次数可看作； 则，解得，故C正确； 对于D，由题意，为出现连续次命中停止投篮游戏结束时投篮总次数的数学期望. 在连续次命中停止的游戏中，考虑首次达到出现连续命中（）次的时刻， 此时当前投篮的总次数期望为，且最后次都投篮命中. 现在从此状态开始，游戏还需要进行直至停止（即连续次命中），考虑下一次投篮的结果： 若下一次投篮命中（概率为）， 则出现连续次命中停止投篮游戏结束，即投篮的总次数可看作次； 若下一次投篮命不中（概率为）， 则游戏重置，需再进行次投篮游戏才能结束，即投篮的总次数可看作； 故， 整理得（），故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若定义在上的减函数满足，请写出满足条件的一个函数___________． 【答案】（可以是，其中） 【解析】 【分析】利用定义在上的减函数，可得递减的对数函数满足题意. 【详解】根据定义在上的减函数，结合题意可令， 因为，满足题意， 故答案为：（可以是，其中） 13. 已知函数（），若曲线关于点中心对称，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由正切函数性质列式计算可得，由，，计算可得，代入计算可得. 【详解】由正切函数性质可知，函数的对称中心为， 因为曲线关于点中心对称， 所以，即 因为，所以，解得， 因为，所以，故. 故答案为： 14. 一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，，则满足的情况有______种. 【答案】 【解析】 【分析】设，则有，可知的最小值为，最大值为，根据这三个数的构成进行分类讨论即可得. 【详解】由，可得， 所以. 不妨设，则，还有一个数为， 显然，， 对于任意取值，都有如下情况， 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法. 因为，所以一共有种. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时. （1）根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？ 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 每周的锻炼时间不超过5小时 合计 （2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率. 参考公式与数据：，其中 . 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 有关 （2）. 【解析】 【分析】（1）分析数据，填入表格，计算出卡方，与7.879比较后得到结论； （2）设出事件，利用全概率公式进行计算，得到答案. 【小问1详解】 表格如下： 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立. 根据表中的数据，可得 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关. 【小问2详解】 由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名， 其每周锻炼时间超过5小时的有10人，不超过5小时的有30人. 从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲， 设事件“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”， 事件“甲每周的锻炼时间超过5小时”， “甲每周的锻炼时间不超过5小时”， 用连列表中的数据计算频率并替代概率后得 又已知， 由全概率公式可得， 所以学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为. 16. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式，并求的前项和． 【答案】（1）证明：，， 两式相减得， ， 又， 数列是首项为2，公比为2的等比数列． （2）， 【解析】 【分析】（1）利用递推式相减得出的递推关系，进而得出是等比数列； （2）求出的通项公式，再利用递推式相加得出的递推关系求出通项公式，进而求出的通项公式及前项和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 数列是首项为2，公比为2的等比数列， ， ，， 两式相加得， ，， 当时，满足上式， 数列是首项为4，公差为4的等差数列，即， ，解得， ． 17. 已知椭圆C的焦点为(，0)，(，0)，且椭圆C过点M(4，1)，直线l：不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形． 【答案】（1） （2）将代入并整理得， 则，. ∵直线：与椭圆交于不同的两点，，∴，解得， ∴直线，的斜率存在且不为零. 设直线，的斜率分别为和，只要证明. 设，， . 故原命题成立. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义先求出2a的值，可得出的值，再利用a、b、c之间的关系求出b的值，从而得出椭圆C的标准方程； （2）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式以及韦达定理计算出直线MA、MB的斜率互为相反数来证明结论成立． 【详解】（1）设椭圆的方程为，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）略 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题． 18. 设，已知函数. （1）若，判断在区间上的单调性； （2）若，判断的零点个数，并给出证明； （3）若，求正整数a的值. 【答案】（1）在区间上单调递增． （2）有且仅有1个零点，证明： ，则，， 当时，，故在上单调递增． 又， 故在上存在唯一零点． 当时，恒成立． 综上，若有且仅有1个零点． （3）1 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，然后结合指数函数的单调性及余弦函数的最值判断，即可得解. （2）求出的导函数，按照和，分别研究函数的单调性，结合零点存在性定理判断零点个数. （3）设，分，，三种情况讨论，利用导数法研究其单调性求出其最值即可判断成立. 【小问1详解】 ，则，所以. 当时，，， 所以在区间上单调递增． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， ①若，令，令，解得． 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 所以，，即． 同理，令，令，解得． 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，又， 所以，，即． ， 所以满足题意． ②若，令，则，记， 由得故在上单调递增，又， 所以，时，在上单调递增． 又，所以， 所以不合题意． ③若， 当， 又，所以， 所以不合题意． 综上，正整数a的值为1． 【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 19. 已知四面体OABC， ，N为的三等分点(靠近B)，M为的中点，过点M的动平面交射线于，，． （1）如图，当 时， ①求的长． ②空间中一动点T，定义当四面体的体积最小时，是否存在点T，使得？并说明理由． （2）当 时，记四面体 内切球的半径为r，求r 的最大值． 【答案】（1）① ；②不存在，理由见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）①利用空间向量基本定理，再利用空间向量数量积运算律即可得到答案； ②设，，，由共面定理，得，通过计算得，故不存在空间中一点，使得． （2）求出半径的表达式，再利用导数求出最值即可. 【小问1详解】 ①， 所以 ，所以． ②设，，，则，，， 所以，由共面定理，得， 记棱长为1的正四面体的体积为，所以， 由均值不等式， 此时当，即，，取得最小值， 则此时，即，故是的重心， 对空间中任意点，则，， 同理，， 所以 ， 故不存在空间中一点，使得． 【小问2详解】 ，，， 由勾股定理，，，， 由余弦定理，，所以， 所以，所以， 所以，，， 所以（设）， 设，， 当时，； 当时，令，即， 解得，所以， 所以（当时取等）， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高 三 数 学 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （    ） A. B. C. D. 2. 集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是过，两点的直线的一个方向向量，则实数为（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 设数列满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角的对边分别为，且面积满足，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 当时，函数的最小值为，最大值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. 14 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 的极小值点为1 D. 的极大值点为 10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左右两支分别交于点，直线交双曲线于另一点，连接，，则（ ） A. B. C. D. 11. 某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为，且投篮结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束．则（ ） A. 当时，投篮2次游戏结束的概率为 B. 当时，投篮3次游戏结束的概率大于投篮4次游戏结束的概率 C. 当时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为 D. 设游戏结束时投篮总次数的数学期望为，则（） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若定义在上的减函数满足，请写出满足条件的一个函数___________． 13. 已知函数（），若曲线关于点中心对称，则的最小值为__________. 14. 一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，，则满足的情况有______种. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时. （1）根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？ 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 每周的锻炼时间不超过5小时 合计 （2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率. 参考公式与数据：，其中 . 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式，并求的前项和． 17. 已知椭圆C的焦点为(，0)，(，0)，且椭圆C过点M(4，1)，直线l：不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形． 18. 设，已知函数. （1）若，判断在区间上的单调性； （2）若，判断的零点个数，并给出证明； （3）若，求正整数a的值. 19. 已知四面体OABC， ，N为的三等分点(靠近B)，M为的中点，过点M的动平面交射线于，，． （1）如图，当 时， ①求的长． ②空间中一动点T，定义当四面体的体积最小时，是否存在点T，使得？并说明理由． （2）当 时，记四面体 内切球的半径为r，求r 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $