专题01 平行线中的导角模型（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题01 平行线中的拐角模型 题型一：内拐模型 题型二：外拐模型 题型三：多拐点模型 内拐 结论：∠BOD=∠B+∠D 结论：∠BOD+∠B+∠D=360 外拐 结论：∠BOD=∠D-∠B 结论：∠BOD=∠B-∠D 多拐点 结论：∠B+∠BEF+∠EFD+∠D=540 结论：∠B+∠O+∠D=∠BEO+∠OFD 题型01 内拐模型 题型点拨：过拐点添加一条平行线构成两组三线八角的基本图形. 【典例1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？    解：过点E作， 得（ ） 因为（已知） （所作） 所以（ ）． 得 （两直线平行，同旁内角互补） 所以 ．（等式性质） 即 ． 因为（已知） 所以 ．（等式性质） 【答案】两直线平行同旁内角互补；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；；； 【分析】过E作，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，再由，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到，利用两直线平行得到又一对同旁内角互补，两等式相加，可得出，将度数代入即可求出的度数． 【详解】解：过点E作， 得（两直线平行同旁内角互补）， 因为（已知）， （所作）， 所以（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 得（两直线平行，同旁内角互补）， 所以（等式性质）． 即． 因为（已知）， 所以（等式性质）． 故答案为：两直线平行同旁内角互补；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；；；． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，属于推理型题目，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，直线，交于点，交于点，若，，则_______度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，得出，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·月考）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为________． 【答案】/144度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么______°． 【答案】127 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义、角的和差等知识； 过点B作，如图，根据平行线的性质和垂直的定义可得，进而可得，证明即可得解． 【详解】解：过点B作，如图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：127． 【变式4】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，添加平行线求解是解答的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而即可求解； （2）过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 题型02 外拐模型 题型点拨： 外拐模型的解题策略和内拐一样，过拐点作条平行线，构造两个组三线八角的基本图形. 【典例1】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定及性质．过点P作，可得，根据平行线的性质求出，，进而根据角的和差即可求解． 【详解】解：过点P作， ∵，， ∴， ∴， ， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析 【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD． 【详解】解：（1）证明：过点C 作CF∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥ED∥CF， ∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC， ∴∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD， 证明：如图： ∵AB∥ED， ∴∠ABC=∠BFD， 在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC-∠CDE=∠BCD． 若点C在直线AB与DE之间，猜想, ∵AB∥ED∥CF， ∴ ∴. 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法． 【变式2】（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，直线，和的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过作，则，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作，则，    ∴， ∵， ∴，即， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，交于点，，，那么___________ 【答案】/28度 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；过点F作，由平行线的性质推出，，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C=360°， 故①正确； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为3， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 题型03 多拐点模型 题型点拨： 多拐点是指在两条平行线之间包含两个或多个拐点，解题策略是过拐点作平行线，构造两组或多组三线八角的基本图形. 【典例1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，，，则，和的数量关系是___________．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 分别过点C，D作，可得，根据平行线的性质可得，从而得到，，由，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点C，D作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由①-②得：， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁·月考）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】C 【详解】解：作EM∥AB，FN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD． ∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°， ∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·河南·期末）（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）过点作，可得，，根据即可求解； （2）过点作，可求出，过点作，可求出，由此即可求解； （3）延长交于点，可得，，平分，平分，可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． （2），理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理，过点作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （3）如图，延长交于点， ∴， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 【变式4】（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 1．如图，，那么三者之间的关系为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点E作，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 故选C． 2．如图，，，，那么＝____________． 【答案】65 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质．过点C作，可得，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：65 3．如图，如果，，，那么______度． 【答案】40 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．作，求得，，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 4．如图，，，，那么的度数是_______． 【答案】/35度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．过作，求出，根据平行线的性质得出，，代入求出即可． 【详解】解：过作， ， ， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 5. 如图，，已知，，则_________． 【答案】45 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点作，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：过点作，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 6. 如图，已知，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的判定和性质，正确做出辅助线． 过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 7. 如图，将为的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】过点B作交 于点D，可证，利用平行线的性质可得，，进而可得． 【详解】解：如图，过点B作交于点D． 中，， ． ， ． ，， ， ， ， 故按为：． 【点睛】本题主要考查平行线性质，平行公理的推论，三角板中的角度计算等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 8. 如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________． 【答案】57° 【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可． 【详解】解：设AE、CD交于点F， ∵∠E＝37°，∠C＝ 20°， ∴∠CFE=180°-37°-20°=123°， ∴∠AFD=123°， ∵AB∥CD， ∴∠AFD+∠EAB=180°， ∴∠EAB=180°-123°=57°， 故答案为：57°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键． 9. 如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______ 【答案】180° 【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解． 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ， ∠1=∠EFD， ∠2+∠EFC=∠3， ， ， ； 故答案为180°． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键． 10. 如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，作，根据平行线的性质求出，，进而可求出的度数． 【详解】解：如图，作 ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 11. 一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，求的度数； 解：过点作 ， _________________（______） （余下的说理过程请写在下方） 【答案】，过程见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，结合垂直的定义，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：过点作， ， （平行于同一直线的两直线互相平行）， ，， ， ， 又， ，， ． 12. （1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 13. 【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 14. 已知点是直线，所确定的平面内的一点． (1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？ (2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系； (3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）首先过点M作，易得，，进而可得，由同旁内角互补，两直线平行可得，进而可得，； （2）作， 可得，根据两直线平行，内错角相等，即可证得； （3）由（2）知，，先求出，进而可得，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：结论 ：， 理由：如图1所示，过点M作， ∴， ∵， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论 ：， 如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行线中的拐角模型 题型一：内拐模型 题型二：外拐模型 题型三：多拐点模型 内拐 结论：∠BOD=∠B+∠D 结论：∠BOD+∠B+∠D=360 外拐 结论：∠BOD=∠D-∠B 结论：∠BOD=∠B-∠D 多拐点 结论：∠B+∠BEF+∠EFD+∠D=540 结论：∠B+∠O+∠D=∠BEO+∠OFD 题型01 内拐模型 题型点拨：过拐点添加一条平行线构成两组三线八角的基本图形. 【典例1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？    解：过点E作， 得（ ） 因为（已知） （所作） 所以（ ）． 得 （两直线平行，同旁内角互补） 所以 ．（等式性质） 即 ． 因为（已知） 所以 ．（等式性质） 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，直线，交于点，交于点，若，，则_______度． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·月考）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为________． 【变式3】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么______°． 【变式4】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 题型02 外拐模型 题型点拨： 外拐模型的解题策略和内拐一样，过拐点作条平行线，构造两个组三线八角的基本图形. 【典例1】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？ 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【变式2】（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，直线，和的数量关系是（    ）    A． B． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，交于点，，，那么___________ 【变式4】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03 多拐点模型 题型点拨： 多拐点是指在两条平行线之间包含两个或多个拐点，解题策略是过拐点作平行线，构造两组或多组三线八角的基本图形. 【典例1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，，，则，和的数量关系是___________．    【变式1】（24-25七年级下·辽宁·月考）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 【变式2】（24-25七年级下·河南·期末）（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 【变式3】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    【变式4】（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 1．如图，，那么三者之间的关系为（    ）．    A． B． C． D． 2．如图，，，，那么＝____________． 3．如图，如果，，，那么______度． 4．如图，，，，那么的度数是_______． 5. 如图，，已知，，则_________． 6. 如图，已知，，，则_____． 7. 如图，将为的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，则的度数为_____________． 8. 如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________． 9. 如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______ 10. 如图，，，，求的度数． 11. 一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，求的度数； 解：过点作 ， _________________（______） （余下的说理过程请写在下方） 12. （1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    13. 【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 14. 已知点是直线，所确定的平面内的一点． (1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？ (2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系； (3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若，，求的度数． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $