专题01 组合图形的周长和面积（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级下册

专题01 组合图形的周长与面积 题型一：求和法（分割法）求周长和面积 题型二：求差法（填补法）求周长和面积 题型三：用移补法求周长和面积 基本公式 圆周长公式：C =d=2r；弧长公式：； 圆面积公式：S =； 扇形面积公式：S. 题型01 求和法（分割法）求周长和面积 题型点拨：求和法 把组合图形先分割成几个基本图形，再分别用相应的公式进行计算. 【典例1】小明去商店买了两瓶相同的圆柱形饮料，为了携带方便，售货员用绳子将其捆扎在一起，如图所示，她捆了2圈，且打结处用了20厘米，则每瓶饮料的底面积是______平方厘米，所用绳子至少长______分米．（π取3.14） 【分析】如右图可以将整个图形分割成两个半圆和一个正方形. 【详解】解：，， ∴每瓶饮料的底面积是 ， 即每瓶饮料的底面积为， 所用绳子至少长， 故答案为：，12.28 【易错点睛】本题要注意单位的换算. 【变式1】每个圆柱形的啤酒瓶的直径都是厘米，把个啤酒瓶捆在一起（底面如图），捆一圈至少用塑料绳_____厘米（取）． 【变式2】如图，大圆的周长与两个小圆的周长和比较（   ）． A．大圆的周长长 B．两个小圆的周长长 C．一样长 D．无法判定 【变式3】计算下面图形阴影部分的周长与面积． 【变式4】17．顺迈学校准备新建一个花坛，花坛的示意图，如图1所示，它是由5个大小相等的正方形和4个大小相等的扇形组成，每一个小正方形的边长是4米．（π取3） (1)这个花坛的周长是多少米？ (2)这个花坛的面积是多少平方米？ (3)如图2所示，学校准备在花坛里种植花草，其中阴影内种植红色花草，空白部分内种植黄色花草，已知每平方米红色花草的价格为20元，每平方米黄色花草价格的比每平方米红色花草的价格多，求学校购买花草的总费用为多少元？ 题型02 求差法（填补法）求周长和面积 题型点拨：求差法 把图形看成几个基本图形从差，再分别用相应的公式进行计算. 【典例1】求下图中阴影部分的面积（单位： 厘米， 取3.14） 【分析】本题考查求组合图形中阴影部分的面积、正方形面积的计算、圆的面积的应用．观察图形可知，阴影部分的面积正方形的面积圆的面积，计算求解即可． 【详解】解：阴影部分的面积正方形的面积圆的面积 （平方厘米） 答：图中阴影部分的面积为平方厘米． 【变式1】如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是_____．（结果保留） 【变式2】下面正方形的边长为4厘米，计算阴影部分的面积． 【变式3】如图所示，像图中这样从圆环上截取的部分叫扇环（实线围成部分），则该扇环的面积为___________．（取3.14） 【变式4】如图，，长40厘米，阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米，则_________厘米． 题型03 用移补法求周长和面积 题型点拨：移补法 移补法是通过图形的平移、旋转等位置变换，使一个不规则图形变成一个一个规则图形，再用相应的公式计算. 【典例1】求阴影部分的面积． 【分析】本题考查扇形的面积，掌握长方形和三角形的面积公式是解题的关键． 将右侧的阴影部分移到右边与之对称的位置，将两个阴影部分拼接到一起，再利用长方形和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：将右侧的阴影部分移到右边与之对称的位置，将两个阴影部分拼接到一起，如图所示： ∴， 阴影部分的面积是． 【变式1】求图中阴影部分的周长和面积（取）． 【变式2】求阴影部分的面积． 【变式3】已知图中是一个等腰直角三角形，直角边长8厘米，图中阴影部分的面积是______厘米． 【变式4】如图是由两个圆心角是、半径为4厘米的扇形组合而成的图形，重叠部分是一个正方形（如①．要求涂色部分的面积，可以通过图形的运动进行转化（如②和③，把其中一个扇形绕正方形的一个顶点 __（填“顺时针”或“逆时针）旋转 __，原来的组合图形就转化成一个半圆．那么，涂色部分的面积是 __平方厘米． 1．如下图，把一个周长为的圆分成若干等份后，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是_______，宽是_______．（取） 2．如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品A之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品A被传送___________．（结果保留） 3．如图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形花园，这个花园的直径是4，在这个花园内以为圆心，为半径画弧交半圆于点，沿着弧围篱笆再围成一个小型花园，一共需要篱笆_____．（结果保留） 4．如图是一段弯曲管道，其中，，中心线的两条圆弧半径都是，则图中管道的展直长度是___________． （取）． 5．求下图中阴影部分的面积__________（平方厘米）． 6．如图所示，像图中这样从圆环上截取的部分叫扇环（实线围成部分），则该扇环的面积为___________．（取3.14） 7．图A阴影部分面积比图B的阴影部分面积小______．（结果保留π） 8．（1）求阴影周长：（取3.14） （2）求阴影面积：（取3.14） 9．求下图中阴影部分的面积．（取） 10．一个场馆铺设了一块装饰草坪，草坪的形状如图所示，若每平方米的铺设费用是100元，则该场馆铺设该草坪需要多少费用？（取3.14） 11．求阴影部分的面积．（取，单位：厘米） 12．求各图阴影部分的面积． 是等腰直角三角形．（单位：厘米） 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 组合图形的周长与面积 题型一：求和法（分割法）求周长和面积 题型二：求差法（填补法）求周长和面积 题型三：用移补法求周长和面积 基本公式 圆周长公式：C =d=2r；弧长公式：； 圆面积公式：S =； 扇形面积公式：S. 题型01 求和法（分割法）求周长和面积 题型点拨：求和法 把组合图形先分割成几个基本图形，再分别用相应的公式进行计算. 【典例1】小明去商店买了两瓶相同的圆柱形饮料，为了携带方便，售货员用绳子将其捆扎在一起，如图所示，她捆了2圈，且打结处用了20厘米，则每瓶饮料的底面积是______平方厘米，所用绳子至少长______分米．（π取3.14） 【分析】如右图可以将整个图形分割成两个半圆和一个正方形. 【详解】解：，， ∴每瓶饮料的底面积是 ， 即每瓶饮料的底面积为， 所用绳子至少长， 故答案为：，12.28 【易错点睛】本题要注意单位的换算. 【变式1】每个圆柱形的啤酒瓶的直径都是厘米，把个啤酒瓶捆在一起（底面如图），捆一圈至少用塑料绳_____厘米（取）． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长应用，熟记圆的周长公式是解题的关键．观察图形可知，需要的塑料绳的长度就是一个圆周长与个直径之和，然后根据周长公式列式计算即可． 【详解】解： （厘米） 捆一圈至少用塑料绳厘米． 故答案为：． 【变式2】如图，大圆的周长与两个小圆的周长和比较（   ）． A．大圆的周长长 B．两个小圆的周长长 C．一样长 D．无法判定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键． 根据圆的周长公式，分别表示出大圆周长和两个小圆的周长之和，进行比较即可． 【详解】解： 如图，由圆的周长公式可知， 大圆周长为， 两个小圆的周长和为， ∵， ∴大圆周长和两个小圆的周长之和相等． 故选：C． 【变式3】计算下面图形阴影部分的周长与面积． 【答案】周长是厘米，面积是平方厘米 【分析】本题主要考查圆和正方形的面积和周长公式，求四分之一圆的面积和周长是解题的关键． 首先根据圆的周长和面积公式计算四分之一圆的周长和面积，再计算正方形的面积和周长即可． 【详解】解：周长 （厘米） 面积 （平方厘米） 答：周长是厘米，面积是平方厘米． 【变式4】17．顺迈学校准备新建一个花坛，花坛的示意图，如图1所示，它是由5个大小相等的正方形和4个大小相等的扇形组成，每一个小正方形的边长是4米．（π取3） (1)这个花坛的周长是多少米？ (2)这个花坛的面积是多少平方米？ (3)如图2所示，学校准备在花坛里种植花草，其中阴影内种植红色花草，空白部分内种植黄色花草，已知每平方米红色花草的价格为20元，每平方米黄色花草价格的比每平方米红色花草的价格多，求学校购买花草的总费用为多少元？ 【答案】(1)40米 (2)128平方米 (3)3920元 【分析】（1）花坛的周长等于四个扇形的弧长加上4个正方形的边长； （2）花坛的面积等于5个正方形的面积加上4个扇形的面积； （3）分别求出阴影部分和空白部分的面积，即可得到花费的总费用． 【详解】（1）解：这个花坛的周长＝2π×4＋4×4＝8×3＋16＝40（米）； （2）解：这个花坛的面积＝π×4²＋5×4×4＝48＋80＝128（平方米）； （3）解：，， 阴影部分的面积：， 空白部分的面积：128-60＝68（平方米）， 购买花草的费用为：20×60＋40×68＝3920（元）， 答：学校购买花草的总费用为3920元． 题型02 求差法（填补法）求周长和面积 题型点拨：求差法 把图形看成几个基本图形从差，再分别用相应的公式进行计算. 【典例1】求下图中阴影部分的面积（单位： 厘米， 取3.14） 【分析】本题考查求组合图形中阴影部分的面积、正方形面积的计算、圆的面积的应用．观察图形可知，阴影部分的面积正方形的面积圆的面积，计算求解即可． 【详解】解：阴影部分的面积正方形的面积圆的面积 （平方厘米） 答：图中阴影部分的面积为平方厘米． 【变式1】如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是_____．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求组合图形的面积；根据，即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴图中阴影部分的面积是： ． 故答案为：． 【变式2】下面正方形的边长为4厘米，计算阴影部分的面积． 【答案】平方厘米 【分析】本题主要考查了组合图形的面积，发现阴影部分的面积为正方形的面积减去以正方形边长为直径的圆的面积成为解题的关键．用正方形的面积减去以正方形边长为直径的圆的面积即可． 【详解】解：阴影部分的面积为： 平方厘米． 【变式3】如图所示，像图中这样从圆环上截取的部分叫扇环（实线围成部分），则该扇环的面积为___________．（取3.14） 【答案】15.7 【分析】本题主要考查了组合图形面积．熟练掌握基本图形面积的计算，是解决问题的关键．利用大扇形的面积减去小扇形的面积求解即可． 【详解】解：， ， ， 答：该扇环的面积为， 故答案为：． 【变式4】如图，，长40厘米，阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米，则_________厘米． 【答案】30 【分析】本题主要考查了圆的面积和三角形的面积计算根据题意可推出半圆的面积比的面积多28平方厘米，求出半圆的面积，则可求出三角形的面积，再根据三角形面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：因为阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米， 所以阴影a的面积加上空白部分的面积比阴影b的面积加上空白部分的面积多28平方厘米， 所以半圆的面积比的面积多28平方厘米， 平方厘米， 厘米， 所以厘米， 故答案为：30． 题型03 用移补法求周长和面积 题型点拨：移补法 移补法是通过图形的平移、旋转等位置变换，使一个不规则图形变成一个一个规则图形，再用相应的公式计算. 【典例1】求阴影部分的面积． 【分析】本题考查扇形的面积，掌握长方形和三角形的面积公式是解题的关键． 将右侧的阴影部分移到右边与之对称的位置，将两个阴影部分拼接到一起，再利用长方形和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：将右侧的阴影部分移到右边与之对称的位置，将两个阴影部分拼接到一起，如图所示： ∴， 阴影部分的面积是． 【变式1】求图中阴影部分的周长和面积（取）． 【分析】本题考查了圆与组合图形周长和面积计算知识，结合题意分析解答即可．阴影部分的周长等于个直径是（厘米）的圆的周长加直径是厘米的圆的周长的一半，据此解答即可；通过“割补”的方法，把下面的个阴影部分分别割补到左边和右边的空白部分，阴影部分的面积等于半径是（厘米）的半圆的面积减去底是厘米，高是（厘米）的三角形的面积，据此解答即可． 【详解】解： （厘米）． （平方厘米）． 故图中阴影部分的周长是厘米，面积是平方厘米． 【变式2】求阴影部分的面积． 【分析】如图所示，图中①、②、③、④的面积是相等的，将①和②分别移到③和④的位置，则阴影部分的面积就等于正方形的面积的一半，据此解答． 【详解】如图所示： 图中①、②、③、④的面积是相等的，将①和②分别移到③和④的位置， 则阴影部分的面积就等于正方形的面积的一半：； 故阴影部分面积为：8． 【变式3】已知图中是一个等腰直角三角形，直角边长8厘米，图中阴影部分的面积是______厘米． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积，等腰直角三角形的特征，根据圆和一个等腰直角三角形特征可判断A、B、C部分的面积相等，然后根据阴影部分的面积等于半圆面积减去小等腰直角三角形的面积求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得阴影部分的面积为 故答案为： 【变式4】如图是由两个圆心角是、半径为4厘米的扇形组合而成的图形，重叠部分是一个正方形（如①．要求涂色部分的面积，可以通过图形的运动进行转化（如②和③，把其中一个扇形绕正方形的一个顶点 __（填“顺时针”或“逆时针）旋转 __，原来的组合图形就转化成一个半圆．那么，涂色部分的面积是 __平方厘米． 【答案】 逆时针 90 9.12 【分析】要求涂色部分的面积，可以通过图形的运动进行转化（如②和③，把其中一个扇形绕正方形的一个顶点逆时针旋转，原来的组合图形就转化成一个半圆；然后再利用半圆的面积减去两个正方形的面积即可求出涂色部分的面积． 【详解】解：由分析可知一个扇形绕正方形的一个顶点逆时针旋转，原来的组合图形就转化成一个半圆； ∴涂色部分的面积为： （平方厘米） 1．如下图，把一个周长为的圆分成若干等份后，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是_______，宽是_______．（取） 【答案】 4 【分析】根据长方形的长为圆的周长一半，宽是圆的半径进行求解即可． 【详解】解：这个长方形的长是， 这个长方形的宽是． 2．如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品A之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品A被传送___________．（结果保留） 【答案】 【详解】解：根据题意，得：传送带上的物品A被传送的距离等于圆心角为的扇形的弧长， ∴传送带上的物品A被传送的距离为． 3．如图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形花园，这个花园的直径是4，在这个花园内以为圆心，为半径画弧交半圆于点，沿着弧围篱笆再围成一个小型花园，一共需要篱笆_____．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查弧长公式，找准圆心角和半径是解题关键． 先在扇形中，计算，再在半圆中，计算，最后计算总共需要的篱笆长． 【详解】解：由题意得，直径， 半径， 以为圆心，为半径画弧交半圆于点， ， 是等边三角形，， 在扇形中，， 在半圆中，， ， 故答案为：． 4．如图是一段弯曲管道，其中，，中心线的两条圆弧半径都是，则图中管道的展直长度是___________． （取）． 【答案】6140 【分析】此题考查了求弧长， 管道的展直长度由直线部分和两条圆弧部分组成．直线部分长度为，每条圆弧的圆心角为，半径，使用弧长公式计算弧长． 【详解】解：． ∴图中管道的展直长度是． 故答案为：6140． 5．求下图中阴影部分的面积__________（平方厘米）． 【答案】0.86 【分析】此题主要考查圆的面积公式、正方形面积公式的灵活运用，要求阴影部分的面积，只需用正方形的面积减去圆的面积，代入数据计算即可解答． 【详解】解： ． 故答案为： 6．如图所示，像图中这样从圆环上截取的部分叫扇环（实线围成部分），则该扇环的面积为___________．（取3.14） 【答案】15.7 【分析】本题主要考查了组合图形面积．熟练掌握基本图形面积的计算，是解决问题的关键．利用大扇形的面积减去小扇形的面积求解即可． 【详解】解：， ， ， 答：该扇环的面积为， 故答案为：． 7．图A阴影部分面积比图B的阴影部分面积小______．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】本题考查圆与长方形面积的计算，解题的关键是分别求出图和图阴影部分的面积． 分别计算图、图阴影部分面积，再求二者差值． 【详解】图A阴影部分面积等于长方形的面积减去减去4个空白的叶形的面积， ， 图B阴影部分面积等于4个阴影的叶形的面积， ， 图A阴影部分面积比图B的阴影部分面积小， ， 故答案为：． 8．（1）求阴影周长：（取3.14） （2）求阴影面积：（取3.14） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查圆的周长公式及面积，熟练掌握圆的周长和面积公式是解题的关键； （1）根据圆的周长公式可进行求解； （2）根据圆的面积公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图可知：； （2）由图可知：． 9．求下图中阴影部分的面积．（取） 【答案】阴影面积为平方厘米． 【分析】本题主要考查了阴影部分面积的计算．根据阴影部分的面积等于三角形面积减去两个扇形的面积即可． 【详解】解：直径为8厘米的半圆面积为： （平方厘米） 半径为8厘米、圆心角为的扇形面积为： （平方厘米） 三角形的面积为： （平方厘米） 阴影部分面积为： （平方厘米） 答：阴影面积为平方厘米． 10．一个场馆铺设了一块装饰草坪，草坪的形状如图所示，若每平方米的铺设费用是100元，则该场馆铺设该草坪需要多少费用？（取3.14） 【答案】该场馆铺设该草坪需要费用244200元 【分析】本题考查扇形、长方形面积的计算方法，掌握扇形面积和长方形面积的计算方法是正确计算的前提； 先求出草坪的面积，再求出需要的费用. 【详解】解：（平方米）， （平方米） （平方米）， 所以铺设该草坪需要费用元， 答：该场馆铺设该草坪需要费用244200元. 11．求阴影部分的面积．（取，单位：厘米） 【答案】257平方厘米 【分析】本题考查组合图形的面积计算，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 观察图形可知，阴影部分的面积等于圆的面积加上正方形的面积减去圆的面积，根据圆的面积公式半径，其中半径为，据此计算即可． 【详解】解： （平方厘米） 答：阴影部分的面积为257平方厘米． 12．求各图阴影部分的面积． 是等腰直角三角形．（单位：厘米） 【分析】本题考查了圆的面积问题． 由图可知，阴影面积即两个直径为2的圆的面积的减去直角边长为2的等腰直角三角形的面积； 【详解】解：（平方厘米） 9 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $