专题03 力与曲线运动（复习讲义）（北京专用）2026年高考物理二轮复习讲练测

专题03 力与曲线运动 目录 01 2 02 构·知能架构 3 03 破·题型攻坚 4 题型一 运动的合成与分解 4 真题动向 4 必备知识 9 真题动向 聚焦于矢量运算的本质应用，考查合运动与分运动的独立性、等时性及矢量性理解 必备知识 知识1 小船渡河问题 知识2 关联速度 关键能力 能力1 运动的合成与分解思想 命题预测 考向1 曲线运动特点及运动的合成与分解 考向2 小船渡河问题 考向3 关联速度问题 题型二 抛体运动 15 真题动向 深度融入科技与生活情境，突出非理想条件下的轨迹非对称型分析 必备知识 知识1 平抛运动的推论 知识2 平抛运动与各种面结合问题 知识3 斜抛运动 关键能力 能力1 平抛运动临界问题的求解思路 能力2 逆向思维解决斜抛运动 命题预测 考向1 平抛运动及其规律的应用 考向2 平抛运动与斜面、曲面的结合 考向3 斜抛与类平抛 题型三 圆周运动 21 真题动向 聚焦生活科技情境，考查向心力来源与临界模型综合应用 必备知识 知识1 水平面内圆周运动的动力学问题 知识2 竖直面内圆周运动的临界问题 知识3 斜面上圆周运动的临界问题 知识4 常见的传动方式及特点 关键能力 能力1 圆周运动的求解思路 能力2 圆周运动的临界问题 命题预测 考向1 描述圆周运动的物理量及两种传动模型 考向2 圆周运动的动力学问题 考向3 圆周运动的临界及多解性问题 题型四 万有引力与宇宙航行 26 真题动向 结合航天工程与宇宙模型，深化万有引力与动力学融合考查 必备知识 知识1 开普勒定律及其应用技巧 知识2 天体质量及密度的计算 知识3 卫星的发射、运行及变轨 知识4 几种特殊卫星的规律 命题预测 考向1 开普勒定律的应用 考向2 万有引力定律及天体质量和密度的计算 考向3 卫星的发射、变轨及追及 考向4 天体及卫星的运行规律 命题轨迹透视 从近三年北京高考物理试题来看，试题以选择题、计算题为主，难度中等。命题趋势：情境载体‌：延续生活+科技前沿风格，在汽车刹车、火箭发射等经典情境外，新增航天器轨道调整、新型交通工具动力学设计等科技内容，考查规律的场景迁移应用能力。知识融合‌：一是跨模块结合牛顿运动定律、曲线运动与能量/动量守恒；二是多过程串联加速、偏转、碰撞等环节，需分阶段建模求解。能力考查‌：强化物理建模与定量计算，涉及变力做功、微元法分析等；实验探究可能拓展至平抛运动受力轨迹、圆周运动向心力测量等，考查原理迁移与误差分析。选择题侧重基础概念与简单模型应用，计算题以综合题为主，考查复杂模型分析求解。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 运动的合成与分解 抛体运动 北京卷T17，3分 北京卷T4，3分 圆周运动 北京卷T10，3分 万有引力与宇宙航行 2026命题预测 预计2026年北京物理高考在力与曲线运动方面，将围绕牛顿运动定律、曲线运动规律、万有引力定律等核心内容展开。重点考查物理建模与综合分析能力，学生要熟练掌握运动学公式、牛顿定律及曲线运动相关规律的综合应用，精准分析多过程、多模型的运动问题，科学处理实验数据；需重视受力分析与运动过程拆解，合理建立物理模型，考虑多种因素对运动结果影响，科学选取分析方法。命题会结合航天探测、机械传动等生活及科技前沿实际情境，学生要了解其运动原理与受力逻辑。还强调对运动方案评估改进，学生要能发现模型不足并提出优化措施。此外，力与曲线运动可能和电磁学、能量等模块结合，学生需具备跨模块知识整合运用能力。 题型一 运动的合成与分解 1．（2025黑吉辽蒙，T6，4分）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（   ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 2．（2025湖南，T2，4分）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 知识1 小船渡河问题 1.船的实际运动：水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2.三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。 3.两类问题、三种情景 情况 图示 说明 渡河时间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin= 渡河位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d 如果v船<v水，当船头方向（即v船方向）与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 4.分析小船渡河问题的思维流程 知识2 关联速度 1.模型分析 把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）的两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。 （1）合速度：绳（杆）拉物体的实际运动速度v。 （2）分速度 （3）方法：v∥与v⊥的合成遵从平行四边形定则。 2.常见的模型（如表所示） 情景图示 分解图示 定量结论 vB=vAcos θ vAcos θ=v0 vAcos α=vBcos β （注：A沿斜面下滑） vBsin α=vAcos α 3.题型特点 与绳（杆）相连的物体运动方向与绳（杆）不在一条直线上。 4.明确合速度与分速度 合速度→绳（杆）拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线 5.解题原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分速度，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。 能力1 运动的合成与分解思想 判断两个直线运动的合运动性质的方法 1.分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的性质。 2.常见的情况： 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 考向1 曲线运动特点及运动的合成与分解 1．（2025·北京东城·一模）一质量为的物块在光滑水平面上以速度做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力作用，其速度大小先减小后增大，最小值为。下列图中初速度与恒力夹角正确的是（　　） A． B． C． D． 2．(2025·北京第171中学·月考)一质量为2kg的质点在某xy平面上做匀加速曲线运动，在该平面上建立直角坐标系并将运动分解在x轴和y轴上进行研究，在x方向的位移-时间图线为抛物线，类似于自由落体，如图甲；在y方向的位移-时间图像为直线，如图乙，求： (1)t＝0时，质点在x方向的速度，y方向的速度，初速度v； (2)2s内质点的位移大小； (3)质点运动的加速度是多少？所受的合力多大？ 考向2 小船渡河问题 3．(2025·北京育才学校·月考)一小船在静水中的速度为，它在一条河宽、流速为的河流中渡河，则下列说法正确的是（　　） A．小船不可能到达正对岸 B．小船渡河时间不少于 C．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 D．小船以最短位移渡河时，位移大小为 考向3 关联速度问题 4．(2025·北京顺义牛栏山第一中学·期中)建筑工地常用如图所示装置将建材搬运到高处，光滑杆竖直固定在地面上，斜面体固定在水平面上，配重P和建材Q用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，配重P穿过光滑竖直杆，建材Q放在斜面体上，且轻绳与斜面平行，开始时建材静止在斜面上，之后增加配重质量，建材沿斜面上滑，下列分析正确的是（　　） A．当P、Q滑动时，则P、Q速度大小一定相等 B．当P、Q滑动时，P减小的机械能一定等于Q增加的机械能 C．当P、Q静止时，细线上的拉力一定大于竖直杆对P的弹力 D．当P、Q静止时，斜面对Q的摩擦力可能斜向下 题型二 抛体运动 1．（2025江西，T4，4分） 如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 2．（2025北京，T，分） 某物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，经过时间t到达最高点。在最高点该物体炸裂成两部分，质量分别为和m，其中A以速度v沿水平方向飞出。重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)该物体抛出时的初速度大小； (2)炸裂后瞬间B的速度大小； (3)落地点之间的距离d。 知识1 平抛运动的推论 1.熟记平抛运动的两个重要推论 （1）做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定能过此时水平位移的中点，如图甲所示，B是OC的中点。 （2）做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻（任一位置处），设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ=2tan α。 知识2 平抛运动与各种面结合问题 1.平抛运动的约束条件 常见的有“斜面”约束和“曲面”约束。解此类问题的关键是： （1）灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。 （2）充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。 （3）“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。 2.常见类型示例 运动情景 分析策略 分解速度tan θ== 分解速度tan θ== 分解位移tan θ==　= 分解位移tan θ==　= 分解速度tan θ== 在半圆内的平抛运动，h=gt2，R+=v0t 知识3 斜抛运动 基本规律 以斜抛运动（以斜上抛运动为例）的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 1.初速度可以分解为v0x=v0cos θ，v0y=v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x=v0xt=（v0cos θ）t vx=v0x=v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y=v0yt-gt2=（v0sin θ）t-gt2 vy=v0y-gt=v0sin θ-gt 2.当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h==。 ②斜抛运动的飞行时间：t==。 ③射程：s=v0cos θ·t==， 对于给定的v0，当θ=45°时，射程达到最大值，smax=。 能力1 平抛运动临界问题的求解思路 1.平抛运动中临界问题的两种常见情形 （1）物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度。 （2）物体的速度方向恰好达到某一方向。 2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 能力2 逆向思维解决斜抛运动 对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。 考向1 平抛运动及其规律的应用 1．(2025·北京昌平区·期末)如图所示，运动员在同一高度的前后两个不同位置将网球击出，网球垂直击中竖直墙上的同一点。不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．沿轨迹 1 运动的网球被击出时的速度较大 B．两轨迹中网球撞墙的速度大小相等 C．从击出到撞墙，沿轨迹 1 运动的网球在空中运动的时间较短 D．从击出到撞墙，沿轨迹 2 运动的网球在空中运动的时间较短 考向2 平抛运动与斜面、曲面的结合 2．(2025·北京西城外国语学校·期末)如图所示，跳台滑雪运动员获得一定速度后从跳台处沿水平方向飞出，在斜坡的处着陆。斜坡可视为倾斜平面，斜坡与水平方向的夹角为，测得间的距离为。运动员在点时离坡面最远，垂直距离为。不计空气阻力，取。下列说法正确的是（　　） A．运动员在空中的飞行时间为 B．运动员从处飞出时的初速度大小为20m/s C．运动员从到的时间等于从到的时间 D．的长度等于的长度 考向3 斜抛与类平抛 3．(2025·北京朝阳区·期中)某小组在研究抛体运动实验中，将小球抛出后对其进行频闪照相。如图所示，是截取的一部分照相底片。经数据分析，小球经过、两位置时的速度可取为、，方向分别与连线成和夹角。重力加速度大小为。不计空气阻力。则（　　） A．重力方向与连线成夹角 B．小球运动的最小速度为 C．小球从到的运动时间为 D．小球从到下落的高度为 题型三 圆周运动 1．（2025江苏，T4，4分）游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以、为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与、恰好在同一条直线上。则（    ） A．A点做匀速圆周运动 B．点做匀速圆周运动 C．此时A点的速度小于点 D．此时A点的速度等于点 2．（2025重庆，T3，4分）“魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度进入半经为R的OP圆孤段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则（　　） A．汽车到O点时，列车行驶距离为s B．汽车到O点时，列车行驶距离为 C．汽车在OP段向心加速度大小为 D．汽车在OP段向心加速度大小为 3．（2025江西，T7，4分）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 知识1 水平面内圆周运动的动力学问题 水平面内圆周运动的向心力的来源 运动模型 向心力的来源图示 汽车在水平路面转弯 水平转台（光滑） 圆锥摆式受力模型 圆锥摆 飞车走壁 飞机水平转弯 火车转弯 知识2 竖直面内圆周运动的临界问题 1.运动特点 （1）竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。 （2）只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。 （3）竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周最高点时的速度。 2.常见模型 轻绳模型 轻杆模型 情景图示 弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg+FT=m mg±FN=m 临界特征 FT=0，即mg=m，得vmin= （1）恰好过最高点，v=0，FN=mg （2）恰好无弹力，FN=0，v= 模型关键 （1）“绳”只能对小球施加向下的力（2）小球通过最高点的速度至少为 （1）“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 （2）小球通过最高点的速度最小可以为0 知识3 斜面上圆周运动的临界问题 物体在倾斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，平行斜面的分力与静摩擦力的合力提供向心力。 在转动过程中，转动越快，物体最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时，有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。 知识4 常见的传动方式及特点 常见的三种传动方式 类型 图示 特点 同轴传动 绕同一转轴运转的物体，角速度相同，ωA=ωB，由v=ωr知v与r成正比 皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA=vB 摩擦传动或齿轮传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA=vB 能力1 圆周运动的求解思路 圆周运动中动力学问题的分析思路 能力2 圆周运动的临界问题 分析竖直平面内圆周运动临界问题技巧 （1）判断是轻绳模型还是轻杆模型，清楚不同模型的临界状态。 （2）物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程。 （3）物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两位置间的速度关系。 （4）容易忽视点：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。 考向1 描述圆周运动的物理量及两种传动模型 1．(2025·北京海淀区·期中)如图所示，、两点分别位于大、小两轮的边缘，大轮半径是小轮半径的2倍，点是的中点，两轮之间靠摩擦传动，且没有相对滑动。关于、、三点的角速度的大小、、，以及线速度的大小、、的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 考向2 圆周运动的动力学问题 2．(2025·北京第一○一中学·期末)如图所示，水平放置的圆盘以角速度匀速转动，圆盘上有两个质量均为的物块P和Q（两物块均可视为质点），它们随圆盘一起做匀速圆周运动。已知物块距圆心的距离分别为和，。物块与转盘间的动摩擦因数为，重力加速度为。下列说法不正确的是（　　） A．它们受到的静摩擦力方向都指向圆心 B．它们所受静摩擦力大小之比为 C．若圆盘突然停止转动，两物块将沿半径反方向飞出 D．若不断提高圆盘转速，物块将先被甩出 3．(2025·北京日坛中学·月考)振动电机实际上是一个偏心轮，简化模型如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力的大小为，小球在最高点的速度大小为v，图像如图乙所示。求： (1)当小球在最高点的速度为何值时，杆对小球的作用效果分别如下面三种情况 a.杆对小球为拉力； b.杆对小球为推力； c.杆对小球无作用力； (2)小球的质量； (3)若，则此时杆对小球的弹力大小。 考向3 圆周运动的临界及多解性问题 4．如图所示，倾角为、半径为的倾斜圆盘，绕过圆心垂直于盘面的转轴匀速转动。一个质量为的小物块放在圆盘的边缘，恰好随圆盘一起匀速转动。图中分别为小物块转动过程中所经过的最高点和最低点，与的夹角为。小物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，小物块与圆盘间的动摩擦因数。下列说法正确的是（　　） A．小物块受到的摩擦力始终指向圆心 B．小物块在点时受到的摩擦力大小为 C．小物块从运动到的过程，摩擦力减小 D．小物块从运动到的过程中，摩擦力做功 题型四 万有引力与宇宙航行 1．（2025北京，T7，3分）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 2．（2025重庆，T7，4分）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（　　） A．轨道半径之比为 B．周期之比为 C．线速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 3．（2025甘肃，T2，4分）如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．若，小星球做匀速圆周运动 B．若，小星球做抛物线运动 C．若，小星球做椭圆运动 D．若，小星球可能与恒星相撞 4．（2025四川，T6，4分）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（    ） A． B． C． D． 5．（2025山东，T10，4分）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A． B． C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 知识1 开普勒定律及其应用技巧 开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律 （轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 （面积定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 推论：= 开普勒第三定律 （周期定律） 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 =k，k是一个与行星无关，只与中心天体的质量有关的常量 知识2 天体质量及密度的计算 1.重力加速度法 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解。 （1）由G=mg得天体质量M=。 （2）天体密度ρ===。 2.天体环绕法 利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。 （1）由G=mr得天体的质量M=。 （2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。 （3）若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 知识3 卫星的发射、运行及变轨 在地面附近静止 忽略自转：G=mg，故GM=gR2（黄金代换式） 考虑自转： 两极：G=mg 赤道：G=mg0+mω2R 卫星的发射 地球的第一宇宙速度：v===7.9 km/s是最小的发射速度和最大的环绕速度 （天体）卫星在圆轨道上运行 G=Fn= “轨高速低周期大” 变轨 （1）由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之 （2）卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度 （3）根据开普勒第三定律，半径（或半长轴）越大，周期越长 知识4 几种特殊卫星的规律 近地卫星、静止卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，运动半径为r1；b为静止卫星，运动半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，运动半径为r3。 比较项目 近地卫星 （r1、ω1、v1、a1） 静止卫星 （r2、ω2、v2、a2） 赤道上随地球自转的物体（r3、ω3、v3、a3） 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1=r3 角速度 由G=mω2r得ω=，故ω1>ω2 静止卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2=ω3 ω1>ω2=ω3 线速度 由G=m得v=，故v1>v2 由v=rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加速度 由G=ma得a=，故a1>a2 由a=ω2r得a2>a3 a1>a2>a3 考向1 开普勒定律的应用 1．（2025·北京东城·二模）开普勒三定律是描述行星运动的基本规律。 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 这三条规律也适用于卫星绕行星的运动。 (1)一个质量为的探测器绕某行星做匀速圆周运动，轨道半径为，如图甲所示。行星的质量为，引力常量为。行星和探测器均视为质点。 a.设探测器做匀速圆周运动的周期为，求的表达式； b.探测器在极短的时间内沿运动方向喷射高温气体减速制动，其运动轨迹变为椭圆，如图乙中的轨道I所示；若制动后的速度越小，则椭圆越扁，椭圆轨道的长轴越短，如图乙中的轨道II所示。假设探测器在极短的时间内减速到v，v趋近于零。请结合开普勒第二定律，分析并计算探测器的“近点”到行星的距离； c.假设探测器在极短的时间内制动减速至零，其在万有引力的作用下向行星做变加速直线运动，如图丙所示。请结合开普勒第三定律，求探测器到达行星所用的时间。 (2)真空中固定着一带正电的点电荷，所带电荷量为，距离为处有一质量为、带电量为的点电荷，该电荷由静止释放，如图丁所示。静电力常量为。库仑力与万有引力都与距离的平方成反比，结合运动与相互作用观，类比（1），求带电量为的点电荷仅在静电力的作用下到达所用的时间。不计带电量为的点电荷运动过程中的电磁辐射。 考向2 万有引力定律及天体质量和密度的计算 2．(2025·北京人大附中·月考)设嫦娥号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，测得飞船绕月运行周期为T。飞船在月球上着陆后，自动机器人在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处静止释放，经时间t后落到月球表面。已知引力常量为G，由以上数据可以求出的物理量是（　　） A．月球的半径 B．月球的密度 C．月球表面的重力加速度 D．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度 考向3 卫星的发射、变轨及追及 3．(2025·北京人大附中·月考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A．发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间大于6个月 C．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 D．在停泊轨道的机械能比在调相轨道的机械能小 考向4 天体及卫星的运行规律 4．(2025·北京西城区·期末)2025年4月27日，天链二号05星由西昌卫星发射中心成功发射升空。天链二号05星属于地球静止轨道卫星，主要用于为载人航天器和中、低轨道资源卫星提供数据中继和测控服务。天链二号05星在轨做匀速圆周运动时（　　） A．速度小于第一宇宙速度 B．向心加速度大于9.8m/s2 C．周期小于近地卫星的周期 D．角速度大于地球自转的角速度 5．(2025·北京交大附中·月考)如图所示为发射航天器至运行轨道的过程示意图。航天器先进入近地轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3做匀速圆周运动。轨道2分别与轨道1、轨道3相切于P点、Q点。已知近地卫星运动周期为T，万有引力常量G、地球半径R，下列说法正确的是（　　） A．地球的平均密度为 B．航天器在轨道2上的运行周期小于其在轨道3上的运行周期 C．航天器在轨道1上运行时的机械能大于其在轨道3上运行时的机械能 D．航天器在轨道2上Q点的速度大于其在轨道3上Q点的速度 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 力与曲线运动 目录 01 2 02 构·知能架构 3 03 破·题型攻坚 4 题型一 运动的合成与分解 4 真题动向 4 必备知识 9 真题动向 聚焦于矢量运算的本质应用，考查合运动与分运动的独立性、等时性及矢量性理解 必备知识 知识1 小船渡河问题 知识2 关联速度 关键能力 能力1 运动的合成与分解思想 命题预测 考向1 曲线运动特点及运动的合成与分解 考向2 小船渡河问题 考向3 关联速度问题 题型二 抛体运动 15 真题动向 深度融入科技与生活情境，突出非理想条件下的轨迹非对称型分析 必备知识 知识1 平抛运动的推论 知识2 平抛运动与各种面结合问题 知识3 斜抛运动 关键能力 能力1 平抛运动临界问题的求解思路 能力2 逆向思维解决斜抛运动 命题预测 考向1 平抛运动及其规律的应用 考向2 平抛运动与斜面、曲面的结合 考向3 斜抛与类平抛 题型三 圆周运动 21 真题动向 聚焦生活科技情境，考查向心力来源与临界模型综合应用 必备知识 知识1 水平面内圆周运动的动力学问题 知识2 竖直面内圆周运动的临界问题 知识3 斜面上圆周运动的临界问题 知识4 常见的传动方式及特点 关键能力 能力1 圆周运动的求解思路 能力2 圆周运动的临界问题 命题预测 考向1 描述圆周运动的物理量及两种传动模型 考向2 圆周运动的动力学问题 考向3 圆周运动的临界及多解性问题 题型四 万有引力与宇宙航行 26 真题动向 结合航天工程与宇宙模型，深化万有引力与动力学融合考查 必备知识 知识1 开普勒定律及其应用技巧 知识2 天体质量及密度的计算 知识3 卫星的发射、运行及变轨 知识4 几种特殊卫星的规律 命题预测 考向1 开普勒定律的应用 考向2 万有引力定律及天体质量和密度的计算 考向3 卫星的发射、变轨及追及 考向4 天体及卫星的运行规律 命题轨迹透视 从近三年北京高考物理试题来看，试题以选择题、计算题为主，难度中等。命题趋势：情境载体‌：延续生活+科技前沿风格，在汽车刹车、火箭发射等经典情境外，新增航天器轨道调整、新型交通工具动力学设计等科技内容，考查规律的场景迁移应用能力。知识融合‌：一是跨模块结合牛顿运动定律、曲线运动与能量/动量守恒；二是多过程串联加速、偏转、碰撞等环节，需分阶段建模求解。能力考查‌：强化物理建模与定量计算，涉及变力做功、微元法分析等；实验探究可能拓展至平抛运动受力轨迹、圆周运动向心力测量等，考查原理迁移与误差分析。选择题侧重基础概念与简单模型应用，计算题以综合题为主，考查复杂模型分析求解。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 运动的合成与分解 抛体运动 北京卷T17，3分 北京卷T4，3分 圆周运动 北京卷T10，3分 万有引力与宇宙航行 2026命题预测 预计2026年北京物理高考在力与曲线运动方面，将围绕牛顿运动定律、曲线运动规律、万有引力定律等核心内容展开。重点考查物理建模与综合分析能力，学生要熟练掌握运动学公式、牛顿定律及曲线运动相关规律的综合应用，精准分析多过程、多模型的运动问题，科学处理实验数据；需重视受力分析与运动过程拆解，合理建立物理模型，考虑多种因素对运动结果影响，科学选取分析方法。命题会结合航天探测、机械传动等生活及科技前沿实际情境，学生要了解其运动原理与受力逻辑。还强调对运动方案评估改进，学生要能发现模型不足并提出优化措施。此外，力与曲线运动可能和电磁学、能量等模块结合，学生需具备跨模块知识整合运用能力。 题型一 运动的合成与分解 1．（2025黑吉辽蒙，T6，4分）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（   ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【解析】设两边绳与竖直方向的夹角为，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为，将沿绳方向和垂直绳方向分解，将沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得 解得 由于塔块匀速下落时在减小，故可知v一直增大。故选B。 命题解读 新情境：将运动的合成与分解问题融入到趣味运动会的“聚力建高塔”这一新颖活动中，区别于传统的滑块、滑轮等常见物理模型情境，以生活中趣味活动为载体，给考生带来较为新鲜的感受，使考生需要将实际情境转化为熟悉的物理模型来解决问题。 新考法：以往运动的合成与分解题目常常直接给出物体的运动状态和相关物理量，让考生求解其他物理量。本题则是给定塔块竖直匀速下落这一运动结果，反向要求考生分析为实现该结果，同学手运动速率v的变化情况，属于逆向思维的考查方式，打破常规正向求解的考法。 新角度：从运动的关联角度来看，本题涉及到两个物体（同学的手和塔块）的运动关联，且需要通过对速度进行分解，找到沿绳方向速度的关系来建立等式求解。区别于常见的单个物体运动或者简单的连接体直线运动等角度，从两个物体在二维平面上运动的关联角度进行考查，对考生分析运动关系的能力要求更高。 2．（2025湖南，T2，4分）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为，加速度为大小，斜面倾角为 AB．物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为，加速度大小为，则有 整理可得 可知，图像为类似抛物线的一部分，故AB错误； CD．物块在竖直方向上做匀减速直线运动，速度为，加速度大小为，则有 整理可得 可知，图像为类似抛物线的一部分，故C正确，D错误。故选C。 命题解读 新情境：物块在光滑斜面上运动是较为常见的物理情境，并非全新的情境。在力学学习中，斜面上物体的运动是典型模型，学生通常有一定的认知基础。 新考法：传统考法多侧重于对物块在斜面上整体运动的分析，比如求加速度、运动时间、位移等，或者是对物块进行受力分析求解力的大小等。本题没有采用这些常规考法，而是从图像判断的角度出发，要求学生根据运动学规律分析水平和竖直方向上速度与位移的关系，进而判断图像的正确性，属于对常见模型的一种新的考查方式。 新角度：以往对于斜面上物体运动的考查，在图像问题上可能更多关注速度-时间、位移-时间等常见图像。本题从水平和竖直分方向的速度-位移图像角度切入，通过分析vx−x、vy−y图像的形状来考查学生对运动分解以及速度-位移关系的理解和应用，是一个相对新颖的角度。 知识1 小船渡河问题 1.船的实际运动：水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2.三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。 3.两类问题、三种情景 情况 图示 说明 渡河时间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin= 渡河位移最短 如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d 如果v船<v水，当船头方向（即v船方向）与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于 4.分析小船渡河问题的思维流程 知识2 关联速度 1.模型分析 把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）的两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。 （1）合速度：绳（杆）拉物体的实际运动速度v。 （2）分速度 （3）方法：v∥与v⊥的合成遵从平行四边形定则。 2.常见的模型（如表所示） 情景图示 分解图示 定量结论 vB=vAcos θ vAcos θ=v0 vAcos α=vBcos β （注：A沿斜面下滑） vBsin α=vAcos α 3.题型特点 与绳（杆）相连的物体运动方向与绳（杆）不在一条直线上。 4.明确合速度与分速度 合速度→绳（杆）拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线 5.解题原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分速度，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。 能力1 运动的合成与分解思想 判断两个直线运动的合运动性质的方法 1.分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的性质。 2.常见的情况： 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 考向1 曲线运动特点及运动的合成与分解 1．（2025·北京东城·一模）一质量为的物块在光滑水平面上以速度做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力作用，其速度大小先减小后增大，最小值为。下列图中初速度与恒力夹角正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意知初速度与恒力的夹角大于，如图所示将速度沿力方向和垂直力方向分解，设速度与垂直力方向夹角为，则有 解得，则初速度与恒力夹角为。 故选A。故选C。 2．(2025·北京第171中学·月考)一质量为2kg的质点在某xy平面上做匀加速曲线运动，在该平面上建立直角坐标系并将运动分解在x轴和y轴上进行研究，在x方向的位移-时间图线为抛物线，类似于自由落体，如图甲；在y方向的位移-时间图像为直线，如图乙，求： (1)t＝0时，质点在x方向的速度，y方向的速度，初速度v； (2)2s内质点的位移大小； (3)质点运动的加速度是多少？所受的合力多大？ 【答案】(1)0，4m/s，4m/s，方向沿y轴负方向 (2) (3)4m/s2，8N 【解析】（1）由题图且抛物线的顶点为（0，0），可知质点在x轴方向上做初速度为零的匀加速运动，初速度vx0=0 质点在y轴方向上做匀速直线运动，速度大小vy=4m/s 则质点的初速度等于y方向的分速度，大小v=vy=4m/s，方向沿y轴负方向； （2）2s内质点在沿x轴方向的位移x=8m；沿y轴方向位移的大小y=8m 则质点2s内位移的大小 （3）t=0时刻沿x方向的位移为零，t=2s时刻沿x方向的为8m，由x=at2知，质点的加速度 质点所受的合力大小F合=ma=2×4N=8N 合力方向沿x轴正方向。 考向2 小船渡河问题 3．(2025·北京育才学校·月考)一小船在静水中的速度为，它在一条河宽、流速为的河流中渡河，则下列说法正确的是（　　） A．小船不可能到达正对岸 B．小船渡河时间不少于 C．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 D．小船以最短位移渡河时，位移大小为 【答案】C 【解析】A．小船在静水中的速度（3m/s）大于水流速度（2m/s），因此可以通过调整船头方向使合速度方向垂直河岸，从而到达正对岸，故A错误； B．小船渡河的最短时间为河宽除以船速，即 因此渡河时间不少于50秒，而非75秒，故B错误； C．以最短时间渡河时，船头垂直河岸，用时，则水流方向的位移为，故C正确； D．当船速大于水速时，最短位移为河宽150m，而非200m，故D错误。 考向3 关联速度问题 4．(2025·北京顺义牛栏山第一中学·期中)建筑工地常用如图所示装置将建材搬运到高处，光滑杆竖直固定在地面上，斜面体固定在水平面上，配重P和建材Q用轻绳连接后跨过光滑的定滑轮，配重P穿过光滑竖直杆，建材Q放在斜面体上，且轻绳与斜面平行，开始时建材静止在斜面上，之后增加配重质量，建材沿斜面上滑，下列分析正确的是（　　） A．当P、Q滑动时，则P、Q速度大小一定相等 B．当P、Q滑动时，P减小的机械能一定等于Q增加的机械能 C．当P、Q静止时，细线上的拉力一定大于竖直杆对P的弹力 D．当P、Q静止时，斜面对Q的摩擦力可能斜向下 【答案】CD 【解析】A．根据题意可知，当P、Q滑动时，沿绳方向的分速度大小与的速度大小相等，故A错误； B．与斜面之间有摩擦力，当P、Q滑动时，P减小的机械能等于Q增加的机械能和因与斜面之间摩擦产生的热之和，则P减小的机械能一定大于Q增加的机械能，故B错误； C．由于竖直杆光滑，则当P静止时，绳子一定不能与杆垂直，则绳子拉力沿水平的分力等于竖直杆对P的弹力，即细线上的拉力一定大于竖直杆对P的弹力，故C正确； D．当P、Q静止时，若绳子的拉力大于重力沿斜面向下的分力，则有向上的运动趋势，斜面对Q的摩擦力沿斜面向下，故D正确。故选CD。 题型二 抛体运动 1．（2025江西，T4，4分） 如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若小孩能接到球，则有， 联立解得；故选B。 命题解读 新情境：将平抛运动的物理知识融入到人形机器人和小孩互动的接球游戏场景中，区别于传统的纯物理模型题目，是贴近生活化、趣味化的创新情境。 新考法：以生活化的游戏场景为载体，设置双主体相向运动的模型，考查学生对平抛运动规律的综合应用能力，区别于常规的单纯计算类考法，属于结合实际场景的创新考法。 新角度：不同于常规平抛运动题只聚焦抛出物体自身的运动参数求解，本题从机器人和小孩的相对运动角度切入，结合两者的水平运动状态，来推导抛球的初速度，是全新的考查视角。 2．（2025北京，T，分） 某物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，经过时间t到达最高点。在最高点该物体炸裂成两部分，质量分别为和m，其中A以速度v沿水平方向飞出。重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)该物体抛出时的初速度大小； (2)炸裂后瞬间B的速度大小； (3)落地点之间的距离d。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）物体竖直上抛至最高点时速度为0，由运动学公式 可得 （2）爆炸瞬间水平方向动量守恒，爆炸前总动量为0。A速度为v，设B速度为vB，由动量守恒定律得 解得 即大小为2v （3）根据竖直上抛运动的对称性可知下落时间与上升时间相等为t，则A的水平位移 B的水平位移 所以落地点A、B之间的距离 命题解读 新思维：本题需要突破单一运动模型的分析思维，建立多阶段运动关联思维：要先从竖直上抛运动的末状态切入，再结合爆炸过程的动量守恒，最后关联平抛运动的规律，将三个不同物理过程串联起来分析，要求学生能清晰拆解复杂运动的各个阶段，并且精准运用对应物理规律衔接各阶段，体现了对复杂运动过程综合分析的新思维要求。 新考法：区别于传统单一考查竖直上抛、爆炸动量守恒或平抛运动的考法，本题以连续的物理过程为载体，将竖直上抛的末速度、爆炸的动量守恒、平抛的落地位移整合在一个问题中，需要学生综合运用运动学公式和动量守恒定律，从过程衔接的角度求解问题，属于多知识点融合的综合考法。 新角度：不同于常规题目单一聚焦某一个物理过程的考查，本题从运动过程的衔接点切入：以竖直上抛的最高点作为核心节点，既考查最高点前的竖直上抛运动，又以此为初始条件考查爆炸过程，再以爆炸后的状态为起点考查平抛运动，重点考查不同运动模型在关键节点的规律衔接，是从过程关联角度的新考查视角。 知识1 平抛运动的推论 1.熟记平抛运动的两个重要推论 （1）做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定能过此时水平位移的中点，如图甲所示，B是OC的中点。 （2）做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻（任一位置处），设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ=2tan α。 知识2 平抛运动与各种面结合问题 1.平抛运动的约束条件 常见的有“斜面”约束和“曲面”约束。解此类问题的关键是： （1）灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。 （2）充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。 （3）“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。 2.常见类型示例 运动情景 分析策略 分解速度tan θ== 分解速度tan θ== 分解位移tan θ==　= 分解位移tan θ==　= 分解速度tan θ== 在半圆内的平抛运动，h=gt2，R+=v0t 知识3 斜抛运动 基本规律 以斜抛运动（以斜上抛运动为例）的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 1.初速度可以分解为v0x=v0cos θ，v0y=v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x=v0xt=（v0cos θ）t vx=v0x=v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y=v0yt-gt2=（v0sin θ）t-gt2 vy=v0y-gt=v0sin θ-gt 2.当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h==。 ②斜抛运动的飞行时间：t==。 ③射程：s=v0cos θ·t==， 对于给定的v0，当θ=45°时，射程达到最大值，smax=。 能力1 平抛运动临界问题的求解思路 1.平抛运动中临界问题的两种常见情形 （1）物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度。 （2）物体的速度方向恰好达到某一方向。 2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 能力2 逆向思维解决斜抛运动 对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。 考向1 平抛运动及其规律的应用 1．(2025·北京昌平区·期末)如图所示，运动员在同一高度的前后两个不同位置将网球击出，网球垂直击中竖直墙上的同一点。不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．沿轨迹 1 运动的网球被击出时的速度较大 B．两轨迹中网球撞墙的速度大小相等 C．从击出到撞墙，沿轨迹 1 运动的网球在空中运动的时间较短 D．从击出到撞墙，沿轨迹 2 运动的网球在空中运动的时间较短 【答案】A 【解析】AB．网球运动的逆过程为平抛运动，根据平抛运动规律有， 可见沿轨迹 1 运动的网球水平方向速度较大，被击出时的速度大小为 则沿轨迹 1 运动的网球被击出时的速度较大，故A正确，B错误； CD．在竖直方向上，两球上升的高度相同。根据 可知两球在空中运动的时间t相同，故CD错误。故选A。 考向2 平抛运动与斜面、曲面的结合 2．(2025·北京西城外国语学校·期末)如图所示，跳台滑雪运动员获得一定速度后从跳台处沿水平方向飞出，在斜坡的处着陆。斜坡可视为倾斜平面，斜坡与水平方向的夹角为，测得间的距离为。运动员在点时离坡面最远，垂直距离为。不计空气阻力，取。下列说法正确的是（　　） A．运动员在空中的飞行时间为 B．运动员从处飞出时的初速度大小为20m/s C．运动员从到的时间等于从到的时间 D．的长度等于的长度 【答案】C 【解析】A．根据平抛运动的规律可知 解得运动员在空中的飞行时间为，A错误； B．运动员从处飞出时的初速度大小为，B错误； C．运动员在垂直于斜面方向做匀变速运动，由可知，运动员从到的时间等于从到的时间，C正确； D．运动员在沿斜面方向做匀加速运动，可知的长度小于的长度，D错误。故选C。 考向3 斜抛与类平抛 3．(2025·北京朝阳区·期中)某小组在研究抛体运动实验中，将小球抛出后对其进行频闪照相。如图所示，是截取的一部分照相底片。经数据分析，小球经过、两位置时的速度可取为、，方向分别与连线成和夹角。重力加速度大小为。不计空气阻力。则（　　） A．重力方向与连线成夹角 B．小球运动的最小速度为 C．小球从到的运动时间为 D．小球从到下落的高度为 【答案】CD 【解析】A．设vP方向与水平方向的夹角为α，可知vQ方向与水平方向的夹角为90°-α，则沿水平方向速度不变可知 可得 即重力方向与连线成夹角，A错误； B．小球运动的最小速度为，B错误； C．小球从到的运动时间为，C正确； D．小球从到下落的高度为，D正确。故选CD。 题型三 圆周运动 1．（2025江苏，T4，4分）游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以、为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与、恰好在同一条直线上。则（    ） A．A点做匀速圆周运动 B．点做匀速圆周运动 C．此时A点的速度小于点 D．此时A点的速度等于点 【答案】B 【解析】A．A点运动为A点绕的圆周运动和相对于O的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，故不做匀速圆周运动，故A错误； B．根据题意固定在底盘上，故可知围绕O点做匀速圆周运动，故B正确； CD．杯上A点与、恰好在同一条直线上时且在延长线上，点和点运动运动方向相同，又A点相对点做圆周运动，故此时A的速度大于的速度，故CD错误。故选B。 命题解读 新情境：以游乐设施“旋转杯”为情境，虽然本质仍是圆周运动相关知识，但相较于常见的小球在竖直平面内做圆周运动、物体在水平圆盘上随盘做圆周运动等传统情境，“旋转杯”这种生活中游乐设施的情境相对新颖，能让考生将物理知识与实际生活中的场景相联系。 新考法：传统考法对于圆周运动，多是直接考查向心力的来源、向心加速度的计算、临界条件等。本题则是通过分析物体参与两个不同圆心的圆周运动的合成情况，判断物体的运动性质（是否为匀速圆周运动）以及不同点的速度关系，这种从运动合成角度考查圆周运动的方式，区别于传统单一圆周运动模型的考法。 新角度：以往对于圆周运动中速度的考查，常是围绕同一圆周运动中不同位置的速度大小和方向变化，或者是多个物体在不同圆周上但圆心相同的速度比较等。本题从物体同时参与两个不同圆心的圆周运动，分析某一时刻不同点（A点和O′点，A点运动是两个圆周运动的合成，O′点做单一圆周运动）的速度关系这一角度切入，是较为新颖的角度。 2．（2025重庆，T3，4分）“魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度进入半经为R的OP圆孤段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则（　　） A．汽车到O点时，列车行驶距离为s B．汽车到O点时，列车行驶距离为 C．汽车在OP段向心加速度大小为 D．汽车在OP段向心加速度大小为 【答案】B 【解析】AB．对汽车，根据速度位移关系 可得匀减速运动的加速度大小 汽车做减速运动的时间 这段时间列车行驶距离为 B正确，A错误； CD．根据 可得汽车在OP段向心加速度大小为 CD错误。故选B。 命题解读 新情境：以重庆独特的立体交通为背景设置问题情境，将物理问题与现实生活中复杂的交通场景相结合，相比传统的平直路面或简单斜面上物体的运动情境，具有一定新颖性。不过，从运动模型本质来看，仍是匀速直线运动、匀减速直线运动和匀速圆周运动这些常见模型的组合。 新考法：传统考法可能更多聚焦于单一运动过程或单一物体的运动分析。本题将两种不同类型的运动（列车的匀速直线运动和汽车的匀减速 - 匀速圆周运动）结合起来，并且从两车运动的关联角度（同时出发，比较汽车到某点时列车的行驶情况）进行考查，不再是孤立地分析单个物体的运动，属于新的考法。 新角度：在圆周运动的考查中，以往可能更侧重于对线速度、角速度、周期等物理量的常规计算，本题则是通过结合汽车在直线段的匀减速运动，进而考查其进入圆周运动后的向心加速度，从两种不同运动衔接的角度考查圆周运动知识，是一个新的考查角度。 3．（2025江西，T7，4分）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可知，转弯时车轮会向外偏移，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为，根据几何关系有 同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为，则有 设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有 由于 则有 转弯过程俯视图，如图所示 由几何关系有 联立解得；故选C。 命题解读 新情境：火车过弯是常见情境，但将固定连接为一体的两轮设计成锥顶角θ很小的圆台形来避免轮子打滑这一具体设计，相对传统火车过弯模型是一种新情境。它从实际工程设计的角度出发，为解决火车过弯打滑问题提供了新的思路和模型，让学生接触到更贴近实际工程应用的物理情境。 新思维：本题需要学生运用转化与等效的思维方式。一方面，将火车过弯时内外轮滚动的距离关系，通过两轮固定连接且不打滑转化为内外轮半径的关系；另一方面，把火车沿曲线轨道的运动，在分析轮子滚动距离时，运用化曲为直的思想，将弧长近似等效为直线距离（结合s=ωrt，其中s为运动距离，ω为角速度，r为半径，t为时间），从而建立起几何关系求解。这种思维方式突破了常规对圆周运动的分析，更注重知识的综合运用和思维的灵活性。 新角度：以往对于圆周运动中过弯问题的考查，多侧重于向心力的分析、临界条件的求解等角度。本题则从火车轮子的特殊结构出发，以轮子不打滑且限制横向偏移量为条件，从几何关系和运动关联的角度来求解过弯半径，改变了传统的考查侧重点，为圆周运动的考查提供了新的角度，更强调学生对运动过程中各物理量之间关系的理解和运用几何知识解决物理问题的能力。 知识1 水平面内圆周运动的动力学问题 水平面内圆周运动的向心力的来源 运动模型 向心力的来源图示 汽车在水平路面转弯 水平转台（光滑） 圆锥摆式受力模型 圆锥摆 飞车走壁 飞机水平转弯 火车转弯 知识2 竖直面内圆周运动的临界问题 1.运动特点 （1）竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。 （2）只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。 （3）竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周最高点时的速度。 2.常见模型 轻绳模型 轻杆模型 情景图示 弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg+FT=m mg±FN=m 临界特征 FT=0，即mg=m，得vmin= （1）恰好过最高点，v=0，FN=mg （2）恰好无弹力，FN=0，v= 模型关键 （1）“绳”只能对小球施加向下的力（2）小球通过最高点的速度至少为 （1）“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力 （2）小球通过最高点的速度最小可以为0 知识3 斜面上圆周运动的临界问题 物体在倾斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，平行斜面的分力与静摩擦力的合力提供向心力。 在转动过程中，转动越快，物体最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时，有μmgcos θ-mgsin θ=mω2R。 知识4 常见的传动方式及特点 常见的三种传动方式 类型 图示 特点 同轴传动 绕同一转轴运转的物体，角速度相同，ωA=ωB，由v=ωr知v与r成正比 皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA=vB 摩擦传动或齿轮传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA=vB 能力1 圆周运动的求解思路 圆周运动中动力学问题的分析思路 能力2 圆周运动的临界问题 分析竖直平面内圆周运动临界问题技巧 （1）判断是轻绳模型还是轻杆模型，清楚不同模型的临界状态。 （2）物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程。 （3）物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两位置间的速度关系。 （4）容易忽视点：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。 考向1 描述圆周运动的物理量及两种传动模型 1．(2025·北京海淀区·期中)如图所示，、两点分别位于大、小两轮的边缘，大轮半径是小轮半径的2倍，点是的中点，两轮之间靠摩擦传动，且没有相对滑动。关于、、三点的角速度的大小、、，以及线速度的大小、、的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】A、C两点同轴转动，则角速度相等，即 根据可知 A、B两点同缘转动，可知线速度相等，即 根据可知 综上所述，则， 故选BD。 考向2 圆周运动的动力学问题 2．(2025·北京第一○一中学·期末)如图所示，水平放置的圆盘以角速度匀速转动，圆盘上有两个质量均为的物块P和Q（两物块均可视为质点），它们随圆盘一起做匀速圆周运动。已知物块距圆心的距离分别为和，。物块与转盘间的动摩擦因数为，重力加速度为。下列说法不正确的是（　　） A．它们受到的静摩擦力方向都指向圆心 B．它们所受静摩擦力大小之比为 C．若圆盘突然停止转动，两物块将沿半径反方向飞出 D．若不断提高圆盘转速，物块将先被甩出 【答案】C 【解析】A．两个物块随圆盘一起做匀速圆周运动，合力提供向心力，它们水平方向只受到摩擦力，因此它们受到的静摩擦力方向都指向圆心，故A不符合题意； B．摩擦力提供向心力，角速度均为，因此有， 它们所受静摩擦力大小之比为，故B不符合题意； C．若圆盘突然停止转动，由于惯性，两物块将保持原来运动的方向飞出，即垂直于半径飞出，故C符合题意； D．假设有可知半径越大，做匀速圆周运动需要的摩擦力越大，因此若不断提高圆盘转速，物块将先达到最大静摩擦力，先被甩出，故D不符合题意。故选C。 3．(2025·北京日坛中学·月考)振动电机实际上是一个偏心轮，简化模型如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力的大小为，小球在最高点的速度大小为v，图像如图乙所示。求： (1)当小球在最高点的速度为何值时，杆对小球的作用效果分别如下面三种情况 a.杆对小球为拉力； b.杆对小球为推力； c.杆对小球无作用力； (2)小球的质量； (3)若，则此时杆对小球的弹力大小。 【答案】(1)a. ；b. ；c. ；(2) (3) 【解析】（1）由图乙可知，当时，，即当时，重力刚好提供向心力，杆对小球无作用力；则当时，重力不足以提供小球所需的向心力，此时杆对小球为拉力；当时，重力大于小球所需的向心力，此时杆对小球为推力。 （2）由图乙可知，当时，有 当时，，此时有 联立解得小球的质量为 （3）若，则有 解得 考向3 圆周运动的临界及多解性问题 4．如图所示，倾角为、半径为的倾斜圆盘，绕过圆心垂直于盘面的转轴匀速转动。一个质量为的小物块放在圆盘的边缘，恰好随圆盘一起匀速转动。图中分别为小物块转动过程中所经过的最高点和最低点，与的夹角为。小物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，小物块与圆盘间的动摩擦因数。下列说法正确的是（　　） A．小物块受到的摩擦力始终指向圆心 B．小物块在点时受到的摩擦力大小为 C．小物块从运动到的过程，摩擦力减小 D．小物块从运动到的过程中，摩擦力做功 【答案】BCD 【解析】A．小物块随圆盘做匀速圆周运动，其合外力始终指向圆心。小物块受重力、支持力和摩擦力，重力沿圆盘平面有分力，根据平行四边形定则可知摩擦力并不始终指向圆心，故A错误； B．在最低点恰好相对圆盘静止，则说明摩擦力达到最大静摩擦力，依题意有 又因为，解得 在C点时，摩擦力指向圆心的分力提供向心力，大小为 摩擦力的另一个分力平衡重力沿斜面方向的分力，大小为 两个分力的夹角为，所以C点所受摩擦力大小为 故B正确； C．设小物块位置与圆心连线和OA夹角为，结合B选项分析可知小物块从运动到的过程，摩擦力大小 由于大小不变，从B到A，从减小到，则增大，故摩擦力减小，故C正确； D．小物块从运动到的过程中，由动能定理有 可知摩擦力做功 故D正确。故选 BCD。 题型四 万有引力与宇宙航行 1．（2025北京，T7，3分）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 【答案】A 【解析】A．在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确； B．探测器受到万有引力，由 解得 在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误； C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误； D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得 解得 利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。故选A。 2．（2025重庆，T7，4分）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（　　） A．轨道半径之比为 B．周期之比为 C．线速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 【答案】D 【解析】A．太阳直径远小于金星的轨道半径，太阳直径忽略不计，根据题意结合几何知识可知地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为，故A错误； BCD．根据万有引力提供向心力有 解得，， 故可得周期之比为； 线速度大小之比为； 向心加速度大小之比为； 故BC错误，D正确；故选D。 命题解读 新考法：传统天体运动考法常围绕单一星球绕中心天体运动，求解其运动参数，或两星球运动参数简单对比。本题结合“金星凌日”现象，通过地球上两点观测金星在太阳表面小黑点的距离这一独特条件，建立几何关系来确定地球和金星轨道半径关系，进而求解运动参数比值，属于新颖的考查方式。 新思维：一般天体运动问题多从万有引力公式直接推导各物理量关系。本题需先依据观测条件构建几何模型，得出轨道半径比例关系，再运用万有引力定律推导周期、线速度、向心加速度表达式并求解比值，要求考生将几何知识与天体运动知识融合，转换思维方式。 新角度：以往天体运动图像类考查多涉及速度 - 时间、位移 - 时间等图像。本题从“金星凌日”观测现象角度切入，以几何关系为纽带，考查对天体运动中轨道半径、周期、线速度、向心加速度等物理量关系的理解与应用，是对天体运动知识考查角度的创新。 3．（2025甘肃，T2，4分）如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．若，小星球做匀速圆周运动 B．若，小星球做抛物线运动 C．若，小星球做椭圆运动 D．若，小星球可能与恒星相撞 【答案】A 【解析】A．根据题意，由万有引力提供向心力有 解得 可知，若，小星球做匀速圆周运动，故A正确； B．结合A分析可知，若，万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要的向心力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，而不是抛物线运动，故B错误； C．若，这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，小星球将做抛物线运动，而不是椭圆运动，故C错误； D．若，小星球将脱离恒星引力束缚，做双曲线运动，不可能与恒星相撞，故D错误。故选A。 命题解读 新考法：传统对天体运动的考查多是给定运动状态求相关物理量（如速度、轨道半径等），或根据物理量确定运动状态。本题则是通过给定小星球在特定位置的速度大小范围，让考生判断其对应的运动轨迹类型，从运动轨迹判断角度考查知识，属于新考法。 新思维：以往思维多集中在天体做圆周运动时万有引力等于向心力的常规模型。本题需考生突破此常规思维，理解当速度变化时，万有引力与所需向心力的关系改变，导致运动轨迹从圆周运动变为椭圆运动、抛物线运动等，从不同运动轨迹的本质原因（力与运动的关系）出发思考问题，体现新思维。 新角度：常见考查角度是对天体整体运动特征或单个物理量的分析。本题从速度临界值角度切入，以小星球在某一位置的速度与特定临界速度比较为线索，深入分析小星球的运动情况，是对天体运动考查的新角度。 4．（2025四川，T6，4分）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设卫星转动的周期为，根据题意可得 可得 根据万有引力提供向心力 可得 代入 可得；故选A。 命题解读 新思维：常规思维在处理卫星运动问题时，通常聚焦于卫星自身的运动参数和受力分析。本题需要建立一种新的思维模式，即从信号强度变化的角度去理解卫星和地球的相对转动关系。观测站接收到信号强度最强时，意味着卫星和观测站的相对位置有特定关系，通过对信号强度变化规律（每隔T/2信号强度最强）的分析，得出在T/2时间内地球转0.50.5圈、卫星转1.51.5圈的结论，从而确定卫星的周期，这是不同于传统思维的地方。 新考法：传统对于卫星绕地球运动的考查，多是直接给出卫星的周期、线速度等运动学量，或者卫星所受万有引力等动力学量，然后求解其他相关物理量。本题则是通过赤道观测站接收到的卫星信号强度变化这一新颖的方式，来间接反映卫星与地球的相对运动关系，进而求解卫星轨道半径，属于一种新的考查形式。 新角度：以往考查卫星轨道半径等问题，角度多集中在卫星本身的圆周运动规律、万有引力与向心力的关系等方面。本题从地球和卫星相对运动的角度出发，以地球上观测站接收到的信号强度变化为切入点，将地球的自转和卫星的公转相结合进行分析，是一个较为新颖的考查角度。 5．（2025山东，T10，4分）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A． B． C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 【答案】BC 【解析】AB．物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向 可得 要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足 最大角速度等于 联立可得 故A错误，B正确； CD．无人机从A到B的时间 由于t′>t 可知无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，故C正确，D错误。故选BC。 命题解读 新考法：传统考法中，圆周运动与平抛运动的考查往往是独立的，比如单独考查平抛运动的规律（求平抛运动的时间、水平位移等），或者单独考查圆周运动的线速度、角速度、向心力等。本题将两者结合，且以无人机定点投放这一实际应用场景为载体，要求根据物品落点范围来确定无人机圆周运动的最大角速度，以及判断不同位置物品的落地情况，这种将两种运动在实际情境中结合考查的方式属于新考法。 新角度：以往对于圆周运动与平抛运动结合的考查，角度多集中在平抛物体从圆周运动的装置上抛出后简单的轨迹分析、落点计算等。本题从无人机投放物品的角度出发，考虑了投放的目标区域限制，通过几何关系（目标区域半径、无人机圆周运动半径与物品平抛水平位移的关系）来确定相关物理量，并且还考查了无人机在圆周运动不同位置时物品的落地状态对比，这是与传统考查角度不同的新角度。 知识1 开普勒定律及其应用技巧 开普勒三定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律 （轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 （面积定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 推论：= 开普勒第三定律 （周期定律） 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 =k，k是一个与行星无关，只与中心天体的质量有关的常量 知识2 天体质量及密度的计算 1.重力加速度法 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解。 （1）由G=mg得天体质量M=。 （2）天体密度ρ===。 2.天体环绕法 利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。 （1）由G=mr得天体的质量M=。 （2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。 （3）若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 知识3 卫星的发射、运行及变轨 在地面附近静止 忽略自转：G=mg，故GM=gR2（黄金代换式） 考虑自转： 两极：G=mg 赤道：G=mg0+mω2R 卫星的发射 地球的第一宇宙速度：v===7.9 km/s是最小的发射速度和最大的环绕速度 （天体）卫星在圆轨道上运行 G=Fn= “轨高速低周期大” 变轨 （1）由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之 （2）卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度 （3）根据开普勒第三定律，半径（或半长轴）越大，周期越长 知识4 几种特殊卫星的规律 近地卫星、静止卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，运动半径为r1；b为静止卫星，运动半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，运动半径为r3。 比较项目 近地卫星 （r1、ω1、v1、a1） 静止卫星 （r2、ω2、v2、a2） 赤道上随地球自转的物体（r3、ω3、v3、a3） 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1=r3 角速度 由G=mω2r得ω=，故ω1>ω2 静止卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2=ω3 ω1>ω2=ω3 线速度 由G=m得v=，故v1>v2 由v=rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加速度 由G=ma得a=，故a1>a2 由a=ω2r得a2>a3 a1>a2>a3 考向1 开普勒定律的应用 1．（2025·北京东城·二模）开普勒三定律是描述行星运动的基本规律。 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 这三条规律也适用于卫星绕行星的运动。 (1)一个质量为的探测器绕某行星做匀速圆周运动，轨道半径为，如图甲所示。行星的质量为，引力常量为。行星和探测器均视为质点。 a.设探测器做匀速圆周运动的周期为，求的表达式； b.探测器在极短的时间内沿运动方向喷射高温气体减速制动，其运动轨迹变为椭圆，如图乙中的轨道I所示；若制动后的速度越小，则椭圆越扁，椭圆轨道的长轴越短，如图乙中的轨道II所示。假设探测器在极短的时间内减速到v，v趋近于零。请结合开普勒第二定律，分析并计算探测器的“近点”到行星的距离； c.假设探测器在极短的时间内制动减速至零，其在万有引力的作用下向行星做变加速直线运动，如图丙所示。请结合开普勒第三定律，求探测器到达行星所用的时间。 (2)真空中固定着一带正电的点电荷，所带电荷量为，距离为处有一质量为、带电量为的点电荷，该电荷由静止释放，如图丁所示。静电力常量为。库仑力与万有引力都与距离的平方成反比，结合运动与相互作用观，类比（1），求带电量为的点电荷仅在静电力的作用下到达所用的时间。不计带电量为的点电荷运动过程中的电磁辐射。 【答案】(1)a.   b.   c. (2) 【解析】（1）a.万有引力提供向心力，有 解得 b.设近P点的速度为，根据开普勒第二定律 由于v趋于零，探测器从远P点到近P点的过程中，万有引力对探测器做正功，所以d趋于零。 c.因制动后探测器做更扁的椭圆轨道，若减速至零时，可认为做长轴为r、短轴为零的无限扁椭圆轨道，其周期为。由开普勒第三定律，得 因为 联立解得 （2）万有引力、库仑力均与距离r的平方成反比，结合运动与相互作用观，图丙中的m与图丁中的-q两者的运动也具有相似性，设电荷-q在距离Q为处做匀速圆周运动时，周期为，则有 荷-q由静止释放可认为做无限扁的椭圆运动，长轴，设其周期为。 类比天体运动中的开普勒第三定律，有 且 综上可得 考向2 万有引力定律及天体质量和密度的计算 2．(2025·北京人大附中·月考)设嫦娥号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，测得飞船绕月运行周期为T。飞船在月球上着陆后，自动机器人在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处静止释放，经时间t后落到月球表面。已知引力常量为G，由以上数据可以求出的物理量是（　　） A．月球的半径 B．月球的密度 C．月球表面的重力加速度 D．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度 【答案】ABC 【解析】C．将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面，则有 可求出月球表面的重力加速度为，故C正确； A．根据向心加速度与周期的关系可得 所以，故A正确； B．根据万有引力近似等于重力有 月球的密度为 联立可得，故B正确； D．设月球绕地球的轨道半径为r′，周期为T′，其向心加速度为 因为不知道月球绕地球的轨道半径以及月球绕地球的周期，所以无法求出月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度，故D错误。故选ABC。 考向3 卫星的发射、变轨及追及 3．(2025·北京人大附中·月考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A．发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间大于6个月 C．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 D．在停泊轨道的机械能比在调相轨道的机械能小 【答案】ABD 【解析】A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A正确； B．地球公转周期为12个月，根据开普勒第三定律 可知，天问一号在地火转移轨道的轨道半径大于地球的公转半径，则运行周期大于12个月，从P点运动到Q点的时间大于6个月，故B正确； C．天问一号在Q点点火加速进入火星轨道，则在地火转移轨道运动时，Q点的速度小于火星轨道的速度，根据万有引力提供向心力有 可得 可知地球公转半径小于火星公转半径，则地球绕太阳的速度大于火星绕太阳的速度，则在地火转移轨道运动时，Q点的速度小于地球绕太阳的速度，故C错误。 D．因在环绕火星调相轨道变轨到停泊轨道，降轨要点火减速，则停泊轨道机械能小，故D正确。 故选ABD。 考向4 天体及卫星的运行规律 4．(2025·北京西城区·期末)2025年4月27日，天链二号05星由西昌卫星发射中心成功发射升空。天链二号05星属于地球静止轨道卫星，主要用于为载人航天器和中、低轨道资源卫星提供数据中继和测控服务。天链二号05星在轨做匀速圆周运动时（　　） A．速度小于第一宇宙速度 B．向心加速度大于9.8m/s2 C．周期小于近地卫星的周期 D．角速度大于地球自转的角速度 【答案】A 【解析】A．卫星绕地球做匀速圆周运动万有引力提供向心力，得。第一宇宙速度是近地轨道（）的环绕速度。地球静止轨道半径 ，因此 小于第一宇宙速度，故A正确； B．万有引力提供向心力，得。地球表面重力加速度。地球静止轨道半径 ，向心加速度小于，故B错误； C．万有引力提供向心力，得 ，地球静止轨道半径 ，故 ，故C错误； D．地球静止轨道卫星周期等于地球自转周期，故角速度相同，故D错误。故选A。 5．(2025·北京交大附中·月考)如图所示为发射航天器至运行轨道的过程示意图。航天器先进入近地轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3做匀速圆周运动。轨道2分别与轨道1、轨道3相切于P点、Q点。已知近地卫星运动周期为T，万有引力常量G、地球半径R，下列说法正确的是（　　） A．地球的平均密度为 B．航天器在轨道2上的运行周期小于其在轨道3上的运行周期 C．航天器在轨道1上运行时的机械能大于其在轨道3上运行时的机械能 D．航天器在轨道2上Q点的速度大于其在轨道3上Q点的速度 【答案】AB 【解析】A．已知近地卫星运动周期为T，根据万有引力提供向心力可得 又 联立可得地球的平均密度为，故A正确； B．根据开普勒第三定律，由于轨道2的半长轴小于轨道3的半径，所以航天器在轨道2上的运行周期小于其在轨道3上的运行周期，故B正确； C．卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，变轨时机械能增加，所以航天器在轨道1上运行时的机械能小于其在轨道3上运行时的机械能，故C错误； D．卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，所以航天器在轨道2上Q点的速度小于其在轨道3上Q点的速度，故D错误。故选AB。 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $