5.2.1等差数列（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第三册

第五章 数 列 5.2 等差数列 5.2.1等差数列 学 习 目 标 1 2 经历情景问题，认识与理解等差数列的定义与通项公式，并能运用通项公式求解相关的实际问题（数学抽象、数学运算、逻辑推理•重点）. 经历问题探究，理解与掌握等差数列的等差中项公式，等差数列基本性质及其推论，并能运用其求解相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理、数学运算•难点）. （一）情景问题 一、等差数列的定义与通项公式 1.情景1——生肖纪年 我国有用12生肖纪年的习惯,例如,2017年是鸡年,从2017年开始,鸡年的年份为 2017,2029,2041,2053,2065,2077,.... ① 观察下列现实生活中的数列,回答后面的问题. （一）情景问题 一、等差数列的定义与通项公式 2.情景2——鞋号脚长 我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位亲表示,常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为 275,270,265,260,255,250,.... ② 观察下列现实生活中的数列,回答后面的问题. （一）情景问题 一、等差数列的定义与通项公式 3.情景3——星期日日期 2019年1月中,每个星期日的日期为 6, 13, 20, 27 ③ 观察下列现实生活中的数列,回答后面的问题. （一）情景问题 一、等差数列的定义与通项公式 4.【问题】2017,2029,2041,2053,2065,2077,.... ① 275,270,265,260,255,250,.... ② 6, 13, 20, 27. ③ 数列①②③有什么共同点？我们数学上是如何定义这些数列的? 观察下列现实生活中的数列,回答后面的问题. 探究：由观察可知上述数列①②③的共同点是: 从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数. 具体地说,数列①从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于 12; 数列②从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于 -5; 数列③从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于 7 . （二）等差数列的定义 一、等差数列的定义与通项公式 一般地,如果数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数,即 恒成立,则称为等差数列,其中称为等差数列的公差. 例如 2017,2029,2041,2053,2065,2077,.... ① 275,270,265,260,255,250,.... ② 6, 13, 20, 27. ③ 由等差数列的定义可知 数列①②③都是等差数列,且公差分别为12 ,-5 ,7 . （三）等差数列的通项公式 一、等差数列的定义与通项公式 1.问题探究：2017,2029,2041,2053,2065,2077,.... ① 275,270,265,260,255,250,.... ② 6, 13, 20, 27. ③ 你能分别总结出数列①②③的通项公式，并得出一般等差数列的通项公式吗? 探究（1）记数列 ①为, 则, , , 由此可得数列①的通项公式为 . 探究（2）记数列②为, 则, , , 由此可得数列①的通项公式为 . 探究（3）记数列③为, 则, , , 由此可得数列①的通项公式为 . （三）等差数列的通项公式 一、等差数列的定义与通项公式 2.等差数列的通项公式 一般地,如果等差数列的首项是,公差是,那么根据等差数列的定义有 , 即,从而 ， ， ， 由此可归纳出等差数列的通项公式为 . 【温馨提示】由等差数列的通项公式说明,只要确定了等差数列的首项与公差,就可以写出等差数列中的每一项. （四）实例运用1——判断数列 一、等差数列的定义与通项公式 例1 判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由． (1)7，13，19，25，31； (2)2，4，7，11； (3)．   【知识点】判断等差数列 【分析】结合等差数列的定义判断即可； 【详解】 （1）因为， 所以是等差数列，且公差为6． （2）因为， 所以，因此不是等差数列． （3）因为， 所以是等差数列，且公差为   （四）实例运用1——求项与判断项 一、等差数列的定义与通项公式 例2 已知等差数列10，7，4，…． (1)求这个数列的第10项； (2)是不是这个数列中的项？呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由．   【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、验证是否为等差数列中的项 【分析】（1）根据等差数列的前三项，求首项和公差，再代入通项公式，即可求解； （2）代入通项公式，计算值，即可判断. 【详解】（1）记数列为，则由题意知 ， 因此数列的通项公式为 ． 当时，有， 因此第10项为．  （2）是数列的第23项，不是数列中的项，理由如下： 设是数列中的第n项，则，解得， 所以是数列的第23项． 设是数列中的第n项，则．解得， 由此可知不是数列中的项． （五）通项公式与函数的关系 一、等差数列的定义与通项公式 1.问题探究 在等差数列的通项公式中，与的关系与以前所学过的什么函数有关？ 探究： ∵, ∴如果令则有 , ∴是关于的一次函数，其中比例系数（斜率）,轴截距, 故等差数列的通项公式是关于的一次函数, 即. （五）通项公式与函数的关系 一、等差数列的定义与通项公式 2.等差数列通项公式与函数的关系 由探究可得如下结论： 已知等差数列的首项是,公差是， 则等差数列的通项公式, 即满足 （1）当公差时，是常数函数，此时数列是常数列（因此公差为0的等差数列是常数列）， （2）当公差时，是关于的一次函数，而且的增减性依赖于公差的符号. 故①当d>0时，是递增数列；②当时，是递减数列. 从图像的角度来看，当用直角坐标系中的点来表示等差数列时，所有的点一定在 一条直线上. （六）实例运用2——已知通项公式，判断数列是否为等差数列 一、等差数列的定义与通项公式 例3 已知数列的通项公式为，判断这个数列是否是等差数列．如果是，求出公差；如果不是，说明理由．   【知识点】判断等差数列 【分析】根据等差数列的定义，即可判断. 【详解】因为， 所以数列是等差数列，且公差为3. （六）实例运用2——等差数列通项公式的扩展形式 一、等差数列的定义与通项公式 例4 已知等差数列的公差为， 求证：对于任意的正整数，有． 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式，即可化简求解. 【详解】设等差数列的首项为， 则 两式相减，整理可得， 故．   （六）实例运用2——已知等差数列两项求其余项 一、等差数列的定义与通项公式 例5 已知等差数列中，,求. 解:设等差数列的首项为，公差为， ∵ , 解得. . 注：例5也可以借助例4的结论求解，请自行尝试 （一）等差中项及其公式 二、等差数列的性质 1.等差中项的定义 如果是等差数列，那么称为与的等差中项. 例如数列2 , 5, 8是等差数列且公差为3，则称5是2与8的等差中项. 2.问题探究 如果的等差中项，那么能用含与的式子表示出来吗？ 探究：∵根据等差中项与等差数列的定义可知 （为数列的公差）， ∴ . （一）等差中项及其公式 二、等差数列的性质 3.等差中项公式 如果 为与的等差中项. 那么 . 例如，2与8的等差中项是 . 【温馨提示】容易看出，在一个等差数列中，中间的每一项（既不是首项 也不是末项的项，下同）都是它的前一项与后一项的等差中项. （一）等差中项及其公式 二、等差数列的性质 4.实例运用——利用等差中项公式判定数列是否为等差数列 例6 已知数列中，在时恒成立，求证：是等差数列． 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由递推公式，迭代为等差数列的定义，即可证明. 证明：∵， ∴． 故从第2项起，每一项与它的前一项的差都相等，所以是等差数列．   【温馨提示】例6说明，如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的 等差中项，那么这个数列一定是等差数列. （二）等差数列的基本性质及其推论 二、等差数列的性质 1.问题探究 数列的通项公式为，求出，并比较它们的大小，你能由此总结出一个一般的结论并给出证明吗？ 探究：∵ ， ∴ , , ∴. 一般地，如果是公差为的等差数列，而且正整数满足， 则， , 又∵， ∴. （二）等差数列的基本性质及其推论 二、等差数列的性质 2.等差数列的基本性质 一般地，如果是公差为的等差数列，而且正整数满足 , 则 . 推论：特别地，如果是公差为的等差数列，而且正整数满足 ， 则 . （二）等差数列的基本性质及其推论 二、等差数列的性质 3.实例运用 例7 如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为，第5级的宽为，且各级的宽度从小到大构成等差数列，求其余三级的宽度． 【详解】解法一：由题意，可得． 设公差为d，则，解得． 因此， ， ． 因此，其余三级的宽度分别为．   解法二：因为等差数列为，共5项． 又因为，所以，即． 类似地，， 所以． 因此，其余三级的宽度分别为． 因此， ， ． 因此，其余三级的宽度分别为． 三、提升演练 练习1 求下列等差数列的第项： (1)，，，… (2)13，9，5，… (3)，，，…   【知识点】利用定义求等差数列通项公式 【分析】由题意得到首项与公差，即可写出通项公式. 【详解】（1）因为，，，所以公差， 则. （2）因为，，，所以公差， 则. （3）因为，，，所以公差， 所以. 三、提升演练 练习2 在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由等差数列的通项公式求解； （2）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式列方程组求解． 【详解】（1）由等差数列的通项公式，得 （2）设等差数列的公差为d，那么，解得． 所以．   三、提升演练 练习3 在等差数列中，，，求的值．   【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得. 【详解】在等差数列中，，， 所以，即，解得. 三、提升演练 练习4 已知等差数列的首项，公差． (1)此等差数列中从第几项开始出现负数？ (2)当为何值时，最小？   【知识点】等差数列的单调性、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】（1）等差数列的首项，公差 则 由，得，即从第23项开始出现负数.  （2）由等差数列的通项公式 可得 在时取最小值为 在时取最小值为 则在时取最小值为 由，得，即从第23项开始出现负数.   今天我们都学习了什么知识？ 1.经历情景问题，认识与理解了等差数列的定义与通项公式，并能运用通项公式求解相关的实际问题（数学抽象、数学运算、逻辑推理•重点）. 2.经历问题探究，理解与掌握了等差数列的等差中项公式，等差数列基本性质及其推论，并能运用其求解相关的实际问题（数学抽象、逻辑推理、数学运算•难点）. 四、课堂小结 感谢聆听! $