专题01 比与比例的应用（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级下册

专题01 比和比例的实际应用 题型一：比的意义的实际应用 题型二：多几分之几、少几分之几的实际应用 题型三：比例的实际应用——用比例解答 题型四：比例的实际应用——按比例分配 题型五：百分数的实际应用——表示占比 题型六：百分数的实际应用——变化率、利率、利润率、打折 题型七：比例尺的应用 题型01 比的意义的实际应用 题型点拨：设a、b是两个数或两个量，为了比较a和b，可将a与b相除，叫作a与b的比. 记作a：b(b≠0)，其中，a叫作比的前项,b叫作比的后项．解决比的问题必须首先辨析清楚比的前项和后项，然后再去加以解决． 【典例1】（24-25六年级下·上海宝山·月考）将10克盐完全溶解在200克水中，则盐与盐水的比是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了比的意义，比的前项是盐，比的后项是盐水， 【详解】解：根据题意可得： 盐与盐水的比是：， 故选：D． 【易错点睛】本题最容易犯的错就是把后项误认为是“水”，所以认为答案是10：200． 【变式1】录入同一份稿件，王芳用了分钟，李明用了分钟．王芳和李明两人录入这份稿件打字速度比是 ． 【分析】本题考查了比的意义，求的是两人的速度之比，所以比的前项是王芳的打字速度，比的后项是李明的打字速度． 【详解】解：设稿件总量为单位“１”，则王芳的打字速度为，李明的打字速度为， 所以速度比为 故答案为：． 【易错点睛】本题最容易犯的错就是把速度比理解成时间之比，所以误认为答案为10：8． 【变式2】一项工作，甲单独做需要9天完成，乙需要12天完成，甲乙的工作效率比是 ． 【分析】本题考查了比的应用和比的意义，比是表示两个数相除，将总工作量当作单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，将两人的效率相除即可求得甲乙的工作效率比． 【详解】解：将总工作量当作单位“1”， 则甲的工作效率是，乙的工作效率是， 所以甲乙的工作效率比为． 故答案为：． 【变式3】．甲、乙两人行走的速度比是，二人在相同时间内行走的路程比是( )． 【分析】本题考查比的意义、路程与速度和时间之间的关系． 【详解】解：根据路程＝速度×时间，可得： 在相同时间内，两人行走的路程比等于两人的速度比， 因为甲、乙两人行走的速度比是， 所以二人在相同时间内行走的路程比是． 故答案为： 【变式4】两块同样重量的铜锌合金，第一块合金中铜与锌的质量之比是，另一块合金中铜与锌的质量之比是，现将两块合金合成一块，则新合金中铜与锌的质量之比为_______． 【分析】设每块铜锌合金的重量为m，则第一块合金中铜质量为，锌的质量为，第二块合金中铜质量为，锌的质量为，两块合金合成一块，则新合金中铜的质量为，锌的质量为，根据比的意义，用两块合成一块时铜的含量比锌的含量，再化简即可． 【详解】解：设每块铜锌合金的重量为m，则第一块合金中铜质量为，锌的质量为， 第二块合金中铜质量为，锌的质量为， 故两块合金合成一块，新合金中铜与锌的质量之比为： ． 故答案为：． 题型02 多几分之几、少几分之几的实际应用 题型点拨：多几分之几、少几分之几本质上也属于“占比”问题，比的前项是“多（少）的量”后项是“比较量”，所以解决问题的关键仍是要辨析清楚比的前项和后项. 【典例1】．一根绳子，剪去后，又接上5米，现在比原来短了．这根绳子原来长______米． 【分析】本题考查了比的实际应用，“现在比原来短了”表示比的前项是“缩短的长度”，后项是“比较量”(原来的长度)，比例式是：. 【详解】解：设绳子原长为米，剪去后再接上5米后现在长度为（x-）米，缩短的长度是（）米，所以比例式子为，由比例的基本性质得到，3x=16（）,解得， 即绳子原长为80米； 故答案为：80 【点睛】本题中的“”表示的是“比值”不是“长度”. 【变式1】如果甲比乙多，则乙比甲少______． 【分析】“乙比甲少______”表示求“少的部分”“甲”的百分之几． 【详解】解：假设乙是1，则甲是， ， 故答案为：． 【变式2】甲数与乙数的比是，甲数比乙数少_______%，乙数比甲数多_______%． 【答案】 20 25 【分析】本题考查分数运算的应用，设甲数为4份，乙数为5份，则甲数与乙数的差为1份，甲数比乙数少的比率是差除以乙数，乙数比甲数多的比率是差除以甲数，据此列出算式即可求解． 【详解】甲数比乙数少：；乙数比甲数多：， 故答案为20；25． 【变式3】六（1）班男生人数占全班人数的，男生比女生多( )． 【答案】20 【分析】本题考查百分比的应用，掌握知识点是解题的关键． 设全班人数为11份，则男生人数占6份，女生人数占5份．男生比女生多1份，计算多出的部分占女生人数的百分比即可． 【详解】解：男生人数占全班人数的，则女生人数占． 设全班人数为11份，男生人数为6份，女生人数为5份， 则男生比女生多份，多的百分比为． 故答案为20． 【变式4】把甲班人数的调入乙班，则两班人数相等，原来甲班人数比乙班人数（   ） A．少 B．多 C．多 D．多 【分析】求“甲班人数比乙班人数多几分之几”就是用“多大人数”去比（除以）“乙班人数”. 【详解】解：设甲班原来的人数为单位“1” ∵把甲班人数的调入乙班后，两班人数相等， ∴甲班调入到乙班后的剩余人数为， ∴乙班原来的人数为， ∴原来甲班人数比乙班人数多． 题型03 比例的实际应用——用比例解答 题型点拨：用比例解答包括“成正比”、“成反比”两种类型，成正比的结构通常是“a：b=c：d”，反比的结构通常是“”. 【典例1】一份稿件共55页，小红前3天打印了15页．照这样的速度，打印完全部稿件还要多少天？（用比例解） 【分析】本题主要考查了解比例的应用，“打印的页数”与“打印的天数”成正比例，据此列比例、解比例即可． 【详解】解：设打印完全部稿件还要x天， 由题意可得： ， ， ， ， ． 答：照这样的速度，打印完全部稿件还要8天． 【易错点睛】解决本类题型一定要注意比的前后、后项要前后一致不能混淆. 【变式1】环湖绿道全长约100千米．李叔叔4小时只走了全程的，照这样的速度计算，如果李叔叔想走完绿道全程，还需要多少小时？（用比例解答） 【分析】该题考查了比例的应用，设走完绿道全程还需要x小时，根据题意列出比例方程解答即可． 【详解】解：设走完绿道全程还需要x小时． 则， ∴， ∴， 解得：， 答：走完绿道全程还需要16小时． 【变式2】一个办公楼原来平均每天照明用电120千瓦时，改用节能灯以后，平均每天只用电30千瓦时．原来12天的用电量现在可以用多少天？（用比例解） 【分析】本题考查了比例的应用，每天耗电量与使用天数成反比，理解题意列出比例方程是解题的关键． 根据总电量每天的电量天数，列比例方程，计算方程即可得到答案． 【详解】解：设原来12天的用电量现在可以用天， 根据题意可列比例，， 解得：． 答：现在可以用天． 【变式3】暑假期间，学校准备用方砖铺走廊，用边长0.4米的方砖，需要270块，改用面积是9平方分米的方砖，则需要多少块？（用比例的知识解答） 【分析】本题考查比例的应用，由题意得，走廊的面积一定，方砖的面积和方砖的块数成反比例，由此列式解得即可． 【详解】解：∵， ∴原来方砖的面积为：， 设需要x块方砖， 由题意得，， ， 答：需要480块． 【变式4】2021年11月7日下午，神舟十三号航天员进行空间站首次出舱活动，由翟志刚、王亚平执行舱外任务，叶光富留守舱内配合操作指挥，这是中国女性航天员首次进行太空漫步．宇航员在舱外执行任务时，空间站是围绕地球飞行的，飞行一圈就可以看到一次日出．本次出舱任务执行时间持续了6小时，在此期间，宇航员从空间站看到了4次日出．那么，宇航员在太空站一天能看到几次日出呢？（请用比例知识解决．） 【分析】本题主要考查了比的应用，关键是得出出舱任务持续执行时间与宇航员从空间站看到日出次数成正比例． 设宇航员在太空站一天能看到x次日出，根据出舱任务持续执行时间与宇航员从空间站看到日出次数成正比例，列出比例式，再解答即可． 【详解】解：设宇航员在太空站一天能看到x次日出． ， ， 答：宇航员在太空站一天能看到16次日出． 题型04 比例的实际应用——按比例分配 题型点拨：已知甲乙两个量的比为a：b，根据比的基本性“ak”，则可以设乙为“bk”;或设a：b=k,则a=bk. 【典例1】为保障“双减”政策的落地，秉承“以人为本”的教育理念，学校将课后延时服务时间分为自主作业、阳光体育、科普活动三部分，课后延时服务共分钟，科普活动用分钟，自主作业、阳光体育用的时间按照的比分配，自主作业用多少分钟？ 【分析】本题考查比例分配的实际应用，根据“自主作业、阳光体育用的时间按照的比分配”可设自主作业用时为3k分钟，阳光体育用时2k分钟． 【详解】设自主作业用时为3k分钟，阳光体育用时2k分钟． 由题意得，3k+2k+10=60 解之得，k=10 ∴3k,2k=20（分钟） 答：自主作业用30分钟． 【点睛】易错点在于忽略科普活动时间，误将总时间分钟直接按分配. 【变式1】某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元．某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是，小客车和小轿车数量之比是，收取小轿车的通行费比大客车多630元，求这天这三种车辆通过的总的数量． 【答案】这天这三种车辆通过的总的数量为辆 【分析】本题主要考查比的实际应用和比例分配问题的综合运用，根据题意得到正确的比例关系并列出方程是解题的关键． 首先根据某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是，小客车和小轿车数量之比是，得到三种车辆数量之比为，进而可以列方程进行求解． 【详解】解：∵某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是，小客车和小轿车数量之比是， ∴三种车辆数量之比为， 则设三种车辆数量分别为、、， ∴，解得：， ∴三种车辆总数量为：辆． 【变式2】亮亮家安装了峰谷电，谷段的电价为每千瓦时元，峰段的电价为每千瓦时元．他家5月用电量是100千瓦时，已知峰段用电量与谷段用电量是，那么他家5月份需要付电费多少元？ 【答案】元 【分析】本题主要考查了按比例分配，求出峰段和谷段的用电量是解题的关键 先根据按比例分配求出峰段和谷段的用电量，然后根据题意列式计算即可． 【详解】解：峰段用电量为：（千瓦时）； 谷段用电量为：（千瓦时）； （元）． 答：他家5月份需要付电费元． 【变式3】石硫合剂是用石灰、硫磺和水按的比配制而成的．现在张叔叔要配制这种石硫合剂，张叔叔要准备石灰、硫磺、水各多少千克？ 【答案】石灰，硫磺，水 【分析】根据比例，计算总份数，再求每份质量，最后乘以各份数得各成分质量． 本题考查了比的意义，计算出每一份的质量是解题的关键． 【详解】解法一：石灰、硫磺和水的比例是，总份数为份． 石硫合剂总质量为，每份质量为． 石灰质量：； 硫磺质量：； 水质量：． 答：张叔叔要准备石灰2.5千克、硫磺5千克、水25千克． 解法二：设分别需要石灰、硫磺和水为x千克，2x千克和10千克，由题意得 x+2x+10x=32.5 x=2.5 2x=5,10x=25 答：张叔叔要准备石灰2.5千克、硫磺5千克、水25千克． 【变式4】《考工记》中记载了我国古代创制的六种铜锡比例不同的合金成分配比，称之为“六齐”，是中国也是世界上最早的合金配制记载．其中记载制作钟鼎所用的铜和锡的质量之比为，一位工艺大师按照这种方法制作了一个质量为180千克的鼎，这个鼎含铜和锡各多少千克？ 【答案】铜150千克，锡30千克 【分析】本题考查了按比分配问题、比的意义、比的应用．根据比的意义，可把含铜的质量看成5份，则锡的质量为1份，总质量为份，用鼎的总质量除以总份数得到每份的质量，再分别乘铜和锡对应的份数，即可得解． 【详解】解法一：（千克）， 铜的质量为（千克）， 锡的质量为（千克）， 即这个鼎含铜150千克，锡30千克． 解法二：设这个鼎含铜含锡分别为5x千克和x千克，由题意得 5x+x=180 x=30 5x=150 答：这个鼎含铜150千克，锡30千克． 题型05 百分数的实际应用——表示占比 题型点拨：把两个数量的比值写成的形式，这种形式的数叫作百分数.也称为百分比或百分率，它表示一个数是另一个数的百分之几；记作：“n%”.所以百分数在本质上是表示“占比”，求百分比的时候关键仍是要辨析清楚“比的前项”和“后项”. 【典例1】小明家买一套面积为108平方米的楼房，每平方米是5500元，按照国家规定，购买楼房需要交纳总房价的作为契税，小明家应缴纳契税多少元？ 【分析】此题属于纳税问题，因为契税率=，所以“契税”=“购房总额”“税率” 【详解】解： （元） 答：小明家应缴纳契税8910元． 【变式1】张师傅加工零件，上午加工了40个零件，合格率为；下午加工的零件中24个合格，合格率为．张师傅这一天加工零件的合格率是多少？ 【分析】合格率=合格的数量÷总数量，则合格的数量总数量合格率；总数量合格的数量合格率． 【详解】上午合格产品数：(个) 下午加工零件总个数：(个) 一天加工零件的合格率： 答：一天零件的合格率是． 【变式2】李奶奶将自己积攒多年的钱分给个儿子．老大分到总钱数的，老二分到老大取走后剩下的，老三分到的钱数和老大一样多，老四分到的钱数是老三取走后剩下的，结果剩下元钱分给了老五．这样分配公平吗？ 【答案】公平 【分析】本题考查了求一个数的百分之几是多少、求一个数是另一个数的百分之几(百分率问题)，掌握百分数的意义是解题的关键；把李奶奶积攒的钱数看作单位“”，老大占，还剩下，再用，求出老二分到的钱数占总钱数的百分比；老三占；用(老大分到的钱数占总钱数的百分比老二分到的钱数占总钱数的百分比老三分到的钱数占总钱数的百分比)，求出老四分到的钱数占总钱数的百分比；再用减去老大分到的钱数占总钱数的百分比老二分到的钱数占总钱数的百分比老三分到的钱数占总钱数的百分比老四分到的钱数占总钱数的百分比，求出老五分到的钱数占总钱数的百分比，再进行比较，如果分到的钱数占总钱数的百分比相等，则分配公平，否则，就不公平，据此解答． 【详解】解：老大： 老二： 老三： 老四： 老五： ，这样分配公平． 答：这样分配公平． 【变式4】淘气的爸爸要出差，他购买了一张12月15日晚上的火车票，票价500元．12月14日下午5：00他接到通知出差任务取消，于是他在当天晚上办理了退票．按照规定，火车票退票需要扣除手续费，规定如下表： 退票时间 开车前48小时以上 开车前小时 开车前24小时以内 手续费占票价的百分比 (1)淘气的爸爸退票后可以拿回多少元？ (2)你还有更好的退票方案吗？把你的思考过程写出来． 【答案】(1)400元 (2)见详解 【分析】本题考查求一个数的百分之几是多少，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据题意，淘气的爸爸在开车前24小时以内退票，需要扣除退票手续费，把原来票价看作单位“1”，扣除手续费的，还剩，再用原来的票价乘．就是淘气爸爸退票后可以拿回的钱数． （2）由题可知，越早退票，拿回的钱数越多，据此解答． 【详解】（1）解：12月14日晚上到12月15日晚上是24小时，火车票发车时间是12月15日晚上，开车前时间为： （小时） （元） 答：淘气的爸爸退票后可以拿回400元． （2）解：他接到出差通知就办理退票，12月14日下午到12月15日下午是24小时，从12月15日下午到12月15日晚上，经过时间是： 20时时时 则开车前时间为：（小时） 开车前27小时在开车前24至48小时范围内，所以手续费占票价的百分比是， 拿回的钱数为： （元） 答：淘气的爸爸接到出差通知就退票可以拿回450元． 题型06 百分数的实际应用——变化率、利率、利润率、打折 题型点拨：用百分数表示的变化率在本质上也是表示“占比”，比的前项是“变化的量”、“利润”、“利息”等，后项是“比较量”、“成本”、“本金”等. 【典例1】一条围巾，如果卖100元，可赚，如果卖120元，可赚多少元？ 【分析】因为“利润率=”，所以利润=成本利润率，所以“赚”表示以进价（成本）为单位“1”则利润相当于125%=25%，则售价相当于进价的（），根据已知比一个数多百分之几是多少，求这个数用除法计算，用售价即可求出进价．再用120元减去进价即可求出可赚多少元． 【详解】 （元） 答：如果卖120元，可赚40元． 【易错点睛】该类型的题目最容易犯的错是误认为“利润率=”. 【变式1】一台洗衣机，如果按定价的90%卖出，可赚80元；如果按定价的75%卖出，要亏70元．这台洗衣机的成本价是多少元？ 【分析】本题考查了销售盈亏问题．熟练掌握利润与售价和成本的关系，售价与定价和打折的关系，是解题的关键． 根据按定价的90%卖出，可赚80元；如果按定价的75%卖出，要亏70元，列式计算． 【详解】解： （元）． 答：这台洗衣机的成本价是820元． 【变式2】某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚，一件赔，在这次交易中，该商人是赚了，赔了，还是不赚不赔？若赚了，赚了多少？若赔了，赔了多少？ 【答案】 赔了16元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数的应用及利润的计算，解题的关键是分别根据两件衣服的总进价和总售价来判断商人是赚了还是赔了．先分别求出两件衣服的进价，再计算总进价和总售价，比较后判断盈亏情况． 【详解】解：设赚25%的衣服进价为x元，则， 解得； 设赔的衣服进价为y元，则， 解得； 总进价为元， 总售价为元，， 故赔了，赔了元． 【变式3】淘气爸爸把50000元人民币存入银行，定期2年，年利率是．到期时，淘气爸爸应得本金和利息一共多少元？ 【答案】52700元 【分析】本题主要考查了百分数的实际应用，利息本金年利率存款时间，据此求出利息，再加上本金即可得到答案． 【详解】解： （元）， 答：到期时，淘气爸爸应得本金和利息一共52700元． 【变式4】某商场开展促销活动，有两种优惠方案： 方案一：所有商品一律打八五折销售； 方案二：购物满1000元，立减200元，满2000元立减400元，以此类推 （不满1000元不立减） ． 王老师准备购买一台标价为2800元的冰箱，一台标价为800元的洗衣机． (1)若王老师按方案一购买，一共需要支付多少元？ (2)若王老师按方案二购买，一共需要支付多少元？ (3)你认为王老师选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)按方案一购买需要支付3060元 (2)按方案二购买需要支付3000元 (3)选择方案二更划算，因为方案二支付的金额更少 【分析】本题考查百分数的实际应用，正确读懂题意是解题的关键． （1）根据方案一的优惠方案列式计算即可； （2）根据方案二的优惠方案列式计算即可； （3）根据（1）（2）的结果比较即可解答． 【详解】（1）解：总标价： （元） 支付金额： （元） 答：按方案一购买需要支付3060元； （2）解：总标价：3600元，立减（元） 支付金额：（元） 答：按方案二购买需要支付3000元； （3）解：，则选择方案二更划算． 答：王老师选择方案二更划算，因为方案二支付的金额更少． 题型07 比例尺问题 题型点拨：图上距离：实际距离=比例尺 【典例1】在一幅比例尺是的地图上，量得两地相距．两地之间的实际距离是多少千米？ 【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺，即可解答． 【详解】解：． 答：两地之间的实际距离是72千米． 【点睛】本题考查了比例尺的定义，根据定义列出相关比例式是解题的关键，同时注意单位的转化． 【变式1】在比例尺是1∶2500000的地图上，量得两地距离是12厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，2.5小时后相遇．已知甲乙两车的速度比是2∶3，相遇时乙车比甲车多行驶多少千米？ 【分析】先根据比例尺和地图上的距离求出两间实际距离，然后列式求解即可． 【详解】解：（千米）， （千米） 答：相遇时乙车比甲车多行驶60千米． 【点睛】此题考查比例尺的意义、比的应用，能够根据比例尺进行图上距离与实际距离换算是解题的基础． 【变式2】原来比例尺为1：40000的一幅地图，现在改为用1：100000的比例尺重新绘制，原地图中5.8cm的距离，在新地图中应该画多少厘米？ 【分析】根据实际距离=图上距离除以比例尺，求出原地图中表示的实际距离，再根据图上距离=实际距离乘以比例尺，即可． 【详解】∵实际距离=图上距离除以比例尺 ∴实际距离= ∴图上距离= 【点睛】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握实际距离=图上距离÷比例尺． 【变式3】在一幅地图上，用长为3厘米的线段表示实际距离900千米． (1)这幅地图的比例尺是多少？ (2)在这幅地图上量得甲、乙两地之间的距离是厘米，甲、乙两地的实际距离是多少千米？ (3)有一条长是480千米的高速公路，在这幅地图上的长是多少厘米？ 【分析】本题考查了比例尺，掌握相关的知识点和运算是解题的关键． （1）比例尺=图上距离∶实际距离，将1千米＝100000厘米，单位统一，再根据比的基本性质，前项、后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变；将前项化为1，可化简得出比例尺． （2）根据实际距离=图上距离比例尺，比例尺可化为分数形式，运用分数除法计算得出结果，再根据千米和厘米之间的进率转换单位． （3）先根据千米和厘米之间的进率转换单位，再根据图上距离=实际距离比例尺，运用分数乘法计算得出结果，即可解答． 【详解】（1）解：实际距离为厘米， 则900千米＝90000000厘米， 比例尺为． 答：比例尺为． （2）， 厘米 千米． 答：甲、乙两地的实际距离是750千米． （3）480千米＝48000000厘米， （厘米）． 答：这幅地图上的长是厘米． 【变式4】一幅地图上，图上代表实际距离，求这幅地图的比例尺 【答案】这幅地图的比例尺为． 【分析】本题考查了比例尺的应用，先统一单位，再结合比例尺图上距离实际距离，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：， 比例尺图上距离实际距离． 答：这幅地图的比例尺为． 1．甲数比乙数多，乙数比丙数少．如果甲数是48，那么丙数是( )． 【答案】50 【分析】本题考查百分数的计算，先根据甲数比乙数多，得到乙数为，再根据乙数比丙数少，列出算式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：50 2．A、B两种商品的价格比是．如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比就是，这两种商品原来的价格各是多少元？ 【答案】A商品原来210元，B商品原来90元 【分析】本题考查了比例的应用，根据题意列出比例式是解题的关键．设A、B两种商品的价格原来分别是和，则价格上涨后的价格分别为和，根据题意列出比例式，解比例，即可求解． 【详解】解：设A、B两种商品的价格原来分别是和，则价格上涨后的价格分别为和， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， 则． 答：A商品原来210元，B商品原来90元． 3．在比例尺为的地图上，量得潢川县彩虹桥长为5厘米，一个修桥队50天修千米，照这样计算，彩虹桥实际竣工还需要多少天？（用比例方法解决） 【答案】450天 【分析】本题主要考查了比例尺的应用、比例的应用等知识点，掌握实际距离＝图上距离÷比例尺是解题的关键． 先运用比例尺求出潢川县彩虹桥长的实际距离，再求出未完成的历程，设彩虹桥实际竣工还需要x天．然后列比例式求解即可． 【详解】解：设彩虹桥实际竣工还需要x天． ， ． 答：彩虹桥实际竣工还需要450天． 4．如图，机器上有一对互相咬合的齿轮，大齿轮有20个齿，每分转75转；小齿轮有10个，每分转多少转？（用比例解） 【答案】150转 【分析】本题考查了反比例的应用，因为两个互相咬合的齿轮，在同一时间内转动时，它们转过的齿数是相同的，所以大齿轮的齿数×大齿轮的转速＝小齿轮的齿数×小齿轮的转速，设小齿轮每分钟转x转，然后列比例，解出比例，据此解答．两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两个量就叫做成反比例的量． 【详解】解：设小齿轮每分转x转． ， ， ， 即每分转150转． 5．七、八、九年级同学给学校图书室整理800本图书，七年级整理了图书总数的，剩下的按分给八年级和九年级．七、八、九年级各整理了多少本图书？ 【答案】七年级：160本；八年级：240本；九年级：400本 【分析】本题考查了比和比例的应用，把总本数看作单位“1”，七年级整理了图书总数的，七年级整理了图书的本数是（本），剩下的本数是（本），再求出总份数，即份，然后除剩下的本数，求出每份的本数，再分别乘3、5求出八、九年级整理的本数即可． 【详解】解：（本）， （本）， （本）， （本）， （本）， 答：七、八、九年级分别整理了图书160本、240本、400本． 6． 小王把10000元现金存入银行，年利率是，定期3年，到期后小王能从银行取回多少钱？ 【答案】10615元 【分析】本题主要考查了百分数的实际应用，利息本金年利率存款时间，据此求出利息即可得到答案． 【详解】解： 元， 答：到期后小王能从银行取回10615元． 7．学校图书馆的科技书占故事书的，已知科技书和故事书共630本，科技书和故事书各多少本？ 【答案】科技书（本），故事书405（本） 【分析】本题主要考查按比例分配的应用题，把故事书数量看作单位“”，由科技书占故事书的，得出科技书与故事书数量比，再按比例分配求两种书数量． 【详解】解：科技书：（本） 故事书：（本） 8．某地前年的粮食产量为3000吨，去年因为洪水及病虫害的影响比前年减产近三成，预计今年的产量会比去年增加，今年的粮食产量是多少吨？ 【答案】3045 【分析】根据去年因为洪水及病虫害的影响比前年减产近三成直接列式求解去年的粮食产量，再结合今年的产量会比去年增加，列式计算，即可得到答案；本题考查了百分数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， （吨）， 答：今年的粮食产量3045吨． 9．【商品问题】书店出售一种挂历，每售出一本可获利18元，售出一部分后，每本减价10元出售，全部售完．已知减价出售的挂历是原价出售挂历本数的，书店售完这种挂历共获利2870元，书店共售出这样的挂历多少本？ 【答案】书店共售出这样的挂历205本 【分析】本题考查了利润问题和按比例分配问题的综合应用，根据售出一部分后，每本减价10元出售，每售出一本可获利元，又因为减价出售的挂历与原价出售挂历本数比是，所以它们减价出售部分的总利润与原价出售部分的总利润之比是，然后把总利润2870元按的比例分配，可以求出减价出售的挂历与原价出售挂历各自的利润，再除以各自每本的利润求出本数，再相加即可． 【详解】解：（元）， ， （元）， （元）， （本）， （本）， （本）， 答：书店共售出这样挂历205本． 10．某商场出售某款双肩包先按进价提高标价，再按折（标价的）出售，这样商场每卖出一个双肩包就可盈利元，请问这款双肩包的进价是多少？如果按标价的折出售，商场还盈利吗？请说明理由． 【答案】 这款双肩包的进价是元，按标价的折出售商场盈利 【分析】本题考查了一元一次方程与实际问题，关键是审明题意，找到恰当的等量关系列方程；这款双肩包的进价为元，根据卖出一个双肩包就可盈利元列方程求解即可． 【详解】答：这款双肩包的进价是元，按标价的折出售商场不盈利，理由如下： 设这款双肩包的进价为元 根据题意列方程：， 解得， 标价折后的售价：（元） ∵， ∴盈利， 答：这款双肩包的进价是元，按标价的折出售，商场盈利． 11．实验小学要买60个足球，现有文新、利民、明乐3个商店可以选择，3个商店里足球的售价都是50元，但各个商店的优惠方法不同． 文新商店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送． 利民商店：每个足球打八折出售． 明乐商店：购物每满200元，返还现金30元． 为了节省费用，实验小学应到哪个商店购买?请计算说明． 【答案】利民商店 【分析】本题主要考查了折扣问题，解题的关键是求出在三个商店需要的费用． 根据题意，分别计算在三个商店购买个足球的花费，再进行比较． 【详解】文新商店买个足球免费赠送个，也就是买个足球的钱可以得到个足球， （组）， 每组只需付个足球的钱，每个足球元，所以总花费为（元）； 利民商店每个足球打八折出售，八折就是原价的， 每个足球原价元，那么个足球的总花费为（元）； 明乐商店，每个足球元，买个足球的总价为（元）； 购物每满元返还现金元，， 所以返还现金（元），实际花费（元）； 比较三个商店的花费：， 答：为了节省费用，实验小学应到利民商店购买． 12．青白江区城市森林和谐广场位于青白江区华金大道二段，是青白江百姓休闲、娱乐的重要场所．把它绘制在比例尺为1∶5000的地图上，该广场平面图是一个长约是5厘米，宽约是3厘米的长方形．请问该广场实际面积约是多少平方米？ 【答案】37500平方米 【分析】本题考查了图上距离与实际距离的换算、长方形的面积． 由题可知该广场的长和宽的图上距离分别是5厘米和3厘米，根据公式：实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据进行计算，可以求出该广场的长和宽的实际距离，再根据1米＝100厘米进行单位换算，最后根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出该广场实际面积，据此解答． 【详解】解：（厘米）， （厘米）， 25000厘米＝250米，15000厘米＝150米， （平方米）． 答：该广场实际面积约是37500平方米． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 比和比例的实际应用 题型一：比的意义的实际应用 题型二：多几分之几、少几分之几的实际应用 题型三：比例的实际应用——用比例解答 题型四：比例的实际应用——按比例分配 题型五：百分数的实际应用——表示占比 题型六：百分数的实际应用——变化率、利率、利润率、打折 题型七：比例尺的应用 题型01 比的意义的实际应用 题型点拨：设a、b是两个数或两个量，为了比较a和b，可将a与b相除，叫作a与b的比. 记作a：b(b≠0)，其中，a叫作比的前项,b叫作比的后项．解决比的问题必须首先辨析清楚比的前项和后项，然后再去加以解决． 【典例1】（24-25六年级下·上海宝山·月考）将10克盐完全溶解在200克水中，则盐与盐水的比是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了比的意义，比的前项是盐，比的后项是盐水， 【详解】解：根据题意可得： 盐与盐水的比是：， 故选：D． 【易错点睛】本题最容易犯的错就是把后项“盐水”误认为是“水”． 【变式1】录入同一份稿件，王芳用了分钟，李明用了分钟．王芳和李明两人录入这份稿件打字速度比是 ． 【变式2】一项工作，甲单独做需要9天完成，乙需要12天完成，甲乙的工作效率比是 ． 【变式3】．甲、乙两人行走的速度比是，二人在相同时间内行走的路程比是( )． 【变式4】两块同样重量的铜锌合金，第一块合金中铜与锌的质量之比是，另一块合金中铜与锌的质量之比是，现将两块合金合成一块，则新合金中铜与锌的质量之比为_______． 题型02 多几分之几、少几分之几的实际应用 题型点拨：多几分之几、少几分之几本质上也属于“占比”问题，比的前项是“多（少）的量”后项是“比较量”，所以解决问题的关键仍是要辨析清楚比的前项和后项. 【典例1】．一根绳子，剪去后，又接上5米，现在比原来短了．这根绳子原来长______米． 【分析】本题考查了比的实际应用，“现在比原来短了”表示比的前项是“缩短的长度”，后项是“比较量”(原来的长度)，比例式是：. 【详解】解：设绳子原长为米，剪去后再接上5米后现在长度为（x-）米，缩短的长度是（）米，所以比例式子为，由比例的基本性质得到，3x=16（）,解得， 即绳子原长为80米； 故答案为：80 【点睛】本题中的“”表示的是“比值”不是“长度”. 【变式1】如果甲比乙多，则乙比甲少______． 【变式2】甲数与乙数的比是，甲数比乙数少_______%，乙数比甲数多_______%． 【变式3】六（1）班男生人数占全班人数的，男生比女生多( )． 【变式4】把甲班人数的调入乙班，则两班人数相等，原来甲班人数比乙班人数（   ） A．少 B．多 C．多 D．多 题型03 比例的实际应用——用比例解答 题型点拨：用比例解答包括“成正比”、“成反比”两种类型，成正比的结构通常是“a：b=c：d”，反比的结构通常是“”. 【典例1】一份稿件共55页，小红前3天打印了15页．照这样的速度，打印完全部稿件还要多少天？（用比例解） 【分析】本题主要考查了解比例的应用，“打印的页数”与“打印的天数”成正比例，据此列比例、解比例即可． 【详解】解：设打印完全部稿件还要x天， 由题意可得： ， ， ， ， ． 答：照这样的速度，打印完全部稿件还要8天． 【易错点睛】解决本类题型一定要注意比的前后、后项要前后一致不能混淆. 【变式1】环湖绿道全长约100千米．李叔叔4小时只走了全程的，照这样的速度计算，如果李叔叔想走完绿道全程，还需要多少小时？（用比例解答） 【变式2】一个办公楼原来平均每天照明用电120千瓦时，改用节能灯以后，平均每天只用电30千瓦时．原来12天的用电量现在可以用多少天？（用比例解） 【变式3】暑假期间，学校准备用方砖铺走廊，用边长0.4米的方砖，需要270块，改用面积是9平方分米的方砖，则需要多少块？（用比例的知识解答） 【变式4】2021年11月7日下午，神舟十三号航天员进行空间站首次出舱活动，由翟志刚、王亚平执行舱外任务，叶光富留守舱内配合操作指挥，这是中国女性航天员首次进行太空漫步．宇航员在舱外执行任务时，空间站是围绕地球飞行的，飞行一圈就可以看到一次日出．本次出舱任务执行时间持续了6小时，在此期间，宇航员从空间站看到了4次日出．那么，宇航员在太空站一天能看到几次日出呢？（请用比例知识解决．） 题型04 比例的实际应用——按比例分配 题型点拨：已知甲乙两个量的比为a：b，根据比的基本性“ak”，则可以设乙为“bk”;或设a：b=k,则a=bk. 【典例1】为保障“双减”政策的落地，秉承“以人为本”的教育理念，学校将课后延时服务时间分为自主作业、阳光体育、科普活动三部分，课后延时服务共分钟，科普活动用分钟，自主作业、阳光体育用的时间按照的比分配，自主作业用多少分钟？ 【分析】本题考查比例分配的实际应用，根据“自主作业、阳光体育用的时间按照的比分配”可设自主作业用时为3k分钟，阳光体育用时2k分钟． 【详解】设自主作业用时为3k分钟，阳光体育用时2k分钟． 由题意得，3k+2k+10=60 解之得，k=10 ∴3k,2k=20（分钟） 答：自主作业用30分钟． 【点睛】易错点在于忽略科普活动时间，误将总时间分钟直接按分配. 【变式1】某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元．某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是，小客车和小轿车数量之比是，收取小轿车的通行费比大客车多630元，求这天这三种车辆通过的总的数量． 【变式2】亮亮家安装了峰谷电，谷段的电价为每千瓦时元，峰段的电价为每千瓦时元．他家5月用电量是100千瓦时，已知峰段用电量与谷段用电量是，那么他家5月份需要付电费多少元？ 【变式3】石硫合剂是用石灰、硫磺和水按的比配制而成的．现在张叔叔要配制这种石硫合剂，张叔叔要准备石灰、硫磺、水各多少千克？ 【变式4】《考工记》中记载了我国古代创制的六种铜锡比例不同的合金成分配比，称之为“六齐”，是中国也是世界上最早的合金配制记载．其中记载制作钟鼎所用的铜和锡的质量之比为，一位工艺大师按照这种方法制作了一个质量为180千克的鼎，这个鼎含铜和锡各多少千克？ 题型05 百分数的实际应用——表示占比 题型点拨：把两个数量的比值写成的形式，这种形式的数叫作百分数.也称为百分比或百分率，它表示一个数是另一个数的百分之几；记作：“n%”.所以百分数在本质上是表示“占比”，求百分比的时候关键仍是要辨析清楚“比的前项”和“后项”. 【典例1】小明家买一套面积为108平方米的楼房，每平方米是5500元，按照国家规定，购买楼房需要交纳总房价的作为契税，小明家应缴纳契税多少元？ 【分析】此题属于纳税问题，因为契税率=，所以“契税”=“购房总额”“税率” 【详解】解： （元） 答：小明家应缴纳契税8910元． 【变式1】张师傅加工零件，上午加工了40个零件，合格率为；下午加工的零件中24个合格，合格率为．张师傅这一天加工零件的合格率是多少？ 【变式2】李奶奶将自己积攒多年的钱分给个儿子．老大分到总钱数的，老二分到老大取走后剩下的，老三分到的钱数和老大一样多，老四分到的钱数是老三取走后剩下的，结果剩下元钱分给了老五．这样分配公平吗？ 【变式4】淘气的爸爸要出差，他购买了一张12月15日晚上的火车票，票价500元．12月14日下午5：00他接到通知出差任务取消，于是他在当天晚上办理了退票．按照规定，火车票退票需要扣除手续费，规定如下表： 退票时间 开车前48小时以上 开车前小时 开车前24小时以内 手续费占票价的百分比 (1)淘气的爸爸退票后可以拿回多少元？ (2)你还有更好的退票方案吗？把你的思考过程写出来． 题型06 百分数的实际应用——变化率、利率、利润率、打折 题型点拨：用百分数表示的变化率在本质上也是表示“占比”，比的前项是“变化的量”、“利润”、“利息”等，后项是“比较量”、“成本”、“本金”等. 【典例1】一条围巾，如果卖100元，可赚，如果卖120元，可赚多少元？ 【分析】因为“利润率=”，所以利润=成本利润率，所以“赚”表示以进价（成本）为单位“1”则利润相当于125%=25%，则售价相当于进价的（），根据已知比一个数多百分之几是多少，求这个数用除法计算，用售价即可求出进价．再用120元减去进价即可求出可赚多少元． 【详解】 （元） 答：如果卖120元，可赚40元． 【易错点睛】该类型的题目最容易犯的错是误认为“利润率=”. 【变式1】一台洗衣机，如果按定价的90%卖出，可赚80元；如果按定价的75%卖出，要亏70元．这台洗衣机的成本价是多少元？ 【变式2】某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚，一件赔，在这次交易中，该商人是赚了，赔了，还是不赚不赔？若赚了，赚了多少？若赔了，赔了多少？ 【变式3】淘气爸爸把50000元人民币存入银行，定期2年，年利率是．到期时，淘气爸爸应得本金和利息一共多少元？ 【变式4】某商场开展促销活动，有两种优惠方案： 方案一：所有商品一律打八五折销售； 方案二：购物满1000元，立减200元，满2000元立减400元，以此类推 （不满1000元不立减） ． 王老师准备购买一台标价为2800元的冰箱，一台标价为800元的洗衣机． (1)若王老师按方案一购买，一共需要支付多少元？ (2)若王老师按方案二购买，一共需要支付多少元？ (3)你认为王老师选择哪种方案更划算？请说明理由． 题型07 比例尺问题 题型点拨：图上距离：实际距离=比例尺 【典例1】在一幅比例尺是的地图上，量得两地相距．两地之间的实际距离是多少千米？ 【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺，即可解答． 【详解】解：． 答：两地之间的实际距离是72千米． 【点睛】本题考查了比例尺的定义，根据定义列出相关比例式是解题的关键，同时注意单位的转化． 【变式1】在比例尺是1∶2500000的地图上，量得两地距离是12厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，2.5小时后相遇．已知甲乙两车的速度比是2∶3，相遇时乙车比甲车多行驶多少千米？ 【变式2】原来比例尺为1：40000的一幅地图，现在改为用1：100000的比例尺重新绘制，原地图中5.8cm的距离，在新地图中应该画多少厘米？ 【变式3】在一幅地图上，用长为3厘米的线段表示实际距离900千米． (1)这幅地图的比例尺是多少？ (2)在这幅地图上量得甲、乙两地之间的距离是厘米，甲、乙两地的实际距离是多少千米？ (3)有一条长是480千米的高速公路，在这幅地图上的长是多少厘米？ 【变式4】一幅地图上，图上代表实际距离，求这幅地图的比例尺 1．甲数比乙数多，乙数比丙数少．如果甲数是48，那么丙数是( )． 2．A、B两种商品的价格比是．如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比就是，这两种商品原来的价格各是多少元？ 3．在比例尺为的地图上，量得潢川县彩虹桥长为5厘米，一个修桥队50天修千米，照这样计算，彩虹桥实际竣工还需要多少天？（用比例方法解决） 4．如图，机器上有一对互相咬合的齿轮，大齿轮有20个齿，每分转75转；小齿轮有10个，每分转多少转？（用比例解） 5．七、八、九年级同学给学校图书室整理800本图书，七年级整理了图书总数的，剩下的按分给八年级和九年级．七、八、九年级各整理了多少本图书？ 6． 小王把10000元现金存入银行，年利率是，定期3年，到期后小王能从银行取回多少钱？ 7．学校图书馆的科技书占故事书的，已知科技书和故事书共630本，科技书和故事书各多少本？ 8．某地前年的粮食产量为3000吨，去年因为洪水及病虫害的影响比前年减产近三成，预计今年的产量会比去年增加，今年的粮食产量是多少吨？ 9．【商品问题】书店出售一种挂历，每售出一本可获利18元，售出一部分后，每本减价10元出售，全部售完．已知减价出售的挂历是原价出售挂历本数的，书店售完这种挂历共获利2870元，书店共售出这样的挂历多少本？ 10．某商场出售某款双肩包先按进价提高标价，再按折（标价的）出售，这样商场每卖出一个双肩包就可盈利元，请问这款双肩包的进价是多少？如果按标价的折出售，商场还盈利吗？请说明理由． 11．实验小学要买60个足球，现有文新、利民、明乐3个商店可以选择，3个商店里足球的售价都是50元，但各个商店的优惠方法不同． 文新商店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送． 利民商店：每个足球打八折出售． 明乐商店：购物每满200元，返还现金30元． 为了节省费用，实验小学应到哪个商店购买?请计算说明． 12．青白江区城市森林和谐广场位于青白江区华金大道二段，是青白江百姓休闲、娱乐的重要场所．把它绘制在比例尺为1∶5000的地图上，该广场平面图是一个长约是5厘米，宽约是3厘米的长方形．请问该广场实际面积约是多少平方米？ 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $