精品解析：天津市第五十四中学2025-2026学年高三下学期数学第一次统练

2025-2026高三数学第一次统练 一､选择题 1. 全集，集合满足，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程（单位：）与某品牌轮胎凹槽深度（单位：）的数据，并对这些数据进行了初步处理.现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型I的决定系数为0.95，模型II为非线性经验回归方程，模型II的决定系数为0.99，则以下说法正确的是（ ） A. 若选用模型I，则两个变量正相关 B. 若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量一定减少1.14个单位 C. 若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度一定越大 D. 模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好 5. 设，，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)=[x]为取整函数，是函数的零点， 则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 设函数，若时，的最小值为，则（ ）． A. 函数的周期为 B. 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数 C. 当，的值域为 D. 函数在区间上的零点个数共有6个 8. 已知某圆锥的母线长为，该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合，则该圆锥内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线l垂直于C的一条渐近线，且与C的左、右两支分别交于点A，B，若，则C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 二､填空题 10. 在复平面内，对应的点位于第________象限. 11. 二项式的展开式中，含的项的系数为________. 12. 已知抛物线，其焦点到准线的距离为4，过点且倾斜角为的直线被圆截得的线段长度为___________. 13. 已知某盒中装有 6 个大小、质地一致的乒乓球，其中有 4 个新球 (从未被使用过) 2 个旧球，第一次比赛时从此盒中任取 2 个球来使用．赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取 2 个球使用． ①第二次比赛时取出的 2 个球都是新球的概率为 _____． ②在第一次比赛时取出 2 个旧球，赛后将两球放回盒中的条件下，第二次比赛时取出个新球的概率为 _____． 14. 在中，，，，，则______，延长交于点，点在边上，则的最小值为______. 15. 函数 若在区间内恰有5个零点，则实数的取值范围是___________. 三､解答题 16. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若. （i）求的值； （ii）求的值. 17. 已知正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点． （1）求证：面面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求四棱锥的体积． 18. 已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆下顶点，为等腰直角三角形，其周长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线过点与椭圆交于点（异于椭圆顶点），线段中点为，射线与直线交于点，点在以为直径的圆上，求直线的方程. 19. 已知等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，满足. （1）求数列、的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）设，求证：. 20. 已知函数（）. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，恒成立，求a的取值范围； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高三数学第一次统练 一､选择题 1. 全集，集合满足，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集、并集的定义进行求解即可. 【详解】因为全集，集合满足， 所以， 全集，集合， 所以， 所以. 故选：C 2. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合两条直线平行的条件即可求出答案. 【详解】当，直线，此时，故“”是“”的充分条件， 由，得，解得，故“”是“”的必要条件， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域，零点，奇偶性和函数值的符号，即可判断. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以函数的定义域为R.所以可排除B. 令，则，所以或. 由，得，解得. 所以函数有唯一零点.所以可排除C. 因为， 所以，. 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除D. 故选：A. 4. 车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程（单位：）与某品牌轮胎凹槽深度（单位：）的数据，并对这些数据进行了初步处理.现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型I的决定系数为0.95，模型II为非线性经验回归方程，模型II的决定系数为0.99，则以下说法正确的是（ ） A. 若选用模型I，则两个变量正相关 B. 若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量一定减少1.14个单位 C. 若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度一定越大 D. 模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归方程的性质可判断A，B，C；根据决定系数的大小关系可判断模型的拟合效果，即可判断D. 【详解】模型I所得经验回归方程为，因为，则两个变量负相关，故A不正确； 若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量估计减少1.14个单位，故B不正确； 若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度可能越小，故C不正确； 由于模型I的决定系数为0.95，模型II的决定系数为0.99，由于，则模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好，故D正确. 故选：D. 5. 设，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的性质分别分析的取值范围，再比较它们的大小即可. 【详解】，，，即. ，正弦函数在上单调递增，，即， ，，，即， ，而，故，故. 综上，. 故选：B. 6. 已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)=[x]为取整函数，是函数的零点， 则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得的值. 【详解】函数在 上单调递增， ，， 所以零点满足 ，所以， 故选：C. 7. 设函数，若时，的最小值为，则（ ）． A. 函数的周期为 B. 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数 C. 当，的值域为 D. 函数在区间上的零点个数共有6个 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知的最小正周期为即可判断A；由此可得，，再根据平移、诱导公式、余弦函数的奇偶性可判断B；根据正弦函数的图象及相关性质可判断CD. 【详解】由， 由时，的最小值为，即， 可得的最小正周期为，故A错误； 由，则， 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为， 为偶函数，故B错误； 当时，，则， 所以，故C错误； 当时，， 则当，，，，，时，， 则在区间上的根的个数共有6个，故D正确. 故选：D 8. 已知某圆锥的母线长为，该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合，则该圆锥内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的轴截面可得圆锥底面半径为，高为，母线为的关系，结合该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合可得圆锥内切球半径为，外接球半径为之间的关系，列方程组从而可得，的值，即可得所求. 【详解】如图，圆锥的轴截面为，圆锥的底面中心为，则点为中点， 设内切球的球心与其外接球的球心为，则点在圆锥的高上，连接，过作于， 设圆锥内切球半径为，外接球半径为，圆锥底面半径为，高为，母线为， 由题可得，，，， 则， 由勾股定理可得：，所以，整理得 所以，又由可得， 联立解得， 故该圆锥内切球的半径为，所以内切球的表面积为. 故选：C. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线l垂直于C的一条渐近线，且与C的左、右两支分别交于点A，B，若，则C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用双曲线的定义用表示，，再用余弦定理表示，联立中的余弦值，齐次化后即可求解. 【详解】不妨设直线与直线垂直，垂足为，如下图： 由双曲线定义可得，，故， 且有，即，， 在中，由余弦定理得， 在中，，易得，所以， 所以有，， 两边同时平方得，， ，， 同除以得，化简得，， 因为双曲线，故，. 故选：A. 二､填空题 10. 在复平面内，对应的点位于第________象限. 【答案】四 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，求出复数的实部和虚部，再根据复数与复平面内点的对应关系，判断结果. 【详解】由题意得，复数在复平面内的对应点的坐标为，该点在第四象限. 故答案为：四. 11. 二项式的展开式中，含的项的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，求指定项的系数即可. 【详解】二项式的展开式第项为， 当时，，即含的项的系数为. 故答案为：. 12. 已知抛物线，其焦点到准线的距离为4，过点且倾斜角为的直线被圆截得的线段长度为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求直线与圆相交所得弦的弦长. 【详解】抛物线，焦点到准线的距离为4，所以，所以焦点. 则过点且倾斜角为的直线方程为：，即. 因为，圆心为，半径为. 圆心到直线的距离为：， 所以直线被圆截得的线段长度为：. 故答案为： 13. 已知某盒中装有 6 个大小、质地一致的乒乓球，其中有 4 个新球 (从未被使用过) 2 个旧球，第一次比赛时从此盒中任取 2 个球来使用．赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取 2 个球使用． ①第二次比赛时取出的 2 个球都是新球的概率为 _____． ②在第一次比赛时取出 2 个旧球，赛后将两球放回盒中的条件下，第二次比赛时取出个新球的概率为 _____． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】①以第一次取球的三种情况为完备事件组，用全概率公式，分别计算各情况概率与对应条件下第二次取 2 个新球的概率，再加权求和得到结果；②在第一次取 2 个旧球的前提下，盒中球数与种类不变，直接计算此时第二次取 2 个新球的条件概率. 【详解】设表示“第一次取出个新球”（），表示“第二次取出2个新球”，总取法， ① 求第二次取出2个都是新球的概率： 用全概率公式：， （第一次取0新2旧）：，未使用新球，盒中仍4新2旧，故， （第一次取1新1旧）：，用了1个新球变为旧球，盒中剩3新3旧，故， （第一次取2新0旧）：，用了2个新球变为旧球，盒中剩2新4旧，故， 代入计算： ； ② 条件概率：第一次取2个旧球的条件下，第二次取2个新球的概率： 已知第一次取出2个旧球，没有使用新球，放回后盒中仍然是4个新球、2个旧球， 因此条件概率： . 【点睛】本题考查全概率公式和条件概率，核心逻辑：新球使用后变为旧球，放回后盒中新球数量会发生变化. 14. 在中，，，，，则______，延长交于点，点在边上，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】(1)以，为基底表示，，根据数量积的运算律化简，由此可求BC，(2)建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算公式表示，再求其最小值. 【详解】解：由，可得 由，可得， ， 则.∴. 如图建立平面直角坐标系，可得，，， 设，. ∵，∴，，∴为中点， ∴， ∴， ， ∵，∴时，最小，最小值为. 答案为：，. 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 15. 函数 若在区间内恰有5个零点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，分在区间有3个零点且在区间有2个零点，在区间有4个零点且在区间有1个零点，和在区间有5个零点且在区间没有零点，三种情况求解即可. 【详解】作出函数的图像，左侧是正弦型函数，右侧是开口向上，可以上下平移对称轴为的二次函数. 当时，，得到， （1）当在区间有3个零点且在区间有2个零点时， 满足 ，得到； （2）当在区间有4个零点且在区间有1个零点时， 满足或 ，得到； （3）当在区间有5个零点且在区间没有零点时， 满足 ，无解； 综上所述，实数的取值范围为：. 故答案为：. 三､解答题 16. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若. （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合二倍角公式可求角. （2）（i）利用余弦定理列式，结合条件，可求的值. （ii）利用正弦定理求，结合二倍角公式和和角公式求值即可. 【小问1详解】 由正弦定理及二倍角公式可得， 又因为，所以，解得， 由，可得. 【小问2详解】 （i）将代入余弦定理，得， 解得. （ii）因为，故， 由正弦定理，解得， 由，故， 代入. 17. 已知正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点． （1）求证：面面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求四棱锥的体积． 【答案】（1） 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，， ，， ，， 设是平面的法向量， 则，解得， 取，则，，得是平面的一个法向量． 设是平面的法向量， 则，解得， 取，则，，得是平面的一个法向量． ， 平面平面． （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，证明这两个法向量平行或相等即可； （2）利用二面角的向量公式计算即可； （3）利用点到面的距离公式，以及棱锥的体积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为， 则, 即平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ，，， 又是平面的一个法向量， 点A到平面的距离． ， 梯形为等腰梯形，易得梯形的高为， ，． 18. 已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆下顶点，为等腰直角三角形，其周长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线过点与椭圆交于点（异于椭圆顶点），线段中点为，射线与直线交于点，点在以为直径的圆上，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求的值，可得椭圆的标准方程. （2）直线的方程为，与椭圆方程联立，求出点坐标，进而得到点坐标，再根据直线的方程求出点坐标，利用可求的值，即得直线的方程. 【小问1详解】 依题意，解得. 故椭圆方程为. 【小问2详解】 如图： 依题意，直线斜率显然存在，设直线的方程为， 设点，由方程组， 整理得， ，故，有， 即， 故中点， 所以直线方程为，则， 又因为点在以为直径的圆上，故有①， 由代入①式，解得， 故直线的方程为. 19. 已知等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，满足. （1）求数列、的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）设，求证：. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的求和公式与通项公式列式求出首项和公差，可得数列的通项公式；根据可求出数列的通项公式； （2）根据进行裂项求和可求出； （3）根据基本不等式进行放缩得，再根据错位相减法求和可证不等式成立. 【小问1详解】 因为数列是等差数列，设公差为， 由，得，即，解得， 所以， 由得，得， 当时，， 所以， 所以，即， 又，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以. 综上所述：数列、的通项公式分别是：，. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以 . 【小问3详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 所以， 设， 则， 所以， 所以， 所以， 所以. 20. 已知函数（）. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，恒成立，求a的取值范围； （3）求证：. 【答案】（1）； （2）满足题意的实数a的取值范围为； （3） 证明：由（2）可得当时，即恒成立， 令，则即，即， 所以， 所以：. 所以. 【解析】 【分析】（1）由导数几何意义求出切点处的导数即切线斜率即可由点斜式得解； （2）将问题转化成当时，，利用导数工具结合分类讨论法研究函数的单调性求最值即可分析计算求解； （3）先由（2）得到时，恒成立，进而令得到，进而由累加法即可逐步分析计算求证. 【小问1详解】 由题（）， 当时，. 所以，切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 因为当时，恒成立，所以当时，， 由题（）， 解方程或， 所以当即时，若有， 所以函数在上单调递增，所以函数，满足题意； 当即时，若有，若有， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. ， 则，所以在上单调递减， 所以，与矛盾，不符合. 综上，满足题意的实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $