江苏扬州市2026届高三第一次调研测试数学试卷

扬州市2026届高三第一次调研测试 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案杯号法 黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在 答题上指定位置上，在其他位置作答一律无效， 3.本卷满分为150分，考试时问为120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一 并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={1,2,3,4,B={xlog2(x-1)s2},则AnB的子集个数为（) A.32 B.16 C.8 D.4 2.若复数=满足(1-i)z=3-2i,则=的虚部为() c. D.i 3.(2+是-2展开式中的常数项为( ) A.20 B.-20 C.-12 D.-8 4.若，6，是夹角120°的单位向量，则ā=2g+e,和b=g,-28夹角余弦值是（) A.- 7 B. 7 C.②i 14 5.用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶 性不同的条件下，1和2相邻的概率是() 永高 C. 9 D. 6.已知数列0，}为等差数列，a,吗，为函数/(e)=之式+血x-3x+1的两个极值点，则 a4+a5=（) A.1 B.3 C.5 D.3+5 2 高三数学试卷第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 7.已知函数f(x)=cos3x-cos2x,x∈(0，)，若(x)有两个零点x,x(x<x),则 cosxcosx2.的值为( ) A. 1 B.一4 C. 8已知双曲线号卡-0>0b>0的右焦点为R过点F且斜率为化0的直维】 交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D若AB≥VDF,则双曲线 的离心率取值范围是( 2/3 B.(] c.[V5,+o) 25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9。一组数据x,x2,x,,0满足x-x=2(2≤≤10)，若去掉x,x。后组成一组新数据. 则新数据与原数据相比（) A.极差变小B.平均数变大C.方差变小D.第25百分位数变小 10。在正三棱柱ABC-AB,C中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（) A.AD⊥DC B.BC⊥平面AB,C C.V。-A4=12 D.三棱柱A8C-A4G外接球表面积为了x 11.若log.b>0(a>0且a≠1)，若b<a,ae<be(e是自然对数底数)，则() A.Inb<a-1 B.(a+)血(b+1)>(b+1)l血(a+1) C.ba-1>ab-1 D.logaa>logmb 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12。已知圆柱了与圆锥了，的高比值为5，底面半径比值为号，若圆锥，体积为1， 则圆柱的体积为 高三数学试卷第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 13.抛物线x2=2y上距离点A(0,a(a>0)最近点也是其顶点，则a的取值范围是 14.定义：[x)是不大于x的最大整数，{x}是不小于x的最小整数，设函数∫(x)={x[x]} 在定义域[0，eN)上值域为C,记C,元素个数为a,则2++…+=一 a az a。 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯 形，且PC/IOB,PC=)OB=1,OP=2反，D为圆0上一点. (I)若点M在线段AD上，且AM=3MD,求证：PMI平面CDB: (2)当直线PD与平面PAB所成的角为30时，求二面角A-PD-B 的正弦值。 16.(15分) 近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了2020~2024年的年份代码 x(x=1,2,3,4,5)与该App在线用户数y（单位：万)的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 5 Ap在线用户数y(单位：万) 80 150 210 260 300 (I)求样本相关系数，并判断变量×与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从2020~2024年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y,记最小的数据 为X,求X的分布列及数学期望E(X), 立x-0y-刃 注：样本相关系数”= 当越接近1时，成对样本数据的线 2-2(-列 性相关程度越强：当川越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱。其中， 2-52-=53. 高三数学试卷第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(15分) 记4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+2bc0sC=0. (1)求tanC+3tanB的值： ②诺4MBC的面积为后，求B: (3)若b=2,当角A最大时，求AABC的面积 18.(17分) 已知函数了)=+x-b的一个极值点是x=2. (1)求a与b的关系式： (2)求出∫(x)的单调区间： (3)设a>0,g()=a2e-2,若存在x,西∈[0,3]，使得f(x)-g(x<克成立， 求实数a的取值范围. 19.（17分) 过双曲线上 a京=1(a>0,b>0)上一点4(-，0)作两渐近线的垂线，垂足为D、E, Mh=2 (1)求双曲线方程： (2)过点B(m,0)(m>a)的直线与双曲线右支交于P、2两点，连接AP、A2,直线 x=n(m>n)与P、Ag分别交于M、N,∠MBW=90°. (i)若m=2,求n的值： (ii)求n的最小值： 高三数学试卷第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 扬州市2026届高三第一次调研测试 数学参考答案与评分建议 —、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 2 3 4 5 6 个 P c o A c B B A 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9 10 11 AC AD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 13 14 3v3 2n 0<a≤1 2 n+1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 【解】(I)取线段OB的中点N,连接MN,PN...1分 因为PCI,PC=OB,所以PC∥NB且PC=NB, 因此四边形PCBN是平行四边形，所以PN∥CB,.2分 又CBc平面CDB,PN平面CDB,所以PNII平面CDB. 因为AN=3NB,AM=3MD,所以MN∥BD.....3分 又BDc平面CDB,MNc平面CDB,所以MNII平面CDB.4分 而PN∩MN=N,PW,Nc平面PMN, 所以平面PMN/1平面CDB,.....5分 又PMc平面PMN,所以PM/平面CDB....6分 (2)由圆锥的对称性不妨取点D为如图所示位置，在圆锥底面内过点D作DF⊥AB于 点F,连接PF, 因为平面PAB⊥平面ABD,平面PABO平面ABD=AB,所以DF⊥平面PAB, 所以∠DPF就是直线PD与平面PAB所成的角，所以∠DPF=30°，.....7分 因为PD=PB=√P02+0B2=23, 参考答案与评分标准第1页（共7页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 所以DF=PDsin30°=V5..8分 连接0D,则OF=√OD2-DF=1,即点F为0B的中点.9分 以O为原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则A(2,0,0),P0,0,2W2),B(-2,0,0),D(-1,V5,0, 于是P=(-2,02W2),PD=(-15,-22),PB=(-2,0,-22) 组∫-2x+224,=0 平面APD的法向量为n=(函，八，小，则PDn=0得x+5-22。。 取x=V2,可得元=（2，V6,.…10分 PB·n2=0 设平面PDB的法向量为，=(x,y2,2),则 PD.ng =0 得2-22，=0 -x+V5%-2W2,=0 取4=.可箱元=(E-5小 11分 V33 所以c0s, 同网网3× 33,.12分 故二面角A-PD-B的正弦值为V-cos2几，n, 33 4V66 ....13分 33 33 16.(15分) 【解】（1)元=1+2+3+4+5-3，万=80+150+210+260+300=200， 5 5 则2(x-x(0y-列=2×120+1x50+0+1×60+2x100=550,2分 由2(--2-2近2+5-2-102+52- ∑-5， 同理2，-列=2-少， 参考答案与评分标准第2页（共7页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 测2-时20，-列-经-52-=53,4分 2(x-)(y-列 则 2%-旷2-列 50=0.99,6分 553 由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系：.7分 (2)X的可能取值为80、150、210,8分 P(X-80)=CC=3 C5' .9分 P(X=150)=CC-3 C-10 .10分 PK=208-6 .11分 故X的分布列为： .13分 X 80 150 210 P 5 1 10 则EX)=80×+150x0+210x0=14.l5分 10 17.(15分) 【解】（1)a+2 bcosC=0,由正弦定理可得：sinA+2 sin BcosC=0,...2分 ..sin(B+C)+2sin BcosC=0,..sin Ccos B+3sin BcosC=0, 3分 两边同时除以cos Bcos C,可得：tanC+3tanB=0. .4分 2)5cacs如8-号，则3s如8=c， .5分 结合正弦定理得，3 sin Asin B=sinC, 6分 3sin Bsin(B+C)=3sin Bsin BcosC+3sin B cos Bsin C=sinC,.......... 3sin2B 3sin2B 3tan2B tan C-1-3sin Bcos B=sinB+cosB-3sin Bcos B tanB-3tan B+1 参考答案与评分标准第3页（共7页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 所以-3tanB= 3tan2B 即tan2B-2tanB+l=0, tan2B-3tan B+1 8分 解得tanB=l,又B∈(O,), 所以B=平 9分 (3)a+2 2bcosC=0,a+2b.a+b2-c=0, 2ab 2a3+62-c2=0,a2=c2-63 2’ .12分 ..cos= +e2-a2b2+c2-c2- .13分 2bc 2bc 当且仅当c=6时等号成立，此时A取到最大值？， .14分 当4最大时，c血4=方2x2x对5， 15分 18.(17分) 【解】 (1)因为f树=x+ax-b er 所以f'(x)= 2x+a)e-(x+r-b)E--x2+(2-a)x+a+ (e) e ,1分 因为函数∫)=+=b的一个极值点是x=2, .2分 er 所以∫'(2)=0，即b=a: 3分 (不写b=a≠-2不扣分) ②f=x+2-)x+20-K-2x+a）, .4分 e ①当a=-2时，付=-x-2≤0，所以函数了网在R上单调递减， 此时函数没有极值点，不符合题意： .5分 ②当a<-2时，令'(x)=0得x=2或x=-a,列表如下： (-∞，2) 2,-a) - -a,+o0) f'(x) 0 0 参考答案与评分标准第4页（共7页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP f(x) 满足x=2是函数∫(x)的极值点： .6分 ③当a>-2时，令f'(x)=0得x=2或x=-a,列表如下： -，-a） -a -a,2) 2,+∞ f'(x) 0 0 f(x) 1 Z 满足x=2是函数∫(x)的极值点 7分 所以b=a≠-2： 所以当a<-2时，函数∫(x)的单调递增区间为(2，-a), 单调递减区间为(-∞，2)和(-a,+∞)： 8分 当a>-2时，函数∫(x)的单调递增区间为(-a,2), 单调递减区间为(-∞，-a)和(2，+∞). 9分 (3)油(1)(2)知，=+x-a er 且a>0时，∫(x)在(02)单调递增，在(2,3)单调递减， 又因为f0)=-a<0,3)=9+20>0, 所以)在0，]上的最大值为/回=牛，最小值为0=a…1分 又当a>0时，函数g(x)=a2e-2在[0,3]单调递增， 所以8)在0.3到上的最大值为g6)=ae,最小值为g@-g…lB分 因为存在，e0,3引，使得/()-8(s,川是成立， 即存在，∈[0,3引，使得-是<)8(x)<是成立， .14分 参考答案与评分标准第5页（共7页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 即 ，又因为a>0,所以解得0<a<3, 4+aa2 ..16分 e-e>-e 所以实数a的取值范围为(0,3). 17分 19.(17分) 【解】 (1)双曲线-y 言尽=1(a>0,b>0)的浙近线方程为br士ay=0, 由已知得a2=1, .1分 双曲线上一点(k,。)到渐近线距离之积lbx,+则.1b,-_b-a_ a2+b2Va2+b2 2 即g-7又c-1+8=心-2 .3分 所以双曲线方程为x2-y2=1. .4分 (2)(i)设直线P四方程x=y+m,则m≠-1，设点P(x,)、(x2,2)(:>0,x>0), x=ty+m 联列方程组 -)1可得(-少>2+2m+m2-1=0, 5分 由题意可得2-1≠0且△=4m22-4(t2-1(m2-1)>0→m2+2-1>0恒成立， 又%+⅓得%0， -21m 被物程为7-令n,有品 即M n,(a+)） 同理N 2(n+l) y,+(m+1) 子、 2+(m+1) .6分 直角三角形MWB中，设直线x=n交x轴于点E, 因为∠EMB+∠EBM=∠EBM+∠EBN=90°，则∠EMB=∠EBN, 所以，tan∠EMB= A-E别，所以.1E=lEM EMEB .7分 则lm-n=wx= (n+)y(n+l) y(n+1)2 +(m+1)+(m+1y+(m+1(0y+2)+(m+1)月 参考答案与评分标准第6页（共7页) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP