专题02 图形与坐标（期中复习讲义）八年级数学下学期新教材湘教版

专题02 图形与坐标（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 根据点到坐标轴的距离求坐标（含多解问题） 题型02 轴对称与平移的坐标变化（含折叠问题） 题型03 特殊四边形与坐标的综合（存在性问题） 题型04 图形变换与坐标规律探究（新定义/压轴倾向） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系 知识掌握：准确记忆平面直角坐标系的构成要素（横轴、纵轴、原点、正方向），深刻理解“平面上的点与有序实数对一一对应”这一核心思想。 技能应用：能熟练根据点的位置求其坐标，反之亦然。掌握建立恰当平面直角坐标系的三种常用方法（以特殊线段所在直线为轴、以对称轴为轴、以已知点为原点），并能根据问题背景选择最简方案，使点的坐标表达简明。 思想渗透：初步体会数形结合思想，通过坐标建立几何图形与代数表达式之间的联系。 考查形式：此考点是基础中的基础，常作为综合题的背景或前提，直接单独命题多见于选择题、填空题的前几题，考查点的坐标特征或根据坐标确定位置。 常见题型：在“四边形与坐标的综合题”中，它是解题的起点，要求能准确标出或求出已知图形顶点的坐标。在“建立坐标系”方面，可能出现在有网格或实际背景的问题中，要求建立使计算最简便的坐标系。 易错点：求坐标时忽略象限符号；建立坐标系时选择不当，导致后续坐标表达复杂，计算量增大。 简单图形的坐标表示 知识体系：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质定理与判定定理，清晰理解它们之间的包含与递进关系（如正方形兼具矩形和菱形的所有性质）。 坐标关联：能将特殊四边形的几何性质（如对边平行且相等、对角线互相平分等）转化为其顶点坐标之间的数量关系（如利用中点坐标公式、向量相等）。 综合能力：能够处理“特殊四边形的判定与性质综合题”，运用坐标法结合几何推理进行证明或计算。 核心地位：这是本专题的绝对重点和必考核心。期中考试中，大量中档题和压轴题都围绕特殊四边形的性质与判定展开。 高频题型：“题型02 特殊四边形的判定与性质综合题”是典型代表。题目常以几何证明与计算结合的形式出现，要求学生能灵活提取不同四边形的特性。 失分陷阱：判定条件使用不充分（如仅凭“对角线相等”判定矩形）；性质与判定混淆（在证明题中把待证结论当已知条件用）；在复杂图形中无法有效识别基本图形模型。 轴对称和平移的坐标表示 规律记忆：准确记忆点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，以及点沿坐标轴方向平移后的坐标变化规律。 图形应用：能描述一个简单图形经过轴对称或平移变换后，其各顶点坐标的变化情况。能将坐标变化与几何变换的直观理解相结合。 综合联系：在“四边形中的折叠问题”中，能识别折叠本质是轴对称，并利用坐标变化规律（或全等性质）寻找等量关系。 考查方式：较少单独成题，常作为工具性知识融入其他题型。在“题型03 四边形中的折叠问题”中，它是建立方程的关键理论依据（折叠前后对应点连线被折痕垂直平分，对应边、角相等）。 命题结合：可能与函数图象的变换结合，或在坐标系背景下的图形变换中出现。 易错点：坐标变化规律记忆混淆（特别是关于y轴对称时横坐标变号）；在折叠问题中找错对应点与对应线段。 知识点01 求平面直角坐标系内点的坐标 (1)平面直角坐标系的定义:在平面内画两条互相垂直的数轴,其中一条叫横轴(x轴),另一条叫纵轴(y轴),它们的交点O是这两条数轴的原点.通常,横轴向右为正方向,纵轴向上为正方向,这样建立的两条数轴构成了平面直角坐标系. (2)建立了平面直角坐标系后,平面上的点与有序实数对一一对应. 示例： 在平面直角坐标系中，已知点A在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点A的坐标为 (-4, 3)。 解析：第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正。“到x轴的距离”等于纵坐标的绝对值，“到y轴的距离”等于横坐标的绝对值。故由题意得 |x|=4， |y|=3，结合第二象限符号特征，得 x=-4， y=3。 易错点： 1. 忽略象限符号：最容易将第二象限的点错误写成(4,3)或(4,-3)等。必须牢记各象限内点的坐标符号特征（一象限(+,+)；二象限(-,+)；三象限(-,-)；四象限(+,-)）。 2. 距离与坐标关系混淆：“到x轴的距离”对应|纵坐标|，“到y轴的距离”对应|横坐标|，两者切勿颠倒。 3. 漏解：如果题目未明确指定象限，仅给出点到坐标轴的距离，则可能存在多个解（四个象限各一个）。例如，到x轴距离为2，到y轴距离为3的点有四个：(3,2)， (-3,2)， (-3,-2)， (3,-2)。 知识点02 建立恰当的平面直角坐标系确定点的坐标 构建的平面直角坐标系不同,则点的坐标也不同,在建立平面直角坐标系时,应使点的坐标简明. 方法技巧：建立平面直角坐标系的常见方法 (1)以某些特殊的线段所在的直线为x轴或y轴(如高线、中线等). (2)把对称图形的对称轴作为工轴或y轴. (3)以某个已知点为原点建立平面直角坐标系。 易错点： 坐标系建立不当导致计算复杂：例如在上述示例中，若以点A为原点，AB为x轴建立坐标系，则B点坐标简单为(, 0)，但C点坐标需要通过勾股定理和几何关系求解，表达式复杂（如(, )），增加了后续运算的难度和出错概率。应养成优先选择“让最多点落在坐标轴上或使图形关于坐标轴对称”的建系习惯。 忽略单位长度或方向：在建立坐标系时，必须明确标注x轴、y轴及正方向。在网格题或无网格题中，需根据已知线段长度合理确定单位长度，否则坐标数值会出错。 几何关系转化错误：在建系后，将几何条件（如等腰、直角、中点等）转化为坐标间的等量关系时出错。 知识点03 轴对称与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a.-b),关于y轴的对称点的坐标为(-a,b). 示例： 已知点P(2, -3)关于x轴的对称点是点P₁，关于y轴的对称点是点P₂，则点P₁的坐标是 (2, 3)，点P₂的坐标是 (-2, -3)。线段PP₂的长度为 4。 解析：直接套用规律：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变号。P(2,-3) → P₁(2,3)；P(2,-3) → P₂(-2,-3)。线段PP₂的长度即横坐标之差的绝对值 |2 - (-2)| = 4。 易错点： 坐标变化规律记忆混淆：最常见的错误是将“关于y轴对称，横坐标变号”记成“纵坐标变号”。可以借助直观想象：关于y轴（竖直的线）对称，左右（横坐标）相反；关于x轴（水平的线）对称，上下（纵坐标）相反。 与平移规律混淆：轴对称是“关于某条线翻折”，坐标是“某不变，某变号”；平移是“沿着某个方向移动”，坐标是“某加减一个数”。两者原理不同，切勿混淆。 在折叠（轴对称）问题中找错对应点：在复杂的图形折叠问题中，必须仔细识别哪两个点折叠后重合，错误的对应对会导致后续列出的等量关系全部错误。 知识点04 平移与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,将点(a,b)向右(或向左)平移k个单位长度,其像的坐标为(a+k,b)(或(a-k,b));将点(a,6)向上(或向下)平移k个单位长度,其像的坐标为(a,b+k)(或(a,b-k)). 示例： 将点A(-1, 5)先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点A‘；将点B(4, -2)先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到点B‘。则点A‘的坐标为 (-4, 3)，点B‘的坐标为 (9, -1)，线段A‘B‘的中点坐标为 (2.5, 1)。 解析：左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，下减上加。 A(-1,5) → 左移3：(-1-3,5)=(-4,5) → 下移2：(-4,5-2)=(-4,3)。 B(4,-2) → 上移1：(4,-2+1)=(4,-1) → 右移5：(4+5,-1)=(9,-1)。 中点坐标公式：((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) = ((-4+9)/2, (3+(-1))/2) = (5/2, 1)。 易错点： 1. 平移方向与坐标运算对应错误：“左移”是横坐标“减”，“右移”是“加”；“下移”是纵坐标“减”，“上移”是“加”。口诀：“左减右加，下减上加”。 2. 连续平移时顺序出错：点的连续平移与顺序无关，结果相同。但图形（或函数）的平移有时与顺序有关，需注意题目语境。对于点的平移，可以分步计算，也可以合成一步：A(x,y) 向左平移a个单位，再向下平移b个单位，则 A‘(x-a, y-b)。 3. 与轴对称变化混淆：同知识点03易错点2。平移是整体移动，所有点按相同规则变化；轴对称是每个点单独关于对称轴作对称变换。 题型一 根据点到坐标轴的距离求坐标（含多解问题） 解｜题｜技｜巧 题型特征：已知点P到x轴、y轴的距离，求点P的坐标。常因忽略象限符号或漏解而失分。 · 怎么想（破题思路）： 1. 核心转化：牢记“距离”是绝对值。到x轴的距离 = |纵坐标|；到y轴的距离 = |横坐标|。 2. 分类讨论：题目未明确象限时，必须根据横、纵坐标的正负性，考虑四个象限的所有可能。 · 怎么做（步骤技巧）： 1. 设坐标：设点P的坐标为 (x, y)。 2. 列方程：根据题意列出 |x| = a， |y| = b。 3. 求所有解：解出 x = ±a, y = ±b。 4. 组合配对：将所有可能的x、y值进行组合，得到 (±a, ±b) 共四组解。 5. 结合限制：若题目限定了象限（如“第二象限”），则根据象限符号特征（一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)）筛选出唯一解。 易｜错｜点｜拨 1. 坑1（符号错误）：直接将距离当作坐标，忽略象限符号。对策：距离是绝对值，坐标有正负，必须结合象限判断符号。 2. 坑2（漏解）：当题目只说“到x轴距离为m，到y轴距离为n”而未指定象限时，只写出一个解。对策：养成“距离→绝对值→分类讨论”的思维习惯，系统写出四组解。 3. 坑3（关系混淆）：将“到x轴的距离”错误对应为横坐标。口诀：“到谁轴的距离，看谁坐标的绝对值”。 【典例1】点在轴的右侧，到轴、轴的距离分别是7和8，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】已知点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为_________． 【变式2】点到轴和轴的距离相等，则点的坐标是__________． 【变式3】先阅读下列一段文字，再解答问题：已知在平面内有两点、，其两点间的距离公式为；同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点距离公式可简化为或． (1)已知点，，则 ； (2)已知点C，D在平行于轴的直线上，点C的纵坐标为3，点D的纵坐标为，则 ； (3)已知点M和（1）中的点A有轴，且，则点的坐标为 ； (4)已知点和（1）中的点A，B，则线段中相等的两条线段是 ． 题型二 轴对称与平移的坐标变化（含折叠问题） 解｜题｜技｜巧 题型特征：求点关于坐标轴对称或平移后的坐标；在矩形折叠问题中，利用轴对称性质求长度。常因记忆混淆或找错对应点而失分。 怎么想（破题思路）： 本质理解：轴对称是翻折，对应点连线被对称轴垂直平分；平移是整体移动，所有点变化规则一致。 折叠核心：图形折叠本质是轴对称变换。折叠前后对应部分全等（对应边相等、对应角相等）。 怎么做（步骤技巧）： 轴对称：关于x轴对称：(x, y) → (x, -y)（横不变，纵变号）。关于y轴对称：(x, y) → (-x, y)（纵不变，横变号）。口诀：“关于谁对称，谁不变，另一个变号”。 平移：左减右加（横坐标），下减上加（纵坐标）。口诀：“左减右加，下减上加”。 折叠问题解题三步法： 标等量：在图上标出所有由折叠产生的等边、等角。 设未知：将所求线段长度设为x。 构勾股：寻找或构造一个包含x的直角三角形，利用勾股定理列方程求解。 易｜错｜点｜拨 坑1（规律混淆）：将轴对称与平移规律记混，或将关于x轴、y轴的规律记反。对策：结合图形直观记忆口诀，并理解其几何意义。 坑2（折叠对应点找错）：这是折叠题最致命的错误。对策：在折叠前的图形和折叠后的图形上，用相同的符号（如A和A‘）明确标出相互重合的点。 坑3（忽略隐藏等腰）：在矩形折叠中，由折叠等角结合平行线内错角相等，常形成等腰三角形。对策：有平行线背景时，多观察角的关系，发现等腰三角形能极大简化计算。 【典例1】在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【典例2】已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【变式1】如图，将线段平移到，已知三个端点的坐标，，，那么第四个端点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到x轴距离的最大值称为线段的“好评距离”，记作．例如：若，，则线段的“好评距离”．①若点，，则________；②若将经过点且垂直于y轴的直线记作，点，关于直线的对称点分别为点G，H，连接和，当为定值时，m的取值范围为________． 【变式3】已知点，关于轴对称，则___________． 题型三 特殊四边形与坐标的综合（存在性问题） 解｜题｜技｜巧 题型特征：在平面直角坐标系中，给定部分点，探究能否构成平行四边形、矩形、菱形、正方形，并求未知点坐标。综合性强，是典型拉分题。 · 怎么想（破题思路）： 1. 代数化思想：将几何图形的判定条件（如平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分）转化为点坐标之间的方程。 2. 分类讨论思想：关键是确定分类标准。通常以已知线段作为平行四边形的“边”或“对角线”来分类，确保不重不漏。 · 怎么做（步骤技巧）： · 平行四边形存在性（已知三点A、B、C）： · 设元：设未知点D坐标为 (x, y)。 · 分类列方程： · 以AB为边：则向量AB = 向量DC 或 向量AB = 向量CD。（利用对边平行且相等） · 以AB为对角线：则线段AB的中点坐标 = 线段CD的中点坐标。（利用对角线互相平分） · 同理，需考虑以AC、BC为边或对角线的情况。通常有三种可能。 · 特殊四边形判定：在平行四边形基础上，增加条件。 · 矩形：在平行四边形基础上，增加“一个角为直角”（邻边垂直，斜率乘积为-1）或“对角线相等”（距离公式）。 · 菱形：在平行四边形基础上，增加“一组邻边相等”（距离公式）或“对角线垂直”（斜率乘积为-1）。 · 正方形：同时满足矩形和菱形的条件。 易｜错｜点｜拨 · 坑1（漏解）：未考虑所有分类情况。对策：系统讨论以每一条已知线段为边或对角线的所有情形。 · 坑2（代数转化错误）：在利用向量相等或中点公式时，点坐标的对应关系写错。对策：画出示意图，按平行四边形顶点的顺序（如ABCD）对应列式。 · 坑3（计算与检验：此类题计算复杂，且求出坐标后需检验是否满足构成四边形的条件（如四点不共线）。对策：草稿清晰，步步为营，最后务必代入验证。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，得． (1)求的面积； (2)若在x轴上存在点M，连接，使，求出点M的坐标； (3)若点P从点D开始以每秒个单位的速度向终点C运动，同时点Q从点A开始以每秒个单位的速度向终点B运动，当一个到达终点时，另一个也停止运动．问运动几秒时，以A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？ 【变式1】如图，在平面直角坐标系的第一象限找一点A，第二象限找一点B，使，，，且A，B都是格点，连接，，．（画出一个即可）． (1)A点已经确定，请在图中画出，判断的形状，并说明理由； (2)是否存在点C，使得O，A，B，C四点构成的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点C的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式2】如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． (1)的长为______； (2)求证：； (3)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，写出D点在第一象限时的坐标______． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四 图形变换与坐标规律探究（新定义/压轴倾向） 解｜题｜技｜巧 题型特征：涉及图形的连续平移、对称、旋转，或在坐标系中寻找点、图形的变化规律。要求有较强的观察、归纳和代数推理能力。 · 怎么想（破题思路）： 1. 化动为静：对于动点、连续变换问题，先写出前几步变换后的具体坐标，寻找循环周期或变化规律。 2. 从特殊到一般：通过计算前几个点（图形）的坐标，归纳出第n个点（图形）的坐标通项公式。 · 怎么做（步骤技巧）： · 周期变换：计算点经过数次变换后的坐标，观察是否回到原点或出现循环。用总变换次数除以周期，看余数，余数对应周期内的第几个位置。 · 规律探究：仔细分析横坐标、纵坐标分别与序号n之间的数量关系。可能是等差数列、等比数列，或与n的奇偶性有关。 易｜错｜点｜拨 坑1（规律找错）：未计算足够多的项就匆忙下结论。对策：至少计算并验证3-4项，确保规律可靠。 坑2（忽略起始项：规律公式中的n是从0还是1开始？对策：明确序号n的实际意义，代入初始值进行检验。 坑3（新定义理解偏差）：对新公式一知半解就套用。对策：回归题目给出的素材和示例，理解公式的推导过程和应用场景。 【典例1】光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达，依此类推，经过第2025次全反射到达，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4】在平面直角坐标系xOy中，对于点，我们把叫作点P的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，……，这样依次得到各点．若点的坐标为，则点的“友好点”是（    ） A． B． C． D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若，则点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．贵州省部分主要城市在地图中的位置如图所示，若毕节位置的坐标为，安顺位置的坐标为，则遵义位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则______． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 5．《七律·长征》生动的描述红军长征这一伟大历史事件，展现了红军战士英勇无畏的精神和革命乐观主义态度．将这首诗放入如图直角坐标系内，如万的对应坐标为．请回答下方问题： (1)“铁”和“喜”的坐标依次是______； (2)请直接写出，，依次对应的文字． (3)若将平面直角坐标系向右平移3个单位．向上平移1个单位，诗句不动．则坐标系平移后“雪”字的新坐标为______． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点 ．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，D是的中点，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______． 5．平行四边形的个顶点的坐标为，，第三个顶点在轴的正半轴上，且与轴的距离是个单位． (1)在直角坐标系中描出这三个点； (2)求第四个顶点的坐标． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形“L”形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，等边的顶点，分别在轴和轴上，轴，点为上方的坐标平面内一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点共有______个． 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴，y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的E处，若点，点，则点D的坐标是___________．    5．如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，且满足，点的坐标为． (1)求的值及； (2)若点在坐标轴上，且，试求点的坐标． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 图形与坐标（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 根据点到坐标轴的距离求坐标（含多解问题） 题型02 轴对称与平移的坐标变化（含折叠问题） 题型03 特殊四边形与坐标的综合（存在性问题） 题型04 图形变换与坐标规律探究（新定义/压轴倾向） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系 知识掌握：准确记忆平面直角坐标系的构成要素（横轴、纵轴、原点、正方向），深刻理解“平面上的点与有序实数对一一对应”这一核心思想。 技能应用：能熟练根据点的位置求其坐标，反之亦然。掌握建立恰当平面直角坐标系的三种常用方法（以特殊线段所在直线为轴、以对称轴为轴、以已知点为原点），并能根据问题背景选择最简方案，使点的坐标表达简明。 思想渗透：初步体会数形结合思想，通过坐标建立几何图形与代数表达式之间的联系。 考查形式：此考点是基础中的基础，常作为综合题的背景或前提，直接单独命题多见于选择题、填空题的前几题，考查点的坐标特征或根据坐标确定位置。 常见题型：在“四边形与坐标的综合题”中，它是解题的起点，要求能准确标出或求出已知图形顶点的坐标。在“建立坐标系”方面，可能出现在有网格或实际背景的问题中，要求建立使计算最简便的坐标系。 易错点：求坐标时忽略象限符号；建立坐标系时选择不当，导致后续坐标表达复杂，计算量增大。 简单图形的坐标表示 知识体系：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质定理与判定定理，清晰理解它们之间的包含与递进关系（如正方形兼具矩形和菱形的所有性质）。 坐标关联：能将特殊四边形的几何性质（如对边平行且相等、对角线互相平分等）转化为其顶点坐标之间的数量关系（如利用中点坐标公式、向量相等）。 综合能力：能够处理“特殊四边形的判定与性质综合题”，运用坐标法结合几何推理进行证明或计算。 核心地位：这是本专题的绝对重点和必考核心。期中考试中，大量中档题和压轴题都围绕特殊四边形的性质与判定展开。 高频题型：“题型02 特殊四边形的判定与性质综合题”是典型代表。题目常以几何证明与计算结合的形式出现，要求学生能灵活提取不同四边形的特性。 失分陷阱：判定条件使用不充分（如仅凭“对角线相等”判定矩形）；性质与判定混淆（在证明题中把待证结论当已知条件用）；在复杂图形中无法有效识别基本图形模型。 轴对称和平移的坐标表示 规律记忆：准确记忆点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，以及点沿坐标轴方向平移后的坐标变化规律。 图形应用：能描述一个简单图形经过轴对称或平移变换后，其各顶点坐标的变化情况。能将坐标变化与几何变换的直观理解相结合。 综合联系：在“四边形中的折叠问题”中，能识别折叠本质是轴对称，并利用坐标变化规律（或全等性质）寻找等量关系。 考查方式：较少单独成题，常作为工具性知识融入其他题型。在“题型03 四边形中的折叠问题”中，它是建立方程的关键理论依据（折叠前后对应点连线被折痕垂直平分，对应边、角相等）。 命题结合：可能与函数图象的变换结合，或在坐标系背景下的图形变换中出现。 易错点：坐标变化规律记忆混淆（特别是关于y轴对称时横坐标变号）；在折叠问题中找错对应点与对应线段。 知识点01 求平面直角坐标系内点的坐标 (1)平面直角坐标系的定义:在平面内画两条互相垂直的数轴,其中一条叫横轴(x轴),另一条叫纵轴(y轴),它们的交点O是这两条数轴的原点.通常,横轴向右为正方向,纵轴向上为正方向,这样建立的两条数轴构成了平面直角坐标系. (2)建立了平面直角坐标系后,平面上的点与有序实数对一一对应. 示例： 在平面直角坐标系中，已知点A在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点A的坐标为 (-4, 3)。 解析：第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正。“到x轴的距离”等于纵坐标的绝对值，“到y轴的距离”等于横坐标的绝对值。故由题意得 |x|=4， |y|=3，结合第二象限符号特征，得 x=-4， y=3。 易错点： 1. 忽略象限符号：最容易将第二象限的点错误写成(4,3)或(4,-3)等。必须牢记各象限内点的坐标符号特征（一象限(+,+)；二象限(-,+)；三象限(-,-)；四象限(+,-)）。 2. 距离与坐标关系混淆：“到x轴的距离”对应|纵坐标|，“到y轴的距离”对应|横坐标|，两者切勿颠倒。 3. 漏解：如果题目未明确指定象限，仅给出点到坐标轴的距离，则可能存在多个解（四个象限各一个）。例如，到x轴距离为2，到y轴距离为3的点有四个：(3,2)， (-3,2)， (-3,-2)， (3,-2)。 知识点02 建立恰当的平面直角坐标系确定点的坐标 构建的平面直角坐标系不同,则点的坐标也不同,在建立平面直角坐标系时,应使点的坐标简明. 方法技巧：建立平面直角坐标系的常见方法 (1)以某些特殊的线段所在的直线为x轴或y轴(如高线、中线等). (2)把对称图形的对称轴作为工轴或y轴. (3)以某个已知点为原点建立平面直角坐标系。 易错点： 坐标系建立不当导致计算复杂：例如在上述示例中，若以点A为原点，AB为x轴建立坐标系，则B点坐标简单为(, 0)，但C点坐标需要通过勾股定理和几何关系求解，表达式复杂（如(, )），增加了后续运算的难度和出错概率。应养成优先选择“让最多点落在坐标轴上或使图形关于坐标轴对称”的建系习惯。 忽略单位长度或方向：在建立坐标系时，必须明确标注x轴、y轴及正方向。在网格题或无网格题中，需根据已知线段长度合理确定单位长度，否则坐标数值会出错。 几何关系转化错误：在建系后，将几何条件（如等腰、直角、中点等）转化为坐标间的等量关系时出错。 知识点03 轴对称与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a.-b),关于y轴的对称点的坐标为(-a,b). 示例： 已知点P(2, -3)关于x轴的对称点是点P₁，关于y轴的对称点是点P₂，则点P₁的坐标是 (2, 3)，点P₂的坐标是 (-2, -3)。线段PP₂的长度为 4。 解析：直接套用规律：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变号。P(2,-3) → P₁(2,3)；P(2,-3) → P₂(-2,-3)。线段PP₂的长度即横坐标之差的绝对值 |2 - (-2)| = 4。 易错点： 坐标变化规律记忆混淆：最常见的错误是将“关于y轴对称，横坐标变号”记成“纵坐标变号”。可以借助直观想象：关于y轴（竖直的线）对称，左右（横坐标）相反；关于x轴（水平的线）对称，上下（纵坐标）相反。 与平移规律混淆：轴对称是“关于某条线翻折”，坐标是“某不变，某变号”；平移是“沿着某个方向移动”，坐标是“某加减一个数”。两者原理不同，切勿混淆。 在折叠（轴对称）问题中找错对应点：在复杂的图形折叠问题中，必须仔细识别哪两个点折叠后重合，错误的对应对会导致后续列出的等量关系全部错误。 知识点04 平移与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,将点(a,b)向右(或向左)平移k个单位长度,其像的坐标为(a+k,b)(或(a-k,b));将点(a,6)向上(或向下)平移k个单位长度,其像的坐标为(a,b+k)(或(a,b-k)). 示例： 将点A(-1, 5)先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点A‘；将点B(4, -2)先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到点B‘。则点A‘的坐标为 (-4, 3)，点B‘的坐标为 (9, -1)，线段A‘B‘的中点坐标为 (2.5, 1)。 解析：左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，下减上加。 A(-1,5) → 左移3：(-1-3,5)=(-4,5) → 下移2：(-4,5-2)=(-4,3)。 B(4,-2) → 上移1：(4,-2+1)=(4,-1) → 右移5：(4+5,-1)=(9,-1)。 中点坐标公式：((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) = ((-4+9)/2, (3+(-1))/2) = (5/2, 1)。 易错点： 1. 平移方向与坐标运算对应错误：“左移”是横坐标“减”，“右移”是“加”；“下移”是纵坐标“减”，“上移”是“加”。口诀：“左减右加，下减上加”。 2. 连续平移时顺序出错：点的连续平移与顺序无关，结果相同。但图形（或函数）的平移有时与顺序有关，需注意题目语境。对于点的平移，可以分步计算，也可以合成一步：A(x,y) 向左平移a个单位，再向下平移b个单位，则 A‘(x-a, y-b)。 3. 与轴对称变化混淆：同知识点03易错点2。平移是整体移动，所有点按相同规则变化；轴对称是每个点单独关于对称轴作对称变换。 题型一 根据点到坐标轴的距离求坐标（含多解问题） 解｜题｜技｜巧 题型特征：已知点P到x轴、y轴的距离，求点P的坐标。常因忽略象限符号或漏解而失分。 · 怎么想（破题思路）： 1. 核心转化：牢记“距离”是绝对值。到x轴的距离 = |纵坐标|；到y轴的距离 = |横坐标|。 2. 分类讨论：题目未明确象限时，必须根据横、纵坐标的正负性，考虑四个象限的所有可能。 · 怎么做（步骤技巧）： 1. 设坐标：设点P的坐标为 (x, y)。 2. 列方程：根据题意列出 |x| = a， |y| = b。 3. 求所有解：解出 x = ±a, y = ±b。 4. 组合配对：将所有可能的x、y值进行组合，得到 (±a, ±b) 共四组解。 5. 结合限制：若题目限定了象限（如“第二象限”），则根据象限符号特征（一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)）筛选出唯一解。 易｜错｜点｜拨 1. 坑1（符号错误）：直接将距离当作坐标，忽略象限符号。对策：距离是绝对值，坐标有正负，必须结合象限判断符号。 2. 坑2（漏解）：当题目只说“到x轴距离为m，到y轴距离为n”而未指定象限时，只写出一个解。对策：养成“距离→绝对值→分类讨论”的思维习惯，系统写出四组解。 3. 坑3（关系混淆）：将“到x轴的距离”错误对应为横坐标。口诀：“到谁轴的距离，看谁坐标的绝对值”。 【典例1】点在轴的右侧，到轴、轴的距离分别是7和8，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，y轴右侧的点横坐标为正，据此求解即可． 【详解】解：∵ 点在轴右侧， ∴ 点的横坐标大于． ∵ 点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴ 点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为． 结合横坐标大于，可得点的横坐标为，纵坐标为或， ∴ 点的坐标是或． 【变式1】已知点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为_________． 【答案】或 【分析】到两坐标轴的距离相等的点的特点是：横纵坐标相等或横纵坐标互为相反数，即横纵坐标的绝对值相等，可得，解出的值即可得出点P的坐标． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 即或， ∴点的坐标为或． 【变式2】点到轴和轴的距离相等，则点的坐标是__________． 【答案】或 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据“点到轴和轴的距离相等”得到绝对值方程，求解后即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解方程，得： ∴，， 此时点坐标为； 解方程，得：， ∴，， 此时点坐标为； 综上所述，点的坐标是或． 【变式3】先阅读下列一段文字，再解答问题：已知在平面内有两点、，其两点间的距离公式为；同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点距离公式可简化为或． (1)已知点，，则 ； (2)已知点C，D在平行于轴的直线上，点C的纵坐标为3，点D的纵坐标为，则 ； (3)已知点M和（1）中的点A有轴，且，则点的坐标为 ； (4)已知点和（1）中的点A，B，则线段中相等的两条线段是 ． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 (4) 【分析】（1）根据两点间的距离公式直接计算即可； （2）根据两点间的距离公式直接计算即可； （3）设的坐标为，根据公式得，解得，即可求出点M的坐标； （4）根据两点间的距离公式计算线段的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：由两点间的距离公式可得； （2）解：由两点间的距离公式可得； （3）解：设的坐标为， ∵点M和（1）中的点有轴，， ∴， 解得， ∴点的坐标为或； （4）解：由两点间的距离公式可得，，， ∴； 题型二 轴对称与平移的坐标变化（含折叠问题） 解｜题｜技｜巧 题型特征：求点关于坐标轴对称或平移后的坐标；在矩形折叠问题中，利用轴对称性质求长度。常因记忆混淆或找错对应点而失分。 怎么想（破题思路）： 本质理解：轴对称是翻折，对应点连线被对称轴垂直平分；平移是整体移动，所有点变化规则一致。 折叠核心：图形折叠本质是轴对称变换。折叠前后对应部分全等（对应边相等、对应角相等）。 怎么做（步骤技巧）： 轴对称：关于x轴对称：(x, y) → (x, -y)（横不变，纵变号）。关于y轴对称：(x, y) → (-x, y)（纵不变，横变号）。口诀：“关于谁对称，谁不变，另一个变号”。 平移：左减右加（横坐标），下减上加（纵坐标）。口诀：“左减右加，下减上加”。 折叠问题解题三步法： 标等量：在图上标出所有由折叠产生的等边、等角。 设未知：将所求线段长度设为x。 构勾股：寻找或构造一个包含x的直角三角形，利用勾股定理列方程求解。 易｜错｜点｜拨 坑1（规律混淆）：将轴对称与平移规律记混，或将关于x轴、y轴的规律记反。对策：结合图形直观记忆口诀，并理解其几何意义。 坑2（折叠对应点找错）：这是折叠题最致命的错误。对策：在折叠前的图形和折叠后的图形上，用相同的符号（如A和A‘）明确标出相互重合的点。 坑3（忽略隐藏等腰）：在矩形折叠中，由折叠等角结合平行线内错角相等，常形成等腰三角形。对策：有平行线背景时，多观察角的关系，发现等腰三角形能极大简化计算。 【典例1】在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特征“关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数”得到点P的横纵坐标，再运用平方差公式计算的值即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点是， ∴，， ∴， 由平方差公式得． 【典例2】已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【答案】B 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点和平移后的点，列方程求解． 【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∴， 解得， 故选：B． 【变式1】如图，将线段平移到，已知三个端点的坐标，，，那么第四个端点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的规律进行求解即可． 【详解】解：由题意得，线段平移到的横坐标变化为：（向右平移4个单位）； 纵坐标变化：（向上平移2个单位）， ∴平移后的横坐标：； 纵坐标：． ∴． 【变式2】在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到x轴距离的最大值称为线段的“好评距离”，记作．例如：若，，则线段的“好评距离”．①若点，，则________；②若将经过点且垂直于y轴的直线记作，点，关于直线的对称点分别为点G，H，连接和，当为定值时，m的取值范围为________． 【答案】 3 或 【分析】本题主要考查点到直线的距离，涉及绝对值的应用、轴对称的性质和分类讨论思想的应用．①直接根据点C和点O到x轴距离，求其最大值即可；②先根据轴对称的性质求点E和点F关于直线的对称点G和H，再计算线段和的“好评距离”和，最后通过分区间讨论绝对值差为定值的条件． 【详解】解：①∵点到x轴的距离为，点到x轴的距离为0， ∴线段上各点到x轴距离的最大值为3， 则 故答案为：3； ②∵点关于直线的对称点G， ∴点G的纵坐标为， 则点G的坐标为， 同理，点关于直线的对称点H的坐标为． 根据题意可得，为或的最大值，为或的最大值， 当时，则，， 故； 当时，则，， 故； 当时，则，， 则的值随m变化，不是定值． 因此，为定值时，m的取值范围是或． 【变式3】已知点，关于轴对称，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了在直角坐标系中点的对称，根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解和，再计算它们的和． 【详解】点和点关于轴对称， 横坐标相等，即，解得， 纵坐标互为相反数，即，解得， ， 故答案为． 题型三 特殊四边形与坐标的综合（存在性问题） 解｜题｜技｜巧 题型特征：在平面直角坐标系中，给定部分点，探究能否构成平行四边形、矩形、菱形、正方形，并求未知点坐标。综合性强，是典型拉分题。 · 怎么想（破题思路）： 1. 代数化思想：将几何图形的判定条件（如平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分）转化为点坐标之间的方程。 2. 分类讨论思想：关键是确定分类标准。通常以已知线段作为平行四边形的“边”或“对角线”来分类，确保不重不漏。 · 怎么做（步骤技巧）： · 平行四边形存在性（已知三点A、B、C）： · 设元：设未知点D坐标为 (x, y)。 · 分类列方程： · 以AB为边：则向量AB = 向量DC 或 向量AB = 向量CD。（利用对边平行且相等） · 以AB为对角线：则线段AB的中点坐标 = 线段CD的中点坐标。（利用对角线互相平分） · 同理，需考虑以AC、BC为边或对角线的情况。通常有三种可能。 · 特殊四边形判定：在平行四边形基础上，增加条件。 · 矩形：在平行四边形基础上，增加“一个角为直角”（邻边垂直，斜率乘积为-1）或“对角线相等”（距离公式）。 · 菱形：在平行四边形基础上，增加“一组邻边相等”（距离公式）或“对角线垂直”（斜率乘积为-1）。 · 正方形：同时满足矩形和菱形的条件。 易｜错｜点｜拨 · 坑1（漏解）：未考虑所有分类情况。对策：系统讨论以每一条已知线段为边或对角线的所有情形。 · 坑2（代数转化错误）：在利用向量相等或中点公式时，点坐标的对应关系写错。对策：画出示意图，按平行四边形顶点的顺序（如ABCD）对应列式。 · 坑3（计算与检验：此类题计算复杂，且求出坐标后需检验是否满足构成四边形的条件（如四点不共线）。对策：草稿清晰，步步为营，最后务必代入验证。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，得． (1)求的面积； (2)若在x轴上存在点M，连接，使，求出点M的坐标； (3)若点P从点D开始以每秒个单位的速度向终点C运动，同时点Q从点A开始以每秒个单位的速度向终点B运动，当一个到达终点时，另一个也停止运动．问运动几秒时，以A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)8 (2)或 (3)秒 【分析】（1）由平移的性质点C，D的坐标分别为，，可得，然后由平行四边形的面积公式可得出答案； （2）根据，求出，则可求出答案； （3）由平行四边形的性质得，据此列方程可求出答案． 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位， ∴点C，D的坐标分别为，， ∴， ∴的面积为； （2）解：∵，， ∴ ∴， ∴或， ∴或； （3）解：由题意可知，要使以A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形，则需， 即， ∴． ∴运动秒时，以A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形． 【变式1】如图，在平面直角坐标系的第一象限找一点A，第二象限找一点B，使，，，且A，B都是格点，连接，，．（画出一个即可）． (1)A点已经确定，请在图中画出，判断的形状，并说明理由； (2)是否存在点C，使得O，A，B，C四点构成的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点C的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)图见解析，是直角三角形，理由见解析 (2)存在，，， 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形； （2）根据四边形对角线的不同，分三种情况利用平行四边形的判定即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：如下图． 是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． （2）存在，，，． 如图，设点， 由图可知，，， 当以为对角线时， ∵O，A，B，C四点构成的四边形为平行四边形， ∴对角线互相平分， ∴，， 解得：，， ∴存在，使得O，A，B，C四点构成的四边形为平行四边形； 当以线段为对角线时， ∵O，A，B，C四点构成的四边形为平行四边形， ∴对角线互相平分，，，， ∴，， 解得：，， ∴存在，使得O，A，B，C四点构成的四边形为平行四边形； 当以线段为对角线时， ∵O，A，B，C四点构成的四边形为平行四边形， ∴对角线互相平分，，，， ∴，， 解得：，， ∴存在，使得O，A，B，C四点构成的四边形为平行四边形； 综上所述，存在、、，使得O，A，B，C四点构成的四边形为平行四边形． 【变式2】如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． (1)的长为______； (2)求证：； (3)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，写出D点在第一象限时的坐标______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理计算出即可； （2）首先计算出，，，再利用勾股定理逆定理可判定是直角三角形，进而可得； （3）利用平面直角坐标系结合网格画出平行四边形可得D点坐标． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）∵，，， ∵， ∴是直角三角形，且是斜边， ∴； （3）如图所示：D点的坐标，，， ∴D点在第一象限时的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理，勾股定理逆定理，解题关键是掌握勾股定理逆定理． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点、的坐标分别为、．将先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到． (1)请直接写出点的坐标_________，点的坐标_________． (2)请判断与重叠部分的形状，并证明你的结论． (3)点是平面内一动点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)四边形是平行四边形．证明见解析 (3)． 【分析】（1）利用平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质得到，即可得到结论； （3）分三种情况：①当是对角线时，②当是对角线时，③当是对角线时， 根据平行四边形的性质，分别计算即可． 【详解】（1）解：点、的坐标分别为、, 根据平移得， 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵， ∴． ∵平移得到， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． （3）解：存在点，理由如下， ， 设 ①当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ②当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴； ③当是对角线时， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， ∴． 综上所述，点的坐标为． 【点睛】本题考查是平行四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平移的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 题型四 图形变换与坐标规律探究（新定义/压轴倾向） 解｜题｜技｜巧 题型特征：涉及图形的连续平移、对称、旋转，或在坐标系中寻找点、图形的变化规律。要求有较强的观察、归纳和代数推理能力。 · 怎么想（破题思路）： 1. 化动为静：对于动点、连续变换问题，先写出前几步变换后的具体坐标，寻找循环周期或变化规律。 2. 从特殊到一般：通过计算前几个点（图形）的坐标，归纳出第n个点（图形）的坐标通项公式。 · 怎么做（步骤技巧）： · 周期变换：计算点经过数次变换后的坐标，观察是否回到原点或出现循环。用总变换次数除以周期，看余数，余数对应周期内的第几个位置。 · 规律探究：仔细分析横坐标、纵坐标分别与序号n之间的数量关系。可能是等差数列、等比数列，或与n的奇偶性有关。 易｜错｜点｜拨 坑1（规律找错）：未计算足够多的项就匆忙下结论。对策：至少计算并验证3-4项，确保规律可靠。 坑2（忽略起始项：规律公式中的n是从0还是1开始？对策：明确序号n的实际意义，代入初始值进行检验。 坑3（新定义理解偏差）：对新公式一知半解就套用。对策：回归题目给出的素材和示例，理解公式的推导过程和应用场景。 【典例1】光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达，依此类推，经过第2025次全反射到达，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点的下标的情况判断偶数点的横坐标与纵坐标的变化规律，再进一步求解即可． 【详解】解：， ∵如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达， ∴下标为奇数的点的纵坐标为，下标为偶数的点的纵坐标为， ∴的纵坐标为， ∵下标为偶数的两个点之间的距离为， ∴的横坐标为：， ∴的坐标为． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知坐标可得，在上方，因此，由此可解． 【详解】解：由题意得，，……， 在上方， ， ∵， ∴的坐标为，即． 【变式3】已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出前若干个对称点的坐标，总结循环周期，再根据计算结果确定的对应坐标． 【详解】解：设 ∵点关于点的对称点为，是的中点 ∴ ， ． 解得，， 即． 同理可得 ，，，，， ∴点的坐标每次循环一次． ∵ ，余数为， ∴ 的坐标与坐标相同，为． 故选：B． 【变式4】在平面直角坐标系xOy中，对于点，我们把叫作点P的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，……，这样依次得到各点．若点的坐标为，则点的“友好点”是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，坐标的新定义计算问题，理解新定义，确定循环节是解题的关键． 根据友好点的定义，计算前几个点的坐标，发现序列每个点循环一次，再确定的坐标，并计算其友好点. 【详解】解：∵ ∴为的友好点：； 为 的友好点：； 为的友好点：； 为的友好点：相同； ∴ 观察可知，每四次循环一次， ∵ ， ∴ ∴的友好点为． 故选： D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．若，则点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据二次根式的性质和绝对值的性质求出a、b，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴点P的坐标为， ∴点P在第二象限． 2．贵州省部分主要城市在地图中的位置如图所示，若毕节位置的坐标为，安顺位置的坐标为，则遵义位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知点的坐标确定原点的位置，再进行求解即可. 【详解】解：由题意，建立直角坐标系如图： 由图可知：遵义位置的坐标是. 3．已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中平行于轴的直线上点的坐标特征，解题的关键是牢记平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等这一性质． 根据轴，得出点和点的纵坐标相等，据此列方程求解的值，同时验证横坐标不相等以保证两点不重合． 【详解】解：轴， 点与点的纵坐标相等， ， 解得， 此时点的横坐标为，符合题意． 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，掌握坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先根据平移后点的对应点D的坐标为，得出是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，再由坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”得出点C的坐标即可． 【详解】解：∵将平移后得到，平移后点的对应点D的坐标为， ∴是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到， ∴点是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到点C， ∴点C的坐标为，即． 5．《七律·长征》生动的描述红军长征这一伟大历史事件，展现了红军战士英勇无畏的精神和革命乐观主义态度．将这首诗放入如图直角坐标系内，如万的对应坐标为．请回答下方问题： (1)“铁”和“喜”的坐标依次是______； (2)请直接写出，，依次对应的文字． (3)若将平面直角坐标系向右平移3个单位．向上平移1个单位，诗句不动．则坐标系平移后“雪”字的新坐标为______． 【答案】(1)和； (2)颜、远、水； (3) 【分析】（1）根据直角坐标系直接作答即可； （2）根据直角坐标系直接作答即可； （3）由题意可知，诗句向左平移3个单位，向下平移1个单位，即可得解． 【详解】（1）解：由直角坐标系可知，“铁”和“喜”的坐标依次是和； （2）解：由直角坐标系可知，，，依次对应的文字为颜、远、水； （3）解：由直角坐标系可知，“雪”字的坐标为， 平面直角坐标系向右平移3个单位，向上平移1个单位，相当于诗句向左平移3个单位，向下平移1个单位， 则平移后“雪”字的新坐标为，即． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为这样依次得到点 ．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的变换规律，解题关键是先根据“伴随点”的定义计算前几个点的坐标，找到变换的周期性，再通过求余数确定所求点在周期中的位置，得到对应坐标。 【详解】∵ 点的伴随点为，且 ∴ 依次计算得： 的坐标为 的坐标为 的坐标为 的坐标为，与坐标相同 ∴ 伴随点的坐标每4次变换为一个周期循环 ∵ ∴ 的坐标与周期中第2个点的坐标相同，为 2．如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标求出相关线段的长度，然后根据三角形和梯形面积公式进行求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由得，， ∴， ， ， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【答案】 () 【分析】利用勾股定理求得的长，再利用菱形的性质求得，再根据菱形对边平行可得点B与点C的横坐标相同，据此求解即可． 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴B点的坐标为，即． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，D是的中点，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______． 【答案】 或 或 【分析】先求出，，然后根据题意分情况讨论：当时，当时，当时，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的顶点、的坐标分别为，， ∴． ∵D是OA的中点， ∴． 过作于，则 ①当时，如图1所示： 由勾股定理得：， ； ②当时，如图1所示： 由勾股定理得：, ∴，这与矛盾，此种情况不存在； ③当时，如图2所示： 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： 由勾股定理得：， ， ； 综上，点的坐标为 或 或． 5．平行四边形的个顶点的坐标为，，第三个顶点在轴的正半轴上，且与轴的距离是个单位． (1)在直角坐标系中描出这三个点； (2)求第四个顶点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)或或 【分析】（）根据题意求出点坐标，再根据坐标描出各点即可； （）分是边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵顶点在轴的正半轴上，且与轴的距离是个单位， ∴， 描点如下： （2）解：∵四边形是平行四边形， 当是边时，如图， 点的坐标为或； 当是对角线时，如图， 点的坐标为； 综上，第四个顶点的坐标为或或． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据坐标变化找到规律，再依据规律解答．用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题． 【详解】解：图中的各三角形都是等腰直角三角形， 由直角三角形的性质得到各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半， ∵，且，，，， ∴横坐标为1，纵坐标为下标的一半， ∴的坐标为． 2．重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形“L”形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与几何，中点坐标公式的相关知识点，根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵， ∴，即， ∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为， 故选：C． 3．如图，等边的顶点，分别在轴和轴上，轴，点为上方的坐标平面内一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点共有______个． 【答案】7 【详解】解：①等边三边的垂直平分线交于同一点，此时，故、、均为等腰三角形，且点在轴上方，符合条件，为第1个点． ②在的垂直平分线上的点满足，以为圆心、长为半径画弧，与的垂直平分线交于轴上方的点，此时， 此时、、均为等腰三角形，为第2个点． ③在的垂直平分线上的点满足，以为圆心、长为半径画弧，与的垂直平分线交于轴上方的点，此时，此时、均为等腰三角形． ∵是等边三角形， ∴， ∴是等腰三角形，为第3个点； ④在的垂直平分线上的点满足，以为圆心、长为半径画弧，与的垂直平分线交于轴上方的两个点，此时， 此时、、均为等腰三角形，为第4和第5个点． ⑤在的垂直平分线上的点满足，以为圆心、长为半径画弧，与的垂直平分线交于轴上方的两个点，此时， 此时、、均为等腰三角形，为第6和第7个点． 综上，符合条件的点共有7个． 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴，y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的E处，若点，点，则点D的坐标是___________．    【答案】 【分析】根据题意，由勾股定理可以得到，进而的长度，设，则，由勾股定理列出a的方程求得a的值，便可求得D点坐标． 【详解】解：∵点，点， ∴，， 设，则， 由题意可得，，由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，且满足，点的坐标为． (1)求的值及； (2)若点在坐标轴上，且，试求点的坐标． 【答案】(1)，9 (2)点M坐标为或 【分析】（1）先求出，得出，即可求出结论； （2）先求出，再分两种情况：当点 M 在 x 轴上时，设，或当点M在y轴上时，设，分别求出结论即可． 【详解】（1）解：由， 得， 解得， ， ； ​ （2）解：， 分两种情况： 当点 M 在 x 轴上时，设， ， 解得， ， 则或； 当点M在y轴上时，设， ， 解得， ， 则或， 综上，点 M 坐标为或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $