专题03 对角互补模型（几何模型讲义）数学新教材湘教版八年级下册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理对角互补模型，以“定义-性质-应用”为主线，将模型分为含90°和120°两种类型，结合图形特征与例题解析，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“情境化+分层化”设计，通过“棋盘发现”“卫星天线应用”等趣事激发兴趣，结合2022辽宁朝阳中考真题及八年级月考例题，引导学生用构造全等推理证明，培养数学思维与模型意识。基础题巩固方法，拓展题提升能力，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题03 对角互补模型 任意四边形中有一组对角互补，且这组对角顶点的连线平分其中一个角，这样的模型称为对角模型。 3 模型趣事 3 真题现模型 3 提炼模型 5 模型1.含90°对角互补型 5 模型2.含120°对角互补型 6 模型运用 7 模型1.含90°对角互补型 7 模型2.含120°对角互补型 14 23 一、棋盘上的偶然发现 1983年，数学家戴维·史密斯在玩拼图游戏时发现：当两个特殊四边形顶点相对拼接时，它们的对角和总是180度。这个发现后来被命名为"对角互补模型"，其最初灵感竟来自他5岁女儿拼错的七巧板——那个"错误"的拼接方式恰好展示了模型的核心特征。 二、会"跳舞"的角度 在标准对角互补模型中（如图，四边形ABCD满足∠A+∠C=180°），有趣的是当移动其中三个顶点时，第四个顶点会像被施了魔法般自动调整位置。剑桥大学曾用这个特性制作了机械联动装置，仅用三根活动连杆就能保持角度关系，被学生们称为"最老实的几何舞者"。 三、卫星天线的秘密 航天工程师詹姆斯·吴在2011年分享过：某型号卫星天线展开机构正是利用对角互补原理。当卫星进入轨道时，四个支撑臂的展开角度自动形成互补关系，确保天线反射面始终精确对准地球。有趣的是，这个设计最初被否决，因为评审委员们不相信"小学几何原理能解决航天级精度问题"。 四、咖啡杯里的证明 数学教育家玛丽娜·科斯塔有个著名教学案例：她用两个不同形状的咖啡杯垫演示对角互补。当把两个不规则四边形的杯垫对角拼合时，学生们惊讶地发现无论怎么旋转，拼合处的两个角总和总是平角。这个生动的演示后来被收录在多国几何教材中。 （2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC． (1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．    【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解；(2)CB+CD=AC；理由见详解；(3)或 【详解】（1）证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．          ∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADE+∠ADC=180°∴∠B=∠ADE， 在△ADE和△ABC中，，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠DAE=∠BAC，AE=AC， ∴∠CAE=∠BAD=60°，∴△ACE的等边三角形，∴CE=AC，∵CE=DE+CD，∴AC=BC+CD； （2）解：结论：CB+CD=AC． 理由：如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N． ∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠CDA+∠CBA=180°，∵∠ABN+∠ABC=180°，∴∠D=∠ABN， ∵∠AMD=∠N=90°，AD=AB，∴△AMD≌△ANB（AAS），∴DM=BN，AM=AN， ∵AM⊥CD，AN⊥CN，∴∠ACD=∠ACB=45°，∴AC=CM， ∵AC=AC．AM=AN，∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM=CN，∴CB+CD=CNBN+CM+DM=2CM=AC； （3）解：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q． ∵∠CDA=75°，∠ADB=45°，∴∠CDB=30°，∵∠DCB=90°，∴CD=CB， ∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，∴OP=OQ，∴，∴， ∵AB=AD=，∠DAB=90°，∴BD=AD=2，∴OD=． 如图3-2中，当∠CBD=75°时，同法可证，， 综上所述，满足条件的OD的长为或． 模型1.含90°对角互补型 模型2.含120°对角互补型 模型1.含90°对角互补型 例1（23-24八年级下·山东临沂·月考）（1）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； （2）如图2，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，且，，，求直角梯形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）108 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即可得证； （2）延长至，使，连接，证明，得出即可得证； （3）作交的延长线于，证明四边形为正方形，得出，设，则，，由勾股定理求出的长，再由面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，延长至，使，连接， ， 由（1）得：， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作交的延长线于， ， 在直角梯形中， ∵, ∴， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， 由（1）（2）可得，， ∴，即， 设，则，， 在中，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴这个梯形的面积为． 例2（24-25九年级上·河南许昌·期中）已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． (1)如图1，当绕点旋转到于时，与的和与之间数量关系为______； (2)如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； (3)如图3，这种情况下，的数量关系是______． 【答案】(1)(2)（1）中的结论成立；证明见解析(3) 【详解】（1）解：当绕D点旋转到时，∴， ∴四边形是矩形．∴，， ∵为边的中点，∴，，∴，， ∵，∴，∴四边形是正方形． 设的边长， ∴正方形的边长为． ∴，，即； （2）解：（1）中的结论成立；过点D作，，则， 又∵，∴，，∵D为边的中点， 同理可得：四边形为正方形，∴，， ∵，∴，，∴， 在与中，，∴，∴， ∴，由（1）可得：，∴． （3）解：如图，连接，∵，，D为边的中点，∴，， ∴，∴，同理可得：， ∴， ∴，∴． 故、、的关系是：． 例3（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是正方形，；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转可得，由全等三角形的性质则可得四边形符合“直等补”四边形的条件，因而问题解决； （2）①由已知可得四边形是矩形，现证明，则易得是正方形；设，由勾股定理建立方程即可求得x的值； ②作点C关于的对称点H，连接，交于点N，则当M与N重合时，的周长最小，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， 又绕B点旋转得到，且与重合， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①∵，， ∴； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ∴； 即， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②如图，作点C关于的对称点H，连接，交于点N， 则， ∵， ∴当M与N重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵的周长为， ∴的周长最小值为； ∵， ∴由勾股定理得：， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是几何综合问题，考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，新定义，轴对称的性质等知识，构造适当的辅助线是解题的关键． 例4（25-26九年级下·湖南邵阳·开学考试）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证．当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】见解析 【详解】解： 图2成立；图3不成立 过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，连接CD，而 则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°， ∴ ∴∠MDE=∠NDF， ∵为的中点， ∴是的平分线， ∴DM=DN ∴△DME≌△DNF ∴S△DME= S△DNF ∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+ S△CEF 由信息可知S四边形DMCN=S△ABC ∴S△DEF+ S△CEF=S△ABC 图3不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEFS△CEF=S△ ABC 理由如下：连接CD，如图3所示： 由已知信息得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°， ∴S△DEF=S五边形DBFEC=S△CFE+S△DBC=S△CFE+S△ABC， ∴S△DEF-S△CFE=S△ABC． 模型2.含120°对角互补型 例1（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 例2（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用. （1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论； （2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得； ②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是“对角互补四边形”，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ∴（不符合题意，舍去）， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或； ②如图②，过点B作于G，于H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 例3（22-23八年级下·全国·课后作业）四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． (1)如图1，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：延长至M，使得，连，可证明，通过判断的形状，可以得出结论． ①在图1中按要求完成作图； ②的形状为 　　； ③　　； (2)如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，试证明：； (3)如图3，等腰、等腰的顶角分别为、，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 【答案】(1)①见解析；②等腰直角三角形；③ (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①按题意画出图形即可； ②证明，由全等三角形的性质得出，可得出，则可得出答案； ③由等腰三角形的性质可得出答案； （2）延长至M，使得，连，证明，得出，证明为等边三角形，则可得出答案； （3）延长至M，使得，连，延长至F．证明，得出，则，证明，由全等三角形的性质得出，得出，则可得出答案． 【详解】（1）①如图1， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 即， ∴为等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形； ③∵为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：； （2）如图2，延长至M，使得，连， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． （3）．理由如下： 证明：如图3，延长至M，使得，连，延长至F． 则， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 1．如图所示，平分，于点M，且，则与的关系是（　　）． A．相等 B．互补 C．和为 D．和为 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、互补，过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质及得，进而可得，则可得，再利用得，进而可得，则可得，进而可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图： 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 与互补， 故选B． 2．如图，正方形中，、分别在边、上，且，、是、与对角线的交点．若，，则正方形的面积为（   ） A．64 B．72 C．98 D．144 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 过点作, 并截取, 连接, , 先证明,, 再证明和全等得,, 则, 由此可求出, 然后证明和全等得, 则, 由此再根据勾股定理及正方形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：过点作, 并截取, 连接,， 如图所示： ∴, ∵四边形是正方形， ∴, ,, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴,即, ∴, 在和中, ， ∴, ∴, , ∴, 在中， 由勾股定理得：， 在和中, ， ∴, ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ∴正方形的面积为， 故选: B． 3．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 又∵，∴∴四边形是矩形∴， ∵∴，∴∴ ∵设，则∵中，，， ∴，在中，∴∴ 在中，，∴，故答案为：． 4.（1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ．      【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据题意已知，，，即可得到，从而可得； （2）同理，再在延长线上取一点，使，连接，证得，结合再证得，即可得出； （3）同理，在的延长线上取一点，使，连接，证得，即可得出，，求出即可解题． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，在延长线上取一点，使，连接， ，与互补， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图，在的延长线上取一点，使，连接， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，补角的定义，线段的和差关系，解题的关键是作辅助线从而构造三角形全等． 5．（22-23八年级下·陕西榆林·期中）若四边形满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．    (1)如图①，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点M．请你写出的度数为______； (2)如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，试说明：； (3)如图③，在和中，，，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）由题意知，，由旋转的性质可得，，，则，三点共线，是等腰直角三角形，进而可求； （2）如图②，将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点E，同理（1）可求点C，B，E在同一条直线上．，为等边三角形，进而可得． （3）如图③，连接，将绕点A逆时针旋转，使得点B与点D重合，点C的对应点为点M，由与互补，可得，，点C，D，M在同一条直线上，由旋转的性质可知，则，证明，则，，然后可求． 【详解】（1）解：由题意知，， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∴三点共线， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）解：如图②，将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点E，    由题意知， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴． ∴点C，B，E在同一条直线上． ∴， ∴为等边三角形， ∴． （3）解：，理由如下： 如图③，连接，将绕点A逆时针旋转，使得点B与点D重合，点C的对应点为点M，    ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴点C，D，M在同一条直线上． 由旋转的性质可知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6．（24-25八年级下·四川成都·期末）我们知道，四边形内角和为，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补．因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”．例如：在四边形中，若（或），则称四边形为“双补四边形”． (1)已知四边形是“双补四边形”． 若，则________； 如图1，若，，，，则________； (2)如图2，在四边形中，平分，．求证：四边形是“双补四边形”； (3)如图3，四边形是“双补四边形”，，点M，N分别在边EH，GH上，且满足．试探究和之间满足的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①；②6 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，几何图形中角度的计算，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据“双补四边形”的定义得到，，再根据角的大小关系可得到，则，据此求出的度数，进而求出的度数即可得到答案； ②根据“双补四边形”的定义得到，由勾股定理求出的长，进而可求出的长； （2）在上取一点T，使得，连接，证明，得到，证明，得到，根据，得到，则四边形是“双补四边形”； （3）延长到P，使得，连接，可证明；根据“双补四边形”的定义得到，则可证明，证明，得到，再证明，得到，则可证明，再由，可得． 【详解】（1）解：①∵四边形是“双补四边形”， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； （2）证明：如图所示，在上取一点T，使得，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是“双补四边形”； （3）解：，证明如下： 如图所示，延长到P，使得，连接， ∵，， ∴，即； ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是“双补四边形”， ∴， ∴． 7．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 【答案】(1)(2)3(3)16 【详解】（1）解：，，且平分， ，，四边形是正方形，， ，，， 在和中，，；故答案为：． （2）如图，过点P作于M，于N，如图：       平分，．，．． 在四边形中，，且，， ．，． 又．． ，，设，则，． ，解得，．． 在中，，，． （3）如图，延长到，使，连接．如图： 在四边形中，，且． 四边形是正方形，，．． 又，．．，．，． 是等腰直角三角形．由勾股定理，． 在中，，设，由勾股定理，， ．． ．．． 8．（2025湖南一模）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点. （1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由； （2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】（1），见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3） 【详解】解：（1）是的角平分线 在中，，同理： （2）（1）中结论仍然成立，理由：过点作于，于 由（1）知， ，且点是的平分线上一点 （3）结论为：.理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°， ∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点， ∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG， ∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF−OD＝EG−OD，OG＝OE−EG， ∴OF＋OG＝EG−OD＋OE−EG＝OE−OD，∴OE−OD＝OC． 9．（25-26七年级上·河南·期末）如图1，在正方形中，点分别在正方形的边上，，连接． (1)思路梳理：将绕点逆时针旋转至，如图1，使与重合，易证，可证，故，，之间的数量关系为______； (2)类比引申：如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到正方形的边的延长线上，，连接，猜想之间的数量关系并给出证明； (3)联想拓展：如图3，等腰，，，把绕点旋转，在整个旋转过程中分别与线段交于点，若，，则的长为_______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图1所示： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点F、D、G共线， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴，即． 故答案为：； （2）． 证明：如图2所示． ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴点C、D、G在一条直线上． ∴，，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴； （3）把旋转到的位置，连接，则． ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，． ∴． ∴是直角三角形． ∴． ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形． 10.（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）我们不妨约定：对角互补的凸四边形叫做“互补四边形”．根据约定，解答下列问题． (1)试判断下列图形是否一定为“互补四边形”？若是，请在括号内划“√”；若不是，请在括号内划“×”． ①平行四边形（    ）；②矩形（    ）；③菱形（    ） (2)如图（1），在四边形中，对角线平分，，．求证：四边形是“互补四边形”； (3)如图（2），若是“互补四边形”，点是内部一个动点，且不与四边重合，过动点作，的平行线，交的边于点，，，，连接，，，，，，当点运动时，求四边形周长的最小值． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)四边形周长的最小值为． 【分析】（1）①由平行四边形的对角不一定互补，可判断平行四边形不是“互补四边形”，于是得到问题的答案； ②由矩形的四个角都是直角，可判断矩形的对角互补，则矩形是“互补四边形”，于是得到问题的答案； ③由菱形的对角不一定互补，可判断菱形不是“互补四边形”，于是得到问题的答案； （2）在上截取，连接，可证明，得，，而，则，所以，则，所以，即可证明四边形是“互补四边形”； （3）由是“互补四边形”，推导出，则四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，连接、交于点，连接、、、，则，，，，所以，由，，求得，则，，可证明，求得四边形周长的最小值为． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， 平行四边形不是“互补四边形”， 故答案为：． ②矩形的四个角都是直角， 矩形的对角互补， 矩形是“互补四边形”， 故答案为：． ③菱形的对角相等，但对角不一定互补， 菱形不是“互补四边形”， 故答案为：； （2）证明：如图（1），在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“互补四边形”； （3）解：如图（2），四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵，， ∴，， 四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， 是“互补四边形”， ，， ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， 连接、交于点，连接、、、，则，，，， ， ，， ， ，， ，， ， ， 当点与点重合时，， 的最小值为， 四边形周长的最小值为． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 11.定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，求的度数； (2)如图，在四边形中，平分，，．求证：四边形是互补四边形； (3)如图，互补四边形中，，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； (4)如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)周长不变，周长为； (4)的长为或． 【分析】（1）由定义可得，设，，，解方程后即可求出的度数； （2）在上取，连接，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质得，，再由等量代换、等边对等角得出，根据即可证四边形是互补四边形； （3）延长使，连接、，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质得，，可证，再利用“边角边”证明，再结合全等三角形的性质得，即，证明后，结合全等三角形性质、含的直角三角形特征、勾股定理得到，即可得到周长； （4）分两种情况考虑：①四边形是平行四边形；②四边形是平行四边形，结合平行四边形性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含的直角三角形特征、勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：依题意得：， 设，，， 即， 解得， ，，， ． （2）解：在上取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 即对角互补，四边形是互补四边形． （3）解：周长不变，证明如下： 延长使，连接、， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 故周长不变，周长为． （4）解：分两种情况： ①如下图所示，四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 同（3）得，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 设， 作于点，则， 菱形的面积， 解得或（舍去）， ， ， ，， ； ②如下图所示，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ，， 作交于点，交于点， 设，则， 菱形的面积， 解得或（舍去）， ， ， ， 则中，，，， ，， ， 同①得：， ， 是的外角， ， ， ． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用、全等三角形的判定与性质、等边对等角、含的直角三角形特征、勾股定理、平行四边形性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 对角互补模型 任意四边形中有一组对角互补，且这组对角顶点的连线平分其中一个角，这样的模型称为对角模型。 3 模型趣事 3 真题现模型 3 提炼模型 5 模型1.含90°对角互补型 5 模型2.含120°对角互补型 6 模型运用 7 模型1.含90°对角互补型 7 模型2.含120°对角互补型 14 23 一、棋盘上的偶然发现 1983年，数学家戴维·史密斯在玩拼图游戏时发现：当两个特殊四边形顶点相对拼接时，它们的对角和总是180度。这个发现后来被命名为"对角互补模型"，其最初灵感竟来自他5岁女儿拼错的七巧板——那个"错误"的拼接方式恰好展示了模型的核心特征。 二、会"跳舞"的角度 在标准对角互补模型中（如图，四边形ABCD满足∠A+∠C=180°），有趣的是当移动其中三个顶点时，第四个顶点会像被施了魔法般自动调整位置。剑桥大学曾用这个特性制作了机械联动装置，仅用三根活动连杆就能保持角度关系，被学生们称为"最老实的几何舞者"。 三、卫星天线的秘密 航天工程师詹姆斯·吴在2011年分享过：某型号卫星天线展开机构正是利用对角互补原理。当卫星进入轨道时，四个支撑臂的展开角度自动形成互补关系，确保天线反射面始终精确对准地球。有趣的是，这个设计最初被否决，因为评审委员们不相信"小学几何原理能解决航天级精度问题"。 四、咖啡杯里的证明 数学教育家玛丽娜·科斯塔有个著名教学案例：她用两个不同形状的咖啡杯垫演示对角互补。当把两个不规则四边形的杯垫对角拼合时，学生们惊讶地发现无论怎么旋转，拼合处的两个角总和总是平角。这个生动的演示后来被收录在多国几何教材中。 （2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC． (1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．    模型1.含90°对角互补型 模型2.含120°对角互补型 模型1.含90°对角互补型 例1（23-24八年级下·山东临沂·月考）（1）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； （2）如图2，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形中，，，，是上一点，且，，，求直角梯形的面积． 例2（24-25九年级上·河南许昌·期中）已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． (1)如图1，当绕点旋转到于时，与的和与之间数量关系为______； (2)如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； (3)如图3，这种情况下，的数量关系是______． 例3（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 例4（25-26九年级下·湖南邵阳·开学考试）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证．当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 模型2.含120°对角互补型 例1（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 例2（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 例3（22-23八年级下·全国·课后作业）四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． (1)如图1，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：延长至M，使得，连，可证明，通过判断的形状，可以得出结论． ①在图1中按要求完成作图； ②的形状为 　　； ③　　； (2)如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，试证明：； (3)如图3，等腰、等腰的顶角分别为、，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 1．如图所示，平分，于点M，且，则与的关系是（　　）． A．相等 B．互补 C．和为 D．和为 2．如图，正方形中，、分别在边、上，且，、是、与对角线的交点．若，，则正方形的面积为（   ） A．64 B．72 C．98 D．144 3．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ． 4.（1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ．      5．（22-23八年级下·陕西榆林·期中）若四边形满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．    (1)如图①，四边形为对角互补四边形，且满足，，求的度数．小云同学是这么做的：将绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点M．请你写出的度数为______； (2)如图②，四边形为对角互补四边形，且满足，，试说明：； (3)如图③，在和中，，，点B在线段上，且与互补．请你判断与的数量关系并证明． 6．（24-25八年级下·四川成都·期末）我们知道，四边形内角和为，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补．因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”．例如：在四边形中，若（或），则称四边形为“双补四边形”． (1)已知四边形是“双补四边形”． 若，则________； 如图1，若，，，，则________； (2)如图2，在四边形中，平分，．求证：四边形是“双补四边形”； (3)如图3，四边形是“双补四边形”，，点M，N分别在边EH，GH上，且满足．试探究和之间满足的数量关系，并证明你的结论． 7．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 8．（2025湖南一模）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点. （1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由； （2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 9．（25-26七年级上·河南·期末）如图1，在正方形中，点分别在正方形的边上，，连接． (1)思路梳理：将绕点逆时针旋转至，如图1，使与重合，易证，可证，故，，之间的数量关系为______； (2)类比引申：如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到正方形的边的延长线上，，连接，猜想之间的数量关系并给出证明； (3)联想拓展：如图3，等腰，，，把绕点旋转，在整个旋转过程中分别与线段交于点，若，，则的长为_______． 10.（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）我们不妨约定：对角互补的凸四边形叫做“互补四边形”．根据约定，解答下列问题． (1)试判断下列图形是否一定为“互补四边形”？若是，请在括号内划“√”；若不是，请在括号内划“×”． ①平行四边形（    ）；②矩形（    ）；③菱形（    ） (2)如图（1），在四边形中，对角线平分，，．求证：四边形是“互补四边形”； (3)如图（2），若是“互补四边形”，点是内部一个动点，且不与四边重合，过动点作，的平行线，交的边于点，，，，连接，，，，，，当点运动时，求四边形周长的最小值． 11.定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，求的度数； (2)如图，在四边形中，平分，，．求证：四边形是互补四边形； (3)如图，互补四边形中，，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； (4)如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $