专题03 一元一次不等式（组）的压轴题型（压轴题专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

专题03 一元一次不等式（组）的压轴题型 目录 1 类型一、含参数不等式组 1 类型二、不等式组和方程组结合的问题 2 类型三、与不等式相关的新定义问题 3 类型四、实际应用型压轴题 5 6 类型一、含参数不等式组 常规解法： · 步骤1：独立解每个不等式（如2x+k>3 → x>(3-k)/2） · 步骤2：画数轴标注各不等式解集范围 · 步骤3：根据"同大取大，同小取小"原则确定公共解集 参数处理技巧： 1. 临界值分析法：当参数取特定值时解集发生质变（如无解/有解） 1. 分类讨论标准： • 参数影响不等号方向时（如k-1的符号） • 参数影响解集边界重合时（如(3-k)/2=5+k 例1．关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______． 变式1-3 若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 类型二、不等式组和方程组结合的问题 一、四步解题法详解 步骤1：解方程组 优先用代入法/加减法求出精确解 若含参数，用参数表示解（如x=(k+1)/3） 步骤2：代入不等式转化 将方程解代入不等式，转化为单变量不等式 示例： 解得x=k-1, y=2k+3 代入x+y<5得 (k-1)+(2k+3)<5 步骤3：处理特殊约束 整数解：通过解的范围枚举验证 多解情况：画数轴确定交集（如a<x≤b且x≠c） 步骤4：交叉验证 检查是否所有原始方程/不等式均被满足 特别注意分母不为零等隐含条件 二、高频易错点 参数遗漏：忘记参数导致解集不完整（如k>0且k≠2） 解集转化错误： 不等式方向：乘以负数未变号 区间表示：x>3且x≤5应写作(3,5] 实际意义忽略：应用题中需验证解的合理性（如人数必须为正整数） 例2．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是_____． 变式2-1．明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围． 变式2-2．在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，3这三个数值中的一个，若，则_____． 类型三、与不等式相关的新定义问题 一、题型特征识别 特殊符号解析 例：题干中出现"a⊗b=max{a,b}-√ab"，需明确运算优先级和定义域 关键：用具体数值代入理解运算规则（如取a=4,b=9验证） 隐含条件挖掘 注意"对于所有实数x成立"等限定语 典型结构：双变量不等式常需固定一个变量分析 二、转化策略 代数变形三板斧 标准化：将新定义转化为常规表达式（如⊗运算转化为分段函数） 参数分离：适用于含参不等式（例：|x⊕k|>2 → x⊕k>2或x⊕k<-2） 几何化处理 距离型定义：考虑数轴上的点距（如|x⊖y|=|x-y+3|） 面积模型：适用于含乘积项的定义（如a※b=ab+a+b） 分类讨论要点 按定义域划分（如⊗运算在a>b和a≤b时不同） 按参数临界值分段（例：k=0时定义式退化情况） 三、验证优化技巧 边界值检验法 取定义域端点值（如x=0,1,-∞等） 特殊值验证（取相等变量、零值等） 例3．若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 变式3-1．对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 变式3-2使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”． (1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）； (2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； (3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围． 类型四、实际应用型压轴题 一、题型特征与建模要点 常见实际场景分类 利润最大化问题：设未知数为商品数量，根据"售价×数量-成本≥目标利润"建不等式 资源分配问题：如"甲原料用量≤库存量"，需注意单位统一（例：将kg转化为g） 方案选择问题：通过比较不同方案的不等式组确定最优解 关键信息提取技巧 标出题干中的不等关系词（至少/不超过/多于...等） 特别注意隐藏条件（如"人数必须为正整数"） 示例：某题中"每辆车载客40人，最后有10人无法上车" → 总人数>40x（x为车数） 二、标准化解题四步法 审题建模阶段 设未知数时注明单位（如设x为汽车辆数，单位：辆） 不等关系转数学表达式： "A比B至少多5" → A ≥ B + 5 "不超过预算10万元" → 总费用 ≤ 100000 求解验证阶段 数轴表示解集时注意空心/实心点区别 实际意义检验： ▶ 解为x≥3.5且x为整数时，取x=4 ▶ 出现"时间不能为负"等约束条件 例4．九年级某班有人参加数学综合能力测试，他们的总分为分，其中任意人分数之和不超过分，那么一个人最多得分（    ） A． B． C． D． 变式4-1 如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-2我们把对非负数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若，则．例如，⋯下列结论中：①；②当m为非负整数时，；③满足的非负数x只有两个．其中结论正确的是_________．（填序号） 变式4-3如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 1．北京奥运会期间，重庆啦啦队一行56人，从旅馆乘出租车到比赛场为中国队加油，现有甲、乙两个出租车队，甲队比乙队少3辆车，若全部安排乘甲队的车，每辆坐5人，车不够， 每辆坐6人，有车未满；若全部安排乘乙队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有车未满，请问甲队有出租车（    ）辆． A．9 B．10 C．11 D．12 2．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 3．对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如：，，，给出如下结论：①；②若，则x的取值范围是；③当时，的值为1或2；④若且，则x的取值范围为．其中正确的结论有(    )个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若时，则； 其中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 5．某班数学兴趣小组对不等式组进行讨论并得到以下结论，其中不正确的是（   ） A．若，则不等式组无解 B．若不等式组有解，则a的取值范围是 C．若不等式组无解，则a的取值范围为 D．若不等式组有且只有两个整数解，则 6．定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 7．在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，3，1这三个数值中的一个，若，则_____． 8．对于一个四位数，若它的各个数位上的数字互不相等且均不为零，且各数位上数字之和的3倍是一个平方数，则称这个数为“方三数”．那么最小的“方三数”为__________；若一个“方三数”．去掉其千位与个位数字得到一个两位数，去掉千位与十位数字得到一个两位数，若除以21余数为3，则满足条件的的最大值为__________． 9．若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为______． 10．已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是____________． 11．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 12．若关于的不等式的负整数解为，，则的取值范围是________． 13．若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为_________． 14．已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是______． 15．某商场销售、两种商品，售出件种商品与售出件种商品所得利润共元，件商品的利润比件商品的利润的倍少元． (1)求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别是多少元； (2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，商场决定再一次购进、两种商品共件．如果将这件商品全部售完后所得利润不低于元，且A种商品至多购进件，求商场有哪几种购进方案； (3)在（2）的条件下，若每件种商品售价元，每件种商品售价元，用（2）中获得的最大利润全部用于再购进、两种商品，直接写出再次购进、两种商品总数最多的方案． 16．某校八年级一班全体学生去某旅游区游玩，其中有一项游玩活动是“漂流”，需租用旅游景点的竹筏子．由于游人较多，此时，景点剩余的竹筏子已经不足10个．如果每个竹筏子坐4人，就有8人上不了竹筏子；如果每个竹筏子坐5人，则最后一个竹筏子不空也不满．问：这个旅游景点此时共剩余多少个竹筏子可以租用？该校八年级一班共有多少名学生？ 17．为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 18．综合与探究 对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，． (1)a＝ ，b＝ ． (2)已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解． (3)若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值． (4)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 19．数学课上老师写了一个关于x，y的二元一次方程，（其中a为常数且）． (1)若是该方程的一个解，求a的值： (2)聪明的小明发现，当a每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，请你帮小明求出这个公共解； (3)由得到用含x，y的代数式表示a，则______；当，时，；当，时，，在上述条件下，若m恰好有4个整数解，求n的取值范围． 20．阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法： 解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2  又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1． 又∵y<0，∴－1<y<0…①． 同理可得1<x<2…②． 由①＋②得：－1＋1<x＋y<0＋2． ∴x＋y的取值范围是0<x＋y<2． 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是______； (2)已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围． 21．对a，b定义一种新运算“T”，规定：T(a，b)=(2a+b)(ax+by)(其中x，y均为非零实数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(1，1)=3x+3y． (1)已知T(-1，1)=0，T(2，0)=8，求x，y的值； (2)已知关于x，y的方程组，若a≥-2，求x + y 的取值范围； (3)在(2)的条件下，已知平面直角坐标系xOy中，点A(x，y)在坐标轴上，将点A向上平移2个单位得点A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，求点B的坐标． 22．已知不等式①． (1)求不等式①的解集． (2)求不等式①的负整数解． (3)若关于x的不等式②的解集与不等式①的解集相同，求a的值． (4)若不等式①的解都是关于x的不等式的解，求m的取值范围． 23．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式（组）的压轴题型 目录 1 类型一、含参数不等式组 1 类型二、不等式组和方程组结合的问题 4 类型三、与不等式相关的新定义问题 6 类型四、实际应用型压轴题 12 16 类型一、含参数不等式组 常规解法： · 步骤1：独立解每个不等式（如2x+k>3 → x>(3-k)/2） · 步骤2：画数轴标注各不等式解集范围 · 步骤3：根据"同大取大，同小取小"原则确定公共解集 参数处理技巧： 1. 临界值分析法：当参数取特定值时解集发生质变（如无解/有解） 1. 分类讨论标准： • 参数影响不等号方向时（如k-1的符号） • 参数影响解集边界重合时（如(3-k)/2=5+k 例1．关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的范围．先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同小取小”，结合已知的解集来确定的取值范围． 【详解】解：解不等式组 ∵解不等式①，得 解不等式②，得 又∵不等式组的解集是 根据“同小取小”的原则，要使两个解集的公共部分为，则 故选：A． 变式1-1．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式组解的情况． 先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； ∵解不等式， 移项得， 即， ∴； ∵不等式组无解； ∴两个解集无公共部分，即， ∴解得， 故选：D． 变式1-2．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的整数解个数求参数，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤以及解的情况． 先解不等式组，得到x的取值范围，再根据整数解的个数列出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 因为有且只有4个整数解，所以整数解为， 因此， 解得． 故答案为：． 变式1-3 若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 【详解】解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 类型二、不等式组和方程组结合的问题 一、四步解题法详解 步骤1：解方程组 优先用代入法/加减法求出精确解 若含参数，用参数表示解（如x=(k+1)/3） 步骤2：代入不等式转化 将方程解代入不等式，转化为单变量不等式 示例： 解得x=k-1, y=2k+3 代入x+y<5得 (k-1)+(2k+3)<5 步骤3：处理特殊约束 整数解：通过解的范围枚举验证 多解情况：画数轴确定交集（如a<x≤b且x≠c） 步骤4：交叉验证 检查是否所有原始方程/不等式均被满足 特别注意分母不为零等隐含条件 二、高频易错点 参数遗漏：忘记参数导致解集不完整（如k>0且k≠2） 解集转化错误： 不等式方向：乘以负数未变号 区间表示：x>3且x≤5应写作(3,5] 实际意义忽略：应用题中需验证解的合理性（如人数必须为正整数） 例2．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】解方程组得出，由方程组的解都是非负数得，解之可得，据此得出，即，结合知，继而得出，由，结合b的取值范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出的范围，即可得出答案． 本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出a的取值范围和b的取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解都是非负数， ∴，解得：， ∴， 则， ∵，即， ∴， ∵， ∴b的范围是， 则， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 变式2-1．明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围． 【答案】 【分析】先解出第一个不含参数的不等式，再用参数表示第二个不等式的解集，最后结合已知的不等式组解集，利用“同大取大”的原则来确定参数的取值范围． 【详解】解：由题意，得 解不等式①，得， 解不等式②，得． 不等式组的解集为， ， ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法与含参数不等式组的解集分析，解题关键是熟练掌握不等式组解集法则，并能结合已知解集反向推导参数的取值范围． 变式2-2．在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，3这三个数值中的一个，若，则_____． 【答案】9或21或33 【分析】此题考查了整式的加减的应用，代数式求值，不等式组的应用，二元一次方程组；设的个数为，的个数为，的个数为，根据条件列出方程组，解出，代入绝对值的和求解即可． 【详解】解：设的个数为，的个数为，的个数为， ∴， 整理得，，， ∵， ∴， ∴ ∴，，， ∵ 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：9或21或33． 类型三、与不等式相关的新定义问题 一、题型特征识别 特殊符号解析 例：题干中出现"a⊗b=max{a,b}-√ab"，需明确运算优先级和定义域 关键：用具体数值代入理解运算规则（如取a=4,b=9验证） 隐含条件挖掘 注意"对于所有实数x成立"等限定语 典型结构：双变量不等式常需固定一个变量分析 二、转化策略 代数变形三板斧 标准化：将新定义转化为常规表达式（如⊗运算转化为分段函数） 参数分离：适用于含参不等式（例：|x⊕k|>2 → x⊕k>2或x⊕k<-2） 几何化处理 距离型定义：考虑数轴上的点距（如|x⊖y|=|x-y+3|） 面积模型：适用于含乘积项的定义（如a※b=ab+a+b） 分类讨论要点 按定义域划分（如⊗运算在a>b和a≤b时不同） 按参数临界值分段（例：k=0时定义式退化情况） 三、验证优化技巧 边界值检验法 取定义域端点值（如x=0,1,-∞等） 特殊值验证（取相等变量、零值等） 例3．若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 变式3-1．对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 变式3-2使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”． (1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）； (2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； (3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解，分别代入三个不等式验证是否满足不等式，再作出判断； （2）先根据“调和解”的意义得出，，再求出，代入不等式组中求得，再将代入后，求出其范围即可； （3）先求出不等式组解，再求出方程的解，然后将代入，求得，再根据关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，可得，解得：，然后得出． 【详解】（1）解：，解得：， ，故①不成立； ，故②不成立； ，故③成立， 故答案为：③； （2）∵是方程与不等式组的“调和解”， ∴，， 解得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； （3）不等式组，解得：， 将代入，得，解得：， ∵关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数， ∴这7个整数为7，6，5，4，3，2，1， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知方程组的解求参数的范围等知识点，解题关键是正确求解方程组与不等式组． 类型四、实际应用型压轴题 一、题型特征与建模要点 常见实际场景分类 利润最大化问题：设未知数为商品数量，根据"售价×数量-成本≥目标利润"建不等式 资源分配问题：如"甲原料用量≤库存量"，需注意单位统一（例：将kg转化为g） 方案选择问题：通过比较不同方案的不等式组确定最优解 关键信息提取技巧 标出题干中的不等关系词（至少/不超过/多于...等） 特别注意隐藏条件（如"人数必须为正整数"） 示例：某题中"每辆车载客40人，最后有10人无法上车" → 总人数>40x（x为车数） 二、标准化解题四步法 审题建模阶段 设未知数时注明单位（如设x为汽车辆数，单位：辆） 不等关系转数学表达式： "A比B至少多5" → A ≥ B + 5 "不超过预算10万元" → 总费用 ≤ 100000 求解验证阶段 数轴表示解集时注意空心/实心点区别 实际意义检验： ▶ 解为x≥3.5且x为整数时，取x=4 ▶ 出现"时间不能为负"等约束条件 例4．九年级某班有人参加数学综合能力测试，他们的总分为分，其中任意人分数之和不超过分，那么一个人最多得分（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用，解题关键是通过任意人分数之和不超过分分析得到不含最高分的其余人满足任意三人分数之和不超过． 设得分最高的人分数为，则其他人总分为，结合任意人分数和，分析可得包括最高分者时，任意其他三人分数之和不超过，则其他 人需满足任意三人分数之和不超过，列出不等式 后即可得解． 【详解】解：总分，设最高分为，则其他人总分为， 又任意人分数和，包括最高分时，任意其他三人分数和， 其他人任意三人分数和，其总分， ， 即， ， ， 当时，其他人分数均为，任意三人之和为， 此时任意四人之和为，满足条件， 一个人最多得分． 故选：． 变式4-1 如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可； 【详解】解：第一次翻折后2a+∠BDE=180°， 第二次翻折后3a+∠BDC=180°， 第三次翻折后4a+∠BDE=180°， 第四次翻折后5a+∠BDC=180°， 若能进行第五次翻折，则∠BDC≥0，即180°-5a≥0，a≤36°， 若不能进行第六次翻折，则∠BDC≤a，即180°-5a≤a，a≥30°， 当a=36°时，点B落在CD上，当a=30°时，点B落在ED上， ∴30°＜a＜36°， 故选：D； 【点睛】本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键． 变式4-2我们把对非负数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若，则．例如，⋯下列结论中：①；②当m为非负整数时，；③满足的非负数x只有两个．其中结论正确的是_________．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，根据题目中的结论，错误的举出反例或说明理由． 【详解】解：①当时，此时，，故结论①不正确； ②注意到都是非负数，令左边， 则，， ∴， ∴， 移项得， 即，结论②正确； ③，则 ，解得, 为非负整数， 或，故结论③正确． 故答案为：②③． 变式4-3如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 【答案】(1)12秒 (2)2或6 (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用速度、路程、时间的关系求解； （2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解； （3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， （秒）， 即点整个运动过程共需12秒； （2）解： 是边上的高， 当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，， 当点P在点D左侧时，，即， 解得； 当点P在点D右侧时，，即， 解得； 综上可知，的值为2或6； （3）解：点运动总路程为， 当点在边上运动时，， 则， 解得； 当点在边上运动时，， 则， 解得， 点整个运动过程共需12秒， ， 综上可知，的取值范围为或． 1．北京奥运会期间，重庆啦啦队一行56人，从旅馆乘出租车到比赛场为中国队加油，现有甲、乙两个出租车队，甲队比乙队少3辆车，若全部安排乘甲队的车，每辆坐5人，车不够， 每辆坐6人，有车未满；若全部安排乘乙队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有车未满，请问甲队有出租车（    ）辆． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，设甲队有出租车辆，则乙队有出租车辆，根据题意可列不等式组，再求解出即可． 【详解】解：设甲队有出租车辆，则乙队有出租车辆， 由题意得： 解得： ，且为正整数，故． 故选：B． 2．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，方程组的定义，不等式组的解法，理解题意，通过不等式组分析确定和的可能值，是解题的关键． 设，，则a、b为整数，由方程组得到，，然后根据新定义可知，，从而得到，，进而得到关于b的一元一次不等式组，解得b的可能值，从而确定x和y的值，即可解答． 【详解】解：设，，则a、b为整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵a、b为整数， ∴， ∵， ∴，则， 又∵， ∴，即， 将代入得， 即 解得， ∴或2， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴， ∴的值为3或． 故选：C． 3．对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如：，，，给出如下结论：①；②若，则x的取值范围是；③当时，的值为1或2；④若且，则x的取值范围为．其中正确的结论有(    )个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据所学知识逐项判断即可．①可举反例；②可根据题意中的规定判断；③当，，时，分类讨论得结论；④根据x的取值范围，求出方程的解后判断． 【详解】解：①、因为[x]表示不大于x的最大整数， ∴当时， ∴①不正确； ②、若，则x的取值范围是，故②是正确的； ③、当时，[， 当时，， 当时，，综上③是正确的； ④、∵， ∴， 解得：． ∵ ∴， 解得： ∴x的取值范围为 故④是错误的． 故正确的是：②③，共两个． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式组．题目难度较大．理解题意和学会分类讨论是解决本题的关键． 4．已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若时，则； 其中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】解方程组得，①当时，解得t=0，符合；②当时，得t=1，不符合题意；③当时，得，可判断；④当时，得，可判断． 【详解】解：解方程组得， ①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确； ②当时，(2t+1)-(t-1)=3，解得t=1，不符合题意，故错误； ③当时，M=2t+3，∵，∴，符合题意，故正确； ④当时，，即，∴，不符合题意，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解题的关键． 5．某班数学兴趣小组对不等式组进行讨论并得到以下结论，其中不正确的是（   ） A．若，则不等式组无解 B．若不等式组有解，则a的取值范围是 C．若不等式组无解，则a的取值范围为 D．若不等式组有且只有两个整数解，则 【答案】B 【分析】本题考查了已知不等式组解的情况求值或参数范围，根据不等式组的解集条件判断各选项，有解需，无解需，两个整数解需． 【详解】解：∵ 不等式组为， A项：若，则且，无解，故A正确； B项：不等式组有解时，需，但B中包括（无解），故B错误； C项：不等式组无解时，，故C正确； D项：有且只有两个整数解时，整数解为3和4，需，故D正确， 故选：B． ∴ 不正确的是B. 6．定义新运算．若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解的含义求解字母的取值范围，根据新运算定义，分别计算两个不等式，得到解集为. 要求恰有三个整数解，即，故需，解得． 【详解】解：∵， 对于： ∵， ∴， 即， 对于： ∵， ∴， 即， ∴不等式组解为 要求恰有三个整数解，即 ∴需， ∴． 故选：B． 7．在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，3，1这三个数值中的一个，若，则_____． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了三元一次方程和不等式组的应用，设字母取、、的个数分别为、、，根据和为及总个数为，列出方程组，根据、、是自然数，列不等式组，求出、、的可能取值，再计算绝对值的和． 【详解】解：设字母取、、的个数分别为、、， 根据题意，得 将两式相减，得， 所以． 代入第一个方程，得． 由，，得 ， 解得， 所以或． 当时，，，绝对值和为． 当时，，，绝对值和为． 故答案为或30． 8．对于一个四位数，若它的各个数位上的数字互不相等且均不为零，且各数位上数字之和的3倍是一个平方数，则称这个数为“方三数”．那么最小的“方三数”为__________；若一个“方三数”．去掉其千位与个位数字得到一个两位数，去掉千位与十位数字得到一个两位数，若除以21余数为3，则满足条件的的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，不等式组的应用，根据“方三数”的定义求解即可． 【详解】解：当这个四位数是1234时，不是平方数，不符合题意； 当这个四位数是1235时，不是平方数，不符合题意； 当这个四位数是1236时，是平方数，符合题意， 所以最小的“方三数”为； ∵一个“方三数”， ∴是一个平方数， 去掉其千位与个位数字得到一个两位数，则， 去掉千位与十位数字得到一个两位数，则， ∴， ∵除以21余数为3，， ∴， ∴， ∴是一个平方数，且这个平方数必定是的倍数， ∵，， ∴，即 ∴或， ∵满足条件的的最大值， ∴取值时按照千位、百位、十位、个位的顺序尽量从大往小取值， 当时，， 当，时，则，找不到各个数位上的数字互不相等且均不为零的和，不合题意； 当，时，则，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得和，此时； 当时，，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得，时，则，根据各个数位上的数字互不相等且均不为零可得和，此时； 综上所述，满足条件的的最大值为， 故答案为：，． 9．若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为______． 【答案】 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入②得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， ， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组等知识点，根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围是解题的关键． 10．已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先解出不等式组中第二个不等式的解集，再结合得到不等式组的整体解集．根据“恰好有两个整数解”这一条件，确定这两个整数解，进而分析得到实数的取值范围． 【详解】解：解不等式 ： 两边同乘得： ∴不等式组的解集为 ． 由于解集恰好有两个整数解，且 ，整数解最大为，因此整数解只能为和． 为确保包含整数，需 ； 为确保不包含整数，需 ． 故实数 的取值范围是 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是：正确解出不等式组的解集；根据整数解的个数，分析确定参数 的边界条件． 11．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集，确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式组 解不等式， ． 解不等式， 得． 已知不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，要使成为解集，必须满足． 故答案为:． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法和不等式组解集的确定。解题关键是熟练掌握“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则来确定参数的范围． 12．若关于的不等式的负整数解为，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确确定关于的不等式组是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式有负整数解是，，即可得到一个关于的不等式，即可求得的范围． 【详解】解：解不等式得：， ∵负整数解是，， ∴ 解得：． 故答案为：． 13．若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及新定义的应用，掌握解一元一次不等式组的步骤，以及根据新定义转化条件的方法是解题的关键． 先分别解不等式组C和D，确定不等式组C有解的条件；再计算C的解集中点值，根据中点包含的定义，让该中点值满足不等式组D的解集，最后结合所有条件推导m的取值范围． 【详解】解：解不等式组C：，得； 解不等式组D：，得． 不等式组C有解需满足， 解得； 不等式组D有解需满足， 解得， 但已涵盖． C的解集中点值为． 由中点包含，需满足D的解集，即． 解得； 解得． 结合， 故． 故答案为：． 14．已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解题的关键． 先求出不等式组的解集为，再根据不等式组有且仅有一个整数解，从而确定a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示如下： ∵不等式组有且仅有一个整数根， ∴2是不等式组的整数解，1不是不等式组的整数解， ∴a的取值介于1和2之间（且可以等于1）， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 15．某商场销售、两种商品，售出件种商品与售出件种商品所得利润共元，件商品的利润比件商品的利润的倍少元． (1)求每件种商品和每件种商品售出后所得利润分别是多少元； (2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，商场决定再一次购进、两种商品共件．如果将这件商品全部售完后所得利润不低于元，且A种商品至多购进件，求商场有哪几种购进方案； (3)在（2）的条件下，若每件种商品售价元，每件种商品售价元，用（2）中获得的最大利润全部用于再购进、两种商品，直接写出再次购进、两种商品总数最多的方案． 【答案】(1)每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元 (2)商场有三种购进方案：方案一：购进A种商品6件，B种商品28件；方案二：购进A种商品7件，B种商品27件；方案三：购进A种商品8件，B种商品26件 (3)再次购进A、B两种商品总数最多的方案为购进A种商品0件，B种商品35件 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及最大利润下的购买方案． （1）设每件种商品利润为元，每件种商品利润为元，列方程组求解； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，根据利润要求和不等式条件确定购进方案； （3）利用最大利润计算再购进方案，通过比较进价最大化购买件数． 【详解】（1）设每件种商品利润为元，每件种商品利润为元． 根据题意，得 解得． 答：每件种商品利润为元，每件种商品利润为元． （2）设购进种商品件，则购进种商品件． 总利润为， 根据利润不低于元，得， 解得． ∵种商品至多购进件，故， ∴ ， ∵为整数， ∴当时，种商品件；当时，种商品件；当时，种商品件． 答：商场有三种购进方案： 方案一：购进种商品件，种商品件； 方案二：购进种商品件，种商品件； 方案三：购进种商品件，种商品件． （3）由（2）知，最大利润对应，利润为元． 每件种商品售价元，利润元，故进价为元； 每件种商品售价元，利润元，故进价为元． 设用元再购进种商品件，种商品件， 根据题意得， 化简得． 总件数，为了使最大化，应尽可能多购进进价低的种商品． 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，； ∴随增大而减小，故最大为，此时，． ∴ 再次购进、两种商品总数最多的方案为购进种商品件，种商品件． 16．某校八年级一班全体学生去某旅游区游玩，其中有一项游玩活动是“漂流”，需租用旅游景点的竹筏子．由于游人较多，此时，景点剩余的竹筏子已经不足10个．如果每个竹筏子坐4人，就有8人上不了竹筏子；如果每个竹筏子坐5人，则最后一个竹筏子不空也不满．问：这个旅游景点此时共剩余多少个竹筏子可以租用？该校八年级一班共有多少名学生？ 【答案】这个旅游景点此时共剩余9个竹筏子可以租用，该校八年级一班共有44名学生 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出不等式组，注意x只能取整数．设这个旅游景点此时共剩余x个竹筏子可以租用，根据最后一个竹筏子不空也不满列出不等式组，求出不等式组的解集，再根据x只能取整数，求出x的值，最后求出总人数即可． 【详解】解：设这个旅游景点此时共剩余x个竹筏子可以租用， 根据题意得∶ 解得∶， ∵x只能取整数，且， ∴． ∴当时，该校八年级一班共有学生 (人)， 答：这个旅游景点此时共剩余9个竹筏子可以租用，该校八年级一班共有44名学生． 17．为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 【答案】(1)改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元 (2)要改造的小学有12所 (3)四种改造方案∶方案一∶改造2所中学，8所小学；方案二∶改造3所中学，7所小学；方案三∶改造4所中学，6所小学；方案四∶改造5所中学，5所小学 【分析】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元，列出方程组进行求解即可； （2）设要改造的小学有m所，根据要改造的乡镇中学不超过8所，列出不等式进行求解即可； （3）设改造中学a所，则改造小学所，由今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据题意，得，解得， 答∶改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元． （2）设要改造的小学有m所，根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，且在范围内，使为整数的值只有， ∴． 答∶要改造的小学有12所． （3）设改造中学a所，则改造小学所，根据题意， 得，解得． ∵a取整数， ∴a的值为2，3，4，5． ∴对应的值分别为8，7，6，5， ∴有以下四种改造方案∶ 方案一∶改造2所中学，8所小学； 方案二∶改造3所中学，7所小学； 方案三∶改造4所中学，6所小学； 方案四∶改造5所中学，5所小学． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键． 18．综合与探究 对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，． (1)a＝ ，b＝ ． (2)已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解． (3)若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值． (4)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 【答案】(1)2；1 (2)或 (3)m的值为0或1或2 (4) 【分析】（1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案； （2）根据（1）中求解的a、b的值，结合、x，y为非负整数即可解出答案； （3）根据得出，将其两式相加，结合即可得到m的取值范围，再结合m为非负整数即可求解； （4）根据求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围； 【详解】（1）解：， 解得：； （2）解：由（1）知，， 则． ∵x，y为非负整数， ∴或． （3）解：依题意， ①＋②化简得． ∵，即 解得． 又∵m为非负整数， ∴m的值为0或1或2． （4）解：依题意得，解得． ∵此不等式有3个正整数解， ∴， 解得． 【点睛】该题主要考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，理解题意，掌握二元一次方程组和一元一次不等式组解法是解题的关键；还需注意二元一次方程解答时有多个结果；一元一次不等式组整数解问题也是比较容易出错． 19．数学课上老师写了一个关于x，y的二元一次方程，（其中a为常数且）． (1)若是该方程的一个解，求a的值： (2)聪明的小明发现，当a每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，请你帮小明求出这个公共解； (3)由得到用含x，y的代数式表示a，则______；当，时，；当，时，，在上述条件下，若m恰好有4个整数解，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2)这个公共解为； (3)；． 【分析】（1）把代入，求解即可； （2）由方程的解与a无关，可得方程组，根据解方程组，可得答案； （3）化简整理用含x，y的代数式表示a，之后将两种情况下的x、y代入a，可得，再根据题意得到，解之即可求解． 【详解】（1）解：∵是该方程的一个解， ∴， 解得：； （2）解：原方程整理得， 由题意得，方程的解与a无关， ∴， 解得， ∴这个公共解为； （3）解：， 即， ∴， ∴； 当，时，， 此时，即， ∴， 当，时，， 此时，即， ∴， ∴， ∵m恰好有4个整数解， ∴4个整数解为， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，求不等式组的解集，利用方程的解与a无关得出方程组是解题关键． 20．阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法： 解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2  又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1． 又∵y<0，∴－1<y<0…①． 同理可得1<x<2…②． 由①＋②得：－1＋1<x＋y<0＋2． ∴x＋y的取值范围是0<x＋y<2． 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是______； (2)已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围． 【答案】(1)1＜x+y＜5 (2)a＞1 (3) 【分析】（1）模仿阅读材料解答即可； （2）先把方程组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可； （3）分别求出2a、3b的取值范围，相加可得结论． 【详解】（1）解：∵x-y=3， ∴x=y+3， ∵x＞2， ∴y+3＞2， ∴y＞-1， 又∵y＜1， ∴-1＜y＜1…①， 同理可得2＜x＜4…②， 由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4， ∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5， 故答案为：1＜x+y＜5； （2）解：解方程组， 得， ∵该方程组的解都是正数， ∴x＞0，y＞0， ∴， 解不等式组得：a＞1， ∴a的取值范围为：a＞1； （3）解：∵a－b=4，b<2， ∴， ∴， 由（2）得，a＞1， ∴， ∴…①， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴…②， 由①+②得：， ∴2a＋3b的取值范围是． 【点睛】本题考查不等式的性质及运算法则，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，以及新运算方法的理解，熟练熟练掌握不等式的运算法则是解题的关键． 21．对a，b定义一种新运算“T”，规定：T(a，b)=(2a+b)(ax+by)(其中x，y均为非零实数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(1，1)=3x+3y． (1)已知T(-1，1)=0，T(2，0)=8，求x，y的值； (2)已知关于x，y的方程组，若a≥-2，求x + y 的取值范围； (3)在(2)的条件下，已知平面直角坐标系xOy中，点A(x，y)在坐标轴上，将点A向上平移2个单位得点A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)x+y≥-9 (3)(0，12)或(0，-12)或(9，0)或(-9，0)或(18，0)或(-18，0) 【分析】（1）根据新运算“T”定义建立方程组，解方程组即可得出答案； （2）应用新运算“T”定义建立方程组，解关于x、y的方程可得， 进而得出x+y=a +(2a-3)=3a-3，再运用不等式性质即可得出答案； （3）根据题意得A(a，2a-3)，由平移可得A′(a，2a-1)，根据点A(a，2a-3)落在坐标轴上，且a≥-2，分类讨论即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． （2）依题意得：， 解得， ∴x+y=a +(2a-3)=3a-3， ∵a≥-2， ∴3a≥-6， ∴3a-3≥-9， ∴x+y≥-9， 故答案为：x+y≥-9． （3）由（2）得， ∴A(a，2a-3)， ∵将点A向上平移2个单位得点A′， ∴A′(a，2a-1)， ∵点A(a，2a-3)在坐标轴上，且a≥-2， ∴2a-3=0或a=0， ∴a=或a=0， ①当a=时，A′(，2)， 若点B在y轴上，则， ∴OB=12， ∴B(0，12)或(0，-12)， 若点B在x轴上 ， ∴OB=9， ∴B(9，0)或(-9，0)， ②当a=0时，A′(0，-1)， ∴点B在x轴上， ∴OB=18， ∴B(18，0)或(-18，0)， 综上所述，点B的坐标为(0，12)或(0，-12)或(9，0)或(-9，0)或(18，0)或(-18，0)． 故答案为：(0，12）或(0，-12)或(9，0)或(-9，0)或(18，0)或(-18，0) 【点睛】本题考查了新运算“T”定义，解二元一次方程组，不等式性质，平移变换的性质，理解并应用新运算“T”定义是解题关键． 22．已知不等式①． (1)求不等式①的解集． (2)求不等式①的负整数解． (3)若关于x的不等式②的解集与不等式①的解集相同，求a的值． (4)若不等式①的解都是关于x的不等式的解，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)－1，－2． (3) (4) 【分析】（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为的步骤，解一元一次不等式； （2）在第（1）问的解集里，找出所有负整数； （3）先解不等式②，根据解集相同的条件，令两个解集的边界相等，列方程求的值； （4）根据不等式①的解都是​的解，说明①的解集是​解集的子集，通过边界的大小关系列不等式求的范围． 【详解】（1）解：去分母得， 移项得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解：由（1）得，不等式①的解集为， ∴不等式①的负整数解为－1，－2． （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为，得． ∵不等式②的解集与不等式①的解集相同， ∴， 解得． （4）解：解不等式，可得． ∵不等式①的解都是的解， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法、解集的包含关系及方程思想的应用，掌握解一元一次不等式的步骤，以及通过解集的包含关系确定参数范围是解题的关键． 23．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先求一元一次方程的解为，再求不等式组的解集为，根据定义即可判断； （2）先求一元一次方程的解为，根据不等式组有两个整数解，可得，解得，再由方程是不等式组的“相依方程”，可得，最后求出； （3）先求一元一次方程的解为，不等式组的解集分情况讨论：①时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；②当时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；③当时，无解，不合题意，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：不是不等式组的“相依方程”，理由如下： ， ， 解得， ， 由①得：， 解得，， 由②得：， ， ， ， ， ∴， ∵不在的范围内， ∴不是不等式组的“相依方程”； （2）解：， ， ， ， ， 解不等式组：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有两个整数解， ∴， 解得， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 解得， ∴； （3）解：， 解得， ， 由①得， 由②得， ①当时，， ∴， ∵方程是关于x的不等式组的“相依方程”， ∴， 解得或； ∴此情况下k的取值为， ②当时，， 此时，即或， 不等式组的解集为， ∴， 解得或， ∴此情况下k的取值为， ③当时，无解，不合题意， 综上所述：或． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，弄懂定义，分类讨论是解题的关键． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $