第一章 三角函数（复习讲义，16大题型精讲）数学北师大版必修第二册

第一章 三角函数（复习讲义） 1、了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期，初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性，能够利用函数的周期性求值. 2、了解任意角的概念，理解象限角的概念，掌握终边相同的角的含义及其表示. 3、了解角的另外一种度量方法——弧度制，能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算，掌握弧度制中弧长公式和扇形的面积公式. 4、了解单位圆与正弦函数、余弦函数的关系，掌握任意角的正弦函数、余弦函数定义，掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号. 5、了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程，能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题. 6、能用“五点法”画出正弦函数在[0，2π]上的图象，理解正弦曲线的意义，掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、单调区间和最值. 7、能正确使用“五点法”“图象变换法”画出余弦函数的简图，掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的最小正周期、单调区间和最值. 8、理解并掌握函数y＝A sin 图象的平移与伸缩变换，掌握A，ω，φ对图象形状的影响. 9、掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法，理解函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性. 10、理解任意角的正切函数的定义，理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及其在区间内的单调性，正切函数诱导公式的推导及应用. 11、了解三角函数是研究周期现象最重要的模型，初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题. 一、任意角与弧度制 知识点1　周期函数的概念 一般地，对于函数y＝f，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f (x＋T)＝f (x)，那么函数y＝f (x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． [特别提示]　(1)周期函数的周期不唯一．如果T是函数f (x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f (x)的周期． 知识点2　最小正周期 如果在周期函数y＝f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f (x)的最小正周期． 知识点3　角的概念 如图，角可以看成平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB所形成的图形．点O是角α的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边． 知识点4　按照角的旋转方向，分为如下三类 类型 定义 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角 知识点5　象限角 如果角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． 知识点6　终边相同的角 给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 知识点7　弧度制的定义 在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 知识点8　角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57°18′ 知识点9　弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝αr 扇形的面积 S＝ S＝lr＝αr2 二、正弦函数和余弦函数的概念及其性质 知识点1　任意角的正弦函数、余弦函数 (1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正 半轴重合，终边与单位圆O交于 点P． 正弦函数sin α 余弦函数cos α 定义 点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数值，记作v＝sin α 点P的横坐标u叫作角α的余弦函数值，记作u＝cos α 在各象限 的符号 知识点2　正弦函数、余弦函数的基本性质 性质 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 定义域 R 值域 [－1，1] 最大值与 最小值 当x＝时，ymax＝1； 当x＝时，ymin＝－1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝时，ymin＝－1 周期性 周期函数，最小正周期为2π 单调性 在，k∈Z上单调递增； 在k∈Z上单调递减 在[2kπ－π，2kπ]，k∈Z上单调递增；在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上单调递减 知识点3　2kπ±α，－α，π±α(k∈Z)的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立： sin (2kπ＋α)＝sin α，cos (2kπ＋α)＝cos α． sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α． sin (α－π)＝－sin α，cos (α－π)＝－cos α． sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α． sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α． 这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号． 知识点4　±α的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立： sin ＝cos α，cos ＝－sin α． sin ＝cos α，cos ＝sin α． 这两组诱导公式的记忆：－α，＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”． 知识点5　正弦函数的图象 在函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，起着关键作用的有五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的形状就基本确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图．我们称这种作正弦曲线的方法为“五点法”． 知识点6　正弦函数y＝sin x的性质 函数 y＝sin x 定义域 R 值域 [－1，1] 奇偶性 奇函数 周期性 周期函数，最小正周期为2π 单调性 在(k∈Z)上是单调递增的； 在(k∈Z)上是单调递减的 最值 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1 知识点7　余弦函数的图象与性质 函数 y＝cos x 图象 定义域 R 值域 [－1，1] 最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 周期性 周期函数，最小正周期为2π 奇偶性 偶函数，图象关于y轴对称 单调性 在，k∈Z上是单调递增的； 在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上是单调递减的 [特别提示]　只需将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到y＝cos x，x∈R的图象． 三、函数y＝A sin (ωx+φ)的性质与图象 知识点1　周期变换 (1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率． (2)对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的． 知识点2　相位变换 (1)在函数y＝sin (ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位． (2)对于函数y＝sin (ωx＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把函数y＝sin ωx的图象上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位长度得到的． 知识点3　振幅变换 (1)在函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅． (2)要得到函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，A≠1)的图象，只要将函数y＝sin (ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到． 知识点4　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期 T＝ 奇偶性 φ＝kπ，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是奇函数；φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是偶函数 对称轴方程 由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得 对称中心 由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得 单调性 单调递增区间由2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得； 单调递减区间由2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得 知识点5　正切函数的定义 在平面直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)(a≠0)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tan_α，其中α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)． 知识点6　正切函数的诱导公式 tan (kπ＋x)＝tan x(k∈Z) tan (－x)＝－tan x tan (π＋x)＝tan x tan (π－x)＝－tan x tan ＝－ tan ＝ 知识点7　正切函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数 周期性 周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π 单调性 在每一个区间，k∈Z上单调递增 对称性 该图象的对称中心为，k∈Z 题型一 任意角的概念及应用 1．已知角，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．下列角中，与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 3．与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 4．若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 5．已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 6．已知是第三象限角，那么是（        ） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 7．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 8．（多选）下列命题中错误的是（   ） A．第二象限的角是钝角 B．钝角的补角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限的角小于第二象限的角 9．（多选）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 10．已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 11．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在范围内与其终边相同的角． (1)； (2)； (3)； (4)． 12．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合. (1) (2) 题型二 弧度制的应用（弧长与面积） 1．与终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 2．一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．2 C． D．1 3．已知扇形的周长为20cm，当扇形面积取最大值时，该扇形圆心角的弧度数为（       ） A． B． C．2 D．1 4．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧CD的长为，则此扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为 ，扇形的面积为 ． 6．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环ABCD的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为 7．请将下列各角在角度和弧度之间互化： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若，，求扇形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 题型三 三角函数的定义的问题 1．已知点在角的终边上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知命题：且，命题：为钝角，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知角的终边在直线上，则的值为 ． 5．已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 6．角的终边经过点，且，则 ， ． 题型四 正余弦函数值符号的判断 1．（多选）已知，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（多选）已知为第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 3．判定下列各式的符号： (1)； (2)． 题型五 诱导公式 1．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 2．的值为（   ） A．1 B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．计算 ． 5．已知，且为第四象限角，则 . 6．已知，求的值． 7．（1）化简：； （2）计算：． 8．化简并求值：（其中）． 题型六 五点作图法的问题 1．已知函数. (1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数的大致图象，要求：列表，描点，连线； (2)若方程在有两个不同的实数根，求的取值范围. 2．已知函数． (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数在一个周期内的图象； 0 (2)如何由的图象变换得到的图象？ 3．已知函数， 0 0 0 0 (1)若， （ⅰ）根据如上表格，直接写出的值； （ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象； (2)若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围. 4．已知函数. (1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数的图象； (2)写出此函数的单调递增区间. 5．已知函数． (1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)求的对称轴与对称中心； (3)当，求函数的值域. 题型七 三角函数定义域问题 1．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为 ． 3．已知，则函数的定义域为 ． 4．求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八 三角函数的周期问题 1．函数的周期、振幅、初相分别是（   ） A．，， B．，， C．，2， D．，2， 2．下列函数中，周期为的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的周期、振幅、初相分别是（   ） A．，， B．，， C．，2， D．，2， 4．设是定义在实数集上的周期函数，则“的最小周期为1”是“”的（   ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 5．已知是周期为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．若的最小正周期为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 7．函数的最小正周期为 ， ． 题型九 三角函数的奇偶性与对称问题 1．若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知是偶函数，则（　　） A．2 B． C．1 D．0 3．已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 5．已知函数满足：，函数，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 6．设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数（）的最小正周期为，点是其图象的一个对称中心，则的最小值为（） A． B． C． D． 8．若函数的一个对称中心为，则函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．记函数的最小正周期为，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 11．（多选）若函数的图像向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，它的一条对称轴是直线，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 12．若为偶函数，则 . 13．已知函数，将曲线向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为 . 14．函数的图象的对称中心和对称轴方程分别为 ． 15．已知，则在上所有根的和为 . 16．已知函数满足，则的最小值为 . 17．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)． 题型十 三角函数的单调性与最值问题 1．已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知，函数在上单调递减，则的取值可以是（   ） A． B．2 C． D． 6．已知函数，，则函数的单调递增区间为 ；函数的值域为 ． 7．已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是 ． 8．函数（）的最大值为 ． 9．求函数的单调递增区间． 10．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的值域； 11．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； 12．已知函数． (1)判断的奇偶性及最小正周期； (2)令，，求的最值． 13．求函数，的值域． 题型十一 三角函数图象变换的问题 1．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 2．函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．要得到函数的图像，可由函数的图像经伸缩平移变换而成，则下列变换方式中正确的是（    ） A．先将所有点的横坐标缩少为原来的（纵坐标不变），再将图像向右平移个单位 B．先将所有点的横坐标缩少为原来的（纵坐标不变），再将图像向右平移个单位 C．先将所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），再将图像向左平移个单位 D．先将所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），再将图像向右平移个单位 4．为得到的图象，只要把的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 5．（多选）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称 6．（多选）若函数，为了得到函数的图象，下面有四种变换：①先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度；②先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；③先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；④先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度.则只需将的图象（    ） A．① B．② C．③ D．④ 7．（多选）为得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移 8．请用“五点法”画函数在内的图象. (1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点. (2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？ (3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值. 题型十二 求解析式的问题 1．已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．或 D． 3．已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．1 C． D． 4．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，则（   ） A． B． C． D． 6．设函数（且）满足以下条件：①，均有；②，，且，则关于x的不等式的最小正整数解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数在区间上单调递减，直线为曲线的一条对称轴，点为曲线的一个对称中心，则在区间上的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 题型十三 三角函数性质综合运用 1．函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ）    A． B． C．为的一条对称轴 D．若，则为奇数 2．已知函数，则下列结论错误的是（     ） A．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．在区间上单调递减 3．已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，给出下列判断： ①. ②函数为偶函数. ③函数在区间上只有一个零点. ④函数在区间上的最大值为. 其中，判断正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数，下列命题： ① ②函数为奇函数 ③若，则或， ④若（）在区间上恰有3个零点，则 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．函数的图象如图，则下列有关性质的描述正确的是（    ） A． B．，为函数的对称轴 C．向右移后的函数为偶函数 D．函数的单调递减区间为， 6．关于函数，下列选项正确的是（   ） A．函数最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．表达式可写成 7．已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．的对称中心为 B．当时， C．的单调递减区间为 D．若，且，则 9．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递减 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 题型十四 正切函数的相关问题 1．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．定义域是 B．是定义域上的增函数 C．图象的对称轴是 D．是奇函数 3．函数的单调递增区间是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．关于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数图象关于点中心对称 C．函数的定义域为 D．函数的单调递增区间为 5．已知函数，使成立的x的取值集合是（   ） A． B． C． D． 6．关于函数，有以下命题，正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数的定义域是 C．是奇函数 D．的一个单调递增区间为 7．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ） A． B．的图象与轴的交点坐标为 C． D．函数的图象关于点对称 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的最小正周期为 C． D．的图象关于点对称 10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 题型十五 比较大小的问题 1．若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则（   ） A． B． C． D． 题型十六 三角函数应用问题 1．筒车作为我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图甲，将筒车抽象为一个几何图形（圆），如图乙，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 D．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 2．根据预报数据，某港口某一天的水深（单位：）与时间（单位：）的关系可以用函数来近似描述．现有一艘货船准备在这天4：00进入港口并及时卸货，已知该船空船时的吃水深度（船底与水面的距离）为，在卸货过程中，其吃水深度以的速度减少，且安全间隙（船底与海底的距离）为．若要保证该船能在当天安全驶出港口，则其卸货前的吃水最大深度约为（   ） A． B． C． D． 3．图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ）    A．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 5．已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 基础巩固通关测 1．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 2．若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（    ） A． B． C． D． 3．将改写成的形式是（   ） A． B． C． D． 4．已知扇形的周长为10cm，圆心角为3rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．有一块半径为1 cm的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上，则该等腰梯形的周长最大时，上底所对圆弧长为（   ） A． B． C． D． 6．已知角的终边与单位圆交于，则（   ） A． B． C． D． 7．若角的终边上有一点，且，则（    ） A．4 B． C． D． 8．已知点在角的终边上，且，则（   ） A． B． C． D． 9．“点在第三象限”是“角为第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．“角θ是第四象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 11．若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 12．函数，是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 13．（多选）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为2 D．的最小值为0 14．（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数在单调递减 C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于直线对称 15．（多选）已知函数的最小正周期为，且，则（   ） A． B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 16．（多选）已知函数的部分图像如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 17．（多选）已知函数的最小正周期为，则下列叙述中正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称 D．函数在区间上的最大值为 18．（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，关于所得的图象，下列说法不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 19．（多选）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．图象关于点成中心对称 B．图象关于直线成轴对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 20．（多选）下列函数中，最小正周期为的偶函数的有（    ） A． B． C． D． 21．若角的终边经过点，则 ， ， ． 22．函数距离轴最近的对称中心为 ． 23．（1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 24．求下列各式的值： (1)已知，且，求的值． (2)已知，且，求的值． 25．化简： (1)； (2)． 26．函数（，）的部分图象如图所示， (1)求函数的解析式; (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集. 27． 将的图象怎样变换可得到函数的图象？ 28．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集； (3)将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值. 29．用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列表如下： 0 0 2 0 0 (1)求，，的值及函数的解析式； (2)已知函数，若函数在区间上是增函数，求实数a的最大值． 30．若函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将图象上的所有点先向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到函数的图象： （i）求的解析式； （ii）已知，若在上的最大值为，最小值为，求的最大值. 能力提升进阶练 1．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．5 2．已知函数在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（）在区间上单调，且满足，若函数在上有且仅有4个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．设函数，已知，且在区间上无零点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 5．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 6．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若，恰存在三个不同的实数，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．记函数，其中，若在恰有两个零点，且，则函数在上的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象 D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 9．（多选）已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．图象关于对称 C．在[4，7]上单调递减 D．若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则 10．设，若函数在区间上的最大值为，则 . 11．设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 ． 12．已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 . 13．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的单位圆与、轴正半轴分别交于点、.角的始边与轴正半轴重合，终边交圆于点，过作轴的垂线，垂足为.当时，设的面积为，四边形的面积为，则的取值范围为 . 14．已知函数，有两个零点，则下列结论中：①；②若，则；③.正确命题的序号是 . 15．函数的部分图象如下： (1)求函数的解析式，并写出定义域为时的增区间. (2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，再将所得函数图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.在区间内，恰存在3个实数，使. （ⅰ）求函数的解析式，并直接写出实数的取值范围； （ⅱ）求的值. 16．已知函数，其图象的相邻对称轴的距离为. (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. （i）求函数在区间上的最值； （ii）若函数在上的零点从小到大依次为，求的值. 17．将函数的图象进行如下变换：先向下平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，使得，都有，求的取值范围； (3)若函数在区间内恰有2026个零点，求n的所有可能取值. 18．已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将的图象上所有点向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角函数（复习讲义） 1、了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期，初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性，能够利用函数的周期性求值. 2、了解任意角的概念，理解象限角的概念，掌握终边相同的角的含义及其表示. 3、了解角的另外一种度量方法——弧度制，能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算，掌握弧度制中弧长公式和扇形的面积公式. 4、了解单位圆与正弦函数、余弦函数的关系，掌握任意角的正弦函数、余弦函数定义，掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号. 5、了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程，能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题. 6、能用“五点法”画出正弦函数在[0，2π]上的图象，理解正弦曲线的意义，掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、单调区间和最值. 7、能正确使用“五点法”“图象变换法”画出余弦函数的简图，掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的最小正周期、单调区间和最值. 8、理解并掌握函数y＝A sin 图象的平移与伸缩变换，掌握A，ω，φ对图象形状的影响. 9、掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法，理解函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称性. 10、理解任意角的正切函数的定义，理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及其在区间内的单调性，正切函数诱导公式的推导及应用. 11、了解三角函数是研究周期现象最重要的模型，初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题. 一、任意角与弧度制 知识点1　周期函数的概念 一般地，对于函数y＝f，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f (x＋T)＝f (x)，那么函数y＝f (x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． [特别提示]　(1)周期函数的周期不唯一．如果T是函数f (x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f (x)的周期． 知识点2　最小正周期 如果在周期函数y＝f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f (x)的最小正周期． 知识点3　角的概念 如图，角可以看成平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB所形成的图形．点O是角α的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边． 知识点4　按照角的旋转方向，分为如下三类 类型 定义 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角 知识点5　象限角 如果角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． 知识点6　终边相同的角 给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 知识点7　弧度制的定义 在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制． 知识点8　角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57°18′ 知识点9　弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝αr 扇形的面积 S＝ S＝lr＝αr2 二、正弦函数和余弦函数的概念及其性质 知识点1　任意角的正弦函数、余弦函数 (1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正 半轴重合，终边与单位圆O交于 点P． 正弦函数sin α 余弦函数cos α 定义 点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数值，记作v＝sin α 点P的横坐标u叫作角α的余弦函数值，记作u＝cos α 在各象限 的符号 知识点2　正弦函数、余弦函数的基本性质 性质 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 定义域 R 值域 [－1，1] 最大值与 最小值 当x＝时，ymax＝1； 当x＝时，ymin＝－1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝时，ymin＝－1 周期性 周期函数，最小正周期为2π 单调性 在，k∈Z上单调递增； 在k∈Z上单调递减 在[2kπ－π，2kπ]，k∈Z上单调递增；在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上单调递减 知识点3　2kπ±α，－α，π±α(k∈Z)的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立： sin (2kπ＋α)＝sin α，cos (2kπ＋α)＝cos α． sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α． sin (α－π)＝－sin α，cos (α－π)＝－cos α． sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α． sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α． 这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号． 知识点4　±α的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立： sin ＝cos α，cos ＝－sin α． sin ＝cos α，cos ＝sin α． 这两组诱导公式的记忆：－α，＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”． 知识点5　正弦函数的图象 在函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，起着关键作用的有五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象的形状就基本确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图．我们称这种作正弦曲线的方法为“五点法”． 知识点6　正弦函数y＝sin x的性质 函数 y＝sin x 定义域 R 值域 [－1，1] 奇偶性 奇函数 周期性 周期函数，最小正周期为2π 单调性 在(k∈Z)上是单调递增的； 在(k∈Z)上是单调递减的 最值 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1 知识点7　余弦函数的图象与性质 函数 y＝cos x 图象 定义域 R 值域 [－1，1] 最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 周期性 周期函数，最小正周期为2π 奇偶性 偶函数，图象关于y轴对称 单调性 在，k∈Z上是单调递增的； 在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上是单调递减的 [特别提示]　只需将y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到y＝cos x，x∈R的图象． 三、函数y＝A sin (ωx+φ)的性质与图象 知识点1　周期变换 (1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率． (2)对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的． 知识点2　相位变换 (1)在函数y＝sin (ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位． (2)对于函数y＝sin (ωx＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把函数y＝sin ωx的图象上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位长度得到的． 知识点3　振幅变换 (1)在函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅． (2)要得到函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，A≠1)的图象，只要将函数y＝sin (ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到． 知识点4　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期 T＝ 奇偶性 φ＝kπ，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是奇函数；φ＝kπ＋，k∈Z时，y＝A sin (ωx＋φ)是偶函数 对称轴方程 由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得 对称中心 由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得 单调性 单调递增区间由2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得； 单调递减区间由2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得 知识点5　正切函数的定义 在平面直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)(a≠0)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tan_α，其中α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)． 知识点6　正切函数的诱导公式 tan (kπ＋x)＝tan x(k∈Z) tan (－x)＝－tan x tan (π＋x)＝tan x tan (π－x)＝－tan x tan ＝－ tan ＝ 知识点7　正切函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数 周期性 周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π 单调性 在每一个区间，k∈Z上单调递增 对称性 该图象的对称中心为，k∈Z 题型一 任意角的概念及应用 1．已知角，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】根据题意可得，进而判断角所属象限即可. 【详解】已知角，所以，故角为第二象限角. 故选:B. 2．下列角中，与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】终边相同的角相差360°的整数倍，所以要找到一个正数，使得等于选项中的某个角. 【详解】因为， 所以与终边相同的角是. 故选：B. 3．与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出在中与角终边相同的角，再写成集合的形式即可判断. 【详解】因， 故与角终边相同的角的集合可表示为，C项正确， 而A，B，D项中的角都与终边不同. 故选：C. 4．若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】利用象限角的概念和运算法则求构成的集合． 【详解】记，由是第一象限角，则， ， 又是第三象限角，的终边必须落在上述区间内第三象限部分， 即，解得， 构成的集合为（）． 故选：C． 5．已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】C 【分析】由题意可得，可得，讨论的取值，即可确定答案. 【详解】由题意是第三象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第三象限角； 当时，，是第四象限角； 故不可能是第二象限角. 故选：C 6．已知是第三象限角，那么是（        ） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】D 【分析】由已知有，，再求出的范围，即可得. 【详解】由，，则，， 为奇数时，在第四象限， 为偶数时，在第二象限， 所以在第二或第四象限. 故选：D 7．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可. 【详解】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 8．（多选）下列命题中错误的是（   ） A．第二象限的角是钝角 B．钝角的补角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限的角小于第二象限的角 【答案】ACD 【分析】利用象限角的意义，结合任意角的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，角是第二象限角，而它不是钝角，A错误； 对于B，钝角的补角是锐角，而锐角是第一象限角，因此钝角的补角是第一象限的角，B正确； 对于C，角小于角，而角不是锐角，C错误； 对于D，是第一象限角，角是第二象限角，D错误. 故选：ACD 9．（多选）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【分析】为第二象限角，得到，得到答案. 【详解】为第二象限角，故， 所以， 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴. 故选：CD 10．已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 【答案】 【分析】根据题意先求解终边在角的终边所在直线上的角的集合，再结合图形即可求解. 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合， 终边在角的终边所在直线上的角的集合， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为. 故答案为：. 11．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在范围内与其终边相同的角． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，第一象限角 (2)，第四象限角 (3)，第二象限角 (4)，第三象限角 【分析】先作图，再根据角的定义求解. 【详解】（1）   角是第一象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角； （2）     角是第四象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角； （3）     角是第二象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角； （4）   角是第三象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角； 综上，（1）第一象限，与角终边相同，（2）第四象限，与角终边相同，（3）第二象限，与角终边相同，（4）第三象限，与角终边相同. 12．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据实线表示的边界可取，虚线表示的边界不可取，且按逆时针方向旋转时角度变大分析即可. 【详解】（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为. （2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为. 题型二 弧度制的应用（弧长与面积） 1．与终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用周期性写出终边相同的正角，即可得. 【详解】由，显然与、的终边相同. 故选：A 2．一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由扇形面积公式与弧长公式直接计算即可. 【详解】由题意得，解得，则， 故选：D. 3．已知扇形的周长为20cm，当扇形面积取最大值时，该扇形圆心角的弧度数为（       ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】设扇形的半径为，弧长为，依题意有，利用扇形面积公式，利用基本不等式即可求得答案． 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则． ， 当且仅当时取等号， 故最大值为25，此时，． 故扇形圆心角的弧度数． 所以扇形面积最大值为，此时圆心角弧度数为2. 故选：C 4．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧CD的长为，则此扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过弧长公式求出小扇形半径，再结合的长度得到大扇形半径，最后利用扇形面积公式计算两个扇形的面积差，得到扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧CD的长为， 代入弧长公式可得，解得．所以． 由扇形面积公式可得，， ， 所以此扇面的面积． 故选：C. 5．已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为 ，扇形的面积为 ． 【答案】 / / 【分析】利用扇形的弧长公式及面积公式可得. 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，则. 所以扇形的弧长为； 扇形的面积为. 故答案为：；. 6．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环ABCD的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为 【答案】 【分析】分别求出内圆半径和外圆半径，利用扇形面积公式，分别求得扇形和扇形的面积，从而求得扇环的面积. 【详解】由题可得， 在扇形中，，所以扇形的面积为； 在扇形中，，所以扇形的面积为. 所以该扇环的面积为. 故答案为：. 7．请将下列各角在角度和弧度之间互化： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）解法一：利用角度与弧度的互化可得结果. 解法二：设所求角的弧度数或角度数，根据题意列出等式求解. 【详解】（1）解法一：； 解法二：设角的弧度数为，则，所以．即． （2）解法一：． 解法二：设角的弧度数为，则，所以． 即． （3）解法一：． 解法二：设，则，解得，即. （4）解法一：． 解法二：设，则，因此，即． 8．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若，，求扇形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形面积公式求解； （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）． （2）． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 题型三 三角函数的定义的问题 1．已知点在角的终边上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义，先由求出的值（结合象限判断符号），再计算点到原点的距离，最后代入求解. 【详解】已知点在角的终边上，因此：横坐标，纵坐标； 点到原点的距离（，距离恒为正）， 由，结合的定义式，列方程： 对等式两边平方，消去根号和符号： 交叉相乘并整理方程： 由，且，可知角的终边在第四象限，因此纵坐标，故： 将代入，得： 根据的定义式，代入、： 故选：A 2．点在第二象限，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据点所在象限得出且，再根据三角函数定义得出终边所在位置. 【详解】由题意， 则终边在轴下方，则终边在轴右侧， 所以终边在第四象限， 故选：D. 3．已知命题：且，命题：为钝角，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用三角函数值的正负确定角所在的象限，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】命题：且，， 命题：为钝角，， 命题不一定得到命题，命题一定得到命题. 故是的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知角的终边在直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】分和两种情况，结合三角函数的定义求解即可. 【详解】在角的终边上任取一点，则． 当时， 当时， 故答案为： 5．已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义求出，代入所求式计算即得. 【详解】由题意，， 则. 故答案为：. 6．角的终边经过点，且，则 ， ． 【答案】 0或 或1 【分析】根据任意角的三角函数定义计算求参数及正弦值即可. 【详解】由题意，得，解得或， 当时，；当时，． 故答案为：0或；或1. 题型四 正余弦函数值符号的判断 1．（多选）已知，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【分析】分析可得或，利用三角函数值的符号与角的终边的位置的关系判断即可. 【详解】，或， 由得角为第三象限角；由得角为第四象限角． 角为第三或第四象限角． 故选：CD. 2．（多选）已知为第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由角所在的象限确定三角函数的符号. 【详解】因为为第三象限角， 所以，，， 则，，的正负不确定． 故答案为：ABC. 3．判定下列各式的符号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断角的象限，再应用任意角的三角函数正负判断即可； （2）先判断角的象限，再应用任意角的三角函数正负判断即可. 【详解】（1）是第三象限角， ， ． （2），，， 是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角． ，． ． 题型五 诱导公式 1．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义求出的值，再根据诱导公式化简并求值即可． 【详解】因为角的终边经过点，所以， ． 故选：A． 2．的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简求值即可． 【详解】原式． 故选：B． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系，将、转化为、即可求解． 【详解】因为，所以， 所以 ． 故选：D． 4．计算 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 5．已知，且为第四象限角，则 . 【答案】/ 【分析】首先确定所在象限，并根据同角三角函数求出，然后根据诱导公式求解. 【详解】因为，且为第四象限角， 所以是第三象限角， 所以， 所以 ． 故答案为： . 6．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据诱导公式转化求解. 【详解】 ． 7．（1）化简：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系进行切化弦，根据三角函数诱导公式化简，即可得答案； （2）利用诱导公式化简计算即可. 【详解】（1）原式 ． （2） ． 8．化简并求值：（其中）． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简所求式即可. 【详解】 . 题型六 五点作图法的问题 1．已知函数. (1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数的大致图象，要求：列表，描点，连线； (2)若方程在有两个不同的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2)或 【分析】（1）利用五点作图法即可得解； （2）将问题转化为与的图象有两个交点，结合图象即可得解. 【详解】（1）因为， 则列表如下： 所以的图象如图， （2）因为，所以， 又，结合（1）中图象，可知在上的图象如图， 因为方程在有两个不同的实数根， 所以与的图象有两个交点，故或. 2．已知函数． (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数在一个周期内的图象； 0 (2)如何由的图象变换得到的图象？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据五点法整体代换完成表格的填写，再描点法作图即可得答案； （2）方法一：根据三角函数的变换先做平移变换，再对横坐标做伸缩变换，最后再对纵坐标进行伸缩变换即可得答案. 方法二: 根据三角函数的变换先对横坐标做伸缩变换，再做平移变换，最后再对纵坐标进行伸缩变换即可得答案. 【详解】（1）列表如下： 0 0 0 画图如下： （2）方法一  先将的图象向右平移个单位长度，得的图象， 再将曲线上各点的横坐标缩小为原来的，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 方法二  先将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得的图象， 再将曲线向右平移个单位长度，得的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得的图象． 3．已知函数， 0 0 0 0 (1)若， （ⅰ）根据如上表格，直接写出的值； （ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象； (2)若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）图象见解析； (2). 【分析】（1）（i）根据表格数据求；（ii）应用五点法画出函数图象； （2）由题设，讨论在、、取得最小值，分别求出对应参数范围，即可得. 【详解】（1）（ⅰ）由表格，，，； （ⅱ）五点法画出函数图象如下， （2）当时，， 当在取得最小值时，，解得， 当在取得最小值时，，解得， 当分别在取得最小值时，，解得， 综上：的取值范围为. 4．已知函数. (1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数的图象； (2)写出此函数的单调递增区间. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据五点法，列表、描点、连线. （2）由余弦函数的单调性可得. 【详解】（1）按五个关键点列表如下: x 0 1 0 0 1 5 3 1 3 5 描点、连线画出图象（如图）. （2）令，则; 因为函数是增函数，所以当时，函数单调递增，也是单调递增的. 所以，函数的单调递增区间为. 5．已知函数． (1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)求的对称轴与对称中心； (3)当，求函数的值域. 【答案】(1)见解析； (2)对称轴为，对称中心为； (3) 【分析】（1）用五点法，列表，描点，连线，作函数在一个周期上的简图； （2）令，可得对称轴，令，可得对称中心； （3）由，得，由三角函数性质可得的值域. 【详解】（1）列表 0 函数图像如图所示 （2）令，得对称轴：， 令，得，所以对称中心为； （3）由，得， 当，即时，； 当，即时，. 所以的值域为. 题型七 三角函数定义域问题 1．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 2．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，列出使函数有意义的不等式，求解可得. 【详解】要使函数有意义，需使 所以 所以，即函数的定义域为． 故答案为：. 3．已知，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数型函数定义域求法结合三角函数图象求解即可. 【详解】要使函数有意义，则必有，即， 结合正弦函数的图象及可知，， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 4．求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据余弦函数的性质即可得解； （2）解不等式即可得解； （3）根据余弦函数的性质即可求解； （4）根据对数函数性质，解不等式即可得解. 【详解】（1）由知定义域为． （2）要使函数有意义，则，即，解得， 所以函数的定义域为． （3）因为，所以，所以函数定义域为． （4）要使函数有意义，则，解得， 所以函数定义域为 题型八 三角函数的周期问题 1．函数的周期、振幅、初相分别是（   ） A．，， B．，， C．，2， D．，2， 【答案】D 【分析】，由周期公式可求周期，由振幅、初相的定义可求解. 【详解】，故函数的周期为，振幅为，初相是. 故选：D 2．下列函数中，周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的周期公式逐项求出周期即可判断得解. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A不是； 对于B，函数的最小正周期为，B不是； 对于C，函数的最小正周期为，C是； 对于D，函数的最小正周期为，D不是. 故选：C 3．函数的周期、振幅、初相分别是（   ） A．，， B．，， C．，2， D．，2， 【答案】D 【分析】利用函数的解析式直接得函数的周期、振幅、初相. 【详解】， 所以周期为，振幅为2，初相为， 故选：D 4．设是定义在实数集上的周期函数，则“的最小周期为1”是“”的（   ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 【答案】B 【分析】利用周期的定义即可得充分性，当时，即可验证必要性. 【详解】由的最小周期为1可得，即， 所以“的最小周期为1” ， 当时，，但的最小正周期是2， 所以推不出“的最小周期为1”，所以“的最小周期为1”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 5．已知是周期为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的周期性可得，再根据函数的奇偶性可得，代入条件中的关系式即可求解. 【详解】因为是周期为的函数，所以. 又是奇函数，所以，即. 又当时，，所以. 故选：C. 6．若的最小正周期为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的正弦函数值进行求解即可. 【详解】因为的最小正周期为， 所以，即， 所以. 故选：A 7．函数的最小正周期为 ， ． 【答案】 / 0 【分析】利用最小正周期公式计算即可求得其最小正周期，直接代入计算可得函数值. 【详解】由函数可知其最小正周期为； 所以； 故答案为：；0 题型九 三角函数的奇偶性与对称问题 1．若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用图象变换得出解析式，再根据余弦型函数的性质可得. 【详解】平移后的图象对应的函数为. 因为是奇函数，所以， 即，又，所以. 故选：D 2．已知是偶函数，则（　　） A．2 B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性运算，结合正弦函数奇偶性求出值. 【详解】函数是R上的偶函数，而是奇函数， 则函数是奇函数，，解得，此时是奇函数， 所以. 故选：D 3．已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，结合可得出的值. 【详解】因为函数是偶函数，则， 所以，又因为，故， 故选：D. 4．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】构造新函数，利用奇函数的性质即可求得的值. 【详解】定义域为，令， 则， ∴是上的奇函数， ∴， 即， 故选：A． 5．已知函数满足：，函数，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】通过求来求得正确答案. 【详解】依题意， 所以 所以. 故选：B 6．设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数的性质可得，结合，即可得出答案. 【详解】依题意，又其为偶函数， 则图像关于轴对称，则， 得，又，则或. 故选：B 7．已知函数（）的最小正周期为，点是其图象的一个对称中心，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的周期性与对称性结合题目条件即可求出的最小值. 【详解】由，得，令，则，容易验证当时，最小，此时. 故选：A 8．若函数的一个对称中心为，则函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正余弦函数的图象及性质判断即可. 【详解】结合正余弦函数的图象可知， 的对称中心和的对称轴在一条直线上， 所以若的对称中心为， 则函数的一条对称轴为． 故选：B. 9．已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合余弦函数的对称轴可得函数的对称轴为，进而结合题设得到，进而求解即可. 【详解】因为函数的对称轴为， 则函数的对称轴为， 当时，， 因为函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴， 所以，解得， 则的取值范围是. 故选：A 10．记函数的最小正周期为，若，且的图像关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据题意，求得，再由的图像关于点中心对称，得到，且，结合三角函数的性质，求得，进而求得的值． 【详解】因为函数的最小正周期为，且， 可得， 又因为函数的图像关于点中心对称，可得，且， 所以，即，可得， 解得，由，可得，，即， 所以． 故选：A. 11．（多选）若函数的图像向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度后，它的一条对称轴是直线，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】求出函数平移后的解析式，然后利用它的对称轴方程，即可求出的可能值． 【详解】函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位后， 得到函数的图象，因为它的一条对称轴是， 所以，即 当时，，满足题意；当时，，满足题意． 故选：BD． 12．若为偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义列出等式并化简，然后根据的范围求出其值即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 即，由题意得， 所以化简得. 所以，展开得. 即，因为该等式对于定义域内的任意恒成立，所以. 又，所以. 故答案为：. 13．已知函数，将曲线向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据三角函数图象平移规律，得到平移后的函数解析式，再结合三角函数的奇偶性判断，得到关于的表达式，最后根据的取值范围确定其最小值. 【详解】将曲线向左平移个单位长度后，所得曲线解析式为：， 因为的图象关于原点对称，所以，即， 因为，所以当时，取得最小值. 故答案为： 14．函数的图象的对称中心和对称轴方程分别为 ． 【答案】；，． 【分析】利用正弦型函数的图象和性质，结合对称轴和对称中心的概念求解． 【详解】令，， 则，， 的对称中心为； 令，，解得，， 的对称轴方程为，． 故答案为：；，． 15．已知，则在上所有根的和为 . 【答案】60 【分析】首先确定两个函数的相同的对称中心，再根据两个函数图象的交点个数，以及交点的对称性，即可求解. 【详解】因为， 所以的图象关于点对称，而函数的图象也关于对称， 在同一直角坐标系内作出两函数的图象，如图所示： 由图象可知这两个函数图象上有10个交点，即共有5对关于对称的点， 所以方程在上所有根的和为． 故答案为： 16．已知函数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数的对称性可知为的对称中心，结合余弦函数的性质计算即可. 【详解】因为，可知为的对称中心， 则，可得， 解得， 且，可知：当时，取到最小值. 故答案为： 17．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)． 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，结合诱导公式判断即可； （2）根据函数奇偶性的定义，结合诱导公式判断即可. 【详解】（1）根据已知，，定义域为，关于原点对称． 所以， 所以是偶函数． （2）根据已知，，定义域为，关于原点对称． 所以， 所以为奇函数． 题型十 三角函数的单调性与最值问题 1．已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数经过的点确定的值，然后由的范围结合正弦函数的单调性求解. 【详解】由条件，因为，则， 又在上单调递增，于是， 则，解得. 故选：A. 2．关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系式和二次函数的性质计算即可. 【详解】因为， 所以. 因为，所以. 故选：A． 3．已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得函数的最小正周期，结合正弦函数的性质求得最大值点和最小值点满足的条件，再对四个选项一一判断检验，即得答案. 【详解】由题意可得函数的最小正周期为， 最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值1又有最小值， 且区间的长度为8， 对于A，若，当时，最大值点为， 最小值点为， 由于，满足要求； 对于B，若，当时，最大值点为， 最小值点为， 由于，满足要求； 对于C，若，当时，最大值点为， 最小值点为， 由于，满足要求； 对于D，若，当时，最大值点为， 最小值点为，当时，最大值点为2038， 显然，内只包含最小值点，不包含最大值点，不满足要求. 故选：D 4．已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合周期公式列不等式确定，再求出函数在上存在最值时的的范围，从而在范围内去掉这些范围，即可得答案. 【详解】由题意得，在区间上不存在最值， 若，则区间的长度大于函数半个周期，此时函数在区间内必然存在最值，故必有， 又函数的最值满足，即， 若，则， 因为，故，则时，， 时，，结合得， 由于在区间上不存在最值， 故在的范围内去除和， 则， 故选：D 5．（多选）已知，函数在上单调递减，则的取值可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，即可根据函数图像的平移求解. 【详解】当，时，， 由于在上单调递减，故应有， 故，且， 解得，故只能为0，则． 故选：ACD 6．已知函数，，则函数的单调递增区间为 ；函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用整体代入法求函数的单调递增区间；由，有，结合正弦函数的性质求的值域. 【详解】令，解得， 故，令，解得， 故函数的单调递增区间为． 因为，所以， 所以，故函数的值域为． 故答案为：； 7．已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调性列出参数的不等式，求出不等式的解集. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 8．函数（）的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合正弦函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，，令， ， 设，该二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，当时，函数有最大值， 即时，取得最大值． 故答案为： 9．求函数的单调递增区间． 【答案】 【分析】结合余弦型函数的单调性求解即可. 【详解】． 由，解得， 所以函数的单调递增区间为． 10．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的值域； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式，辅助角公式化简，再用公式求周期；利用复合函数的单调性求单调增区间. （2）求出的范围，再结合正弦函数的图象即可求出该函数的值域. 【详解】（1），所以 ，解得， 所以的单调递增区间是 （2）若则当时取得最小值，当时取得最大值，所以，，故函数的值域为. 11．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用二倍角及和角的正弦公式将条件化简为，即可求出其周期及单调区间； （2）通过换元法，分析函数在指定区间上的单调性，结合函数图象，找出使得方程有两个不同实数解的取值范围； 【详解】（1）因为 ， 所以，所以的最小正周期为； 令， 解得， 所以的单调递增区间为； （2）当时，. 设，则.      因为在上单调递增，从递增到1，； 在上单调递减，从1递减到，. 所以要使方程在区间上有两个不同的实数解， 须满足，即， 所以实数a的取值范围为； 12．已知函数． (1)判断的奇偶性及最小正周期； (2)令，，求的最值． 【答案】(1)偶函数， (2)， 【分析】（1）利用诱导公式化简，利用奇偶性的定义和最小正周期的公式求解. （2）利用求出，利用的范围求出的范围，结合余弦函数的图像和性质求出最值. 【详解】（1） ， 故 ， 又函数的定义域为，关于原点对称， 则为偶函数，． （2）． ， ， ， ， ， ，． 13．求函数，的值域． 【答案】 【分析】将函数变形为关于的二次函数，应用复合函数求值域的方法求解即可. 【详解】因为． 因为， 所以． 从而当，即时，； 当，即时，． 所以函数值域为． 题型十一 三角函数图象变换的问题 1．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图像的平移变换和伸缩变换得出结论. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象， 再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得的图象. 故选：A. 2．函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出平移后的解析式，再根据余弦函数的对称性即可得到，解出即可. 【详解】向左平移后解析式为， 若其图象关于轴对称，则， 则，又因为，则当时，取得最小值，为. 故选：C. 3．要得到函数的图像，可由函数的图像经伸缩平移变换而成，则下列变换方式中正确的是（    ） A．先将所有点的横坐标缩少为原来的（纵坐标不变），再将图像向右平移个单位 B．先将所有点的横坐标缩少为原来的（纵坐标不变），再将图像向右平移个单位 C．先将所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），再将图像向左平移个单位 D．先将所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），再将图像向右平移个单位 【答案】C 【分析】根据先伸缩，再平移的变换规律，即可判断. 【详解】函数的图像所有的点的横坐标扩大到原来的2倍，（纵坐标不变）得，再将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数. 故选：C 4．为得到的图象，只要把的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 【答案】C 【分析】根据平移变换和伸缩变换推理判断即可. 【详解】把的图象上所有的点先向右平移个单位长度，得， 再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得. 故选：C 5．（多选）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称 【答案】AC 【分析】求出函数的解析式，再逐一判断即可. 【详解】由题意可得， 对于A，由题意可得，故A正确； 对于B，当时，， 因为函数在上不单调， 所以在上不单调，故B错误； 对于C，令，得， 当时，，故C正确； 对于D，因为关于中心对称， 所以关于中心对称，故D错误. 故选：AC. 6．（多选）若函数，为了得到函数的图象，下面有四种变换：①先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度；②先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；③先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；④先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度.则只需将的图象（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AC 【分析】先利用诱导公式将转换成正弦函数的形式，然后根据伸缩和平移变换即可得到答案. 【详解】由于函数， 为了得到函数的图象，则只需将的图象，先横坐标伸长为原来的2倍得到，再向右平移个单位长度得到图象，即①正确； 或先将的图象向右平移个单位长度得到的图象，再横坐标伸长为原来的2倍得到图象，即③正确； 故选：AC. 7．（多选）为得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移 【答案】BC 【分析】利用平移知识逐项计算即可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，将函数的图象向右平移，可得，故A错误； 对于B，将函数的图象向左平移，可得，故B正确； 对于C，将函数的图象向右平移，可得，故C正确； 对于D，将函数的图象向左平移，可得，故D错误. 故选：BC. 8．请用“五点法”画函数在内的图象. (1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点. (2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？ (3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值. 【答案】(1)单调增区间为：，，单调递减区间为：，零点为，，； (2)答案见解析； (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据“五点法”画出函数图象，由图象可得单调区间，零点； （2）根据平移伸缩变换的概念直接求解即可； （3）由得，令，得，，结合三角函数性质求解即可. 【详解】（1）由得，即函数在内为一个完整周期的图象， 列表如下： 其函数图象如下： 由图象，函数在定义域上的单调增区间为，，单调递减区间为， 函数在定义域上的零点为，，； （2）将函数的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得， 再将函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得， 再将函数的图象向右平移个单位长度可得的图象； （3）因为，所以， 令，即，， 所以，当时，由最大值为，此时， 当时，由最小值为，此时， 综上：当时，；当时，. 题型十二 求解析式的问题 1．已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的图象求出函数的解析式，再利用三角函数图象变换可得出函数的解析式. 【详解】由图可知函数的最小正周期满足， 所以最小正周期，故， 将最低点代入可得，即， 所以，可得 又，所以，所以， 将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可知． 故选：D. 2．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由周期性及零点进行求解三角问题． 【详解】由，得， ，且在附近单调递减， 则，由于， 得， 故选：B 3．已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据图象可得，从而得出，再根据及，可求出的值，从而得出，将代入函数式即可求出的值. 【详解】由图可知，的最小正周期为， 所以，解得，所以， 又， 所以，解得，取，得， 则，所以． 故选：D 4．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，，，再待定系数求解即可. 【详解】由题知，周期满足， 所以，解得， 又因为，即 所以，即 又，所以， 所以. 故选：D 5．已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的性质求出周期，得到，然后根据最值得出，求出其解析式，得出答案. 【详解】因为直线和为函数的图象的两条相邻对称轴， 所以，且，则， 又在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值，则， 则，不妨取，则， 则， 所以 故选：D. 6．设函数（且）满足以下条件：①，均有；②，，且，则关于x的不等式的最小正整数解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题干条件得到，，，进而解不等式得到，进而解不等式即可求解. 【详解】由①得，，则，（1） 由②得：，则，（2） 且，即， 联立（1）（2）得：， 因为，所以， 解得：，，所以，则， 将代入得：， 因为，所以，则， 即， 由，得， 则，即， 则或 解得或， 则的最小正整数为1. 故选：A 7．已知函数在区间上单调递减，直线为曲线的一条对称轴，点为曲线的一个对称中心，则在区间上的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合五点法作图求出函数的解析式，再求出指定区间上的最大值. 【详解】函数的最小正周期，由函数在上单调递减， 得，则，直线与点分别为曲线的一条对称轴和一个对称中心， 而，则，因此，，， 由，得，而，则， 因此，由，得， 则当，即时，取得最大值， 所以在区间上的最大值为. 故选：C 题型十三 三角函数性质综合运用 1．函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（    ）    A． B． C．为的一条对称轴 D．若，则为奇数 【答案】D 【分析】对A，根据图像上两个零点间的距离求出周期，进而得出判断；对B，由图象过点，结合图象在该点附近的单调性求解判断；对C，将代入验证判断；对D，由，解得，可知为奇数. 【详解】对于A：由图，，所以，，A错误； 对于B：图象过点，可得，可得， 解得，B错误； 对于C：由上可知，因为， 所以不是的一条对称轴，C错误； 对于D：若，即，可得，解得， 因为是偶数，是奇数，所以为奇数，D正确. 故选：D. 2．已知函数，则下列结论错误的是（     ） A．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．在区间上单调递减 【答案】D 【分析】对于A，由图象平移变换可判断选项正误；对于B，根据余弦型函数的对称性可判断选项正误；对于C，将代入，验证是否为，即可判断选项正误；对于D，由余弦函数单调性可判断选项正误． 【详解】对于A，的图像向左平移可得，故 A正确； 对于B，时，，函数关于直线对称，所以的图象关于直线对称，故 B正确； 对于C，将代入，则，故 C正确； 对于D，，因为函数在上单调递减， 在上单调递增，故在区间上不单调递减，故 D错误. 故选：D． 3．已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，给出下列判断： ①. ②函数为偶函数. ③函数在区间上只有一个零点. ④函数在区间上的最大值为. 其中，判断正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据所给条件，结合余弦函数的周期、对称轴、中心、单调性求出可判断①②，再由函数解析式及余弦型函数的性质，判断③④. 【详解】因为为的一条对称轴，是的一个对称中心， 又因为在上单调递减，所以， 所以，故①正确； 所以，因为是的一条对称轴， 所以，所以，又，所以， 所以， 所以，是偶函数，故②正确； 当时，，所以有且只有当时，即时，函数在区间上只有一个零点，故③正确； 当时，，所以由余弦函数的单调性知，当时，，故④正确. 故选：D 4．已知函数，下列命题： ① ②函数为奇函数 ③若，则或， ④若（）在区间上恰有3个零点，则 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】计算的值，并结合三角函数的值域可判断①；利用奇函数满足的性质可判断②；解三角函数方程可判断③；求出的零点，利用第三个零点在内，第四个不在可得答案. 【详解】函数 的分析如下： 对于① ：，而 的最大值为 1，因此不等式恒成立，命题为真； 对于②：，计算 ，不是奇函数，命题为假； 对于③：由，得： ， 则 或 ，， 解得 或 ，，命题为真； 对于④：， 零点满足 ，解得 . 由 时恰有 3 个零点，得：第三个零点应小于等于，第四个零点应大于， 即， 解得 ，命题为真. 综上，真命题为①、③、④，共 3 个. 故选：C 5．函数的图象如图，则下列有关性质的描述正确的是（    ） A． B．，为函数的对称轴 C．向右移后的函数为偶函数 D．函数的单调递减区间为， 【答案】D 【分析】根据函数的图象，求出函数的解析式，再逐项判断. 【详解】由图象知：，，则，， ，因为在图象上，则， 所以，则，又， 则，所以， 令，解得， 所以的对称轴方程为：， 向右移后得到函数， 令，解得， 所以的单调递减区间为， 故选：D 6．关于函数，下列选项正确的是（   ） A．函数最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．表达式可写成 【答案】B 【分析】根据周期公式判断A；根据是否为最值判断B；求出，结合正弦函数的单调性判断C；利用诱导公式化为同名函数即可判断D. 【详解】对于A：最小正周期为，故A错误； 对于B：， 则的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：若，则， 因为正弦函数在上不具有单调性， 所以在上不具有单调性，故C错误； 对于D：，故D错误. 故选：B 7．已知函数（）的一个零点为，一条对称轴为，，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】结合三角函数的性质求解即可. 【详解】由题意可知，，，所以，，即，. 又，所以，，所以，. 因为，所以当时，取得最小值：. 故选：B. 8．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．的对称中心为 B．当时， C．的单调递减区间为 D．若，且，则 【答案】D 【分析】对于A，根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，根据正弦函数的对称性可判断A；对于B，由的范围求的范围，再结合正弦函数性质求的范围可判断B；对于C，根据正弦函数的单调性求函数的单调递减区间判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】对于A，已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，，又， 则，则， 令，，可得，， 所以函数的对称中心为，故A错误； 对于B，由，可得， 所以，所以， 当时，，当时，，B错误； 对于C，由，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，C错误； 对于D，因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象， 可知， 则，则，故D正确. 故选：D 9．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递减 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【答案】B 【分析】根据图象得到解析式，根据三角函数图象变换和三角函数性质逐项验证. 【详解】由图，，因为过点，所以， 结合图象的单调性可得，又，所以， 又过点，所以， 结合五点作图法可得，解得， 所以. 对于A：由的图象向左平移个单位得到，A错误； 对于B：由得，令， 因为在单调递减，所以在单调递减，B正确； 对于C：因为，所以图象不关于直线对称，C错误； 对于D：因为， 所以不是的对称中心，D错误； 故选：B. 题型十四 正切函数的相关问题 1．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由正切函数的性质及充分必要条件的概念判断即可. 【详解】∵，∴，∴或， ∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．定义域是 B．是定义域上的增函数 C．图象的对称轴是 D．是奇函数 【答案】D 【分析】根据正切函数的图像与性质，逐项判断即可. 【详解】函数的定义域是，故A错误 因为，所以函数在定义域上的不是增函数，故B错误； 函数的图像没有对称轴，故C错误； 函数是奇函数，故D正确. 故选：D. 3．函数的单调递增区间是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】解不等式，，可得出函数的递增区间. 【详解】因为正切函数的单调递增区间为，， 对于函数，由，， 解得，， 故函数的单调递增区间是，， 故选：B. 4．关于函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数图象关于点中心对称 C．函数的定义域为 D．函数的单调递增区间为 【答案】C 【分析】由正切函数最小正周期公式求解判断A；根据正切函数的对称中心求解判断B； 根据正切函数定义域列式求解判断C；根据正切函数的单调性求解判断D. 【详解】选项A，由，可知函数的最小正周期，故错误； 选项B，令，解得， 故对称中心为， 若点为中心对称，则，解得，故错误； 选项C，令，解得， 所以函数的定义域为，故正确； 选项D，令， 解得函数增区间为，故错误， 故选：C. 5．已知函数，使成立的x的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的定义域及单调性求解. 【详解】由，得， 所以，所以，即. 所以使成立的x的取值集合是. 故选：B. 6．关于函数，有以下命题，正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数的定义域是 C．是奇函数 D．的一个单调递增区间为 【答案】A 【分析】利用正切型函数的周期公式可判断A选项；解不等式可判断B选项；利用正切型函数的奇偶性可判断C选项；利用正切型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期是，A对； 对于B选项，由可得， 故函数的定义域是，B错； 对于C选项，是非奇非偶函数，C错； 对于D选项，当时，， 所以函数在区间上不单调，D错. 故选：A. 7．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向左平移个单位长度， 可得，若图象关于原点对称， 则满足，得， 因为，故当时，取得最小值， 故选：C. 8．已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ） A． B．的图象与轴的交点坐标为 C． D．函数的图象关于点对称 【答案】A 【分析】根据图象求出最小正周期，即可判断C，再由图代入相关对称点坐标即可得到，则判断A；再计算即可判断B；最后利用代入验证法即可判断D. 【详解】对C，由图知函数的最小正周期，则，解得，故C正确； 则，由，可得， 又因为，则，故A错误； 对B，由A知，则，故B正确； 对D，因为函数的对称中心， 而，则函数关于点对称，故D正确 故选：A. 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的最小正周期为 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据正切函数的性质求解即可. 【详解】对于选项，令，解得，故错误； 对于选项，最小正周期，故错误； 对于选项，，因为， 所以；， 因此，故错误； 对于选项，令，解得，此时， 所以函数图象关于点对称，当时，对称中心为，故正确. 故选： 10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】D 【分析】根据正切函数的性质和图象逐项计算判断即可. 【详解】由图可知，的最小正周期，则，A错误； 由图象可知时，函数无意义，故， 由，得，即，则， 即的图象与轴的交点坐标为，B，C错误； 由于，则的图象关于点对称， 可得函数的图象关于直线对称． 故选：D. 题型十五 比较大小的问题 1．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦和正切函数在单调性判断即可. 【详解】根据题意可知，，， 根据诱导公式，则，函数在上单调递增， 故，在上单调递增， 则，故. 故选：B. 2．下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的诱导公式及正弦函数和正切函数的单调性可得， 【详解】对于A，正弦函数在上单调递增，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C ，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：A 3．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦函数、余弦函数、指数函数的单调性求得与的大小关系，从而得到的大小关系. 【详解】由，得，即； 由，得，即； 又， 所以. 故选：C. 4．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为为第二象限角，所以，， 幂函数在上为减函数，所以， 对数函数在上为增函数，所以，故. 故选：B. 5．设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过将与作比较，确定的范围，进而比较其大小. 【详解】因为，所以； 因为，所以，. 所以. 所以，即. 故选：B. 题型十六 三角函数应用问题 1．筒车作为我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图甲，将筒车抽象为一个几何图形（圆），如图乙，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 D．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 【答案】D 【分析】A根据周期求；B利用当时，可求；C结合正弦函数解不等式即可；D解方程即可. 【详解】对于A，，得，A错误； 对于B，依题意,得， 则， 由时，得，即， 而，则，B错误； 对于C，由，得， 则，，解得，， 所以盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒，C错误； 对于D， 令，即， 因为，所以，则，得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，D正确. 故选：D． 2．根据预报数据，某港口某一天的水深（单位：）与时间（单位：）的关系可以用函数来近似描述．现有一艘货船准备在这天4：00进入港口并及时卸货，已知该船空船时的吃水深度（船底与水面的距离）为，在卸货过程中，其吃水深度以的速度减少，且安全间隙（船底与海底的距离）为．若要保证该船能在当天安全驶出港口，则其卸货前的吃水最大深度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出水深与卸货前的吃水深度的函数关系，由已知结合函数图象，利用导数的几何意义求解并判断即可. 【详解】依题意，该船空船时不受水深影响，设卸货前的吃水深度为，在时的安全水深为， 则，令，求导得， 如图， 当直线与曲线相切时，达到最大值， 此时，则，由，得，解得或， 当时，，，解得，而，不符合题意； 当时，，，解得，符合题意， 所以其卸货前的吃水最大深度约为. 故选：C 3．图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据筒车的半径及轴心距水面的高度可得的值，再由每分钟转圈可得函数的，再由可得结果. 【详解】因为筒车按逆时针方向每分钟转圈，所以（s）,. 再由筒车的轴心O距水面的高度为，所以（m）. 又因为筒车的半径为2m，所以 （m），所以. 又因为以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，所以， 即，得且，所以. 故选：A. 4．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ）    A．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 【答案】C 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，， 所以，解得， 因为，所以， 则， 当时，，所以，则， 又，则， 综上，，故A正确； 令，则， 令，得秒，故B正确； 当秒时，米，故C错误； 当秒时，米，故D正确. 故选：C. 5．已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数的图象性质求出解析式. 【详解】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动， 在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为， 因此点的纵坐标， 所以点离地面的高度. 故选：B 基础巩固通关测 1．若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 【答案】D 【分析】根据第二象限角的范围，求出，再分类讨论得出象限即可. 【详解】，， ，， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第四象限角. 故选：D. 2．若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的定义求解即可. 【详解】因为，所以. 因为分针是顺时针旋转， 所以在2小时40分钟内，分针转过的角度为， 故选：D. 3．将改写成的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用角度制与弧度制的互化公式，即可求解. 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得． 故选：D. 4．已知扇形的周长为10cm，圆心角为3rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，得，解出,利用扇形的面积公式求解即可. 【详解】由题意，得，解得 故． 故选：A 5．有一块半径为1 cm的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上，则该等腰梯形的周长最大时，上底所对圆弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则.将等腰梯形的周长表示为的函数，求得其最大值，及取最大值时的，从而求得上底所对应的圆心角，利用弧长公式可得. 【详解】如图所示，设，则. 过点作垂直于点，则，. 所以， . 所以该等腰梯形的周长为. 当，即，时，周长取得最大值，最大值为. 此时，. 上底所对的圆弧长为. 故选：B. 6．已知角的终边与单位圆交于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义来求解的值. 【详解】在平面直角坐标系中，由的定义可得： ， 根据题意可得：， 所以. 故选：B. 7．若角的终边上有一点，且，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】由任意角的三角函数定义即可求解. 【详解】由题意得， 即，解得或（舍去）， 故选：C. 8．已知点在角的终边上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义求解即得. 【详解】点在角的终边上，且，得， 解得，所以. 故选：B 9．“点在第三象限”是“角为第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用三角函数符号，可确定象限角，从而可得到判断. 【详解】由点在第三象限，可知，所以角为第四象限角， 即“点在第三象限”是“角为第四象限角”的充分条件， 再由角为第四象限角，可知，即点在第三象限， 所以“点在第三象限”是“角为第四象限角”的充要条件， 故选：C 10．“角θ是第四象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得且，是第三、四象限角，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】由可得：且， 所以是第三或第四象限角， 所以“角θ是第四象限角”能推出“”， “”不能推出“角θ是第四象限角”， 所以“角θ是第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 11．若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】D 【分析】先判断三角函数值的符号，即可得到是第四象限的角 【详解】由，得或，又， 所以，即角是第四象限的角. 故选:D. 12．函数，是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 【答案】C 【分析】由周期公式和奇偶性的定义即可判断. 【详解】由周期公式可得的最小正周期是， 又，是偶函数. 故选：C 13．（多选）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．的最大值为2 D．的最小值为0 【答案】ACD 【分析】利用偶函数定义可判断A正确，代入检验可知不是的最小正周期，故B不正确；对的正负进行分类讨论，可判断CD正确. 【详解】因为，的定义域为， 所以是偶函数，故A正确； 因为， 所以不是的最小正周期，故B不正确； 当时，，当时，， 所以的最大值为2，最小值为0，故C、D均正确． 故选：ACD． 14．（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数在单调递减 C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】根据正弦型函数图象的性质，结合正弦型函数的最小正周期公式、单调性、对称性逐一判断即可. 【详解】由函数图象可知：，所以选项A正确； 函数的最小正周期为，所以选项C正确； 因为，所以，即， 因为， 因为，所以令，，即， 当时，，显然不是的子集， 所以函数在上不是单调递减的，因此选项B不正确； 因为为函数的最小值， 所以函数的图象关于直线对称，因此选项D说法正确. 故选：ACD 15．（多选）已知函数的最小正周期为，且，则（   ） A． B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】AC 【分析】利用题意求得函数的解析式，进而逐项计算判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 又，所以， 所以，所以， 解得或， 又，所以，故A正确； 所以， 当，所以， 所以在区间上单调递增，故B错误； 又，故C正确； 又， 所以不是函数图像的对称轴，故D错误. 故选：AC. 16．（多选）已知函数的部分图像如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【分析】先确定，再结合正弦型函数的性质及平移变换逐项判断即可． 【详解】如图，， 由对称性可知，阴影部分的面积等于矩形的面积，即， 解得，函数的最小正周期为，故A正确； ，解得，又函数过点， ，解得， ，， 则，又，为最小值， 所以为函数的一个对称轴，故B正确； 要得到函数，需将函数向右平移个单位长度，故C错误； ，， 因为在上单调递增，且， 所以函数在区间上单调递增，故D正确． 故选：ABD． 17．（多选）已知函数的最小正周期为，则下列叙述中正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称 D．函数在区间上的最大值为 【答案】CD 【分析】根据周期求出解析式，根据是否为最值判断A；求出的范围，结合余弦函数的单调性求出单调性和最值判断BD；利用变换得出解析式判断其奇偶性即可判断C. 【详解】由题意知，则，． ，不是最值，故直线不是图象的对称轴，A错误； ，， 当，即时，单调递减； 当，即时，单调递增，故B错误； 由选项B可知，在上递减，在上递增， 因为，， 所以在上的最大值为，D正确； 的图象向右平移个单位长度后得到图象的函数解析式为 ，是奇函数， 其图象关于原点对称，C正确． 故选：CD 18．（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，关于所得的图象，下列说法不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用平移变换得出解析式，利用正弦函数的单调性逐一判断. 【详解】的图象向右平移个单位长度得到 . 令得，， 则的增区间为 令得其中一个增区间为，故A不正确，B正确； 若，则， 因为正弦函数在上不具有单调性， 所以在上不具有单调性，故C、D不正确. 故选：ACD 19．（多选）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．图象关于点成中心对称 B．图象关于直线成轴对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】利用正切型函数的对称性可判断AB选项；利用正切型函数的单调性可判断CD选项. 【详解】对于AB选项，因为，故函数的图象关于点成中心对称， 该函数的图象不关于直线成轴对称，A对B错； 对于C选项，当时，， 所以函数在区间上不单调，C错； 对于D选项，当时，， 所以函数在区间上单调递增，D对. 故选：AD. 20．（多选）下列函数中，最小正周期为的偶函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的图象性质逐项判断得解. 【详解】对于A，函数是偶函数，且最小正周期为，A是； 对于B，函数是偶函数，且最小正周期为，B是； 对于C，函数不具有周期性，C不是； 对于D，函数是偶函数，且最小正周期为，D是. 故选：ABD 21．若角的终边经过点，则 ， ， ． 【答案】 【分析】根据三角函数定义求解. 【详解】因为，，所以， 则，，． 故答案为：①；②；③. 22．函数距离轴最近的对称中心为 ． 【答案】 【分析】结合正切函数的图象求出其对称中心坐标，再结合距离轴最近计算即得. 【详解】因， 由可得，即函数的对称中心为， 故当时，点为函数距离轴最近的对称中心. 故答案为： 23．（1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）、；（2） 【分析】（1）根据题意可得，结合任意角三角函数的定义运算求解即可； （2）根据题意利用诱导公式结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】（1）因为角终边上一点，则， 所以、； （2）因为， 所以 . 24．求下列各式的值： (1)已知，且，求的值． (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由诱导公式化简题设得到，进而求出即可求解； （2）先由诱导公式化简题设得到，进而求出、，再由诱导公式即可计算求解. 【详解】（1），， 又因为，所以，，故． （2）因为，所以， 又，所以，， 所以． 25．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即得； （2）利用诱导公式化简计算即得. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 26．函数（，）的部分图象如图所示， (1)求函数的解析式; (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，求满足不等式的解集. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式. （2）利用函数图象变换求得，再利用正弦函数性质求解不等式. 【详解】（1）由函数的图象，得，的最小正周期， 由，得，由，得，而，则， 所以函数的解析式为. （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得， 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得， 由，得，则，， 所以不等式的解集为. 27．将的图象怎样变换可得到函数的图象？ 【答案】答案见解析 【分析】利用先伸缩再平移变换即可得解. 【详解】分两步完成： 第一步：把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象； 第二步：将所得图象沿x轴向左平移个单位，即得的图象． 28．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集； (3)将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合表格中的点代入求解即可. （2）结合正弦型函数的图形求解即可. （3）根据函数图象的平移得到的图象，结合求出的对称中心，得到的代数式，进而求出最小值. 【详解】（1）由题意知，解得，， 又，解得， 所以. （2）由，得，所以， 解得， 即不等式的解集为. （3）将的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 因为，所以的图象关于中心对称， 所以，解得， 因为，所以当时，此时取得最小值为. 29．用“五点法”画函数在一个周期内的图象时，列表如下： 0 0 2 0 0 (1)求，，的值及函数的解析式； (2)已知函数，若函数在区间上是增函数，求实数a的最大值． 【答案】(1)，，， (2)． 【分析】（1）根据表中数据可求解即可代入求解， （2）根据正弦函数的单调性得，即可列不等式求解. 【详解】（1）由可得 由，，， 可得，，， 由题表可知， ． （2）， 当时，， 在上是增函数，， ， ． ，且， ，又，， ，∴实数a的最大值为． 30．若函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将图象上的所有点先向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到函数的图象： （i）求的解析式； （ii）已知，若在上的最大值为，最小值为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）1 【分析】（1）根据图象可求最值，周期，特殊点可求解析式； （2）（i）根据图象变换可得；（ii）根据所给区间可求的表达式，结合三角函数知识可求最大值. 【详解】（1）由图可知，,周期为，所以， 因为图象经过点，所以，， 即，，因为，所以， 所以. （2）（i）将图象上的所有点先向右平移个单位长度得到解析式为， 再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到的解析式为 （ii）因为在单调递增，当时，； 所以， ， 因为，所以，所以， 即的最大值为1. 能力提升进阶练 1．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．5 【答案】B 【分析】通过辅助角公式变形解析式，函数的单调性，建立方程组求解. 【详解】， 令，，当时，， 由于在区间上单调递减，所以， 即解得，所以或． 当时，，不符合题意； 当时，满足．故． 故选： 2．已知函数在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的性质并结合题意得到，再求出取得的最大值的横坐标，建立不等式组得到，最后确定即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以，，而令，解得， 结合，可得， 由正弦函数的性质得的最大值为2， 令，得到， 则在上取得的第一个最大值的横坐标为， 而取得的第二个最大值的横坐标为， 可得，解得， 综上所述，得到，即，故D正确. 故选：D 3．已知函数（）在区间上单调，且满足，若函数在上有且仅有4个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上单调求出，再根据得到函数在时取最值，再根据函数在上有且仅有4个零点，结合正弦函数图象列出不等式，求出，进而求出的取值范围. 【详解】设函数（）的最小正周期为， 因为在上单调，所以，即； 又因为，且， 所以函数关于直线对称， 所以函数在时取最值（最大值或最小值）， 又因为函数在上有且仅有4个零点， 则有，即， 又因为，所以，即，解得， 则的取值范围为. 故选：D 4．设函数，已知，且在区间上无零点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】利用正弦函数的性质结合已知条件求出，再利用函数在区间内无零点求出的范围，最后利用正弦函数单调性求最大值． 【详解】，所以， 在区间上无零点，则，解得， ，，令，则， 在上单调递增， ． 故选：D． 5．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，结合题意可知该函数为奇函数，利用奇函数的性质列式，化简求值，即得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得的图象对应的函数为， 由题意知的图象关于原点对称，即函数为奇函数， 故， 即， 故， 即， 因为，故当时，m取最小值. 另解：由题意知的图象关于原点对称， 故，即， 因为，故当时，m取最小值， 故选：A 6．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若，恰存在三个不同的实数，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平移得出，再求出，结合三个不同的实数使得结合正弦函数性质得出参数范围. 【详解】由题意得，， 当时，，则， 因为恰存在三个实数，使得， 则对任意，方程在上恰有三个不同的实数解， 结合的性质可知，要满足此条件，区间必须恰好覆盖前三个解， 故的取值需满足第三个解存在而第四个解不存在， 因此，自变量的终点必须满足， 解得. 故选：D． 7．记函数，其中，若在恰有两个零点，且，则函数在上的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点个数得，再根据，结合三角函数的图象与性质，求得，或，，从而得到，再根据三角函数在指定区间上的单调性得到答案. 【详解】因为函数，其中，若在恰有两个零点， 所以， 所以， 所以， 又因为，即， 所以或， 解得，或，， 结合，所以符合题意， 所以， 又因为当，，，即 所以的单调增区间为 函数在上的单调增区间为， 故选：D. 8．（多选）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象 D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 【答案】ABC 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可． 【详解】由函数图象可得，由，解得，故A正确； 所以，又函数过点 ，即， 所以，即，又，所以， ， 对于B：当时，， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C：将函数的图象向右平移个单位得到： ，故C正确； 对于D：当时，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 又， 故方程在上有且只有一个实数根时，则的取值范围是，故D错误． 故选：ABC． 9．（多选）已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．图象关于对称 C．在[4，7]上单调递减 D．若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则 【答案】ABD 【分析】选项A，将点代入求出，由求出，由和，结合图像得到，结合，求出；选项B，由对称轴为，计算得解；选项C，由求出的范围，从而得到在范围内是减函数，在范围内是增函数，故选项C不正确；选项D，将图象上每个点的横坐标变为原来的倍求出函数，由得到的范围，求出时，，又的最大值为4，最小值为-4，结合图像得到，计算得解． 【详解】选项在的图象上， ， ， 在轴左侧，， 的最大值为4，最小值为，又， ，故选项A正确； 选项对称轴为， 当时，对称轴为，故选项B正确； 选项C，， 在范围内是减函数，在范围内是增函数， 在范围内是减函数，在范围内是增函数，故选项C不正确； 选项， 将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数， ， 当时，即时，， 的最大值为4，最小值为， ，故选项D正确． 故选：ABD. 10．设，若函数在区间上的最大值为，则 . 【答案】/ 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 11．设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可. 【详解】令，， 可得，． 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得，， 由，得， 当时，可得，故的最大值为2． 故答案为：2 12．已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由在区间上恰有两个零点，得到在区间上有两个实数解，得到，由得到在上有两个不同的实数解，由的范围得到的范围，从而得到的不等式组，计算出的取值范围. 【详解】函数在区间上恰有两个零点， 则在区间上有两个实数解， 由可得， 又，故有在上有两个不同的实数解， 而当时，，所以， 解得，即的取值范围是. 故答案为：. 13．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的单位圆与、轴正半轴分别交于点、.角的始边与轴正半轴重合，终边交圆于点，过作轴的垂线，垂足为.当时，设的面积为，四边形的面积为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意分别用的三角函数式表示与，可得，通过换元成，，利用函数的单调性即可求得其取值范围. 【详解】由图知，为直角三角形，，， 则， 又，则， 于是， 设，则， 因，则， 故， 因函数在上单调递增，则，故的取值范围为. 故答案为：. 14．已知函数，有两个零点，则下列结论中：①；②若，则；③.正确命题的序号是 . 【答案】②③ 【分析】画出的函数图象，数形结合确定所在区间，即可判断①；对于②，考虑正切函数的周期性，且注意到，数形结合即可判断；对于③，由，推出，根据零点范围可得符号判断. 【详解】令，即，易知当时，，显然不符题意，故，因此等价于. 对于①：画出且且与的函数图象， 如图可以看出， 故，故①错误； 对于②：的最小正周期为，且由图象可知， 故之间的距离大于，即，故②正确； 对于③：由，推出 ， 因为，且由②可知， 故有，则， 而， 又因为，且在为增函数， 故， 则， 又因为， 故，故③正确. 故答案为：②③ 15．函数的部分图象如下： (1)求函数的解析式，并写出定义域为时的增区间. (2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，再将所得函数图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.在区间内，恰存在3个实数，使. （ⅰ）求函数的解析式，并直接写出实数的取值范围； （ⅱ）求的值. 【答案】(1)，定义域为时的增区间为和 (2)，； 【分析】（1）根据图象可知的最大值、最小正周期、最大值点，可依次得到，从而可得的解析式，整体法可得上的单调递增区间.（2）（ⅰ）根据图象变换先得到的解析式，根据在上的图象可得实数的取值范围；（ⅱ）换元法可得与的三个交点，根据交点的对称性可得. 【详解】（1）由图象可知的最大值为3，最小正周期为， 所以，解得， 所以， 将点的坐标代入上式得， 所以，解得， 又，所以，所以. 方法一：当时，， 而在上的单调递增区间为和， 令，解得；令，解得， 所以定义域为时的增区间为和. 方法二：令，解得， 当时，，可得在上的增区间为； 当时，，可得在上的增区间为， 综上，定义域为时的增区间为和. （2）（ⅰ）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，可得函数的图象， 再将所得函数图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象， 所以. 当时，. 令，若恰存在3个实数，使， 则的图象与直线恰有3个交点，如图， 由图可知，实数的取值范围是. （ⅱ）3个实数分别对应图中的， 因为关于直线对称，所以，即， 所以. 因为关于直线对称，所以，即， 所以. 综上，. 16．已知函数，其图象的相邻对称轴的距离为. (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. （i）求函数在区间上的最值； （ii）若函数在上的零点从小到大依次为，求的值. 【答案】(1). (2)（i）；；（ii） 【分析】（1）根据相邻对称轴的距离求出最小正周期，进而求出，再根据正弦函数的单调性求解； （2）（i）根据平移规律得到，再根据正弦函数的性质求出其在给定区间的最值； （ii）根据零点的定义得到方程，利用正弦函数图像的对称性进行求解. 【详解】（1）因为的最小正周期为， 所以，所以； 所以， 因为在上单调递增， 所以， 所以， 所以的单调递增区间为. （2）因为， （i）因为， 所以， 所以当，即时，； 当，即时，. （ii）令，即， 因为，所以； 令， 因为，所以； 所以在上有等解； 依据函数图象与性质得， 存在四个实数满足， 因为在R上的对称轴为， 所以， 所以 17．将函数的图象进行如下变换：先向下平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，使得，都有，求的取值范围； (3)若函数在区间内恰有2026个零点，求n的所有可能取值. 【答案】(1)， (2)， (3)2026或2027或1351． 【分析】（1）通过平移和伸缩变换得到，再由求解即可； （2）由，得到，进而得到，构造不等式，求解即可； （3）采用换元法，先把问题转化成为二次函数的零点分布问题，再结合三角函数的周期性求的可能值. 【详解】（1）由题意的图象向下平移个单位，得：；再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得：；再把所得函数图象向左平移个单位，可得， 由，解得， 所以函数的单调递增区间为， （2）因为，所以， 所以， 所以， 由，，都有， 可得：，， 即， 因为， 所以， 解得，， 即的取值范围是，； （3）由题意可得， 设，，则函数等价为， 由，得． 因为，所以有两个不等的实数根， ∴当时，，，此时在上恰有3个零点， 因为，所以， 所以； 当时，设，函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线， ． 所以，． 此时在上恰有2个零点， 因为，所以的可能取值为2026或2027． 综上所述，的可能取值为2026或2027或1351． 18．已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将的图象上所有点向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用周期可求出，利用五点法求出，再代入特殊点求出. （2）（ⅰ）由及平方关系即可求解. （ⅱ）先参变量分离，换元后结合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由题：，所以， 因为，所以. 所以，将代入得， 因为，所以， 所以，则. 所以，将代入得，解得， 所以. （2）由题知向右平移个单位后得， 再把纵坐标变为原来的倍. （ⅰ）若，则， 因为，所以， 所以， 所以. （ⅱ）对任意，恒成立， 即， 令，则， 所以，设，， 则，又 所以为奇函数，且为周期函数等价于任意的，， 若，则；若，则； 即，所以只要取内的最小值即可. ， 令，则， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，所以. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $