第四章 三角恒等变换（复习讲义，14大题型精讲）数学北师大版必修第二册

该高中数学三角恒等变换复习讲义以逻辑递进方式构建知识体系，通过分块梳理同角三角函数关系、两角和差公式、二倍角公式等核心内容，用表格对比公式条件与变形形式，清晰呈现公式推导脉络及内在联系，突出重点公式的符号特征与适用场景。 讲义亮点在于分层设计的题型训练，如“知一求二”“齐次式应用”等基础题型培养运算能力，“辅助角公式与三角函数性质综合”题型发展推理意识，配合基础巩固与能力提升练习，帮助不同层次学生掌握变换技巧，为教师实施精准教学提供系统支持。

第四章 三角恒等变换（复习讲义） 1、理解同角三角函数的基本关系式，会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、证明. 2、会用向量的数量积推导出两角和与差的余弦公式，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. 3、能利用两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式、正切公式，了解它们的内在联系 4、会用两角和与差的正弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等. 5、 进一步熟练应用三角函数和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角恒等变换，会利用辅助角公式解决三角函数的图象与性质问题. 6、了解利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差、和差化积两组公式的过程，会用积化和差、和差化积公式求值、化简和证明. 7、会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 8、能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用. 9、能用二倍角公式推导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 10、能用二倍角公式推导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 一、同角三角函数的基本关系 知识点1　同角三角函数的基本关系 [特别提示]　角α应该使基本关系式有意义，即在平方关系：sin2α＋cos2α＝1中，角α是任意的角；在商数关系：tanα＝ 中，角α满足α≠＋kπ，k∈Z． 二、两角和与差的三角函数公式 知识点1　两角和与差的余弦公式 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．(Cα＋β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(Cα－β) (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反． 知识点2　两角和与差的正弦公式 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．(Sα＋β) sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．(Sα－β) 知识点3　两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角 和的 正切 Tα＋β tan (α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) 两角 差的 正切 Tα－β tan (α－β)＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) (2)两角和与差的正切公式的变形 ①Tα＋β的变形 tan α＋tan β＝tan_(α＋β)(1－tan_αtan_β)． tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan_(α＋β)． tan αtan β＝1－． ②Tα－β的变形： tan α－tan β＝tan_(α－β)(1＋tan_αtan_β)． tan α－tan β－tan αtan βtan (α－β)＝tan_(α－β)． tan αtan β＝－1． 知识点4　辅助角公式 辅助角公式：一般地，当a，b不同时为0时，a sin α＋b cos α＝， 根据Sα＋β引入辅助角φ，使得＝cos φ，＝sin φ，所以a sin α＋b cos α＝(a，b不同时为0)． 其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝来确定． 知识点5　积化和差公式与和差化积公式 积化和 差公式 sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)] cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)] cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)] sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)] 和差化 积公式 sin θ＋sin φ＝2sin cos sin θ－sin φ＝2cos sin cos θ＋cos φ＝2cos cos cos θ－cos φ＝－2sin sin 三、二倍角的三角函数公式 知识点1　二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α， (S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， (C2α) tan2α＝．(T2α) 知识点2　二倍角公式的变形 (1)公式的逆用 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α． (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α， 1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2． 降幂公式 cos2α＝，sin2α＝ 知识点3　半角公式 (1)sin (2)cos (3)tan ＝±． 题型一 sinα、cosα、tanα知一求二 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式计算可求解. 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以. 故选：C. 2．已知实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由进行换元求解． 【详解】令， 所以 ． 故选：B． 3．（多选）已知角A为的内角，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意,结合同角三角函数的平方关系,可求得与的值,依次计算选项中的式子的值,即可选出正确选项. 【详解】因为，所以. 因为角A为的内角，所以,所以,所以 因为,所以,所以 所以,或（舍）,所以 选项A:,所以选项A正确. 选项B:,所以选项B错误. 选项C:,所以选项C错误. 选项D:,所以选项D正确. 故选:AD. 4．已知，且在第一象限，则______． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的基本关系求解即可． 【详解】因为，所以，又，可得，因为在第一象限，，所以． 故答案为：． 5．已知，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 平方可得，即， 化简可得， 即，解得或， 其中，则， 当时，（舍）， 当时，， 所以. 故答案为： 6．若，则（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦和同角的三角函数基本关系式结合齐次化可求三角函数的值. 【详解】因为，故 ， 故选：C. 题型二 齐次式的应用 1．已知，则_____. 【答案】 【分析】解法一：由题意可得，根据同角三角函数平方关系可得，进而计算即可求解；解法二：根据商数关系化简可得，由计算即可求解. 【详解】解法一：， ，， ， ，. 解法二： ， ，解得， . 故答案为：. 2．已知，则________. 【答案】/ 【分析】利用齐次化方法可求答案. 【详解】. 故答案为： 3．（1）已知，求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用诱导公式将目标式子化为，然后化为正切函数代入求值即可； （2）结合利用已知求出和，即可得解. 【详解】（1）由题意知 ． （2）因为，， 解得，或，， 又，所以，，所以. 4．（1）已知，求的值. （2）已知角为第二象限角，且满足，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助同角三角函数基本关系齐次化后将弦化切后代入求值即可； （2）结合已知利用求出，进而结合角的范围求出，求出，即可得解. 【详解】（1）原式. （2）因为， 所以， 解得， 所以， 因为角为第二象限角，，所以， 所以由解得. 所以， 所以. 5．设. (1)若，求的值： (2)若，且，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及正余弦齐次式法求解. （2）由，结合的关系列式求解. 【详解】（1）依题意，，由，得，解得， 所以. （2）由，得，则， 由，得， 所以. 题型三 sinα·cosα、sinα±cosα之间的关系 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，利用平方关系分析可知，利用平方关系可求出的值，再利用切化弦可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 因为，等式两边平方可得， 所以，故，所以， 所以，故， 因此， 故选：A. 2．（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由条件等式两边平方，结合平方关系可得判断A；结合可得判断B；求得的值，可求判断C；解方程求得，进而利用商数关系计算可判断D. 【详解】对于A，由，得， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以，结合中,所以，所以，故B正确； 对于C，， 又因为，，所以， 所以，故C错误； 由，可得，所以，故D错误. 故选：AB. 3．（多选）已知且，下列说法不正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出、的值，进而分析判断. 【详解】因为，解得或， 又，则，可得. 所以，，，， 故AD正确，BC错误. 故选：BC. 4．（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，，求tanx的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用三角函数的定义求出，再利用诱导公式和同角三角函数基本关系式化简即可； （2）根据的关系求出即可. 【详解】（1）因为角的终边经过点，所以， 所以； （2）由，得到， ∴， 又，所以， ∴， ∴，则． 5．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴. (1)若的终边经过点，且，求； (2)若， ①求； ②求. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义即可求解； （2）①根据同角三角函数关系结合角的范围即可求解；②由①求出，利用诱导公式对式子化简，代入即可求出答案. 【详解】（1），解得. （2）①由可得，， 因为，所以，又，所以， 所以， 所以. ②由①可知，，解得 所以 . 6．（1）已知角的终边与单位圆的交点为 ①求的值； ②求的值. （2）已知，求： 【答案】（1）①；②； （2） 【分析】（1）①利用三角函数的定义求解即可； ②利用齐次式化简求解即可； （2）由题可得，化简可得 【详解】（1）因为角的终边与单位圆的交点为， ①所以， ② （2）因为， 所以，， 则， 所以 题型四 三角函数式的化简求值与证明 1．已知为锐角，化简：______. 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系式进行化简即可. 【详解】因为为锐角，所以， 所以. 故答案为：. 2．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）从左向右证明，利用代换后进行弦化切证明即可； （2）将两边切化弦，计算得到左边，右边，即可求证. 【详解】（1）左边 右边．故原式成立． （2）因为左边 右边，左边＝右边，所以原式成立． 3．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 4．解决下列问题： (1)已知为第二象限角，化简： (2)已知：，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，进而根据同角三角函数关系化简求解即可； （2）根据同角三角函数关系得，再结合诱导公式求解即可. 【详解】（1）解：因为为第二象限角，所以， 所以 （2）解：因为，所以，， 因为，所以 因为， 所以. 5．已知，． (1)求的值； (2)已知，先化简再求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两边平方，利用同角三角函数关系求出，根据的范围判断，再利用同角三角函数关系即可求解. （2）利用诱导公式对进行化简，联立，，求得，代入即可求出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为，所以，又，所以， 所以， 则. （2） ， 联立，解得， 所以. 题型五 逆用和差公式化简求值 1．计算的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式及逆用余弦的和角公式求解. 【详解】 ． 故选：B 2．（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正切公式计算. 【详解】． 故选：A. 3．的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式和两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由题可得 . 故选：D 4．＝_______. 【答案】/0.5 【分析】先根据诱导公式将化为，化为，再逆用两角差的正弦公式求解. 【详解】 . 故答案为： 5．计算：____________． 【答案】1 【分析】利用两角和差的正切公式化简即可. 【详解】， 又， 故上式化为. 故答案为： 6．______. 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式计算，整理即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 7．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式及逆用余弦的差角公式求解. （2）逆用差角的余弦公式求解. （3）利用和角的余弦公式求解. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式 ． 题型六 利用和差公式给值求值 1．已知为锐角，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用诱导公式化简已知方程，消去求出，再结合同角三角函数的平方关系求出锐角的正弦值. 【详解】由，，，， 代入原方程： ① ② 联立求解： 由①得：，两边乘得， 代入②：， 利用同角关系求： 已知，则， 代入：（为锐角，取正）， 因此. 故选：C 2．已知，均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角关系以及两角差的正弦公式计算可得结果. 【详解】由题意得, 由可得, 又， 则, 故选：A 3．已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角和的正弦公式可得出的值. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以. 故选：B. 4．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和差的正切公式进行计算即可. 【详解】因为， 所以． 故选：C. 5．（多选）已知，，是第四象限角，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由同角三角函数的基本关系及和差公式即可求解. 【详解】由条件知，为第二或三象限角，． 当为第二象限角时，，； 当为第三象限角时，，． 故选：AC 6．已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【详解】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 7．已知，，,均为锐角，求的值． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的余弦公式求解. 【详解】由和为锐角，得， 由和，得， 所以 ． 8．（1）已知，，，求的值． （2）已知，，求，，． 【答案】（1）；（2），， 【分析】（1）根据的范围求出和的范围，利用平方关系求出和的值，将求转化为求，利用两角和的正弦公式求解； （2）将求转化为求，利用两角和的正切公式求解；将求转化为求，利用两角差的正切公式求解；利用两角和的正切公式求即可. 【详解】（1）， ，． 又， ，． ，． ． （2） ， ， ． 9．已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用降幂扩角公式及和差角的余弦公式求解. 【详解】角满足， 则 . 故选：D 题型七 利用和差公式给值求角 1．若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用两角差的余弦公式求角. 【详解】为锐角,，则，所以，又， ，， ，， ，， ， ， 故选：C. 2．设且则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题设切化弦、结合两角和正弦公式和诱导公式得到即可分析计算求解. 【详解】由题， 所以， 因为，， 所以，，， 所以或， 解得或（舍去）. 故选：A 3．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用半角公式，辅助角公式得到，结合，得到方程，求出或，检验后得到答案. 【详解】， 即，故， 由辅助角公式得，即， 因为，所以， 故或，解得或， 经检验，均满足要求. 故选：AC 4．已知，，，，则的值为_____________． 【答案】/ 【分析】根据角的范围，以及同角三角函数关系，求出和，进而根据两角差的正弦公式，求出结果. 【详解】因为，，所以． 因为，，所以， 又因为，所以， 于是， 即，由于，故． 答案：. 5．若，，并且，，且，则的值为______. 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】由，，且，得 又，所以 因为，则，所以 所以 ， 且，且，所以. 故答案为：. 6．（1）已知是第二象限角，，求的值； （2）设，且，求角的值. 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）结合角的象限，利用同角三角函数关系求得，进而求得； （2）结合角的象限，利用同角三角函数关系求得，，进而利用两角差的余弦公式求得，然后结合角的范围即可求解角. 【详解】（1）因为是第二象限角，， 所以， ； （2），且， ， 因为，， ， 又因为，所以. 题型八 辅助角公式的应用 1．（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，辅助角公式和正弦二倍角公式进行化简. 【详解】 ． 故选：B 2．函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦、余弦二倍角公式，和辅助角公式得到，再通过整体代换即可求解. 【详解】 ， 令，， 可得， 即函数的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， 结合选项只有B符合， 故选：B 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角和差及辅助角公式化简可得，再结合二倍角公式求值即可． 【详解】 ， 则 ． 故选：C． 4．（多选）的化简结果可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用辅助角公式化简与诱导公式便可判断每个选项的正误. 【详解】 ，故A错误，B正确； 又，故C错误，D正确. 故选：BD. 5．（多选）使函数为奇函数的的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据辅助角公式化简，再结合正弦型函数的奇偶性求出即可. 【详解】， 若为奇函数，则，得， 当时，；当时，；则BD正确； 而，均位于内，故AC错误. 故选：BD 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知条件，利用辅助角公式化简可得，利用二倍角公式可求得，再利用诱导公式计算即可求得结果. 【详解】由化简可得：，即，即， 所以， . 故选：D 7．求下列式的值(1). （1）原式结合辅助角公式以及二倍角公式化简即可. （1）原式 . 题型九 倍角公式的运用 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合同角关系求，再利用二倍角公式求即可. 【详解】因为，，所以， 所以，则， 所以，所以. 故选：A. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用二倍角正弦公式化简得出，再结合角的范围确定余弦值的正负求解. 【详解】因为， 所以，且，即， 所以，且， 则. 故选：D. 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式求出，然后运用诱导公式即可得解. 【详解】由已知得，，即， 则. 故选：A 4．已知是第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式和将转化为只含的表达式，代入求解即可． 【详解】因为，所以． 故选：B． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式得，又，利用二倍角的余弦公式即可求解． 【详解】由得， 又因为， 故选：B． 6．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) (4)4 【分析】（1）利用正弦二倍角公式求解即可； （2）利用余弦二倍角公式求解即可； （3）利用正切二倍角公式求解即可； 【详解】（1）原式. （2）原式 . （3）原式 . 题型十 倍角公式的逆用（降幂） 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求出的值，再利用二倍角的正弦公式以及诱导公式化简求解即可. 【详解】因为，所以，可得， 所以. 故选：D. 2．下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和的正弦公式可判断A选项；利用二倍角的正切公式可判断B选项；利用二倍角的余弦公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项， ，A不满足； 对于B选项，，B不满足； 对于C选项， ，C满足； 对于D选项，，D不满足. 故选：C. 3．（多选）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用二倍角的正切公式可求A；利用同角三角函数的基本关系以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的余弦公式可求解C；利用二倍角的余弦公式可求解D； 【详解】对于A：因为， 所以原式， A不符合； 对于B：原式 ，B符合； 对于C：原式 ，C符合； 对于D：原式，D符合. 故选：BCD. 4．（多选）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于选项A，利用两角和的正切公式判断；对于选项B，先利用诱导公式将转化为，再根据两角差的正弦公式求解；对于选项C，方法一利用二倍角的正弦公式化简即可，方法二多次运用积化和差公式，结合和差化积与特殊角的三角函数值求解；对于选项D，先通分，再根据二倍角公式和辅助角公式化简. 【详解】对于选项A，因为， 所以， 所以，A错误. 对于选项B，因为， 所以，B    正确. 对于选项C，方法一： . 方法二： ，C正确. 对于选项D，，D正确. 故选：BCD 5．（多选）下列各式的值正确的是（         ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二倍角的正弦公式可判断A选项；利用诱导公式结合两角和的余弦公式可判断B选项；利用二倍角的正切公式可判断C选项；利用两角和的正切公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项， ，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，因为， 所以，， 故 ，D对. 故选：BD. 6．（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的二倍角公式、和差公式、降幂公式以及半角公式，可得答案. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故，故D正确. 故选：ACD. 题型十一 半角公式的应用 1．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可. 【详解】由半角公式可知，， 又， 所以，所以. 故选：B 2．若，化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再利用半角公式和辅助角公式、诱导公式化简计算即可， 【详解】，，，， . 故选：C. 3．（多选）下列有关三角函数的公式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由二倍角公式及诱导公式求解． 【详解】由， 得，故A，B两项正确； ，故C项正确； ，故D项错误， 故选：ABC 4．已知且，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】由已知条件求出值，进而求出，再利用半角正切公式计算求解． 【详解】 由且，可知， ， ， ， ． 故答案为：． 5．若，，则_______. 【答案】/ 【分析】由半角公式代入解方程. 【详解】因为，所以，所以， ，又，解得， 所以. 故答案为：. 6．已知，则_____________________． 【答案】 【分析】解法一：根据和差化积即可求解；解法二：用和、差角的正余弦公式结合和差化积公式化简、求值即可． 【详解】解法一：由已知及和差化积公式： ， ， 得①， ②， ①②，得 ，． 解法二：由，，得 ， ， 由于，故两式相除可得. 故答案为：． 题型十二 积化和差与和差化积公式 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积化和差公式，结合诱导公式化简可得. 【详解】. 故选：B. 2．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题及两角差的余弦公式可得的值，再由和差化积公式可得的值，即可求解. 【详解】由题知. ∵， ∴， 即. ∴. 故选：C. 3．（多选）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据和差化积公式判断A，B，利用积化和差公式判断C，D. 【详解】因为，所以，所以A正确； 因为，所以，所以B错误； 因为，所以，所以C正确； 因为，所以，所以D错误. 故选：AC. 4．求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据积化和差公式化简计算即可； （2）根据积化和差公式化简计算即可； （3）根据和差化积公式化简计算即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 题型十三 三角恒等变换与三角函数性质的综合 1．在中，角、、的对边分别为、、，若，且，则的形状一定是（    ） A．等腰锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰钝角三角形 D．不确定的 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式以及正弦定理、勾股定理得出，再利用正弦定理化简得出的值，由此可得出的形状. 【详解】因为，则， 整理可得，由正弦定理可得，故， 因为，由正弦定理可得， 因为、均为锐角，故，则，所以，故， 因此，为等腰直角三角形. 故选：B. 2．已知，，函数. (1)求函数的解析式及图象的对称中心； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角公式、辅助角公式化简函数，并求出对称中心. （2）利用同角公式及差角的正弦公式求出目标值. 【详解】（1）由，， 得 ， 令，，则，， 所以函数图象的对称中心为，. （2）由得，化简得， 由，得，则， 所以. 3．已知函数． (1)求的严格增区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据三角恒等变换整理可得，以为整体，结合三角函数的单调性运算求解即可； （2）以为整体，结合三角函数的有界性运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得：， 令，解得， 所以函数的严格增区间为. （2）由（1）知 因为，可得， 当时，即，函数取得最大值，最大值为； 当或时，即或，函数取得最小值，最小值为2. 4．已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化简，再代入求解即可； （2）根据列出关于的等式求解即可． 【详解】（1） ， 所以． （2）由，得，整理得， 由，得， 所以，即． 5．已知函数． (1)若的最小正周期为，求的单调递增区间； (2)将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到的图象． （ⅰ）求的解析式; （ⅱ）若在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再根据周期公式求出，最后代入正弦函数的单调递增区间公式求解； （2）（i）由平移和伸缩变换得到的解析式；（ii）求出时的零点表达式，再结合的范围，通过分析零点个数来确定的取值范围. 【详解】（1） ． 由的最小正周期为可知，即 令，得到． 所以的单调递增区间为 （2）（ⅰ） （ⅱ）令，得到 不妨设，记，则 由于在上有且仅有两个零点，故有，， ， 分别解得，，，． 要使有解，则，，解得． 由于，则．得到 6．已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上有两个零点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换把三角函数化为标准形式，再利用正弦函数单调性求单调区间； （2）把不等式恒成立问题转化为最值问题，分情况讨论求出最值，进而得出的取值范围； （3）把函数零点问题转化为方程解的问题，再利用正弦函数对称性求解． 【详解】（1） ， 正弦型函数的单调递减区间为， 则，解得， 的单调减区间为． （2）不等式在时恒成立，即，在内恒成立； 当时，， ，则， 当时，恒成立，； 当时，，的最小值为，故； 当时，，的最大值为，故； 综上，的取值范围是． （3）函数在区间上有两个零点，即， 当时，， 方程有两个解，则，即， 两解关于对称轴对称，故， ． 7．已知函数． (1)求函数的单调递减区间． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 【答案】(1) (2)；． (3) 【分析】（1）化简，，令，解不等式即可求解； （2）先求的范围，再利用整体法即可求出最大值和最小值； （3）由题可得，，利用结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1） 令， 解得， 的单调减区间是． （2），， 当，即时，； 当，即时，． （3）是第一象限角， 即 ， 8．已知函数． (1)当时， （i）求的单调递增区间； （ii）将的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在区间上的值域． (2)若，且关于的方程在区间内有两个根．求实数的取值范围，并求的值． 【答案】(1)（i）；（ii）； (2)，. 【分析】（1）（i）利用二倍角的正弦及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递增区间；（ii）求出，再利用正弦函数性质求出指定区间上的值域. （2）构造函数并用辅助角公式化简，探讨函数性质，数形结合求出范围，借助正弦函数对称性及二倍角的余弦公式求出的值. 【详解】（1）（i）当时，函数， 由，得， 所以函数的单调递增区间为； （ii）， 当时，，，则， 所以在区间上的值域. （2）函数，由，得， 则，方程， 令函数，其中锐角由确定， 此时，当，即时，函数单调递增，函数值从增大到； 当，即时，函数单调递减，函数值从减小到； 当，即时，函数单调递增，函数值从增大到（不能取1）， 由方程在区间内有两个根，得，解得， 或，则或， 所以. 题型十四 三角恒等变换化简与证明 1．在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】根据正弦定理及两角和的余弦公式即可求解. 【详解】在中，由正弦定理及可得：. 又，， ∴，即，即. 又∵，∴，∴，∴是直角三角形. 故选：A. 2．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行化简； （2）利用同角三角函数的基本关系进行化简； （3）利用同角三角函数的基本关系进行化简； 【详解】（1）原式 ． （2）原式． （3）原式 . 3．化简求值 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先通过提取公因式，利用二倍角余弦公式与积化和差公式化简分子，再利用诱导公式化简分母，最后代入分子分母计算即得； （2）先利用诱导公式，同角三角函数关系式以及辅助角公式化简分子，再利用二倍角的正余弦公式化简分母，最后代入分子分母计算即得. 【详解】（1）原式分子： 分母： 则原式. （2）原式分子： = 分母： 则原式. 4．证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简，即可证； （2）应用和差角余弦公式整理化简，即可证； （3）应用平方关系、辅助角公式化简，即可证. 【详解】（1）； （2）； （3）. 5．已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 6．（1）证明： （2）化简： 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式和正弦公式即可证明； （2）根据诱导公式化简即可. 【详解】（1）左边右边. （2）原式. 基础巩固通关测 1．在锐角中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边化为角，结合和差化积及锐角三角形的条件得到，进而求出的范围，再通过三角函数的恒等变换化简及函数的单调性求值即可. 【详解】由正弦定理可知，， 又 ， 所以. 又，所以， 又，所以，所以. 因为是锐角三角形，所以， 所以，即. 又是锐角三角形，所以， 所以，则， 所以． 又在上单调递减，所以， 所以． 故选：B. 2．关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 【答案】D 【分析】由二倍角公式得，再结合余弦型函数的相关性质逐项判断即可． 【详解】， 则振幅为，值域为， 当，即时，函数单调递减， 则时，函数在上是单调减函数，在区间上不单调， 故在上是单调增函数，在区间上不单调， 故选：D． 3．已知，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得，结合同角三角函数的平方关系求得，进而利用同角三角函数的商数关系可求的值. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 4．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】. 故选：C. 5．函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用辅助角公式合成一个余弦型函数，然后利用余弦型函数在定区间上的最值的求法可得答案. 【详解】， 当时，， 故当时，函数取最小值， 最小值为． 故选：A 6．已知，满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助两角和与差的正弦公式及同角三角函数基本关系、二倍角公式计算可得，即可解出，结合范围即可得解. 【详解】 ， 因此，即， 则，解得或（舍去）， 又因为，所以. 故选：C. 7．设，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和差的正弦公式和正切公式以及正弦函数的单调性对进行比较即可. 【详解】， ， 又，且函数在上单调递增， 所以，故. . 故选：D. 8．已知是第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数关系式及三角恒等变换公式直接计算即可. 【详解】因为，所以，因为是第二象限角，所以, 则, 故选：C 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，化简可得，解得，再由代入计算即可． 【详解】， 即， ，整理得， 解得或， ，， ， ． 故选：C． 10．已知，是第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算可得结果. 【详解】因为是第二象限角，所以， 则， 又，所以位于第二象限， 因此， 故. 故选：C. 11．（多选）已知，且，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对A，两边同平方即可判断；对B，根据和即可判断；对C，利用完全平方式的变形即可判断；对D，联立方程组即可判断. 【详解】对A，因为，两边平方得：，A错误； 对B，因，且，所以，B正确； 对C，因为，所以，，所以， 因为，，则，即：，故C正确； 对D，联立：及，解得：，，故D错误. 故选：BC． 12．（多选）已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，化为齐次式，求得，结合选项，结合三角函数的基本关系式和“齐次式”的运算，即可求解. 【详解】由，可得， 对于A，由，所以A正确； 对于B，由， 所以，所以B不正确； 对于C，由 ，所以C正确； 对于D，由，所以D正确. 故选：ACD. 13．（多选）在非直角中，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，举例说明判断A；利用和差角的三角函数计算判断BCD. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，由，而，得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 14．（多选）已知实数满足，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知配方得，进而逐项计算判断即可求解. 【详解】由， 所以，又，所以， 对于A.，故A正确； 对于B.，故B正确； 对于C.而，故C错误； 对于D.时，， 时，，故D正确. 故选：ABD. 15．（多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用三角恒等变换公式化简计算可得； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，， 所以，即， 又，所以，故C错误； 对于D， ，故D正确； 故选：ABD 16．已知的三个内角满足，则________． 【答案】 【分析】根据三角形正切恒等式即可求解． 【详解】由三角形正切恒等式知， 恒等式证明：在中，，所以， 则， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 17．函数的最小正周期为_____________，对称轴为_____________． 【答案】 【分析】先利用二倍角公式化简，再利用正弦型函数的图象和性质求最小正周期及对称轴． 【详解】 ， ， 令， ， 对称轴为． 故答案为：，． 18．已知，且，则______，则______． 【答案】 【分析】根据角的范围以及对应三角函数值可得的值，利用两角和与差的正弦、余弦公式计算可得结果. 【详解】因为， 又，， 即可得 又 又． 故答案为：. 19．已知函数 (1)求的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为-1. 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及两角和的正弦公式化简函数的解析式，由此求得最小正周期． （2）由（1）得到的表达式，结合当时，求出相位的范围，再根据正弦函数的图像与性质，即可得到函数的最大值与最小值． 【详解】（1）， 所以的最小正周期为； （2）令，则， ∴原函数， ∴原函数的最大值为，最小值为. 20．已知函数. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用和差公式、倍角公式、辅助角公式将函数化为，利用复合函数的单调性即可求解； （2）将拆成，利用和差公式即可求解. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为， 令， 解得，所以函数的单调递减区间为 （2）由题意知， 又，所以，又，所以. 若，则，不符合题意； 所以，所以， 所以 21．求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦的二倍角公式以及诱导公式化简求值即可； （2）利用余弦的二倍角公式化简求值即可； （3）变形式子，然后利用正切的二倍角公式化简求值即可. 【详解】（1） ． （2）． （3） ． 22．已知函数． (1)若，求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据条件，结合诱导公式，化简计算，即可得答案. （2）由（1）得解析式，根据正弦函数的单调减区间，代入求解，即可得答案. （3）根据x的范围，可得，根据值域，分析可得的范围，即可得答案. 【详解】（1）由题意， 若，则， 则. （2）由（1）得， 令， 解得，即的单调递减区间为. （3）因为，所以， 因为的值域为， 所以，解得，则实数的取值范围为. 能力提升进阶练 1．（1）已知，求的值； （2）若是第一象限角，且，求的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由题意利用诱导公式求得的值，再利用同角三角函数的基本关系化简要求的式子，可得结果. （2）由同角三角函数关系及倍角公式即可求解. 【详解】（1）由题意知， 所以. （2）因为，又是第一象限角， 易得， 所以. 2．已知. (1)求的值； (2)用表示，并求的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用商数关系和平方关系列式求解； （2）由，利用平方关系求出，再利用两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以，即， 又，所以. （2）. 因为，所以， 故. 因为，所以. 所以 3．设函数． (1)当时，求图象的对称中心的坐标． (2)已知在上有且仅有4个零点． （i）求的取值范围； （ii）若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用二倍角正、余弦公式化简，代入求出，进而求解； （2）利用正弦型函数的图象和性质，结合零点个数求的范围；利用不等式恒成立条件构造不等式求的范围． 【详解】（1） ， 当时，． 令，得， 图象的对称中心的坐标为． （2）（i）由（1）得， 由，得， 在上有且仅有4个零点，， 解得，的取值范围为． （ii）若，则，故． 不等式在上恒成立， 在上恒成立． 由，得， ，则， 解得，即的取值范围为． 4．已知函数的部分图象如图所示： (1)求的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数周期可得，结合最值点可得，代入点即可得，进而可得函数解析式； （2）利用三角恒等变换可得，以为整体，结合正弦函数单调性运算求解； （3）根据题意可得，以为整体，结合三角恒等变换运算求解. 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 由图象可知：，且， 则，解得， 当时，函数取到最大值， 则，即， 且，则， 可得，解得，则， 又因为函数的图象过点，则，即， 所以. （2）因为函数 ， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （3）因为，即， 且，则，可得， 则， 所以. 5．已知函数 (1)将函数化简为的形式，并求函数的对称轴； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将化简，利用余弦函数的图像求出对称轴； （2）根据余弦函数的图象和性质解不等式； （3）将原方程化成，令，由的范围求出的范围，从而求出的范围.此时方程可化为，设， 由方程在上有四个不同的实数根，所以在上有两个不同的零点.，利用二次函数得到，且，，对称轴在范围内，求这些不等式的交集就是实数的取值范围. 【详解】（1）， 令解得. 因此，函数的对称轴为. （2）由（1）知， 则不等式可化为. 根据余弦函数的图象和性质，可得. 解不等式，可得； 解不等式，可得 因此，不等式的解集为 （3）由（1）知， 则. 将其代入方程， 可得：， 令，因为，所以，则. 当时，在范围内只有一个的值，使得； 当时，在范围内有两个的值，使得； 当时，在范围内只有一个的值，使得； 当时，在范围内有零个的值，使得； 此时方程可化为，即， 设， 因为原方程在上有四个不同的实数根，所以在上有两个不同的零点. 则有， ， ， ， 因此，实数的取值范围是. 6．已知函数． (1)证明：； (2)求的单调递增区间； (3)若函数在区间上存在2个零点和1个对称轴，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）由余弦二倍角公式和辅助角公式化简得到，进而可求证； （2）由求解即可； （3）由（1）得，先通过周期满足，确定，再结合正弦函数的对称中心和对称轴，构造不等式求解即可. 【详解】（1）因为 当时，即时，， 故． （2）令， 解得， 故的单调递增区间为． （3）， 设函数的最小正周期为， 由题意可知，，即，解得， 由正弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴． 由，得， 由得， 又，所以， 则或， 解得，或， 故实数的取值范围为． 7．已知函数. (1)求的周期及图象的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由两角和差的正弦公式展开，再由辅助角公式得到，再由整体代入法即可求解； （2）由，得到再结合正弦函数的性质即可求解； （3）令，问题转换成对任意的，不等式恒成立，由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为， 令，解得：， 所以图象的对称中心的坐标为. （2）因为，所以， 当，即时，取得最小值，； 当，即时，取得最大值，； 所以在上的值域是. （3）设， 则对任意的，不等式恒成立，等价于： 对任意的，不等式恒成立， 所以等价于，记函数在单调递增. 所以，所以， 即的取值范围是. 8．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)将函数图像上每个点的纵坐标不变，横坐标先向右平移个单位，再伸长为原来的2倍，得到函数的图像. ①若函数在区间的值域为，求的取值范围； ②若方程在区间上有三个实根，求的值. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）化简，整体代换求解单调递增区间； （2）变换得到，①由值域确定范围，求出的取值范围；②通过分析可得，化简得，由求解. 【详解】（1） ， 由，解得， 所以的单调递增区间为； （2）将函数图象上每个点的纵坐标不变，横坐标向右平移个单位， 得到， 再将横坐标伸长为原来的倍，得到， ①因为，所以，因为值域为， 所以，解得， 所以的取值范围为； ②由得， 因为方程在区间上有三个实根， 所以， 因为，令，则，，结合正弦函数图象可知， 方程的三个根从小到大依次位于区间内， 设，则， 所以， 所以，，， 又， 所以， 所以. 9．已知函数. (1)若，解决以下问题： （i）求出的最小正周期及单调递减区间； （ii）当时，求的值. (2)设在区间上单调，且在区间上的所有零点之和为，求的值. 【答案】(1)（i），单调递减区间为（ii） (2)， 【分析】（ⅰ）利用辅助角公式化简得，当时，，利用周期公式以及正弦函数单调性解不等式即可； （ii）依题意可得，再由两角和与差的正弦、余弦公式计算可得结果. （2）根据函数单调性以及正弦函数图象性质解方程，求出所有零点表达式即可根据所有零点之和求得的值. 【详解】（1）（ⅰ）易知 当时，，周期， 由，解得. 所以单调递减区间为. （ⅱ）即， 所以， 所以 当时， ， 同理，当时，， 综上，的值是. （2）由（ⅰ）知，， 因为在区间上单调，且，所以仅能单调递增，所以， 解得， 所以，因此在区间至多一个周期， 由于，所以在区间至多2个零点. 令，即，解得或， 当恰有1个零点时，，解得； 当恰有2个零点时，，解得. 综上可得，的值为. 10．已知函数. (1)求函数的最小正周期，以及当取得最大值时自变量的取值集合； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，进而求得函数的最小正周期，先求得的最大值，再利用整体代入法即可求得取最大值时的集合. （2）利用整体法可求得的单调递增区间； （3）由已知求得，利用同角的平方关系求得，进而利用两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】（1） ， ， 当时，有最大值4， 此时，即， 所以函数取得最大值时自变量的取值集合为； （2）由（1）知，，由得， 所以的单调递增区间为. （3），， 又. . 11．若的最小值为. (1)求实数的值； (2)若，求的值； (3)若关于的方程在区间上有且仅有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】（1）先利用辅助角公式化简函数，再根据最小值求出参数； （2）先由已知函数值求出，再通过三角恒等变换和诱导公式计算目标值； （3）通过换元将三角方程转化为二次方程，再根据二次方程根的分布和三角函数的值域，分类讨论的取值范围. 【详解】（1）， ， （2）因为，. ， （3）令，则， ，，，， 则原方程可化为，整理得 即，或，因关于的方程有且仅有两根，且， ①当时，， 此时有两个根，无解，满足题意； ②当时，有1个根，则有1个根， 则需，解得， 综上：的取值范围为或 . 12．（1）已知，求； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）2（2） 【分析】（1）利用诱导公式化简分子、分母，再计算求解； （2）先判断象限角求出相应正弦、余弦值，再利用余弦差角公式计算，最后根据角的区间范围求解． 【详解】（1）， 又，故， ； （2）已知，且， 位于第四象限，故， 位于第二象限，故， ， ， ，则， ， ， 故，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角恒等变换（复习讲义） 1、理解同角三角函数的基本关系式，会运用以上两个基本关系式进行求值、化简、证明. 2、会用向量的数量积推导出两角和与差的余弦公式，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. 3、能利用两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式、正切公式，了解它们的内在联系 4、会用两角和与差的正弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等. 5、 进一步熟练应用三角函数和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角恒等变换，会利用辅助角公式解决三角函数的图象与性质问题. 6、了解利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差、和差化积两组公式的过程，会用积化和差、和差化积公式求值、化简和证明. 7、会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 8、能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用. 9、能用二倍角公式推导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 10、能用二倍角公式推导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 一、同角三角函数的基本关系 知识点1　同角三角函数的基本关系 [特别提示]　角α应该使基本关系式有意义，即在平方关系：sin2α＋cos2α＝1中，角α是任意的角；在商数关系：tanα＝ 中，角α满足α≠＋kπ，k∈Z． 二、两角和与差的三角函数公式 知识点1　两角和与差的余弦公式 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．(Cα＋β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(Cα－β) (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反． 知识点2　两角和与差的正弦公式 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．(Sα＋β) sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．(Sα－β) 知识点3　两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角 和的 正切 Tα＋β tan (α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) 两角 差的 正切 Tα－β tan (α－β)＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) (2)两角和与差的正切公式的变形 ①Tα＋β的变形 tan α＋tan β＝tan_(α＋β)(1－tan_αtan_β)． tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan_(α＋β)． tan αtan β＝1－． ②Tα－β的变形： tan α－tan β＝tan_(α－β)(1＋tan_αtan_β)． tan α－tan β－tan αtan βtan (α－β)＝tan_(α－β)． tan αtan β＝－1． 知识点4　辅助角公式 辅助角公式：一般地，当a，b不同时为0时，a sin α＋b cos α＝， 根据Sα＋β引入辅助角φ，使得＝cos φ，＝sin φ，所以a sin α＋b cos α＝(a，b不同时为0)． 其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝来确定． 知识点5　积化和差公式与和差化积公式 积化和 差公式 sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)] cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)] cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)] sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)] 和差化 积公式 sin θ＋sin φ＝2sin cos sin θ－sin φ＝2cos sin cos θ＋cos φ＝2cos cos cos θ－cos φ＝－2sin sin 三、二倍角的三角函数公式 知识点1　二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α， (S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， (C2α) tan2α＝．(T2α) 知识点2　二倍角公式的变形 (1)公式的逆用 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α． (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α， 1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2． 降幂公式 cos2α＝，sin2α＝ 知识点3　半角公式 (1)sin (2)cos (3)tan ＝±． 题型一 sinα、cosα、tanα知一求二 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（多选）已知角A为的内角，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，且在第一象限，则______． 5．已知，，则______． 6．若，则（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 题型二 齐次式的应用 1．已知，则_____. 2．已知，则________. 3．（1）已知，求的值； （2）若，且，求的值． 4．（1）已知，求的值. （2）已知角为第二象限角，且满足，求的值. 5．设. (1)若，求的值： (2)若，且，求的值. 题型三 sinα·cosα、sinα±cosα之间的关系 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）已知且，下列说法不正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，，求tanx的值． 5．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴. (1)若的终边经过点，且，求； (2)若， ①求； ②求. 6．（1）已知角的终边与单位圆的交点为 ①求的值； ②求的值. （2） 已知，求： 题型四 三角函数式的化简求值与证明 1．已知为锐角，化简：______. 2．求证： (1)； (2)． 3．求证： (1)； (2)． 4．解决下列问题： (1)已知为第二象限角，化简： (2)已知：，且，求的值． 5．已知，． (1)求的值； (2)已知，先化简再求值． 题型五 逆用和差公式化简求值 1．计算的值为（   ）． A． B． C． D． 2．（   ） A． B．1 C． D． 3．的值为（     ） A． B． C． D． 4．＝_______. 5．计算：____________． 6．______. 7．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 题型六 利用和差公式给值求值 1．已知为锐角，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．若，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知，，是第四象限角，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．已知锐角，满足，，则___________． 7．已知，，,均为锐角，求的值． 8．（1）已知，，，求的值． （2）已知，，求，，． 9．已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型七 利用和差公式给值求角 1．若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．设且则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，，则的值为_____________． 5．若，，并且，，且，则的值为______. 6．（1）已知是第二象限角，，求的值； （2）设，且，求角的值. 题型八 辅助角公式的应用 1．（   ） A． B．1 C． D． 2．函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）的化简结果可以是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）使函数为奇函数的的值可以是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．求下列式的值(1). 题型九 倍角公式的运用 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知是第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； 题型十 倍角公式的逆用（降幂） 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）下列各式的值正确的是（         ） A． B． C． D． 6．（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 题型十一 半角公式的应用 1．若，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，化简得（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列有关三角函数的公式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 4．已知且，则的值为_____________． 5．若，，则_______. 6．已知，则_____________________． 题型十二 积化和差与和差化积公式 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 题型十三 三角恒等变换与三角函数性质的综合 1．在中，角、、的对边分别为、、，若，且，则的形状一定是（    ） A．等腰锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰钝角三角形 D．不确定的 2．已知，，函数. (1)求函数的解析式及图象的对称中心； (2)若，且，求的值. 3．已知函数． (1)求的严格增区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 4．已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 5．已知函数． (1)若的最小正周期为，求的单调递增区间； (2)将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到的图象． （ⅰ）求的解析式; （ⅱ）若在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 6．已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上有两个零点，求的值． 7．已知函数． (1)求函数的单调递减区间． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 8．已知函数． (1)当时， （i）求的单调递增区间； （ii）将的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在区间上的值域． (2)若，且关于的方程在区间内有两个根．求实数的取值范围，并求的值． 题型十四 三角恒等变换化简与证明 1．在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．化简： (1)； (2)； (3)． 3．化简求值 (1) (2) 4．证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 5．已知，且，证明： (1)； (2). 6．（1）证明： （2）化简： 基础巩固通关测 1．在锐角中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．关于函数的判断，正确的是（   ） A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数 B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数 C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数 D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数 3．已知，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 4．的值为（    ） A． B． C． D． 5．函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 6．已知，满足，且，则（   ） A． B． C． D． 7．设，则有（    ） A． B． C． D． 8．已知是第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，是第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选）已知，且，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选）已知，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 13．（多选）在非直角中，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（多选）已知实数满足，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 16．已知的三个内角满足，则________． 17．函数的最小正周期为_____________，对称轴为_____________． 18．已知，且，则______，则______． 19．已知函数 (1)求的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 20．已知函数. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若，且，求的值. 21．求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 22．已知函数． (1)若，求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 能力提升进阶练 1．（1）已知，求的值； （2）若是第一象限角，且，求的值. 2．已知. (1)求的值； (2)用表示，并求的值. 3．设函数． (1)当时，求图象的对称中心的坐标． (2)已知在上有且仅有4个零点． （i）求的取值范围； （ii）若，不等式在上恒成立，求的取值范围． 4．已知函数的部分图象如图所示： (1)求的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，求的值． 5．已知函数 (1)将函数化简为的形式，并求函数的对称轴； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 6．已知函数． (1)证明：； (2)求的单调递增区间； (3)若函数在区间上存在2个零点和1个对称轴，求实数的取值范围． 7．已知函数. (1)求的周期及图象的对称中心的坐标； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 8．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)将函数图像上每个点的纵坐标不变，横坐标先向右平移个单位，再伸长为原来的2倍，得到函数的图像. ①若函数在区间的值域为，求的取值范围； ②若方程在区间上有三个实根，求的值. 9．已知函数. (1)若，解决以下问题： （i）求出的最小正周期及单调递减区间； （ii）当时，求的值. (2)设在区间上单调，且在区间上的所有零点之和为，求的值. 10．已知函数. (1)求函数的最小正周期，以及当取得最大值时自变量的取值集合； (2)求函数的单调递增区间； (3)若，求的值. 11．若的最小值为. (1)求实数的值； (2)若，求的值； (3)若关于的方程在区间上有且仅有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 12．（1）已知，求； （2）已知，且，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $