第二章 平面向量及其应用（复习讲义，16大题型精讲）数学北师大版必修第二册

第二章 平面向量及其应用（复习讲义） 1、理解向量的有关概念及向量的几何表示. 2、掌握共线向量、相等向量的概念，正确区分向量平行与直线平行. 3、掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量，掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算. 4、掌握向量减法的定义，理解相反向量的意义，掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量. 5、掌握向量数乘的运算及其运算律，理解数乘向量的几何意义. 6、掌握共线(平行)向量基本定理，能用共线(平行)向量基本定理求解点共线问题. 7、理解平面向量基本定理及其意义，体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题. 8、了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 9、理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量数量积与投影数量的关系. 10、会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题. 11、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正余弦定理，并了解其向量证法，掌握正余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 12、熟练掌握正弦、余弦定理及其变形，能利用余弦、正弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题. 13、掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用，了解测量的方法和意义并提高应用数学知识解决实际问题的能力. 14、能运用向量的有关知识解决平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题，能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题. 一、向量的有关概念 知识点1　向量的概念 把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等)． [特别提示]　数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 知识点2　向量的表示方法 (1)具有方向和长度的线段，称为有向线段．以A为起点，B为终点的有向线段，记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作． (2)向量可以用有向线段表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)，记作|a|．箭头所指的方向表示向量的方向． 知识点3　零向量与单位向量 (1)长度为0的向量称为零向量，记作0或； (2)模等于1个单位长度的向量，称为单位向量． 知识点4　向量的基本关系 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量，记作a＝b． (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量共线． (3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a的相反向量记作－a； 规定零向量的相反向量是零向量． 知识点5　向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角； (2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系： θ＝0°⇔a与b同向；θ＝180°⇔a与b反向；θ＝90°⇔a⊥b，规定：零向量与任一向量垂直． 二、向量的运算 知识点1　向量求和法则 类别 图示 几何意义 向量 求和 的法 则 三角 形法 则 已知不共线向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＝ 平行 四边 形法 则 已知不共线向量a，b，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b 知识点2　向量加法的运算律 向量加 法的运 算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点3　相反向量的性质 性质 (1)－(－0)＝0； (2)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； (3)若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a． 知识点3　向量减法 (1)定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法． (2)几何意义 如图，设＝b，则＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量． [特别提示]因为向量的减法是向量的加法的逆运算，所以向量的减法可以转化为向量的加法来运算． 知识点4　数乘运算的定义 (1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa． (2)|λa|＝|λ||a|． (3)λa的方向 (4)几何意义：当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍； 当λ<0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 知识点5　数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量，则 (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)． 知识点6　共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a＝λb． [特别提示]当a≠0，b＝0时，λ不存在；当a＝0，b＝0时，λ不唯一． 知识点7　直线的向量表示 已知A，B两点确定一条直线l，l上任意一点P所对应的向量与向量共线，从而可以用表示，即存在唯一实数t，使得这说明由一个点A和一个非零向量可以唯一地确定过点A与向量共线的直线l． 通常可以用表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量． 三、平面向量基本定理及坐标表示 知识点1　平面向量基本定理 (1)定义：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． (2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}． 知识点2　标准正交基 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基． 知识点3　平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj．因此，a＝xi＋yj．我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)． 知识点4　平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 数学公式 文字语言表述 向量 加、减法 a±b＝(x1±x2，y1±y2) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 向量 数乘 λa＝(λx1，λy1)λ∈R 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 向量 坐标 ＝(x2－x1，y2－y1) 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标 知识点5　中点坐标公式 若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段AB的中点坐标公式． 知识点6　平面向量平行的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0．若a∥b，则存在实数λ，使得a＝λb，用坐标表示为x1y2－x2y1＝0． 若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝． (2)文字语言描述向量平行的坐标表示 定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． 定理2：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行． 四、向量的数量积 知识点1　平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°)，我们把|a||b|cos 〈a，b〉称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a|·|b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 知识点2　投影向量和投影数量 (1)如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，投影γ＝，γ称为a在b上的投影向量． (2)如图，|a|cos 〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·． (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos 〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos 〈a，b〉的乘积(如图)． (4)数量积的物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s． 知识点3　数量积的运算律 交换律：a·b＝b·a． 与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 关于加法的分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 知识点4　数量积的性质 (1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos 〈a，e〉； (2)a⊥b⇔a·b＝0(其中a，b为非零向量)； (3)|a|＝； (4)cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； (5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 知识点5　平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． (2)模、夹角、垂直的坐标表示： 知识点6　平面直角坐标系中两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别是A，B，那么a＝(x2－x1，y2－y1)． 则|a|＝＝． 五、平面向量的应用 知识点1　余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号 表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 知识点2　正弦定理 语言 表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 知识点3　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ）(4)，其中 知识点4　实际问题中的有关术语 名称 定义 图示 仰角与 俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30° 知识点5　用向量方法解决平面几何问题的三个步骤 题型一 平面向量的概念 1．（多选）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 2．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．若与同向，且，则 B．若，则与的长度相等且方向相同或相反 C．对于任意，且与的方向相同，则 D．所有的零向量都相等 3．（多选）下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 4．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上 B．若向量与平行，且，则或 C．向量的长度与向量的长度相等 D．单位向量都相等 题型二 加法、减法、数乘运算 1．（多选）化简下列各式，其结果为的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）下列等式正确的是（   ） ①； ②； ③． A．②③ B．② C．① D．③ 3．（多选）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（多选）如图，D，E，F分别是的边，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型三 平面向量的线性运算 1．如图，设，，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 4．已知点是平行四边形的对角线交点，点是平行四边形所在平面外一点，则 （    ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 题型四 共线(平行)向量基本定理 1．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是上靠近点的四等分点，是上一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 4．对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知是不共线向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 6．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 8．如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 9．已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为 ；若，则的最小值为 . 题型五 平面向量基本定理的应用（含坐标） 1．如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．在中，若，设，则（   ） A． B． C． D． 3．设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 4．，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 6．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（    ） A． B． C． D． 7．已知两点，，与平行且方向相反的向量可能是（   ） A． B． C． D． 8．，，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．已知点，向量，则向量（    ） A． B． C． D． 题型六 向量的数量积 1．给出以下五个结论①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ） A． B． C． D． 3．关于平面向量，，，有下列四个命题： ①若，，则存在，使得；②若，则或；③存在不全为零的实数，使得；④若，则． 其中正确的命题是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．已知等腰梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 题型七 向量的数量积运算、夹角、模长（几何与坐标） 1．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 5．已知，方向相同，且，，则（   ） A．10 B．100 C．11 D．121 6．已知非零向量与的夹角为，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 9．已知单位向量的夹角为，为实数，则“向量与向量的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 11．设向量，满足，，则的值为 ． 12．已知，则 ，向量与向量的夹角＝ . 13．已知向量，若，则 ． 14．在中，已知向量与满足，且，则角 . 题型八 平行、垂直关系及投影向量 1．已知向量不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．已知，是两个不平行的向量，若向量与向量平行，则实数t等于（    ） A．－ B．－1 C．0 D．－2 3．已知向量，，且与平行，则x=（    ） A． B． C． D． 4．若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，若向量与垂直，则（   ） A． B． C． D．2 6．非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 7．已知向量，，若与垂直，则（    ）． A． B． C． D． 8．已知，，，与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知向量，向量在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 10．已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 11．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 12．设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影为 13．向量在上的投影向量是 （用坐标表示）． 题型九 向量范围与最值问题 1．已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则的范围为（    ） A． B． C． D． 3．向量，，满足，，，．当最小时，（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，当最小时，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知非零向量，满足，则，的夹角最大为（    ） A． B． C． D． 6．设是单位向量，且，则的范围为 7．已知向量，，，，与的夹角为，则的值最小时，实数的值为 . 8．已知向量，，，与的夹角为，则 ，当的值最小时，实数的值为 . 题型十 正余弦定理解三角形 1．在中，若，，则（   ） A．6 B． C．2 D． 2．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．在中，若的面积，则（   ） A． B． C． D． 5．在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，是角的内角平分线，且，则等于（   ） A． B． C． D． 题型十一 三角形面积公式 1．已知在中，，.为所在平面内一点，且满足，为的中点，且，则的面积为（    ） A．6 B． C． D． 2．在中，为边上的中点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，若面积的最大值为，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 5．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积为3，则边的长为（   ） A． B． C．5 D． 题型十二 判断三角形形状以及解的个数 1．若，则三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 2．在中，角所对的边分别为，若，，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 3．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4．在中，角A，B，C所对的边分别为，，设的面积为，若，则的形状为（    ）. A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 6．在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 8．若的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则此三角形为等腰三角形 C．若，则解此三角形必有两解 D．若是锐角三角形，则 题型十三 中线、角平分线的问题 1．在中，角的对边分别为，且 (1)求角A的大小及的面积； (2)已知AC边上的中线BD=，求三角形ABD的周长 2．在锐角中，设角，，的对边依次为，，，满足． (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围． 3．在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 4．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 5．在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 6．在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 7．在中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 8．记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. 9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 题型十四 边、角、面积的最值（范围）问题 1．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 2．已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 3．已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 4．已知在中，内角，，的对边分别为，，，的外接圆的直径为，为锐角，. (1)求的面积的最大值； (2)若点为的内切圆的圆心，求的周长的最大值. 5．已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 6．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 7．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 8．在中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 题型十五 图形类问题 1．如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 2．如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，． (1)求角的大小； (2)若，求； (3)若，求 3．如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且.    (1)若为锐角三角形，求的取值范围； (2)若，，求面积的最大值. 4．如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 5．如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 题型十六 距离、高度、角度的测量问题 1．圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据六安市（北纬32°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知六安市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（    ）（已知，） A．3.26米 B．4.73米 C．5.37米 D．6.31米 2．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 3．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 4．年月日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为单位：，三角高度测量法是珠峰高程测量方法之一．下图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影满足，由点测得点的仰角为，与的差为；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为（     ）． A． B． C． D． 5．如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 6．如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 7．山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景”为主题，通过融合地域特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴.诗人李白的“日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山东众多闻名山水之一的泰山.如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（   ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 基础巩固通关测 1．在平行四边形中，下列关系式不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，.若，且方向相反，则（    ） A． B． C．2 D．5 3．在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 4．已知，，有下列向量：①；②；③；④．其中，与平行的向量是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 5．已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C． D．3 6．已知向量，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 7．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 8．下列说法错误的是（   ） A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 9．已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 11．已知向量，若，则等于（   ） A． B．1 C．4 D． 12．若平面向量两两的夹角相等，且，则（   ） A．3 B．4 C．3或0 D．4或1 13．设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．已知正方形ABCD的边长为6，点满足，则（   ） A． B． C． D． 15．若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 16．已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 17．在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 18．中，，，的对边分别是，，，则等于（   ） A． B． C． D． 19．若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 20．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 21．小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 22．（多选）已知向量，，则下列叙述中正确的是（    ） A．不论取何值都有 B．存在实数，使 C．存在实数，，使 D．存在实数，，使 23．（多选）如果，是平面内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的是（   ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内的任一向量，使的实数，有无数多对 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若实数，使，则． 24．(多选)已知，且，求向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 25．（多选）设向量.若，则实数（    ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 26．（多选）已知向量，则下列说法正确的有（    ） A．若与垂直，则 B．若，则的值为 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量为 27．已知向量 ，，若 ，则实数 . 28．已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为 . 29．若向量满足，且，则的值为 . 30．如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为 米． 31．在中，已知，且，则的取值范围为 ． 32．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距的C，D两点，并测得，，，（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离（注：，）． 33．在中，，点在延长线上，． (1)求； (2)若的面积为，求线段的长度． 34．在中，为上的中点，满足. (1)判断的形状； (2)若角为锐角，为边上一点，，，，求的面积. 35．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若为BC边上一点，，且，求. 36．在中，内角的对边分别为．若． (1)已知，求三角形的三边长； (2)若，为中点，求外接圆半径． 37．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长. 38．在中，角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 39．在中，角的对边分别是，且满足. (1)证明：； (2)若边上的中线长为2，求的面积的最大值. 40．如图，在中，，点、分别在、延长线上，满足，，. (1)证明：； (2)若，求的长. 41．如图，在平面四边形中，已知，，． (1)求的面积； (2)若，且，求的长． 能力提升进阶练 1．等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 2．已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 3．已知O，A，B三点不共线，设，，且P为靠近A点的线段的一个三等分点，则等于（   ） A． B． C． D． 4．已知平面向量、满足，且，则在上投影向量的模的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．在等腰梯形中，，，，为线段上的动点（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D．5 8．（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 9．（多选）下列关于的结论中，正确的是（   ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则 10．（多选）记的内角的对边分别为，下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，且为锐角三角形，则的取值范围是 11．平面向量满足，则的最大值为 ． 12．已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 13．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距 m． 14．的内角所对的边分别为，且，边上的中线长为，则的最大值为 ；实数的取值范围是 ． 15．已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求角； (2)已知，求的取值范围. 16．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，且． (1)当，时，求，的值； (2)若角为锐角，求的取值范围． 17．在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 18．在中，角对应边分别为，且，的面积. (1)求角的大小； (2)设边的中点为，与的外接圆交于一点（异于点），求的最小值. 19．在中，是线段上一点，且，，设． (1)求线段的长度（用表示）； (2)若，求的值； (3)求的最大值． 20．中，，是内一点，． (1)若，求； (2)若是等腰直角三角形，求的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面向量及其应用（复习讲义） 1、理解向量的有关概念及向量的几何表示. 2、掌握共线向量、相等向量的概念，正确区分向量平行与直线平行. 3、掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量，掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算. 4、掌握向量减法的定义，理解相反向量的意义，掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量. 5、掌握向量数乘的运算及其运算律，理解数乘向量的几何意义. 6、掌握共线(平行)向量基本定理，能用共线(平行)向量基本定理求解点共线问题. 7、理解平面向量基本定理及其意义，体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题. 8、了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 9、理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量数量积与投影数量的关系. 10、会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题. 11、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正余弦定理，并了解其向量证法，掌握正余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 12、熟练掌握正弦、余弦定理及其变形，能利用余弦、正弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题. 13、掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用，了解测量的方法和意义并提高应用数学知识解决实际问题的能力. 14、能运用向量的有关知识解决平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题，能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题. 一、向量的有关概念 知识点1　向量的概念 把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等)． [特别提示]　数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 知识点2　向量的表示方法 (1)具有方向和长度的线段，称为有向线段．以A为起点，B为终点的有向线段，记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作． (2)向量可以用有向线段表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)，记作|a|．箭头所指的方向表示向量的方向． 知识点3　零向量与单位向量 (1)长度为0的向量称为零向量，记作0或； (2)模等于1个单位长度的向量，称为单位向量． 知识点4　向量的基本关系 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量，记作a＝b． (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量共线． (3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a的相反向量记作－a； 规定零向量的相反向量是零向量． 知识点5　向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角； (2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系： θ＝0°⇔a与b同向；θ＝180°⇔a与b反向；θ＝90°⇔a⊥b，规定：零向量与任一向量垂直． 二、向量的运算 知识点1　向量求和法则 类别 图示 几何意义 向量 求和 的法 则 三角 形法 则 已知不共线向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＝ 平行 四边 形法 则 已知不共线向量a，b，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b 知识点2　向量加法的运算律 向量加 法的运 算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点3　相反向量的性质 性质 (1)－(－0)＝0； (2)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； (3)若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a． 知识点3　向量减法 (1)定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法． (2)几何意义 如图，设＝b，则＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量． [特别提示]因为向量的减法是向量的加法的逆运算，所以向量的减法可以转化为向量的加法来运算． 知识点4　数乘运算的定义 (1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa． (2)|λa|＝|λ||a|． (3)λa的方向 (4)几何意义：当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍； 当λ<0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 知识点5　数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量，则 (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)． 知识点6　共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a＝λb． [特别提示]当a≠0，b＝0时，λ不存在；当a＝0，b＝0时，λ不唯一． 知识点7　直线的向量表示 已知A，B两点确定一条直线l，l上任意一点P所对应的向量与向量共线，从而可以用表示，即存在唯一实数t，使得这说明由一个点A和一个非零向量可以唯一地确定过点A与向量共线的直线l． 通常可以用表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量． 三、平面向量基本定理及坐标表示 知识点1　平面向量基本定理 (1)定义：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． (2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}． 知识点2　标准正交基 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基． 知识点3　平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj．因此，a＝xi＋yj．我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)． 知识点4　平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 数学公式 文字语言表述 向量 加、减法 a±b＝(x1±x2，y1±y2) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 向量 数乘 λa＝(λx1，λy1)λ∈R 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 向量 坐标 ＝(x2－x1，y2－y1) 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标 知识点5　中点坐标公式 若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段AB的中点坐标公式． 知识点6　平面向量平行的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0．若a∥b，则存在实数λ，使得a＝λb，用坐标表示为x1y2－x2y1＝0． 若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝． (2)文字语言描述向量平行的坐标表示 定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． 定理2：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行． 四、向量的数量积 知识点1　平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角记为〈a，b〉或θ(0°≤θ≤180°)，我们把|a||b|cos 〈a，b〉称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a|·|b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 知识点2　投影向量和投影数量 (1)如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，投影γ＝，γ称为a在b上的投影向量． (2)如图，|a|cos 〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·． (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos 〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos 〈a，b〉的乘积(如图)． (4)数量积的物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s． 知识点3　数量积的运算律 交换律：a·b＝b·a． 与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 关于加法的分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 知识点4　数量积的性质 (1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos 〈a，e〉； (2)a⊥b⇔a·b＝0(其中a，b为非零向量)； (3)|a|＝； (4)cos 〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； (5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 知识点5　平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． (2)模、夹角、垂直的坐标表示： 知识点6　平面直角坐标系中两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别是A，B，那么a＝(x2－x1，y2－y1)． 则|a|＝＝． 五、平面向量的应用 知识点1　余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号 表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 知识点2　正弦定理 语言 表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 知识点3　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ）(4)，其中 知识点4　实际问题中的有关术语 名称 定义 图示 仰角与 俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30° 知识点5　用向量方法解决平面几何问题的三个步骤 题型一 平面向量的概念 1．（多选）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 【答案】ACD 【分析】根据题意，由向量的概念逐一判断，即可得到结果. 【详解】向量与向量互为相反向量，所以模长相等，故A正确； 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误； 零向量的模都是0，故C正确； 单位向量的长度都是1，故D正确； 故选：ACD 2．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．若与同向，且，则 B．若，则与的长度相等且方向相同或相反 C．对于任意，且与的方向相同，则 D．所有的零向量都相等 【答案】CD 【分析】根据向量的概念判断A；根据向量模的概念判断B；根据向量相等的概念判断C；根据向量相等的概念判断D. 【详解】A不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小； B不正确，由只能判断两向量长度相等，并不能判断方向； C正确，，且与同向，由两向量相等的条件可得； D正确，符合相等向量的定义. 故选：CD. 3．（多选）下列叙述中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误； 对于B，由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误； 对于D，对任一非零向量，表示与同向的单位向量，故D正确． 故选：ABC． 4．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上 B．若向量与平行，且，则或 C．向量的长度与向量的长度相等 D．单位向量都相等 【答案】ABC 【分析】根据向量共线的定义即可判断A，B，根据模的定义即可判断C，根据单位向量的定义可判断D. 【详解】对于A，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以重合或平行，故A正确． 对于B， ，，都是非零向量，，与的方向相同或相反， 即或．故B正确． 对于C，向量与向量方向相反，但长度相等．故C正确． 对于D，单位向量除了长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等且方向相同．故D错误． 故选：ABC． 题型二 加法、减法、数乘运算 1．（多选）化简下列各式，其结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】利用向量的加减运算逐一求解判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ABCD 2．（多选）下列等式正确的是（   ） ①； ②； ③． A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】CD 【分析】根据平面向量加法运算法则判断可得结论. 【详解】①满足向量加法的交换律与结合律，①正确． ②，②不正确． ③，③正确． 故选：CD 3．（多选）下列向量运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的加减法法则，结合具体选项，逐一分析即可. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 4．（多选）如图，D，E，F分别是的边，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由图形结合向量加减法法则即可运算求解. 【详解】由题可得， ， ， . 故选：AC 题型三 平面向量的线性运算 1．如图，设，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量加法和减法的几何意义进行求解即可. 【详解】. 故选：A 2．如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值. 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 3．如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法运算法则即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 4．已知点是平行四边形的对角线交点，点是平行四边形所在平面外一点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的中点公式可得答案. 【详解】因为平行四边形的对角线互相平分，所以既是的中点，又是的中点， 所以， 故选：D 5．在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可. 【详解】因为在平行四边形中，，所以， 因为是的中点，所以，即，， 根据向量的加法法则，， 故选：B. 题型四 共线(平行)向量基本定理 1．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 2．在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到即为的中点，，从而得到. 【详解】，故， 即为的中点，所以与相交于点， 又，，所以，， 故. 故选：B 3．如图，在中，是上靠近点的四等分点，是上一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理的推论即可求解. 【详解】因为是上靠近点的四等分点， 所以， 则， 因为三点共线，则， 解得. 故选：A. 4．对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共线定理即可求解. 【详解】由题意知. 若与共线，则存在实数使得， 因为向量，不共线， 所以解得，故的值为. 故选：C 5．已知是不共线向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【分析】求出即可得解. 【详解】由题可得， 又线段BD与线段AB有公共点B，所以三点共线. 故选：C 6．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值. 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 7．在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由得，所以，三点共线得，利用二次函数即可得解. 【详解】由，得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，取等号， 故的最小值为， 故选：B 8．如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 9．已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线有得到，代入和求解即可. 【详解】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. 10．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为 ；若，则的最小值为 . 【答案】 /0.5 2 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，解得， ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：；. 题型五 平面向量基本定理的应用（含坐标） 1．如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三点共线的向量表示即可求解. 【详解】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C 2．在中，若，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由得到是中点，且可以得到为的三等分点，再由，，求解即可. 【详解】设，，因为得是中点，所以，由得分为，可得， 设，则， 设，则， 所以，，解得. 故选：B. 3．设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量基本定理，把作为基底，再利用向量的加减法法则把向量用基底表示出来即可. 【详解】由得， 即，所以． 故选：A 4．，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是； 对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是； 对于C，，和共线，不可作基底，C是； 对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是. 故选：C 5．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 6．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线建立方程，由基底的定义，可得答案. 【详解】对于A，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故A错误； 对于B，设则，显然无解，则向量与向量不共线，即能构成一组基底，故B正确； 对于C，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故C错误； 对于D，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故D错误. 故选：B. 7．已知两点，，与平行且方向相反的向量可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算得，再根据向量共线的坐标关系逐项判断即可得结论. 【详解】因为，，所以， 对于A，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B，因为，所以与不平行，故B错误； 对于C，因为，所以与不平行，故C错误； 对于D，因为，所以与平行且方向相反，故D正确． 故选：D． 8．，，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量坐标的定义计算即得. 【详解】因，，则. 故选：C. 9．已知点，向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件求向量的坐标，再结合关系求结论. 【详解】因为点， 所以，又 . 故选：C. 题型六 向量的数量积 1．给出以下五个结论①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义，结合数量积的性质逐项判断即得. 【详解】对于①，，①正确； 对于②，，②正确； 对于③，，③正确； 对于④，与共线，而与共线，与无任何关系，④错误； 对于⑤，是一个实数，且有，⑤错误． 故选：C 2．如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得. 由是的中点知，，且，得， 所以. 则 . 故选：B. 3．关于平面向量，，，有下列四个命题： ①若，，则存在，使得；②若，则或；③存在不全为零的实数，使得；④若，则． 其中正确的命题是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据向量的共线定理，判定①正确；根据向量垂直的概念和向量数量积的定义，判定②错误，④正确；根据向量的基本定理，判定③错误. 【详解】对于①，由向量的共线定理知，若，且，则存在，使得，所以①正确； 对于②，若，则或或，所以②错误； 对于③，当向量，不共线且时，若，可得，所以③错误； 对于④，若，则，可得，所以④正确. 故选：B. 4．已知等腰梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用向量的加减法结合数量积运算律计算求解. 【详解】如图，设的中点为，则为平行四边形． 于是， 且， 又因为且，所以为等边三角形， 所以， 从而， 故选：B． 题型七 向量的数量积运算、夹角、模长（几何与坐标） 1．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算、，再利用向量的夹角公式计算. 【详解】由题意得，，， 所以． 故选：D 2．已知向量，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的定义计算，再根据计算即可. 【详解】由题意可得，， 则， 故. 故选：D 3．已知向量满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意可得，，结合模长的平方关系运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，则， 所以. 故选：B. 4．若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论. 【详解】因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 设为的夹角， ， 故选：A. 5．已知，方向相同，且，，则（   ） A．10 B．100 C．11 D．121 【答案】A 【分析】根据题意，两向量方向相同，结合向量的模性质求解即可. 【详解】由题意可得：因为，同向，所以向量夹角为零.且， 所以. 故选：A. 6．已知非零向量与的夹角为，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】为锐角时，，因此是必要的， 时，，满足，但不是锐角，因此不充分，故是必要不充分条件， 故选：B． 7．若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据向量的夹角为锐角求出的范围，再判断条件即可. 【详解】因为向量的夹角为锐角，所以，且向量不共线， 当向量共线时，， 故“”是“向量的夹角为锐角”的必要不充分条件， 故选：A. 8．已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】由坐标计算向量的夹角与共线时的情况再结合必要不充分条件的判定可得. 【详解】若与的夹角为钝角，则，解得且， 时不能得出与的夹角为钝角，与的夹角为钝角时可以得出， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 9．已知单位向量的夹角为，为实数，则“向量与向量的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】法一：根据单位向量与垂直向量的数量积表示，利用数量积的运算律以及夹角为锐角的数量积表示，同时注意排除向量共线的情况，结合充分不必要条件，可得答案；法二：由题意设出向量的坐标，根据数量积的坐标表示，结合充分不必要条件，可得答案. 【详解】法一： 由单位向量的夹角为，可得，． 若向量与向量的夹角为锐角， 则且向量与向量不共线． 由，得； 由向量与向量不共线，得，即． 所以由向量与向量的夹角为锐角，得且． 易知由，则向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度. 综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件． 法二： 因为单位向量的夹角为，所以不妨令，， 则，．因为向量与向量的夹角为锐角， 所以，且，得且． 当时，可得， 此时向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度. 综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件． 故选：B． 10．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据模的平方及数量积的运算求解夹角即可. 【详解】， , 又，， ，解得， 又，， 故选：C 11．设向量，满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，，根据，求出，，，再据此求出即可． 【详解】设，， 因为，所以，， ， 因为， 所以， 也即，所以， 因为， 所以 ． 故答案为：． 12．已知，则 ，向量与向量的夹角＝ . 【答案】 2 【分析】第一空：通过求得，即可求解，第二空：由向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 即，得. 因为，所以. 设向量与向量的夹角为，则有 ， 因为，所以，即向量与向量的夹角为. 故答案为：2； 13．已知向量，若，则 ． 【答案】5 【分析】先由向量垂直的坐标表示求出参数，再由向量模长公式即可计算求解. 【详解】因为向量，， 所以. 所以． 故答案为：5 14．在中，已知向量与满足，且，则角 . 【答案】/ 【分析】依题意可得，设角的平分线交于，即可得到，从而得到为等腰直角三角形，即可得解. 【详解】设角的平分线交于，因为，故，即， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 设，（如图所示），，因为， 故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上. 因为，故，故. 综上，为等腰直角三角形且，所以. 故答案为：    题型八 平行、垂直关系及投影向量 1．已知向量不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理，先转化平行关系为等式，再整理等式分离向量系数，最后利用“不共线向量的系数对应相等”列方程求解即可. 【详解】因为向量，不平行，， 所以存在实数，使得：， 即，解得. 故选：B. 2．已知，是两个不平行的向量，若向量与向量平行，则实数t等于（    ） A．－ B．－1 C．0 D．－2 【答案】A 【分析】由平面向量共线定理求解． 【详解】向量与向量平行,则存在实数,使得, 即，又，是两个不平行的向量， 所以，解得， 故选：A． 3．已知向量，，且与平行，则x=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量共线的坐标表示列出方程解出即可. 【详解】因为向量，，且与平行， 所以，解得， 故选：A. 4．若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两向量垂直的坐标关系求出，再利用向量模长的计算公式求解. 【详解】，所以，所以， 所以. 故选：A 5．已知向量，若向量与垂直，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先求出向量，再由向量垂直的坐标表示即可计算求解. 【详解】由题意向量， 因为向量与垂直， 所以. 故选：B 6．非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直数量积为零可求得与的关系式，即可求得夹角. 【详解】易知，即； 又，所以，即； 因此， 又，所以所求夹角为. 故选：C 7．已知向量，，若与垂直，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用与垂直，解出，再根据向量模长计算公式运算可得答案. 【详解】依题意得：， 由与垂直知：， 所以，． 故选：D． 8．已知，，，与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合数量积的定义即可求解. 【详解】因为与垂直， 所以， 解得， 故选：A 9．已知向量，向量在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量公式结合条件可得，其中可由计算，进而可求得的值. 【详解】由题意在上的投影向量为， 因为，则，又， 则. 故选：D. 10．已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果. 【详解】由题意得，所以，即， 于是，又，. 故选：C 11．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出投影向量的坐标，结合向量的模长公式可得答案. 【详解】由题意可知在方向上的投影向量为 ， 故在方向上的投影向量的模为. 故选：C. 12．设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影为 【答案】 【分析】由投影公式，代入已知条件即可求解. 【详解】向量在方向上的投影为：. 故答案为：. 13．向量在上的投影向量是 （用坐标表示）． 【答案】 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】所求投影向量为. 故答案为： 题型九 向量范围与最值问题 1．已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ， 可得， 故选:D. 2．已知，，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积公式及夹角余弦值的取值范围可得不等式，解不等式即可. 【详解】由已知， 则， 又， 即， 解得， 故选：D. 3．向量，，满足，，，．当最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，再利用向量数量积的坐标运算得到的值以及的关系式，利用基本不等式求的最小值，即可求出的值，进而求解. 【详解】因为，不妨设，，， 又，，， 则，所以，即， 而， 当且仅当，即时，等号成立． 此时，． 当时，，； 当时，，． 综上所述，. 故选：D． 4．已知平面向量，当最小时，，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的模长公式计算得到关于的一元二次函数，根据二次函数的图象对称性可得时最小，代入，整理得即可得解. 【详解】设的夹角为，由， 由二次函数的图象可知，当且仅当时，取最小值，此时值最小， 将代入即得：，因，故. 故选：D. 5．已知非零向量，满足，则，的夹角最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，，从而求得，求得夹角最大值. 【详解】由题知，，即， 又， 则，即，的夹角最大为 故选：C 6．设是单位向量，且，则的范围为 【答案】 【分析】根据向量运算法则和向量的夹角范围即可得答案. 【详解】由可得，， 即， 从而， 又是单位向量，所以， 设，， 则 ， 当与同向时，取得最小值， 当与反向时，取得最大值， 故答案为：. 7．已知向量，，，，与的夹角为，则的值最小时，实数的值为 . 【答案】/0.2 【分析】根据向量的模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】， 由于， 故当时，此时取最小值， 故答案为： 8．已知向量，，，与的夹角为，则 ，当的值最小时，实数的值为 . 【答案】 【分析】根据数量积的运算公式得到的值，再由，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】，； ， 由二次函数性质，当时取得最小值， 故答案为：；. 题型十 正余弦定理解三角形 1．在中，若，，则（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】设外接圆半径为. 由正弦定理可得，， 所以，，. 所以. 故选：C. 2．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据余弦定理和正弦定理进行求解即可. 【详解】由余弦定理得， 又，所以，所以， 所以由正弦定理得． 故选：C 3．记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理与正弦定理解三角形即可. 【详解】由余弦定理，得： ， ， 所以 ， 再利用正弦定理：， 代入已知值：， 整理得：. 故选：A 4．在中，若的面积，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理求出，代入求解. 【详解】由，得， 又由余弦定理， 所以， 所以， 故选：D. 5．在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，是角的内角平分线，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理、余弦定理将已知关系式进行化简得到， 再由等面积法得到，由二倍角公式得的值. 【详解】由已知和正弦定理得， 则， 为非直角三角形，，， ， ， 即， 又， 所以， ，， ，， ． 故选：A. 题型十一 三角形面积公式 1．已知在中，，.为所在平面内一点，且满足，为的中点，且，则的面积为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得三点共线，即可得到垂直平分，所以，由余弦定理求出，从而求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】因为，又因为，所以三点共线， 又，即为的外心，所以垂直平分，即垂直平分， 又已知，所以， 又因为，所以由余弦定理有， 又，所以， 所以， 即的面积为. 故选：C 2．在中，为边上的中点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 故选：D 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】由余弦定理得，解得，再根据计算即可． 【详解】由余弦定理得， 所以的面积为． 故选：A． 4．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，若面积的最大值为，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式及基本不等式可得面积的最大值，列方程可解得. 【详解】由三角形的面积公式可得，， 当且仅当时取“=”， 令，解得， 故选：B. 5．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用余弦定理得出，再应用面积公式计算求解. 【详解】由余弦定理得， 所以， 则的面积为. 故选：B. 6．在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，的面积为3，则边的长为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先由题意求出，接着由求出c，再由余弦定理即可计算求解. 【详解】因为，， 则由解得， 所以， 所以由，即. 故选：D 题型十二 判断三角形形状以及解的个数 1．若，则三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理角化边题设条件即可求解. 【详解】若，则由余弦定理得， 整理得，即， 所以三角形的形状为直角三角形. 故选：A 2．在中，角所对的边分别为，若，，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】结合余弦定理可得为钝角，进而判断即可. 【详解】由，，,可知， 由余弦定理，， 所以为钝角，则为钝角三角形. 故选：C 3．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解. 【详解】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 4．在中，角A，B，C所对的边分别为，，设的面积为，若，则的形状为（    ）. A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据题意，求得，得到，由结合余弦定理，求得，进而得到且，即可求解. 【详解】由，可得，解得， 因为，所以， 又. 由余弦定理得，所以， 因为，所以，解得，则，可得， 所以，所以为等边三角形. 故选：C. 5．在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由，利用向量的数量积和三角形的面积公式，得到，求得，再由余弦定理，结合，列出方程求得，得到，即可得到答案. 【详解】由，可得， 即，可得， 因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，可得，所以， 整理得，即，所以，所以， 所以为等边三角形. 故选：B. 6．在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理及有两解，列不等式求边长范围. 【详解】因为且，有两解， 所以，得． 故选：C 7．由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 【答案】B 【分析】根据三角形的几何性质，及正弦定理、余弦定理，逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，可得，，， 则，故只能有一个值，所以三角形有一解，故A错误； 对于B，由于，即，所以三角形有两解，故B正确； 对于C，由于，故三角形为直角三角形，有一解，故C错误； 对于D，因为，，，有余弦定理，可求得唯一，所以三角形有一解，故D错误. 故选：B. 8．若的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则此三角形为等腰三角形 C．若，则解此三角形必有两解 D．若是锐角三角形，则 【答案】D 【分析】由余弦定理可判断A；由余弦定理化简即可判断B；由正弦定理即可判断C；由正弦函数的单调性结合诱导公式即可判断D. 【详解】对于A，若，则， 因为为三角形内角，只能说明为锐角，不能说明为锐角三角形，故A错误； 对于B，若，由余弦定理可得， 整理可得，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，若，由正弦定理可得， 因为，则，即三角形只有一解，故C错误； 对于D，若是锐角三角形，则，所以， 即，所以，即， 同理可得，所以，故D正确； 故选：D. 题型十三 中线、角平分线的问题 1．在中，角的对边分别为，且 (1)求角A的大小及的面积； (2)已知AC边上的中线BD=，求三角形ABD的周长 【答案】(1)角为，的面积为； (2). 【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式直接可得； （2）在中由余弦定理得，结合已知条件可得三角形的周长. 【详解】（1）由，得，且， 所以，. （2）因AC边上的中线， 在中，， 即，又， 所以，消去，， 即，解得或，所以或. 当时，，的周长； 当时，，的周长； 故三角形的周长. 2．在锐角中，设角，，的对边依次为，，，满足． (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用正弦定理及三角恒等变换化简得，再由辅助角公式及三角形内角性质求角； （2）由题设及向量数量积的运算律，应用余弦定理可得，再应用正弦定理及三角恒等变换有且，即可求范围. 【详解】（1）由题设知， 由正弦定理得①， 又，则， 将上式代入①式得， 即， 即， 又，，故，即，即，， 又，得. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得，所以，， 所以， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以．所以，所以， 所以中线的取值范围是. 3．在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：利用余弦定理以及，可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积； 解法二：由已知条件得出，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积； （3）由结合三角形的面积公式得出，利用基本不等式可得出的最小值，由此可求得面积的最小值. 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为、，所以，则，故. （2）解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，， 即， 由余弦定理可得，即， 所以，故的面积为. （3）因为，平分，所以， 又，则由，得， 所以， 由基本不等式可得，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，故面积的最小值为. 4．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，求出； （2）①由三角形面积求出，从而得到，或，，根据中线得到，两边平方，结合向量数量积运算法则求出；②根据求出，由基本不等式求出长的最大值. 【详解】（1）由正弦定理得，即. 由余弦定理得. 因为，所以. （2）①，. 且，解得，或，. 由于， 所以， ； ②由， 得. 解得， 由于，当且仅当时，取等号， 故,当且仅当时，取等号，即的最大值为. 5．在中，角的对边分别为，已知. (1)若，且边的中线长为，求的面积； (2)若是锐角三角形，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，求得，再由，联立方程组，求得，因为为边中线，得到，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）由正弦定理，化简得到，再由是锐角三角形，求得，结合正切函数的性质，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理可得，即， 整理得，所以， 因为，所以， 又因为， 联立方程组，解得，所以， 因为为边中线，则， 所以， 可得，解得或（舍去）， 所以的面积为. （2）解：由正弦定理，可得 . 因为是锐角三角形，则，可得，所以， 因为，所以，则， 所以，所以. 6．在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理，将已知的边角关系进行转化，最后求解即可； （2）利用余弦定理建立关于未知边 的一元二次方程，求解后再代入面积公式即可； （3）先利用角平分线将原三角形 分割成两个小三角形 和 ，得到它们的面积之和等于原三角形的面积，最后代入求解即可. 【详解】（1），，， 由得，. （2）由（1）得，， ，或（舍去）， 的面积. （3）设， 则，， ， . 7．在中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）先利用余弦定理求出，再利用等面积法，即可求解； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，， 故. （2） 由余弦定理可知，，代入， 可得，解得. 设， ，即， 解得，因此. （3）由余弦定理得，， 即. ，两边平方得. 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则. 8．记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得； （2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得. 【详解】（1）由及正弦定理，得， ，， ，，，，或. ，，，即. （2）如图：   ， ，①， 又在中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . 的周长为. 9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解； （3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，； （2）由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； （3）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 题型十四 边、角、面积的最值（范围）问题 1．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式转化为关于角的三角函数关系，进而求解. （2）利用正弦定理和三角形内角和定理，将高表示为角的函数，再利用三角函数性质求其范围． 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 2．已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)钝角三角形 (2) 【分析】（1）根据余弦定理，可得，则，故C为钝角，可得△ABC为钝角三角形.或使用正弦定理对条件进行边化角，由两角和的正弦公式可得，从而得到△ABC为钝角三角形； （2）由正弦定理进行边角互化，可求得，从而得.由此可用表示，利用正弦定理将表示成的函数，根据正弦函数的最值，可求得的最大值，再求出，即可得到周长的最大值. 【详解】（1）因为，由余弦定理得，即. 故，所以，故C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形. 另解：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 即，即， 因为，所以， 所以，故C为钝角， 所以为钝角三角形. （2）的外接圆半径为. 由题，由正弦定理， 得，即. 由（1）知C为钝角，所以. 又. 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，取得最大值，即的最大值为4. 又， 所以的周长的最大值为. 3．已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据条件得出角，结合余弦定理计算得到边长； （2）由正弦定理结合角得到，由边角关系计算得到答案. 【详解】（1）由，得， 因为为三角形边长，所以，所以， 若，则，代入得，矛盾， 所以，方程两边同除以得，又，所以. 根据余弦定理， 得.即，整理得. 解得或（舍去）.所以. （2）由，得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 4．已知在中，内角，，的对边分别为，，，的外接圆的直径为，为锐角，. (1)求的面积的最大值； (2)若点为的内切圆的圆心，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理得，结合基本不等式可得，结合即可求解； （2）根据题意可得，设，，在中，利用余弦定理得，结合基本不等式得到即可求解． 【详解】（1）解：在中，由正弦定理得：，， 所以，又，所以， 由余弦定理得：，即， 又，所以，. 所以，当且仅当时，等号成立， 故的面积的最大值； （2）因为点为的三个内角的角平分线的交点， 所以. 设，， 在中，由余弦定理得：， 即，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以的周长的最大值为，当且仅当时，等号成立， 故周长的最大值为． 5．已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 6．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 7．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围； （3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 8．在中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解. （2）由即可求解. （3）余弦定理可得，所以，令，则，即，即，所以，解得，即可得解. 【详解】（1）若则，由余弦定理得 （2），， 即：， 化简得：. （3）由余弦定理：且，， 可得，， 而， 令，则，即， 可得，，其中，的终边经过点， 因此，取为锐角，所以，所以，解得. 所以最大值为. 题型十五 图形类问题 1．如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中与中分别使用余弦定理，从而可得的值，再根据三角形面积公式求解四边形的面积； （2）结合余弦定理，三角面积公式以及正弦型三角函数即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）连接BD，    在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，则， 从而， 因此四边形ABCD的面积为：． （2）连接BD．在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则， 因为， 所以， 因为，所以， 四边形ABCD的面积， 则①， 由，则②， 联立①②，解得，则， 当且仅当时，等号成立，四边形ABCD的面积取得最大值． 2．如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，． (1)求角的大小； (2)若，求； (3)若，求 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首选由，得：，将角化边可得：，将其代入中并利用余弦定理可求得角，进而求解角； （2）首先设，在中，由正弦定理得，然后根据同角三角函数的基本关系求角的正切值； （3）首先，在中，由余弦定理得：即得：，然后解方程求得的值，进而求得. 【详解】（1）因为，所以， 即. 又因为，所以 由余弦定理， 所以，又，所以. （2）在中，因为， 所以，，设，易知,故， 在中，由正弦定理得， 化简得， 所以，即. （3）设， 在中，由余弦定理得： 即，所以， 由，得：， 解得：或， 若，得：，由，则，所以 若，得：，由，则，所以. 3．如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且.    (1)若为锐角三角形，求的取值范围； (2)若，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得，又，进而得，即可求，由为锐角三角形，即可求解； （2）设得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，即，利用三角恒等变换即可得最大值，进而求解. 【详解】（1）由，由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，所以， 故，解得（舍）或， 因为，所以，得， 因为为锐角三角形，所以， 故，得， 所以的取值范围为. （2）因为， 所以当取得最大值时，的面积取得最大值， 设，因为， 所以， 在中，由正弦定理得，得， 在中，由正弦定理得，得， ， 其中， 所以当时，取得最大值， 所以面积的最大值为. 4．如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，结合以及，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用同角三角函数的基本关系，即可得解； （2）根据（1）中结论，结合，运用正弦定理可求得，再根据二倍角公式求出，最后利用三角形面积公式列出方程，即可解得. 【详解】（1）设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. （2）由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ， 解得. 5．如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)（海里） (2)（平方海里）． 【分析】（1）在和中反复使用正弦定理，用角度表示边长、、、，代入求值即可； （2）将面积表达式化简为关于的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的范围求解面积的最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，所以，， 又，设， ∴，，． 在和中由正弦定理可得， ， 即，， ， ． 当时，则，， ∴，， ∴（海里）． （2） 令 ， ∴． 因为，∴，∴， 所以当时，（平方海里）． 题型十六 距离、高度、角度的测量问题 1．圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据六安市（北纬32°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知六安市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（    ）（已知，） A．3.26米 B．4.73米 C．5.37米 D．6.31米 【答案】C 【分析】利用表高表示出冬至和夏至时圭面上的影长 CB 和 CD，根据两者之差 BD=7米列出方程，解出 表高。 【详解】设表高，在中，，， 在中，，， 已知冬至线和夏至线之间的距离米，所以，解得， 因此，表高约为米， 故选：C. 2．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高AB为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中利用正弦定理求出，再利用即可求出. 【详解】在中利用正弦定理得，， 即，则， 在中得，，则. 故选：D 3．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，利用的长即可求出的值，进而求得. 【详解】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B 4．年月日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为单位：，三角高度测量法是珠峰高程测量方法之一．下图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影满足，由点测得点的仰角为，与的差为；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，，求出各角，在和中，利用正弦定理得到方程，求出，，，从而得到答案. 【详解】过点作垂线，交于点，过点作垂线，交于点， 如图所示， 在中，，则， 由正弦定理得，即， 由点测得点的仰角为，故， 与的差为，故， 在中，， 由正弦定理得，即， 其中 ， ， 所以，解得， 故， ， 又， 故 m， 又，解得， 由点测得点的仰角为，故， 在中，，则， 可得、两点到水平面的高度差m． 故选：B 5．如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出，，即可求出，再由余弦定理计算可得. 【详解】连接，因为，，所以为等腰直角三角形， 所以，， 又，所以， 又，在中由余弦定理， 即. 故选：C 6．如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 【答案】D 【分析】由余弦定理计算可得结果. 【详解】由余弦定理可知，，则隧道的长度为km. 故选：D. 7．山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景”为主题，通过融合地域特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴.诗人李白的“日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山东众多闻名山水之一的泰山.如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（   ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意，得到，在直角中，求得米，在中，由正弦定理求得米，再在直角中，结合，即可求解. 【详解】由题意知，， 在直角中，，，可得米， 在中，由正弦定理，可得米， 在直角中，可得米. 故选：B. 基础巩固通关测 1．在平行四边形中，下列关系式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形定理，以及向量的模和数量积公式，判断选项. 【详解】对于A，根据平行四边形定理可知，，A正确； 对于B，根据向量减法可知，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，当且仅当向量和同向时等号成立，在平行四边形中，向量和不共线，所以，故D错误. 故选：D 2．已知向量，.若，且方向相反，则（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】法一：由共线判定定理即可求解，法二：由向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】方法一：依题意可设（）， 则， 所以解得， 故选：B. 方法二：因为， 所以，解得或. 根据向量，方向相反可知， 当时，，符合题意. 当时，，，两向量方向相同，不符合题意，舍去. 故选：B 3．在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项. 【详解】画出图像如下图所示. 对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确. 对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确. 对于C选项，由于，故结论错误. 对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确. 故选：C. 4．已知，，有下列向量：①；②；③；④．其中，与平行的向量是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由坐标运算得，再根据向量平行的定理逐一判断即可． 【详解】已知，，则， 对于①，，故向量与平行； 对于②，，故向量与平行； 对于③，，故向量与平行； 对于④，由于，故向量与不平行； 所以与平行的向量是①②③中的向量． 故选：C． 5．已知向量，，若向量在方向上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】（方法一）利用向量在方向上的投影向量的公式求解； （方法二）由向量在方向上的投影向量为得到，利用向量垂直的坐标公式求解. 【详解】（方法一）由题意，， ， 向量在方向上的投影向量为， ，，， ，，． （方法二）由题意，向量在方向上的投影向量为， ，，，，，． 故选：D. 6．已知向量，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【答案】B 【分析】利用平面向量共线定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，，故、不一定共线，A错误； 对于B选项，， 故、、三点共线，B正确； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错误； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错误. 故选：B. 7．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．，则 C．若，且，则 D．若，则与不共线 【答案】A 【分析】根据向量及共线向量的定义判断. 【详解】由向量相等的定义知选项A正确； 向量是有方向的量，不能比较大小，选项B错误； 当时，与不一定平行，选项C不正确； 可以是但与的模不相等，选项D不正确. 故选：A. 8．下列说法错误的是（   ） A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 【答案】D 【分析】根据相反向量和相等向量的定义得出选项A、B，然后根据零向量的定义得出选项C、D. 【详解】向量与互为相反向量，所以向量与的模相等，故A选项正确； 如果两个相等向量的起点相同，则它们终点必相同，故B选项正确； 根据向量模的定义，只有零向量的模等于0，故C选项正确； 零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D选项不正确； 故选：D. 9．已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量公式即可求解. 【详解】因为，所以 所以在上的投影向量为 故选：B 10．已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算，可求得，再利用向量的基底表示法，即可求解. 【详解】由，得， 将坐标代入得，解得， 故， 设， 则解得 即． 故选：C 11．已知向量，若，则等于（   ） A． B．1 C．4 D． 【答案】B 【分析】利用两个垂直向量的数量积为零，再结合向量数量积的坐标运算法则计算即可得出答案． 【详解】由，可得， 所以由，解得． 故选：B. 12．若平面向量两两的夹角相等，且，则（   ） A．3 B．4 C．3或0 D．4或1 【答案】C 【分析】由的夹角均为和夹角均为，两类情况讨论，通过求模的平方即可求解. 【详解】当的夹角均为时， 则 ， ； 当的夹角均为时， 所以 综上或0； 故选：C 13．设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数量积坐标定义结合向量平行的坐标表示即可计算求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 14．已知正方形ABCD的边长为6，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知为BC的中点，结合向量的线性运算转化可得，进而求解. 【详解】因为，可知为BC的中点， 因为正方形ABCD的边长为6，则，， 可得，， 所以. 故选：B. 15．若M为所在平面内一点，且满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量线性运算法则化简条件等式可得，两边平方化简可得，结合数量积的性质可得，由此可得结论. 【详解】由，得 所以，即， 两边平方并化简得，则，即，故， 所以是直角三角形. 故选：A 16．已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】由及，得， 而，则，所以的面积. 故选：C 17．在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出，结合三角形的内角和定理得到的值，从而得到的值． 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 得， 所以或，经检验，均满足题意． 当时，由三角形的内角和定理得； 当时，由三角形的内角和定理得． 因此或． 故选：B. 18．中，，，的对边分别是，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合和角的正弦公式化简即得. 【详解】在中，由正弦定理得. 故选：D 19．若，，是的内角，，的对边，，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．三边互不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】先应用余弦定理得出，或，再代入求解得出结论. 【详解】由得，， 由余弦定理得. 因为，所以，或， ，代入，得， 因为，所以，所以. 故选：D. 20．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 21．小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】先根据正弦定理求出的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果. 【详解】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 22．（多选）已知向量，，则下列叙述中正确的是（    ） A．不论取何值都有 B．存在实数，使 C．存在实数，，使 D．存在实数，，使 【答案】AD 【分析】利用向量垂直的坐标表示判断A；利用共线向量的坐标表示推理判断BCD. 【详解】对于A，任意实数，，则，A正确； 对于B，，而方程无实数解，即不共线，B错误； 对于C，，若，则，而此方程无实数解，C错误； 对于D，令，则，无论为何值，都有，D正确. 故选：AD 23．（多选）如果，是平面内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的是（   ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内的任一向量，使的实数，有无数多对 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若实数，使，则． 【答案】BC 【分析】由平面向量基本定理即可判断AB；由即可判断C；假设得到共线矛盾即可求解判断D. 【详解】由题可知，是平面内的一组基底， 所以对于平面内的任意向量，都存在唯一的一对实数对使得 所以可以表示平面内的所有向量，故A正确； 对于平面内的任一向量，使的实数，有且只有1对，故B错误； 当时，若，则任意实数均使得， 若，则不存在实数使得，故C错误； 若实数，使，假设，则，即共线，矛盾， 所以，同理，故D正确. 故选：BC 24．(多选)已知，且，求向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设，由题可得，解方程即可求解. 【详解】设，则或. 或． 故选：AD 25．（多选）设向量.若，则实数（    ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 【答案】AB 【分析】先根据向量的坐标线性运算得出向量坐标，再应用向量垂直的坐标公式计算求解参数. 【详解】因为， 又， 所以， 解得. 故选：AB. 26．（多选）已知向量，则下列说法正确的有（    ） A．若与垂直，则 B．若，则的值为 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量为 【答案】BC 【分析】直接根据向量平行及垂直的条件计算可判断AB；再由向量的模的计算公式可得C；再由投影向量的定义可判断D选项. 【详解】因为向量， 对于A：若与垂直，可得，解得，所以A不正确； 对于B：若，可得，解得，即，则，所以B正确； 对于C：若，可得，则，所以，所以C正确； 对于D：若，可得，则，. 此时投影向量为，所以D不正确， 故选：BC. 27．已知向量 ，，若 ，则实数 . 【答案】4 【分析】根据向量的线性运算及向量垂直求解即可. 【详解】由题意得 ，. 因为，所以 ，解得 . 故答案为：4. 28．已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为 . 【答案】 【分析】利用数量积的运算律及投影向量的意义求解. 【详解】由，得，而向量是单位向量，则， 由，得，所以在上的投影向量为. 故答案为： 29．若向量满足，且，则的值为 . 【答案】 【分析】先利用向量的数量积的运算律得，然后再利用数量积的运算律及模长公式求解即可. 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 故答案为： 30．如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为 米． 【答案】 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高． 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 31．在中，已知，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理以及基本不等式，解不等式可得，再由三角形性质可得. 【详解】在中，已知，且， 由余弦定理得， ，解得， 当且仅当时取等号，又三角形两边之和大于第三边，即， 因此. 故答案为： 32．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距的C，D两点，并测得，，，（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离（注：，）． 【答案】． 【分析】先在中利用等角对等边求出，再在中用正弦定理求出，最后在中用余弦定理算出的长度. 【详解】在中，，， ． ． 在中，． 在中，由正弦定理，得 ． 则在中，由余弦定理，得 ． ． ∴两目标A，B之间的距离为． 33．在中，，点在延长线上，． (1)求； (2)若的面积为，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形边长关系利用勾股定理可得三角形各内角度数，设，则利用可得； （2）方法一：根据面积为可求得，再利用余弦定理计算可得； 方法二：根据面积为可求得，可知，再由勾股定理计算可得； 【详解】（1）因为，如下图： 设，则，可得， 所以，. 设，则， 在中，由正弦定理得，，则， 因为，所以， 所以. （2）方法一： 由（1）知，，则，所以. 在中，由余弦定理得， ， 所以． 方法二： 由（1）知，，则，所以，. 所以，在中，由勾股定理得． 34．在中，为上的中点，满足. (1)判断的形状； (2)若角为锐角，为边上一点，，，，求的面积. 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形 (2) 【分析】（1）应用正弦定理化简得出，最后再应用二倍角正弦公式结合角的范围判断求解； （2）先设，则，再应用余弦定理化简计算得出， 最后应用面积公式计算求解. 【详解】（1）由题， 设，，则，， 在中，由正弦定理可得，所以，   在中，由正弦定理可得，所以， 又，所以，所以，即， 又，，所以或，即或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形； （2）因为角为锐角，由（1）可得，所以， 设，则，因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 又，，所以， 解得，，所以， 所以的面积 35．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若为BC边上一点，，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用边化角，结合三角恒等变换可求得； （2）由题意结合正弦定理可得，进而可得，利用可求解. 【详解】（1）由题得，， 由正弦定理得，， 在中，， 所以， 代入可得， 在中，，所以， 因为，所以，所以， 故； （2）因为，由（1）得， 在中，由正弦定理得， 所以， 因为且为BC边上一点， 所以，所以，此时， 在中，，所以， 所以，. 36．在中，内角的对边分别为．若． (1)已知，求三角形的三边长； (2)若，为中点，求外接圆半径． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用余弦定理结合求得或，又由题意知：所以即可求解三角形的三边长； （2）由代入条件化简得到，分析得到，利用勾股定理和，解得，设的内切圆半径为，再由正弦定理求解即可. 【详解】（1） ，解得或， 又由题意知：，∴，∴满足条件 ∴，即为三角形的三边 （2）∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∵，   ∴， 当时，边最长，与条件矛盾，故舍去； 当时，则，又， ∴，解得：， ∴,∴, 又∵为中点，∴， ∴在中，， 设的外接圆半径为， 由正弦定理得，即， ∴的外接圆半径为． 37．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）对已知的边的等式应用正弦定理，将边转化为角，结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式展开化简，消去后求解； （2）先由求出，结合三角形面积公式与已知的，先求出边，再结合三角形的面积得到，最后用余弦定理求出，三边相加得到周长. 【详解】（1）由，正弦定理可得， ，， ， 因为，所以，两边同时除以得， 解得. （2）由，，得. 因为且，所以. 再由，得，即. 由余弦定理：，得. 因此的周长为. 38．在中，角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理结合已知条件求，从而得解； （2）求出，利用两角和的余弦公式结合已知的值求出，利用正弦定理求出，利用表示，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1），， ， ，. （2），， ，，， ，（为外接圆的半径）， ，， . 39．在中，角的对边分别是，且满足. (1)证明：； (2)若边上的中线长为2，求的面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角即可求出得证. （2）利用向量数量积的运算律，结合基本不等式求出面积的最大值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得，而，则， 即，而，所以，. （2）令边的中点为，则，， 两边平方得，则， 即，当且仅当时取等号， 的面积， 所以的面积的最大值为. 40．如图，在中，，点、分别在、延长线上，满足，，. (1)证明：； (2)若，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分别在和中使用余弦定理，列出方程组求解出，即可得证. （2）令，用表示出，利用解出，进而可得，在中使用正弦定理再结合求解出，最后在中使用余弦定理求出. 【详解】（1）证明：设，，. 在中，由余弦定理：，即. 在中，由余弦定理：，即. 又，. 又，即，，代入上式展开化简得：，解得. ，即. （2）由（1）知，，. 在上取一点，使， 因为，，，所以， 设，，，,则. ，即，. ，. 即，解得或（舍）. 即，. 在中，由正弦定理得：，得. 又，即，解得或（舍）. 在中，由余弦定理得，解得. 41．如图，在平面四边形中，已知，，． (1)求的面积； (2)若，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理先求，再由三角形的面积公式即可求解； （2）利用正弦定理先求，再由三角恒等变换得，最后利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理知， 即， 解得， ； （2）在中，由正弦定理知，解得， 又在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，由正弦定理得， 解得. 能力提升进阶练 1．等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出外接圆方程，再根据向量关系得到点M坐标，代入圆方程，最后利用不等式求解的最大值. 【详解】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， 则：，，， 外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为，半径为， 故外接圆方程为：． 又因为，其中，， 则． 将代入圆的方程得， 即， ， ∴， 解得，当且仅当时取得的最大值2． 故选：B. 2．已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，以为邻边作平行四边形，利用可得答案. 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 3．已知O，A，B三点不共线，设，，且P为靠近A点的线段的一个三等分点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算求解． 【详解】. 故选：B 4．已知平面向量、满足，且，则在上投影向量的模的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面向量、夹角为，得到在上投影向量的模为，令，由，平方得到，结合，得到，求得的范围，即可求解. 【详解】设平面向量、夹角为， 则在上投影向量的模为，且， 由，平方可得， 又因为， 可得：， 令，则， 由， 所以，整理得：， 解得：， 即， 所以， 即在上投影向量模的最小值为 故选：D 5．在等腰梯形中，，，，为线段上的动点（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法1：建立平面直角坐标系，设，其中，利用坐标法计算可得；解法2：设在上的投影长为，则，再根据数量积的几何意义计算可得. 【详解】解法1：如图以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 过点作垂足为，过点作垂足为， 在等腰梯形中，，，，所以，， 则，，设，其中， 所以，， 所以，即的取值范围是. 解法2：设在上的投影长为，则，所以. 故选：C. 6．已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线得到的关系式，再代入，利用导数求得函数最值即可. 【详解】因为为的重心， 所以， 又因为，， 所以， 又因为三点共线， 所以， 因为在线段上，所以与同向且， 于是，同理， 结合得. 目标函数为， 记，， 求导，得：， 所以在上单调递增， 故选：C 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用余弦定理可得，所以为直角三角形，由重要不等式可求得面积的最大值，或由二倍角的正弦公式及正弦函数的最大值求得面积的最大值. 【详解】因为，所以由余弦定理可得， 所以，即， 所以为直角三角形，. 所以面积. 当且仅当，即时，等号成立. 所以面积的最大值为. 故选：A. 方法二： 因为，所以由余弦定理可得， 所以，即， 所以为直角三角形，. 所以，所以面积. 当，即时，取得最大值，即面积的最大值为. 故选：A. 8．（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】AB 【分析】解法1：根据余弦定理和正弦定理进行边角关系转化可得，从而可得或，进而可判断三角形形状；解法2：对已知等式化简变形，然后根据边的关系判断三角形形状. 【详解】解法1：在中由余弦定理可得,整理得， 由正弦定理得,即，故， 所以，即， 所以，则，即. 因为，所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 解法2：因为，所以， 所以， 所以， ， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：AB 9．（多选）下列关于的结论中，正确的是（   ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据余弦定理、正弦定理逐一判断即可. 【详解】A中，由，得， 因为，所以，故为钝角三角形，对； B中，由已知条件，得， 因为，所以，错； C中，因为，所以， 因为，所以，所以不能确定另外两个角是否为锐角，错； D中，在中，，所以，所以，对． 故选：AD 10．（多选）记的内角的对边分别为，下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，且为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】AB 【分析】由正弦定理，二倍角公式以及三角形的边角关系，正弦函数的性质逐一判断即得. 【详解】对于A，因，由及正弦定理可得，故得. 又因为“三角形中大边对大角”，所以，故A正确； 对于，由，得，从而. 又，所以.由A项结论，可得，故B正确； 对于C，当时，满足，但为钝角三角形，故C错误； 对于D，因为为锐角三角形，且， 则，解得.所以. 由正弦定理，得，所以，故D错误. 故选：AB. 11．平面向量满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】分别设出坐标，列方程计算即可. 【详解】不妨设，依题意可设，则， 取． 由于， 当时， ，等号成立时． 当时，， 当时，， 所以的最大值为2 故答案为：2． 12．已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律求得，依题意，需使，且与不共线，推得，求解不等式即得答案. 【详解】因 ，且的夹角为，则， 由 ，解得 又由可得，即， 解得，因， 的取值范围是． 故答案为：． 13．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距 m． 【答案】30 【分析】先将俯角转化为直角三角形的内角，利用正切函数求出两船到炮台底部的距离，再在两船与炮台底部构成的三角形中应用余弦定理，计算出两船之间的距离. 【详解】设炮台顶部为点，炮台底部（在水面上）为点，水面上的两条船分别为点、； 由题意：炮台高度，且水面（即，）； 由看的俯角为，故（根据平行线性质，俯角等于仰角）； 由看的俯角为，故（根据平行线性质，俯角等于仰角）； 两船与炮台底部的夹角； 中，，代入已知条件：，因，故：， 在中，，代入已知条件：， 因，故：， 在中，已知，，， 由余弦定理：， 代入数值计算：， 因距离为正，故：， 两条船之间的距离为. 故答案为： 14．的内角所对的边分别为，且，边上的中线长为，则的最大值为 ；实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理，结合基本不等式求得；结合中线的向量表示，向量运算得，再结合求解即可. 【详解】因为， 所以，根据余弦定理得 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，当且仅当时等号成立 所以的最大值为； 取中点，则， 所以，即， 又因为，所以 因为，所以，即 所以边上的中线长为的取值范围为. 故答案为：； 15．已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求角； (2)已知，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理角化边，再利用余弦定理公式可得答案； （2）利用正弦定理将转化为，然后利用三角恒等变换的公式将表示成三角函数的形式，通过三角函数的值域的求法求出范围. 【详解】（1）因为，所以， 即，即， 所以， 又，所以； （2）由（1）知，又， 由正弦定理， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以的取值范围是. 16．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，且． (1)当，时，求，的值； (2)若角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可； （2）根据余弦定理进行求解即可. 【详解】（1）由题设及由正弦定理，由，得，． 由，解得，或 （2）由余弦定理， ， 即． ，， 由题设知，． 17．在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1)； (2)2； (3). 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再求出，即可得解； （2）根据即可得解； （3）由题意，两边平方得，结合余弦定理可求出，再根据数量积的几何意义即可得. 【详解】（1）由及正弦边角关系，得， 而，则， 由，因此，则， 由，得，解得，又，所以； （2） 由，得，，则，又， 因为内角的角平分线交边于，所以， ∴， ∴； （3） 在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又，则， 所以，即，解得， 令的中点分别为，由点为的外接圆圆心，得，， ， ， 所以. 18．在中，角对应边分别为，且，的面积. (1)求角的大小； (2)设边的中点为，与的外接圆交于一点（异于点），求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由 ，利用三角形面积公式和余弦定理得到，化简求解； （2）由余弦定理及 ，得到，在 中，由为中线，得到，然后利用相交弦定理求解. 【详解】（1）由 得：， 即 ，两边约去 （）， 得 ，故 ； （2）由余弦定理  及 ， 得， 在 中，为中线，则 ， 即 ， 整理得 ， 在外接圆中，由相交弦定理得 ， 即 ， 故 由 及基本不等式 ，得 ， 当 时，. 19．在中，是线段上一点，且，，设． (1)求线段的长度（用表示）； (2)若，求的值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，求出，在中，利用余弦定理得，通过计算得到的值；     （2）在中，由正弦定理得，代入数值通过计算得到的值．     （3）在中，由正弦定理得，代入数值通过计算得到的值，利用基本不等式求出最大值.方法2：建立平面直角坐标系，由可知，点在以为直径的圆上，显然当直线与圆相切时，的最大值，此时可求出的值，利用同角关系式求出． 【详解】（1）在中，．     在中，由余弦定理得 因此. （2）在中，由正弦定理得，     即， 所以． （3）在中，由正弦定理得， 即， 即，     解得 当且仅当，即时，取到最大值.     方法2：以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系． 由可知，点在以为直径的圆上， 显然当直线与圆相切时，的最大值． 此时，故． 20．中，，是内一点，． (1)若，求； (2)若是等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理求得，然后根据正弦定理求得. （2）在中和在中利用余弦定理，将和，然后根据余角列出等式，进而求得的腰，进而求得三角形面积. 【详解】（1）根据正弦定理得，，所以. 因为，所以，所以. 根据正弦定理得，所以. （2）因为是等腰直角三角形，所以设， 在中，根据余弦定理， 得，化简得. 在中，根据余弦定理， 得，化简得， 所以. 因为，所以， 化简得，解得或. 又，，所以. 所以. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $